Задача Дирихле для уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 4. С. 401-411.

УДК 517.91

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Ф. Т. Богатырева

Институт прикладной математики и автоматизации

Кабардино-Балкарского научного центра РАН (ИПМА КБНЦ РАН), Нальчик, Россия fatima_bogatyreva@bk.ru

Исследована задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения с операторами дробного дифференцирования Джрбашяна — Нерсесяна. Решение найдено в явном виде в терминах функции Райта, доказана теорема существования и единственности решения. Построена функция Грина рассматриваемой задачи.

Ключевые слова: задача Дирихле, обыкновенное дифференциальное уравнение, дробное дифференцирование, оператор Джрбашяна — Нерсесяна, функция Грина.

Введение

В интервале 0 < х < 1 рассмотрим уравнение

п

Ьп(х) = £ ак ^-'^«(х) = / (х), (1)

к=О

где ЦХ0'71'-'7п} — оператор дробного дифференцирования Джрбашяна — Нерсесяна

п

порядка а = ап = ^ 7к — 1 > 0, 7к € (0,1], ак=00^, ап = 1, /(х) — заданная к=0

действительная функция.

Оператор дробного дифференцирования Джрбашяна — Нерсесяна порядка а, ассоциированный с последовательностью {70,71,..., 7п}, определяется соотношением [1]

П{1 1 1 }^(х) = . . . ^ОжДзжи(х),

где — оператор дробного интегро-дифференцирования Римана — Лиувилля [2]:

у

Шуд(у) = г(—7) у |у — ¿|7+1 Я, 7 < 0;

9(у) = g(y), т = 0;

Шу0(у) = sigпn(y — а)—Д^пд(у), п — 1 <7 < п, п € N.

йп

Отметим, что производная Римана — Лиувилля, производная Капуто и секвенциальный оператор Миллера — Росса [3] выражаются в терминах оператора Джрбашяна — Нерсесяна, поэтому результаты, полученные для уравнений с операторами

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 16-01-00462-а).

Джрбашяна — Нерсесяна, справедливы и для уравнений с выше перечисленными операторами.

В работе [1] доказано, что задача Коши для уравнения (1) с переменными коэффициентами ак(х) имеет единственное непрерывное решение в интервале [0,/]. В работе [4] в явном виде выписано решение задачи Коши для уравнения (1). Для уравнения вида (1) порядка меньше 2 в работе [5] рассмотрена задача Штурма — Лиувилля с переменным потенциалом.

Уравнение (1) с переменными коэффициентами и с оператором дробного дифференцирования Миллера — Росса рассмотрено в книге [6, гл. 3.1]. В работе [7] для уравнения (1), в случае оператора Римана — Лиувилля, сформулирована и решена начальная задача, построено явное представление решения в терминах функции Райта. Там же получены необходимые и достаточные условия разрешимости начальной задачи. Уравнение (1) с операторами Капуто рассмотрено в работе [8], где для него решены задачи Дирихле и Неймана, найдены соответствующие функции Грина.

В данной работе исследована задача Дирихле для уравнения (1). В терминах функции Райта выписано явное представление решения, найдена функция Грина.

1. Постановка задачи

Регулярным решением уравнения (1) назовём функцию и(х) € Ь[0,1], такую, что }и(х) € АС[0,1], 0 < к < п — 1, и удовлетворяющую уравнению (1) в

интервале ]0,1[.

Задача. Найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

Иш в{1°'11'-'1к}и(х) = ик, 0 < к < п — 2, (2)

Иш Д{2°'7ь'"'7п-1}и(х) = Ь. (3)

х^0

х—> 1

2. Функция Грина

Рассмотрим функцию

С«„-1 + 1(х)

где

г(х,г) = са(х — г)н(х — г)--К 'с1п(1 — г), (4)

с (1)

