Краевая задача для линейной системы уравнений с частными производными дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 3. С. 295-311.

УДК 517.95

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

М. О. Мамчуев

Институт прикладной математики и автоматизации

Кабардино-Балкарского научного центра РАН (ИПМА КБНЦ РАН), Нальчик, Россия [email protected]

Исследована краевая задача в прямоугольной области для линейной системы уравнений с частными производными дробного порядка в смысле Римана — Лиувилля с постоянными коэффициентами. Доказана теорема существования и единственности решения исследуемой краевой задачи. Решение построено в явном виде в терминах функции Райта матричного аргумента.

Ключевые слова: система уравнений с частными производными, производные дробного порядка, краевая задача, фундаментальное 'решение, функция Райта матричного аргумента.

Введение

В области П = {(х,у) : 0 < х < а, 0 < у <Ь}, а, Ь < ж, рассмотрим систему дифференциальных уравнений

где — оператор дробного (в смысле Римана — Лиувилля) интегродифференци-рования п°рядка 7 [1, с. а,в е 1), /(х,у) = ||/1(х,у),/2(х,у),...,/„(х,у)|1 и и(х,у) = ||м1(х,у),м2(х,у),... ,ип(х,у)|| — соответственно заданный и искомый п-мерные векторы, А и В — заданные постоянные квадратные матрицы порядка п.

исследовалась разрешимость краевых задач в классе функций, непрерывных по Гёльдеру, в зависимости от начальных условий и(0,у) = ^1(у), и(х, 0) = Л,2(х) и правой части /(х,у). Выписано фундаментальное решение уравнения (2) в виде

Дохи(х,у) + АДоу и(х,у) = Ви(х,у) + / (х,у^

(1)

те

о

где

к=1

Г(г) — гамма-функция Эйлера. Используя равенство Г(1 — г)Г(г) вт(п2:) = п, функцию <ри(Ь) можно представить в виде = Ь—1ф(—а, 0; — Ь—а), где ф — функция Райта (см. далее). Из последнего равенства и равенства (3) следует, что

те

Фа,/3(х,у) = — ф(—а, 0; —тх-а)ф(—/3,0; —ту-13)йт. ху ] 0

В работе [3] исследован вопрос о гёльдеровой гладкости решения уравнения

^(и — ио) + с(х,у)иу(Ь,х) = /(х,у), х,у> 0,

удовлетворяющих краевым условиям и(0,у) = и0(у) и и(х, 0) = и1(х). В работах [4; 5] доказаны теоремы существования и единственности регулярного решения краевой задачи в прямоугольной области для уравнения

Б0ахи(х,у) + ЛБ^уи(х,у) + ци(х,у) = /(х,у), 0 <а,в< 1, А> 0, х,у > 0. (4)

При Л =1 фундаментальное решение имеет вид

те

1^(х,у) = — [ е—итф(—а, 0; —тх—а)ф(—в, 0; —ту-13)с1т, ху ] 0

а при ^

где

"а'в (г) ^ Г(^ + ак)Г(и — в к)

функция типа Райта [5]. При а = 1, ^ = 0, исследована краевая задача для уравнения (4) с отрицательным коэффициентом Л < 0.

В работах [6-8] исследовано уравнение (4) при а =1 с переменными коэффициентами Л = Л(х) и ^ = ^(х), причём Л(х) может иметь при х = 0 ноль порядка т > 0. Построено фудаментальное решение

х, у; I, 8) = еХр(Л(х) — А()) ф (—в, 0; — (М(х) — М(1))(у — 8)—в У — 8

х х

где Л(х) = J Л(£)^, М(х) = / доказаны теоремы существования и един-

00

ственности решений краевой задачи в прямоугольной области и задачи Коши.

В работе [9] исследована система (1) в случае, когда А - единичная матрица. Работы [10-13] посвящены случаю, когда п = 2, А = diag||Л, —Л||, Л > 0. Исследованы задача Коши, смешанные краевые задачи, задача в полуполосе, построены фундаментальное решение и матрицы Грина исследуемых задач.

1. Вспомогательные сведения

Оператор дробного интегродифференцирования в смысле Римана — Лиувилля

ау

а— 1 -<

У V У"

к

/ \ х а,0 I \ х

'ш(х,у) = — еа131 —Л—

им ' \ X 2

е

Б" порядка V определяется следующим образом [1, с. 9]:

у

°*у9(У)= Г(—у , V<0,

0

при V > 0 оператор можно определить с помощью рекурсивного соотношения

й

Е^ауМ = ^П(у - а) йу^а-1 ^у), V > 0.

