Краевые задачи для обобщенного уравнения влагопереноса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 21-31. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-21-31

УДК 517.95

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА

С.Х. Геккиева1, М. А. Керефов2

1 Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А

2 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173

E-mail: [email protected], [email protected]

При математическом моделировании сплошных сред с памятью возникают уравнения, описывающие новый тип волнового движения, занимающего промежуточное положение между обычной диффузией и классическими волнами. Имеются в виду дифференциальные уравнения дробного порядка, которые являются основой большинства математических моделей, описывающих широкий класс физических и химических процессов в средах с фрактальной геометрией. В работе представлено качественно новое уравнение влагопереноса, которое является обобщением уравнения Аллера - Лыкова. Рассмотрена первая краевая задача для уравнения Аллера - Лыкова с дробной производной Римана - Лиувилля. Для доказательства единственности решения методом энергетических неравенств получена априорная оценка в терминах дробной производной Римана -Лиувилля. Существование решения задачи доказано методом Фурье.

Ключевые слова: уравнение влагопереноса Аллера - Лыкова, дробная производная Римана - Лиувилля, метод Фурье, априорная оценка.

(с) Геккиева С.Х., Керефов М.А., 2018

Введение

Настоящая работа посвящена исследованию обобщенного уравнения влагопереноса Аллера - Лыкова

ci Dgw + D«t-1," = "xx + C2DT1 u"xx + f (x, t), (1)

где - оператор дробного интегро-дифференцирования Римана - Лиувилля [1, с. 9], 1 < а < 2, c1, c2 = const > 0.

Такого рода уравнения в локальной постановке (а = 2) рассматривались в работах многих авторов (например, [2, 3]). Отметим работу [4], в которой исследовано уравнение влагопереноса Аллера - Лыкова с дробной производной. Для уравнения (1) рассмотрим первую краевую задачу.

Задача 1. Найти решение u(x, t) уравнения (1) в области QT = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < t < T}, удовлетворяющее краевым условиям

u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t < T, (2)

и начальным условиям

lim Я«-2u(x, t) = T(x), lim D«-1 u(x, t) = v (x), 0 < x < l, (3)

где t(x), v(x) - заданные функции.

Единственность решения задачи

Пусть существует решение исследуемой задачи. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть f (х,г) е С (2Г), V(х) е С[0,1], т(х) е С2[0,1] всюду на 2Г и выполнено условие т(0) = т(1) = 0, тогда для решения задачи (1)-(3) справедлива априорная оценка

оГЧ12 + К-1"*||*а + К-1"И2,а < M(t)(IIf 112^ + KWlß + ||v(x)||2) . (4)

Доказательство. Аналогично [5], введем новую неизвестную функцию у(х,г), полагая

г а-2

и(х ?) = ?) + Г(а _ 1)т (х)

так, что у(х,г) представляет собой отклонение функции м(х,г) от известной функции Г(а_1)т (х).

Известно [6, с. 15], что для степенных функций справедливы формулы дробного интегрирования и дифференцирования: В^?а_2 = 0, -О^-1?а_2 = 0. Поэтому получим

С1V + 1 у _ ухх _ С2В0Г1 ухх = = Дх,0 _ (с,Во«+ -Г _ ^ _ С2°„Г1 т(х)) =

t а-2

= f (x>') + Г(0-2Г)T"(x)

Итак, функция у(х,?) будет определяться, как решение уравнения

С^у + Я«-1у- ухх- = ^(х,I), 0 < X < I, 0 < I < Т, (5)

удовлетворяющее начальным условиям

limD0«r2v(x, t) = т(x) - rg^lim D0«-2t«-2 ла-1v/v _ v(x\__т(x) iim n«-1 ta-2 —

(6)

limt) = v(x) - lim«-2 = v(x) и граничным условиям

v(0, t)= v(i, t)= 0, 0 < t < T, (7)

a—2

где F (x, t) = f (x, t) + f{a-Tyт"(x).