С^(х) = СП (х, —ао,..., —ап-1,во,..., вп-1) =

оо

= у е (х, —аоЬ,..., —ап-1Ь,во,...,вп-1)<й, о

Б£(х, —ао,..., —ап-1, во,... ,вп-1) = (ко * к2 * ■ ■ ■ * К-1)(х),

п- 1

кг = Нг(х) = х^-1ф(вг, Ц, — агхв), вг = ® — ®г, Ц = ^ Цг > 0,

3=0

х

(' * ф)(х) = / '(х — г)ф(г)& — свёртка Лапласа функций '(х) и ф(х), о

ф(^ п = ^ п!г(^п + п) — функция Райта [^],

п=0 п!г(Сп + п)

И(х — *) = | , х * — функция Хевисайда. I 0, х < ^

Для функции См(х) имеют место следующие соотношения [7]:

С^(х) = 0(хм_1) при х ^ 0,

= СП"^(х), если ^ > V,

т

См(х) — £ агД"в С^(х)

г=1

х

гМ"

(5)

(6) (7)

В частности, из (7) следует формула

£

к=0

х

Г(^ — а)

^ > а — 7п + 1.

(8)

Лемма 1. Функция 0(х,*) = 1Г(х,^) обладает следующими свойствами: 1) 0(х,*) удовлетворяет соотношению

г=1

0 (х,*)

п

{74,74+Ъ--->71} / у агДи

4=ж-0 ^=1

а^™1"'"71 }0 (х,*)

1;

4=ж+0

2) 0(х,*) как функция переменной * является решением задачи

п

= £ акд{7й'7й-1'-'70}0(х, *) = 0, к = 0,1,..., п,

к=0

Иш Д{7"}0 (х,*) = 0,

О

Ит £ д{7т'7т-1"-7й+1}0(х,*) = 0, к = 0,..., п — 2.

(9) (10) (11)

т=к+1

Доказательство. Действительно,

£ а^

{74>74+1>-->71}

0 (х,*)

г=1

4=ж-О

£

г=1

С

(х — х) —

С«п-1"«0+1(х)

дЬ^+ь-"1 }С7" (1 — х)

£

{7г>7г + 1>--->71}

0 (х,*)

г=1

= — а

4=ж+0 ^=1

с1 (1)

С (х) д^Ь-т^п (1 — х).

С1(1)

Из формулы (5) следует, что слагаемое "4+1(х — *)|4=а

С учётом равенства (4) функция 0(х,*) имеет вид

1, г = п, 0, г = п.

0(х,*) = Са"70+1(х — *)И(х — *)--( ) С7п (1 — *) = С1 — С2. (12)

С (1)

Подставим 01 в сопряжённое уравнение (9) и, используя свойство дифференцирования (6), получим

п

Ь*Сг = Н(х — 1)^2 акп{47к™-1'~™} О01-^1 (х — г)

к=о

а п

Н(х — г)П7°-1 акО^+^+^+^+Чх — г)

к=о

п

н (х — г)п7°-1 -^{47п'7п-1'-'71} ак п^71}с2а-7°+1 (х — г). (13)

к=о

Воспользовавшись формулой (8), из (13) приходим к равенству

1*01 = н (х — г)п7°-1 ^п^-1'^1} г(х — = 0.

аг !(а — 70 + 1)

Остаётся показать, что Ь*02 = 0. Рассуждая аналогичным образом, получим

пп

Ь*02 = ^ акп\1к—°}07" (1—г) = пЬ--1'-'7°} ^ ак(1—г)

к=о к=о

п{7п'7п-1'...'7°} ^ акп17°'71'-'7^}0а+7" (1 — г) = п{7"'7п-1'-'7°}г)

к=о

— г)7--1 ГЫ

= п7°-1... п7--1-^п7?-1 (1 — г)7" 1 = 0.

14 "' 14 аг 11 ГЫ

Справедливость условия (10) следует из представления (12) и свойства (6).

Покажем справедливость условия (11). Нетрудно заметить, что в силу свойств

(5), (6) и (8)

Иш ^ п1{7т'7т-1"-7к+1}01 = 0.

т=к+1

Так как функции 0м(х) определена для ^ > 0, в силу равенства (6), вместо оператора П1{47т'7т-1"'"7к+1} подействуем на О7"(1 — г) оператором п^7п'7п-ь""7к+1}, т. е.