Дробная производная Капуто д0уд(у) порядка V определяется формулой [1, с. 11]

д^уд(у) = ^пга(у - а)Да-гад(га)(у), п - 1 <v < п, п е N. Справедлива следующая формула, связывающая две эти производные:

д^) = ^у*(*) - £ |у - а|к"^, (5)

где п - 1 <v < п, п е N.

В 1930-х гг. английский математик Е. М. Райт ввёл в рассмотрение следующую целую функцию [14; 15]:

те к

к=о к!г(рк + ^

зависящую от двух параметров р и Легко видеть, что

ф(р^; г)к=0 = 1

Имеют место равенства [15]

й

й^р^г) = + р;г), (7) и при А > 0, р > -1, V е Е [4]

ум_1ф(р,^; - Аур) = ур-^-1ф(р,р - V; - Аур). (8)

Из равенств (7) и (8) следует, что

+ АД-уР) ум_1ф(р,^; -А^ур) = 0, р> -1, А > 0. (9)

Для функции Райта справедливы следующие оценки [5]:

|у->(-8,е; -ту-)|< Сту£+й0"1, т > 0, у > 0, (10)

где 8 е (0,1) и в > 0 при е = 0, -1, -2,..., и в > -1 при е = 0, -1, -2,...,

|ф(-8,е; -¿)| < Сехр (-аг , г > 0, (11)

где 8 е (0,1), е е Е, а < (1 - 8)85. Здесь и далее С — положительная постоянная. Известно [5, с. 86], что при 8 > а справедливы неравенства

ф(-а, 8; -х1) > ф(-а, 8; -х2), 0 < х1 < х2, (12)

0 < ф(—а, —х) <

ж > 0.

Г13)

В работе [16] получено соотношение

те

J Гф(—в,р; —= 0

В частности,

п!

Г(р + (п + 1)в)

п = 0,1,

'14)

ф(—в, р; — £

1

Г(р + в)' 0

2. Функция Райта матричного аргумента

1. Пусть А — квадратная матрица порядка п. В силу аналитичности функции ф(р, р; г) всюду в С ряд

Ак

р;А) = У] , ,—г

к!Г(Рк + Р)

р > —1, р е С,

сходится для любых А е Мп(С) и определяет функцию Райта матричного аргумента.

Пусть матрица А с помощью матрицы Н приводится к жордановой нормальной форме 3(Л), то есть

А = Н3 (Л)Н-1,

где 3(Л) = diag[J1(Л1),... , 3р(Лр)] — квазидиагональная матрица с клетками вида

3к = 3к (Лк) =

Лк 1 0. . . 0

0 Лк 1. . . 0

0 0 Лк . . . 0

0 0 0.

0 0 0 . . Лк

, к = 1,

Л1,... , Лр — собственные числа матрицы А, 3к(Лк) квадратные матрицы порядка

гк + 1, гк + р = п. Тогда функцию ф(р, р; Аг) можно представить в виде к= 1

ф(р,р; Аг) = Нф(р,р; 3(Л)г)Н 1,

ф(р,р; 3(Л)г) = diag[ф(р,р.; ^(Л^г),... ,ф(р,р; 3р(Лр)г)] Ф0,м(Лк г) Ф1,м(Лк г) ... фРкм(Лк г)

0 ф0 АЛк г) ... )

'15)

где

ф(р,р; 3к(Лк)г)

0 0

0 0

Ф0,д(Лк г)

1 5™ г™

фтУЛг) = тй™ р;Лг) = р + рт;Лг).

т! дЛ™ т!

1

2. Пользуясь представлением (15) и равенством (6), получим

ф(р^; Аг)|^=0 =

1

гЫ

16)

где I — единичная матрица порядка п.

3. Справедлива следующая формула дифференцирования:

г

-г^Р' Аг) = Аф(р> р + Аг).

Действительно, в силу равенства (7) получим

г г™ г™—1

-гф™м(Аг) = ^ + р + рт;Аг) + 7—тYгф(р, ^ + рт;Аг)

йг т! (т - 1)!

= Аф™+р(А,г) + +ДАг).

Откуда, в свою очередь, имеем

й

—ф(р^; 1(А)г) = 1 (А)ф(р,р + 1(А)г).

:17)

18)

Из (18), учитывая равенство

й

1 (А)г )Н—1 = (А)Я—1Яф(р,р + 1 (А)г )Н—1, получим (17).

4. Пусть А — положительно определённая матрица. Рассмотрим функцию

у"-1ф(-в, V; -Ату-в) = Яу^—1ф(-в, V; -1 (А)ту—в)Н—1.

Обозначив

у^-1 / т \ ™

= ®т(т, у) = —¡- Ф(-в^ - тв;-Ак ту-в), т = 0, ...,Гк,

т! \ ув у

получим выражение

у"-; -1к(Ак)ту-в)

Ш0

0 ш0

00 00

ш

-1

шо

к = 1,... ,р.

В силу (8) имеем

Д0у шт(т,у) =

у,-0-1ф(-в, V - 8 - вт; -Ату-в) = (т, у),

т!

аналогично равенству (17) получим равенство

Д0уу^-1ф(-в, V; -Ату-в) = у^-0-1ф(-в, V - 8; -Ату-в). 5. Из равенств (17) и (19) следует

(дт + А<) у'-1Ф(-в, V; -Ату-в) = 0.

19)

(20)

6. Пусть A ство

положительно определенная матрица, тогда справедливо равен-

оо

1

ф(—в, —Az)dz

о

Г(^ + в)

A

-1

Действительно, в силу (14) имеем

о

О ( —z)

m!

Из (22) получаем

ф(—в, ^ — вт; —Az)dz

1 (—1)m Г(и + в) Am+1

ф(—в, — z )dz

(21)

(22)

1

Г(^ + в)

"k — "k "k

0 J_ "k 1 "k

0 0 "k

0 0 0

0 0 0

(-i)rk

"k^ ,

(-1)rk-1 2

1

"k

1

Г(^ + в)

J-1.

(23)

Из (23), (15) и равенства J-1(A) = diag [^1-1(A1),..., J"1(Ap)] следует (21).

7. Пусть A(x,y) — матрица с элементами а^(x,y). Будем обозначать через |A(x, y)|* скалярную функцию, принимающую в каждой точке (x,y) наибольшее

из значений модулей элементов матрицы A(x,y), то есть |A(x,y)|* = max (x,y)|.

ij

Аналогично для вектора b(x, y) с компонентами bj(x, y) будем обозначать |b(x, y) |* =

max |bi(x,y)|.

i

Из оценки (10) следует, что

|wm (т,у)| <

^yv-/3m-V(—ftv — вт; —Ary-e) m!

<

y

где в1 > —m при v — вт = 0, —1, —2,..., в1 > —m — 1 при v — вт = 0, —1, —2, Таким образом,

|yv-V(—в, v; —Ary-e)|* < Ctt > 0, y > 0,

где в G (0,1) и в > 0 при v = 0, —1, — 2,... , и в > —1 при v = 0, —1, —2, 8. Из (11) и (15) следует оценка

|ф(—5,e; — Az)|* < Cexp (— az, z > 0, где 5 G (0,1), e G R, a < (1 — 5)5^.

(24)

1

1

1

3. Постановка задачи и формулировка результатов

3.1. Постановка задачи

Пусть A — положительно определённая матрица. Сформулируем краевую задачу для системы (1).

Задача 3.1. Найти решение u(x,y) системы (1), удовлетворяющее краевым условиям

lim Da-'u = p(y), 0 <y<b, (26)

limDl-lu = гф(х), 0 < x < a, (27)

где p(y), ф(х) — заданные n-мерные вектор-функции. Определим функцию

те

Фав(х, y) = i eBTх^-1ф(-а, к -rx-a)yv-^(-ß, v;-Ary-ß)dr. (28)

Из оценок (10) и (11) следует сходимость интеграла (28) при любых € К, и х2 + у2 — 0.

Лемма 1. Для всех € К справедливы равенства

^Фа; (х,у) = к:г (х,у), (29)

Ч (х,У) = Ф^~& (х,у). (30)

Справедливость леммы следует из формул (8), (19), (28). Лемма 2. Для всех х € [0,х°] справедлива оценка

I(х,у)|* - Сха+^-ав-1уи+вв-1, 0 € [01,02), (31)

где

( 0, -V € N0, ( 1, р = 0,

01 I -1, -V € 02 = \ 2, р = 0,

N° — {0,1, 2,... }, константа С зависит от х°.

Доказательство. Пусть у^^,... — собственные числа матрицы В, тогда имеет место оценка

|ехр(Вт)|, - Се1Т, 7 — шах{Ы}.

В силу (24) получим

те

|Фа;в(х,у)1 - Суи+вв-1 у т-ве1Тх^-1 ф(-а,р; -тх-а)с1т,

0

где в € [01 ,в2). Отсюда после замены переменной интегрирования получим

те

|Фа , в(х,у)|. - Сха+»-ав-1 у^-1 [ г-е^ф(-а,р; -г)ёг.