пп

^ ак п^'7™-1'-7^1^7" (1 — г) = п^7"'7"-1'-'7^ ^ ак С1" (1 — г) =

т=к+1 т=к+1

= п^"-1,-^^ ^ ак0а--т+7" (1 — г).

т=к+1

Нетрудно заметить, что согласно равенству (8) последнее выражение примет вид П?4к+1-1... -^П"-1 (1 —г)7" 1 —акСак +1 (1 г) = — акСак-а™+7"+1(1—г).

Отсюда, переходя к пределу, с учётом соотношения (5) получаем справедливость условия (11). □

Функцию Г(х,г), удовлетворяющую условиям 1), 2), назовём функцией Грина задачи (1)-(3).

3. Основные результаты

Докажем теперь основной результат данной работы. Теорема. 1. Пусть функция /(х) представима в виде

/(х) = Д0Г1д(х), д(х) € Ь[0,1], (14)

и выполнены условия 70 + 7п > 1 и С1 (1) = 0. Тогда в области ]0,1[ существует, единственное регулярное решение задачи (1)-(3). Решение имеет вид

1 о

„ п—2 п

«(х) = у /(*)Г(х,*Э — £ «к £ [даг—ай—1г(х,*)]4=0 + Ь [Д7П—1Г(х,*)]4=1. (15)

0 к=0 т=к+1

2. Решение задачи (1)-(3) единственно тогда и только тогда, когда выполняется условие С1(1) = 0.

Для доказательства теоремы рассмотрим следующую вспомогательную лемму.

Лемма 2. Справедливо соотношение

lim DiY°'7l'-'7j} £ amG—^+V) Л J, j = £ j, k = 0,1,...,n - 2.

Доказательство. 1. Пусть k = j. В силу формул (5), (6), (8) имеем

n n

lim D0{Y0'7l"'"} V amGa-a™+a+1(x) = lim V amGa-ö™+1(x) = 1.

m=j+1 m=j+1

2. Если k < j, принимая во внимание равенство (8), имеем _ _

V amGa-am+afc+1(x) = --— - V amGa-am+ak+1(x). (16)

nli r(afc + 1) n

m=fc+1 m=0

Оператор Д020'7Ь-'Ъ} перепишем в виде D^+1>Y1--Yk}dXD0Y0'71'-'7fc}. Подействовав на (16) оператором d0Yo'7i'"''7j} и переходя к пределу, получаем

n fc

lim d03o'71 "•"7j} V amGa-am+afc+1(x) = - lim V amGa-a™-Yk+1---Y;+1 (x),

m=fc+1 m=0

d 7-^{Y0>Y1 } Xak r\ /г\

так как dxD0X r(x"fe+1) =0. В силу соотношения (5) и учитывая, что

а — ат — 7k+1 — ■ ■ ■ — Yj + 1 > 0, m = 0,1,..., k,

имеем

lim Ga-am-7fc+1 +1 (x) = 0. 3. Аналогично при k > j приходим к равенству

lim DÜZ0'71'...'7J} V amGa-am+afc+1(x) = lim V amGa-a™ +1(x) = 0,

m=fc+1 m=fc+1

так как а — am + ak — а7- > 0, для m = k + 1,..., n. □

3.1. Доказательство теоремы

Пусть и(х) — регулярное решение уравнения (1). Домножим обе части уравнения (1) на функцию б(х,г) = П0Х-1Г(х,г), предварительно поменяв переменную х на г, и проинтегрируем от 0 до 1 по переменной г:

п 1 1

5 ак у б(х,г)п0г71-'7к}и(г)аг = ^ б(х,г)/(г)аг.

к=о

Обозначим

пп

Вп = 5 Вк = 5 ак б (х,г)п к=о к=о

17°' 71-' 7к} 04

и(г)аг.