Интеграл в правой части представим в виде суммы

(¿0 те\

1+1) е-«-„.„-^

0 ¿о /

В силу ограниченности функции ф(—а,^; —г) на отрезке [0,г0] получаем, что

¿0

| Л(г)| < ¿0 ^ г^ = С^7^0. (32)

0

Используя оценку (11), имеем

те

|Л(г)| < Сг-<9 / ехр(7г^ — р0г£)^г,

¿0

где р0 < аа/(1 а)(1 — а), е = 1/(1 — а) > 1. Заметим, что — р0г£ < —г при г > г0 = + 1)/р0)(1-а)/а > 1, поэтому

|ЗД| < е-20. (33)

Из (32) и (33) следует оценка (31), где

С = С Ы = С^7^0 + е-"0. Лемма доказана. □

Лемма 3. Пусть АВ = ВА, тогда справедливо равенство

+ — В) Ф^(х, у) = ^^I. (34)

Доказательство. Пользуясь (9), (6), (16), (11), (25) и формулой интегрирования по частям, получим

(х,у)= / еВт^г^-1^—а,^; — тг-а)^-1 ф(—в, V — Ату-в)^т

те

г д 1 —г^-1ф(—а,^,; —тг-а) дт

- / еВт

у"-1ф(—в,^; —Ату-в

0

= —х^-1ф(—а, —тг-а)еВту^-1ф(—в, V; —Ату-в) £:о°° +

+ I г^-1ф(—а, — тх-а)^ [еБту^-1ф(—в, V; —Ату-в)] ^т =

тм-1у^-1 , г д

Г(^)У) I + ВФа,в(г,у) + у х^-1ф(—а,^; —тг-а)еВт—У-1ф(—в,^; —Ату-в)^т.

Дифференцируя по у, имеем

те

< (*,У) = ! еВтх»-1ф(-а,р; -тх-а)Вв0уу"-1ф(-в^;-Ату-в )<Ст. о

Из последних двух соотношений следует, что

(в& + А< - В) Ф^;(х,у) = I+

+ хм 1ф(-а,р; -тх а)

еВт+ лрВт Вв е дт +Ае В0у

Т(р)Т(и)

у"-1ф(-/3,и; -Ату-в )¿т.

При условии АВ = В А имеем АеВт = еВт А. Отсюда с учётом (20) получим (34). Лемма доказана. □

3.2. Основная теорема

Регулярным решением системы (1) в области П называется вектор-функция и(х,у), такая, что Вахи,Ввуи Е С(П), х1-а1 у1-в1 и(х,у) Е С(П) для некоторых а1 > 0 и в1 > 0, удовлетворяющая во всех точках (х,у) Е П системе (1). Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть АВ = В А, матрица А положительно определена, а, в Е (0,1), х1-а1 ф(х) Е С[0, а], у1-в1 <р(у) Е С[0,6], х1-а1 у1-в1 f (х,у) Е С(П), 0 < а1 < а, 0 < в1 < в, f (х,у) удовлетворяет условию Гёльдера по одной из переменных. Тогда существует единственное регулярное в области П решение задачи (1), (26), (27). Решение имеет вид

х у ух

и(х,у) = J С(х — Ь,у)Аф(Ь)с<Ь + У 0(х,у — 8)(р(з)<18 + J У С(х — Ь,у — s)f (Ь,в)сИс18, о 0 0 0

(35)

где с(х,у) = ф0:° (х,у). 4. Представление решений

Лемма 4. Любое регулярное в области П решение и(х,у) задачи (1), (26), (27) представимо в виде (35).

Доказательство. Пусть и(х,у) — решение задачи (1), (26), (27), матрица V(х,у) — решение уравнения

д0Х V(х, у) + двуV(х, у) А = V(х, у)В + I, (36)

удовлетворяющее условиям

V(0,у) = 0, V(х, 0) = 0, (37)

где I — тождественная матрица.

Из лемм 1 и 2 в силу (5) легко видеть, что V(х, у) = Ф^'в(х, у) является решением задачи (36), (37). Из (29) и (30) видно, что

Ку (х,у) = С(х,у). (38)

В силу формул интегрирования по частям, (26), (27) и (37) справедливы равенства

х у

у у V(г — ¿, у — з)Д04и(г, =

о о

х у у

за

ухЛ

д^(г — г, у — з)и(г, — V(г, у —

0 0 о

х у

у у V(г — ¿,у — ^АД^И^, =

о о

х у х

II д^ (г — у — 5)Аи(г, з)^ — у V (г — г, у)А^(г)^.

0 0 о

Складывая последние два равенства, с учётом (1) и (36), получим

х у х у

у у и(г, = у у V(г — г, у —

0 0 0 0

у х

+ У V (г, у — з)^(з)^ + у V (г — г,у)А^(г)^г. (39)

о о

Дифференцируя (39) по г и по у и учитывая (37) и (38), получим (35). Лемма доказана. □

5. Свойства фундаментального решения

Лемма 5. Пусть АВ = ВА, тогда выполняется равенство

(^ + А< — В) С(г,у) = 0. (40)

Справедливость леммы следует из леммы 3. Лемма 6. Имеют место следующие оценки:

№,у)|, < Сг-0(0-1)-1 /в-1, в е [—1, 2), (41)

|^0х-1С(г,у)|# < Сг-0У*-1, в е [—1,1), (42)

£ву-1С(г,у) < Сг-о(0-1)-1ув(0-1), в е [0,2), (43)

*

|Я0хС(г,у)|, < Сг-ов-У-1, в е [—1,1), (44)

С(г,у) < Сг-°(в-1)-У(в-1)-1, в е [0,2). (45)

0у

Справедливость леммы следует из лемм 1 и 2.

Лемма 7. Пусть векторы ф(х) = \[ф1(х),.../фп(х)\\ и (р(у) = \\'-р1(у),..., <£>п таковы, что х1-а1 ф(х) Е С[0, а] и у1-в1 р(у) е С[0, Ь], 0 < а1 < а, 0 < в1 < в. Тогда выполняются соотношения

x

-)«— 1

lim DnXW G(x - t, у)АфШг = 0, y> £> 0, (46)

x^O /

0

y

lim Do-1 G(x,y - s)tp(s)ds = 0, x > £ > 0, (47)

y^o

O

limD^1 G(x - t,y^(t)dt = ф(х), x > £ > 0, (48)

y^O 0 J 0

0

Hm DOi-1 J G(x,y - s)<p(s)ds = <p(y), y>£> 0, (49)

O

причём пределы (47) и (48) являются равномерными на любом замкнутом подмножестве интервала (0,a), а пределы (46) и (49) — на любом замкнутом подмножестве интервала (0,b).

Доказательство. Справедливость (46) и (47) следует из оценок (42), (43), |ф(x)|* < Cxai-1 и {ß(y)l* < Cyei-1. Рассмотрим далее интеграл

x / £ x^

Do-1J G(x - t, у)Лф(,t)dt = lj + j | De-1 G(t, у)АФ(x - t)dt. (50) 0 \0 £

Предел второго интеграла при y ^ 0, в силу оценки (43) при в > 1, и ограниченно-

x

сти интеграла f ф(x - t)dt равен нулю при x > £ > 0. Обозначим первый интеграл

£

h(x,y), тогда

h(x,y) = J D0yxG(t,y)A^(x - t) - +

o

Пользуясь тем, что

Dee--1G(t,y)dt

Oy

.0

Лф(x). (51)

£

J 1 ф(-а, 0; -rt~a)dt = ф(-а, 1; -т£-а), o

и изменяя порядок и переменную интегрирования, преобразуем интеграл

£ ОО

f Г еВт

dt —ф(-а, 0; -Tt~a)y~ßф(-р, 1 - ß; -Лту-в)AdT

0 0

D £

еВтy~ßф(-ß, 1 - ß; -Лту-в)AdT f 1 ф(-а, 0; -Tt-a)dt

x

£

еВтy-eф(—в, 1 - в; -Ату-в)Аф(—а, 1; —re-a)dr

= F(y,z)0(—в, 1 - в;—Az)Adz, (52)

где F(y,z) = еВувzф(—а, 1; —yeе az). Из (12) и (13) следует, что lim F(y, z) = I и

y^ü

А

|F(y, z)|* < exp(7y5z) для любого конечного y < y0. Поэтому интеграл (52) сходится равномерно по всем y G [0, y0]. Переходя в интеграле (52) к пределу при y ^ 0, с учётом формулы (21) при ^ =1 — ß, получим

те £

lim f eBTy-eф(—ß, 1 — ß; — Ary-e)Adr /" ф(—а, 0; —rt-a)dt =

= J ф(—в, 1 — в; —Az)Adz = I. (53)

ü

Функция ) непрерывна на [ж — е,ж], поэтому ш(е) = sup |^(x — t) — ^(x)| ^ 0 при е ^ 0. В силу произвольности выбора е и равенства (53) при y ^ 0 первое слагаемое в (51) стремится к нулю, а второе к ^(ж). Таким образом, lim Ii(x,y) = ^(x), а из

y^ü

этого соотношения вместе с (50) следует (48).