(17)

(18)

Равенство (18) можно записать в виде

1

п

Вп = 5 ак и(г)п147к'7к-1 '-7°}б (х,г)аг+ к=о

+П0.7°}и(х)

£а*п£i

{ 7i' 7i—1 '•••' 71}

б (х,г)

г=1

п- 1

5 аМ!i'71}б (х,г)

4=х-0 г=1

í=x+0J

(19)

^п07°'7к}и(г) ^ ат пХ7т'7т-1'-7к+1 }б(х,г)

к=0 т=к+1

Действительно, применяя формулу дробного интегрирования по частям [2], в (18 будем иметь

1 1

в0 = а0 J б (х, г)п7°-1и(г)аг = а0 J и(г)п7°-1б (х, г)аг,

оо

1

Вг = а1 [ б (х,г)п0Г71 }и(г)аг = а1 п71-1б (х,г)п7°-1и(г)|Х +

+а1 п71-1б (х,г)п7°-1и(г)Г + а Л и(г)п1771' 7°}б (х,г)аг,

В2 = а2 J б(х,г)п07°'71'72}и(г)аг = а2п72-1б(х,г)п07°'71}и(г)

о

+а2 п^72'71}б(х,г)п07°-1и(г)х + а2 п^72'71}б(х,г)п07°-1и(г)

о

х

+а2 у и(г)п172'71' 7°}б (х,г)аг.

о

Повторяя те же рассуждения, получим, что 1

Вк = [ б (х,г)п17°'-'7к}и(г)аг = п7к-1б (х,г)п0{47°'-'7к-1}и(г)

+

+

+

1

1

1

о

1

о

+ п{^к '7к-1}б (х, г)п0Г-'7к-2}и(г) + ■ ■ ■ + п^'-'^б (х, г)п07°-1и(г) +

оо 1

+ п£к '•••' 71}б (х,г)п07°-1и(г)1 + / и(г)п147к '•••' 7°}б (х,г)аг.

х

о

Подставляя выражения для Вк, к = 0,1,... , п, в (18), получим формулу (19) Из соотношения (17), учитывая равенство (19), в силу леммы 1 имеем

п2

п0х7°}и(х) — £ ик £

п

17ш.....7к+1}/

и

б (х,г)1 + ь[п17"}б (х,г)

к=0 т=к+1

4=0

4=1

/ (г)б (х,г)аг.

(20)

Подействовав оператором дробного дифференцирования п^-7° на обе части равенства (20), приходим к формуле (15).

Покажем, что функция и(х), определяемая формулой (15), является решением уравнения (1) и удовлетворяет условиям (2), (3). Для упрощения вычислений перепишем (15) в виде

п2

и(х)= / са(х — г)/(г)аг + ^ ик ^ атса-ат+ак+1(х)—

к=0 т=к+1

п 2 к

с (х) / с7" (1 — г)/(г)аг + с ^ и^ атО^-^^^

01(1)

01(1) +—_____1 ; Ь.

к=0 т=0

01(1)

Примем следующие обозначения:

п- 2 п

и/(х) = (0а * / )(х), и1(х) = 5 ик 5 ат0а-ат+ак+1(х), и2(х) = КСа"-1+1(х),

к=0 т=к+1

(21)

где ^

/1 п-2 к

О7" (1 — г)/(г)аг — 5 ик 5 атсак-ат+^+1(1) — ь

о

к

1

СО)

к=0 т=0

Тогда, учитывая обозначения (21), выражение Ьи(х) запишется в виде

Ьи(х) = Ьи/ (х) + Ьи1(х) — КЬи2(х).

Из равенств

Ьи/(х) = /(х), Ьи1(х) = 0 и Ьи2(х) = 0 (22)

будет следовать, что Ьи(х) = /(х). Покажем, что это действительно так. Из соотношения (21) с учётом представления (14), соотношений (5), (6) и формулы дробного

интегрирования по частям имеем, что

п х

Ьи/ = 5 акп0х7°'71 } / са(х — г)п07г-1#(г)аг =

к=о

а

т

1

х

1

£ ак / ,71-,7к}Са—7"+1(х — = £ аЛ Са"ак"^+1(х — (23)

к=0

к=0

Поменяв в правой части (23) знаки суммирования и интегрирования местами, с учётом формулы (8) получим

£ ак Са"ак" 7"+1 к=0

(х —

(х — *)

" 7п

= ^"^(хН /(х),

Г(1 — 7п)

что доказывает первое из соотношений (22).