Аналогично доказывается соотношение (49). Лемма доказана. □

Лемма 8. Функция (35) есть решение уравнения (1), такое, что DüXu, DÜyU е C (Q).

Доказательство. Пусть vi(x) и v2(x) интегрируемы на [0, а] и v2(ж) имеет интегрируемую на [0, а] дробную производную порядка v, тогда

Дх / vi(x — tWt)dt = / vi(x — t)DViV2(i)di + vi(x) lim DVrWt). (54)

/ / x^ü

Из (44), (45) следует, что при фиксированном y > е > 0 справедливы оценки

А G

|DXG(x,y)|* <Mx-aö-i, |ДУG(x,y)|* <Mx-aö-i, в е [—1,1),

а при г > е > 0 — оценки

№С(г,у)|, < Мув'-1, |<С(г,у)|* < Мув0-1, в е [0, 2).

Из этих оценок, с учётом леммы 1 и соотношений (42), (43) и (54), видно, что первые два слагаемых (обозначим их сумму м0(г,у)) в правой части (35) есть решения однородной системы Д0хи0(г,у) + АДдум0(г,у) = Вм0(г,у), причём Д0хи0, ^дуи0 е С (П).

Обозначим через М/ (г, у) третье слагаемое в правой части (35). Будем считать для определённости, что функция /(г,у) удовлетворяет условию Гёльдера по переменной у, т. е.

|/(г, у) — /(г, в)|* < К|у — ^, 0 < д < 1, (55)

x

x

где K — положительное число. Тогда

x y

DvxUf (x, y) = dx I dt I Da 1 G(x - t,y - s)f (t, s)ds

0 0

y

~>a—1 /

lim Da-1G(x - t,y - s)f (t,s)ds+

x y x y

+ у В<ал0(х - г,у - s)[f (г^) - f (г,у)]^ + у ¿г J В<ал0(х - г,у - s)f (г,у)^. 0 0 0 0 Из соотношения (49) и того, что Ва-1С(х - г, у - s) = Ва-1С(г,у - s)| 4, следует, что первое слагаемое в правой части последнего выражения равно f (х,у). Учитывая оценку (42) и условие (55), получим оценку для подынтегральной функции во втором слагаемом:

1В<аМх - г,у - s)[f (г, s) - f (г,у)]1 < пмк(х - г)-ав-1(у - s)вв-1+q. (56)

Выбирая в Е [-1,0) при д > в и в Е (-д/в, 0) при д < в, легко видеть, что интеграл сходится равномерно по всем х и у для любого д Е (0,1). Преобразуя последнее слагаемое с учётом (40), получим

x y

T'xtG

D0xUf (x,y) = f (x,y)+ dt D"tG(x - t,y - s)[f (t,s) - f (t,y)]ds +

00

x y x

+B J dt J AG(x - t,y - s)f (t,y)ds - Л j D^1G(x - t,y)f (t,y)dt. (57) 0 0 0 Из (41), (43), (56) и (57) следует, что Daxuf е C(Ü).

x y—£

Рассмотрим функцию F£(x,y) = f dt f D^S-1 G(x - t,y - s)f (t,s)ds. Из оценки

00

(43) видно, что limF£(x,y) = D^y—lUf (x,y) е C(Ü). В силу (43) и оценки £—^0 0

|DeysG(x - t,y - s)[f (t,s) - f (t, y)] |* < nMK(x - t)~ad-1(y - s)ße-1+q

производная

x x

dyF£(x,y) = j D0,-1G(x - t,£)f(t,y - £)dt - j Dß^1G(x - t,£)f(t,y)dt+ 00

x y-£ x

+ I dt j DeysG(x - t,y - s)[f (t,s) - f (t,y)]ds + J Dß0^1G(x - t,y)f (t,y)dt 0 0 0

при £ ^ 0 непрерывна в Ü, поэтому lim -ßyF£(x,y) = -ßy lim F£(x,y) = Dq0Uf (x,y), т. е. — —

yx yy yx

D0y Uf (x,y) = J dt j d0 sG(x - t,y - s)[f (t,s) - f (t,y)]ds + j Dß0-lG(x - t,y)f (t,y)dt. 0 0 0

Из (40), (57) и (58) получим

+ А^0у) М/(Г у) = Вм/(г, у) + /(г, у).

Аналогично доказывается последнее равенство в предположении, что функция /(г, у) удовлетворяет условию Гёльдера по переменной г, при этом вместо (49) используется соотношение (48), а вместо (43) — оценка (42). Лемма доказана. □

6. Доказательство основной теоремы

Обозначим через м1(г,у) и м2(г,у) соответственно первое и второе слагаемые в правой части равенства (35). Пользуясь оценкой (41) и условиями теоремы на функции -0(г) и ^(у), получим оценки

г1-01 у1-в1 Ыг,у)|* < Сг0-00ув0-в1, в е [—1,1),

г1-01 у1-в1 Ыг,у)|* < Сг0-01-00ув0, в е (0, 2).

Выбирая в первом из двух последних неравенств в близким к 1, а во втором близким к 0, получим, что г1-01 у1-в1 (м1 + м2) е С(П). Используя тот факт, что |/(г,у)| < Сг01-1 ув1-1, и оценку (41), получим

|М/(г,у)|* < Сг0-00+01-1ув0+в1-1, в е (0,1). (59)

Из (59) следует включение г1-01 у1-в1 М/ е С(П) и оценки

где в G (0,1). На основании (60) получим

< (60

Ит 1м/(г,у) = 0, Ит ^оу 1м/(г,у) = 0.

Из (46)-(49) и последних двух соотношений следует выполнение краевых условий (26) и (27). Вышесказанное вместе с леммой 8 доказывает существование решения задачи (1), (26), (27) из указанного в условии теоремы класса. Единственность решения задачи следует из леммы 4. Теорема доказана.

*

Список литературы

1. Нахушев, А. М. Дробное исчисление и его применение / А. М. Нахушев. — М. : Физматлит, 2003. — 272 с.

2. Clement, Ph. Schauder estimates for equations with fractional derivatives / Ph. Clement, G. Gripenberg, S.-O. Londen // Transaction of the American Mathematical Society. — 2000. — Vol. 352, no. 5. — P. 2239-2260.

3. Clement, Ph. Holder regularity for a linear fractional evolution equation / Ph. Clement, G. Gripenberg, S.-O. Londen // Progr. Nonlinear Differential Equations and Their Applications. — 1999. — Vol. 35. — P. 62-82.

4. Псху, А. В. Решение краевой задачи для уравнения с частными производными дробного порядка / А. В. Псху // Дифференц. уравнения. — 2003. — Т. 39, № 8. — С. 1092-1099.

5. Псху, А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка / А. В. Псху. — М. : Наука, 2005. — 199 с.

6. Мамчуев, М. О. Краевая задача для уравнения первого порядка с частной производной дробного порядка с переменными коэффициентами / М. О. Мамчуев // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 32-35.

7. Мамчуев, М. О. Задача Коши в нелокальной постановке для уравнения первого порядка с частной производной дробного порядка с переменными коэффициентами / М. О. Мамчуев // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. — 2009. — Т. 11, № 2. — С. 21-24.

8. Мамчуев, М. О. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка / М. О. Мамчуев. — Нальчик : Изд-во КБНЦ РАН, 2013. — 200 с.

9. Мамчуев, М. О. Краевая задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка / М. О. Мамчуев // Дифференц. уравнения. — 2008. — Т. 44, № 12. — С. 1674-1686.

10. Мамчуев, М. О. Фундаментальное решение системы уравнений с частными производными дробного порядка / М. О. Мамчуев // Дифференц. уравнения. — 2010. — Т. 46, № 8. — С. 1113-1124.

11. Мамчуев, М. О. Задача Коши в нелокальной постановке для системы уравнений с частными производными дробного порядка / М. О. Мамчуев // Дифференц. уравнения. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 351.

12. Мамчуев, М. О. Смешанная задача для нагруженной системы уравнений с производными Римана — Лиувилля / М. О. Мамчуев // Мат. заметки. — 2015. — Т. 97, № 3. — С. 428-439.

13. Мамчуев, М. О. Смешанная задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка / М. О. Мамчуев // Дифференц. уравнения. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 132-137.

14. Wright, E. M. On the coefficients of power series having exponential singularities / E. M. Wright // Journal of London Mathematical Society. — 1933. — Vol. 8, no. 29. — P. 71-79.

15. Wright, E. M. The asymptotic expansion of the generalized Bessel function / E. M. Wright // Proceedings of London Mathematical Society. Ser. II. — 1934. — Vol. 38. — P. 257-270.

16. Gorenflo, R. Analytical properties and applications of the Wright function / R. Gorenflo, Yu. Luchko, F. Mainardi // Fractional Calculus and Applied Analysis, — 1999. — Vol. 2, no. 4. — P. 383-414.