Далее, преобразовав внутреннюю сумму в и1(х), учитывая равенства (6), (8) получаем

к

£ атС""^^1 (х) = £ атСа"ат+а*+1(х) — £ атСа"ат+а*+1

т=к+1 т=0 т=0

(х)

к

к

„ П«ш ла+аь + 1(х) \ Л а Са"ат+а^ + 1(х) = х__а С"""т+ак + 1 (х)

/ у атД0х С (х) — / у атС (х) = Г(а + 1) — / у атС (х).

т=0

т=0

т=0

Заметим, что

(24)

,=0

{ 70,71>--> 7^ }

х

ак

Д0х г/ , 1\ = / . а,Д0х

£ аД

{ 70, 7l,•••, Ц }_х

ак

Г(ак + 1) ^ ' 0х Г(ак + 1)

+ £ Д0х ,=к+1

ак

= £ а-

х

Лк"°Ч

{7k+l,7k+2,•••,7п}п{70,71,...,7к}_х

Г(ак + 1) ^ ^ Г(ак — а,- + 1)

.7=0

+ £ д.

. =к+1

{7к+ъ7к+2,•••,7п}1 = ^^ ^ х"к а3

0х ¿х = ^ 7 Г(ак — а, + 1)

(25)

£ а,Д™-™} £ атСа"ат+ак+1(х) = £ а^ а,С

кп

7=0

т=0

ат а74

т=0 ,=0

^а"ат+ак "«з + 1

(х)

£

х

ак "«т

т=0 'Г(ак — ат + 1)_

С учётом соотношений (24)-(26) получим

(26)

п-2 п

!«1(х) = £ а, Д{х70,-,Ъ'} £ ик £ атСа"ат+ак+1

(х)

,=0

к=0 т=к+1

п-2 п к=0 ,=0

{ 70 ,•••, Ц }

х

ак

Г(ак + 1)

^^ атС

а"ат+ак+1

(х)

т=0

п-1

£ «к к=0

£

,=0

ха к

£

х

ак -ат

Г(ак — а, + 1) т=0 Г(ак — ат + 1)

X

X

X

X

,

Аналогично, как и для u1(x), получим

n

Lu2(x) = K ^ « dOY0,...,Yj}G«n—1+1(x)

J=0

n

){ 7o,..., Yj }

K X] « D0x

J=0

«1 n—1

xan —1 _

/^ia — «m +«n—1+1

r(an—1 + l)

X «mGa—am+an—1+1(x)

m=0

K ак Г(а„_1 - afc + 1) K afc Г(а„_1 - am + 1)

Таким образом, все равенства (22) выполнены.

В силу равенств (5), (6) имеет место соотношение

x x

lim D¿Y0'7b-'7j} / Ga(x - t)f (t)dt = Xim í D™-""'}Ga_Yn+1(x - t)g(t)dt

= lim / Ga-a-7n+1 (x - t)g(t)dt = 0, (27)

x^ü J 0

так как a — aj — Yn > 0 и g(t) G L[0,1]. Учитывая формулы (5) и (6), будем иметь

lim DÜY0'71'""}Ga-1+1(x) = lim Ga-1-afc+1(x) = 0, (28)

так как an-1 — + 1 > 1 при всех k = 0,1,... , n — 2. Справедливость равенства (2) следует из леммы 2 и соотношений (27), (28). Справедливость условия (3) вытекает из представления решения (15) при помощи формул (6), (8).

Список литературы

1. Джрбашян, М. М. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка / М. М. Джрбашян, А. Б. Нерсесян // Изв. Акад. наук Армян. ССР. Математика. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 3-28.

2. Нахушев, А. М. Дробное исчисление и его применение / А. М. Нахушев. — М. : Физматлит, 2003. — 272 с.

3. Miller, K. S. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations / K. S. Miller, B. Ross. — New York : Wiley, 1993. — 384 p.