Поступила в 'редакцию 04-10.201 7 После переработки 18.10.2017

Сведения об авторе

Мамчуев Мурат Османович, кандидат физико-математических наук, и. о. ведущего научного сотрудника отдела дробного исчисления, Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН (ИПМА КБНЦ РАН), Нальчик, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 3. P. 295-311.

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A LINEAR SYSTEM OF EQUATIONS WITH THE PARTIAL DERIVATIVES OF FRACTIONAL ORDER

M. O. Mamchuev

Institute of Applied Mathematics and Automation

of Kabardino-Balkar Scientific Center of RAS (IAMA KBSC RAS), Nalchik, Russia [email protected]

In the paper а boundary value problem for a linear system of partial differential equations with fractional derivatives in Riemann — Liouville sense with constant coefficients is studied in a rectangular domain. The existence and uniqueness theorem for the solution of the boundary value problem is proved. The solution is constructed in explicit form in terms of the Wright function of the matrix argument.

Keywords: system of partial differential equations, fractional derivative, boundary value problem, fundamental solution, Wright's function of the matrix argument.

References

1. Nakhushev A.M. Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye [Fractional calculus and its applications]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003. 272 p. (In Russ.).

2. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S.-O. Schauder estimates for equations with fractional derivatives. Transactions of the American Mathematical Society, 2000, vol. 352, no. 5, pp. 2239-2260.

3. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S.-O. Holder regularity for a linear fractional evolution equation. Progr. Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 1999, vol. 35, pp. 62-82.

4. Pskhu A.V. Solution of a boundary value problem for a fractional partial differential equation Differential Equation, 2003. vol. 39, no 8, pp. 1150-1158.

5. Pskhu A.V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka [Fractional partial differential equations]. Moscow, Nauka Publ., 2005. 199 p. (In Russ.).

6. Mamchuev M.O. Krayevaya zadacha dlya uravneniya pervogo poryadka s chastnoy proizvodnoy drobnogo poryadka s peremennymi koeffitsientami [A boundary value problem for a first-order equation with a partial derivative of a fractional order with variable coefficients]. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) mezhdunarodnoy akademii nauk [Reports of Circassian International Academy of Sciences], 2009, vol. 11, no. 1, pp. 32-35. (In Russ.).

7. Mamchuev M.O. Zadacha Koshi v nelokal'noy postanovke dlya uravneniya pervogo poryadka s chastnoy proizvodnoy drobnogo poryadka s peremennymi koeffitsientami [Cauchy problem in non-local statement for first order equation with partial derivatives of fractional order with variable coefficients]. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) mezhdunarodnoy akademii nauk [Reports of Circassian International Academy of Sciences], 2009, vol. 11, no. 2, pp. 21-24. (In Russ.).

8. Mamchuev M.O. Krayevye zadachi dlya uravneniy i sistem uravneniy s chastnymi proizvodnymi drobnogo poryadka [Boundary value problems for fractional partial differential equations and their systems]. Nalchik, Publishing house KBSC of RAS, 2013. 200 p. (In Russ.).

9. MaMMyeB, M.O. Boundary value problem for a system of fractional partial differential equations. Differential Equations, 2008, vol. 44, no. 12, pp. 1737-1749.

10. Mamchuev M.O. Fundamental solution of a system of fractional partial differential equations. Differential Equations, 2010, vol. 46, no. 8, pp. 1123-1134.

11. Mamchuev M.O. Cauchy problem in non-local statement for a system of fractional partial differential equations. Differential Equations, 2012. vol. 48, no. 3, pp. 354-361.

12. Mamchuev M.O. Mixed problem for loaded system of equations with Riemann — Liouville derivatives. Mathematical notes, 2015, vol. 97, no. 3, pp. 412-422.

13. Mamchuev M.O. Mixed problem for a system of fractional partial differential equations. Differential Equations, 2016, vol. 52, no. 1, pp. 133-138.

14. Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities. Journal of London Mathematical Society, 1933, vol. 8, no. 29, pp. 71-79.

15. Wright E.M. The asymptotic expansion of the generalized Bessel function. Proceedings of London Mathematical Society. Series II, 1934, vol. 38, pp. 257-270.

16. Gorenflo R., Luchko Yu., Mainardi F. Analytical properties and applications of the Wright function. Fractional Calculus and Applied Analysis, 1999, vol. 2, no. 4, pp. 383414.

Accepted article received 04.10.201 7 Corrections received 18.10.2017