4. Богатырева, Ф. Т. Начальная задача для уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Ф. Т. Богатырева // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. — 2016. — № 4-1 (16). — С. 21-26.

5. Джрбашян, М. М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля / М. М. Джрбашян // Изв. Акад. наук Армян. ССР. — 1970. — № 2. — C. 71-96.

6. Podlubny, I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny. — San Diego, Boston : Academic Press, 1999. — 340 p.

7. Псху, А. В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / А. В. Псху // Мат. сб. — 2011. — Т. 202, № 4. — C. 111-122.

8. Гадзова, Л. Х. Задачи Дирихле и Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л. Х. Гадзова // Дифференц. уравнения. — 2015. — Т. 51, № 12. — C. 1580-1586.

x

9. Wright, E. M. On the coefficients of power series having exponential singularities / E. M. Wright // Journal of London Mathematical Society. — 1933. — Vol. 8, no. 1. — P. 71-79.

Поступила в 'редакцию 31.10.2017 После переработки 06.11.2017

Сведения об авторе

Богатырева Фатима Тахировна, младший научный сотрудник отдела дробного исчисления, Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН (ИПМА КБНЦ РАН), Нальчик, Россия; e-mail: fatima_bogatyreva@bk.ru.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 4. P. 401-411.

DIRIСHLET PROBLEM FOR FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH CONSTANT COEFFICIENTS

F.T. Bogatyreva

Institute of Applied Mathematics and Automation

of Kabardino-Balkarian Scientific Center of RAS, Nalchik, Russia

fatima_bogatyreva@bk.ru

The Dirichlet problem is investigated for the ordinary differential equation with the Dzrbashyan and Nersesyan fractional differentiation operators. The solution is found in explicit form in terms of the Wright function. The existence and uniqueness solution theorem is proved. The Green function of the considered problem is constructed.

Keywords: Dirichlet problem, ordinary differential equation, fractional differentiation, Dzhrbashyan and Neresyan operator, Green's function.

References

1. Dzhrbashyan M.M., Nersesyan A.B. Drobnye proizvodnye i zadacha Koshi dlya differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka [Fractional derivatives and the Cauchy problem for differential equations of fractional order]. Izvestiya Akademii Nauk Armyanskoy SSR. Matematika [News of Academy of Sciences of Armenian SSR. Mathematics], 1968, vol. 3, no. 1, pp. 3-28. (In Russ.).

2. Nakhushev A.M. Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye [Fractional calculus and its applications]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003. 272 p. (In Russ.).

3. Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. New York, Wiley, 1993. 384 p.

4. Bogatyreva F.T. Nachal'naya zadacha dlya uravneniya drobnogo poryadka s postoyannymi koeffitsientami [Initial value problem for fractional order equation with constant coefficients]. Vestnik KRAUNTs. Fiziko-matematicheskiye nauki [Bulletin of KRASEC. Physical and Mathematical Sciences], 2016, no. 4-1(16), pp. 21-26. (In Russ.).

5. Dzhrbashyan M.M. Krayevaya zadacha dlya differentsial'nogo operatora drobnogo poryadka tipa Shturma — Liuvillya [Boundary value problem for fractional order differential operator of Sturm — Liuville type]. Izvestiya Akademii nauk Armyanskoy SSR [News of Academy of Sciences of Armenian SSR], 1970, no. 2, pp. 71-96. (In Russ.).

6. Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego, Boston, Academic Press, 1999. 340 p.

7. Pskhu A.V. Initial-value problem for a linear ordinary differential equation of noninteger order. Sbornik: Mathematics, 2011, vol. 202, no. 4, pp. 571-582.

8. Gadzova L.Kh. Dirichlet and Neumann problems for a fractional ordinary differential equation with constant coefficients. Differential Equations, 2015, vol. 51, no. 12, pp. 15561562.

9. Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities. Journal of London Mathematical Society, 1933, vol. 8, no. 1, pp. 71-79.

Accepted article received 31.10.2017 Corrections received 06.11.2017