Умножив уравнение (5) скалярно на получим априорную оценку в терминах

дробной производной Римана - Лиувилля:

(ciDtv,D0at-1v) + (Dor 1v,D£-1v) - (vxx,Dor 1v) - 1 Vxx,D0«-1v) = (F,D0«-1v), (8)

i 2 где (u,v) = /uvdx, (u,u) = ||и||о. 0

Преобразуем слагаемые тождества (8) с учетом (6), (7):

i 2 t t n«vn«-iv) = í 1 di í v(xт)dт 1 ^ /líxiTl^i^r= D0t Vj = У Г(2 - a) W (t - т) «-1 Г(2 - a) dt J (t - т) dx =

i

= 1 í д (Da-1V)2dx = 1 ^ ||Da-1VH2

= 2 У дt^0t ^ dx = 2 дtl|D0t У|0,

0

Da-1y Da-M - llDa-1уН2 D0t y D0t V — IlD0t y||0 '

l t

y- —-by M t) dtdx—

xx^0t V -Г(2 - а) J "xx^ >dtj (t - T) a—1

00

l t r(2^—aö/yx (xt) dt/ f-^dx,

i t t

'ot yxx, Dot _

D«—Dtm - I ^ í fXX(X, ^ ^ . lí dx:

Г(2 - a) dtj (t - t) a—1 Г(2 - a) dtj (t - t) a—1

- - КгЧЦ2,

(F,D0at-1y) < ¿ ||F||0 + e ||D«-1v|0 • 23

С учетом полученных неравенств из (8) получим

i

Cl д ||n«-lv||2 + HD«-1vH2 + 1 ¡v (xt) д í Vx(x'T T + ro HD«-1v ||2<

ydt||D° v||° + ||D° v||0 + гг2-0о/vx(x'0dti (t-т)«-1+C2||D° Vx||°-

< ¿ IIF||2 + с ||D«-1vn0. (9)

Проинтегрируем (9) по т от 0 до t:

t t i т

К-Ч|2 + /K-1v(x т )||°d т + / Л / „(*, т) dT /

+C2 / |K"4(x,dT < 4L ||F+ ef |Dg-1v(x,T)||0dT + ^ K-1v(x,0)||2

Усилив последнее неравенство, учитывая неотрицательность интеграла, стоящего в левой части этого неравенства [1, с. 43], получим

С1 К-Н|2 + 2С2 К-Ч||2>а + 2С1 К-Ч|2>а - ¿ II f Il2,& + C1 llv(x)|l2,

где

t

•>a-1„||2 _ / Упa-^ ^А||2лт ^ _ 1_ £

D5-1v|2q = K^^ t )|2 dT, ei =

Откуда следует оценка

ID;-1v|L2 + IIDT4IlL + М-М|2,а <M(t)(||F||2,ßi + ||v(*)||2

0t 4lo + 11 0t Kx||2,Qt + 11 0t

или, возвращаясь к м(х,?), получим (4), откуда следует единственность решения задачи (1)-(3). □

Существование решения задачи

Пусть в уравнении (1) f(х,г) = 0. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть т(х) е С3[0,1], V(х) е С2[0,1] и выполнены условия согласования

т (0) = т (1) = т" (0) = т" (1) = 0, V (0) = V (1) = 0.

Тогда функция, определяемая рядом

ф,t) = £ ( (vk + aTk),« 1 £ Ю( s) r(n + s( а - 1) + а) +

+Tkt а 2Г( а - 1) £ VI.,---— sin VAx, (10)

k n=o s=oV s) Г (n + s( a - 1) + a- 1) ' ' v 7

t

t

i i ,9

где Tk = f / т(x) sin (f) xdx, vk = f / v(x) sin (f) xdx, a = , b = A, A = Ak = (f)2, 0 0 11 k = 1,2,..., 1 < a < 2, представляет непрерывную функцию при t > 0, дифференцируемую

нужное число раз и являющуюся решением уравнения

ciDtu + D«-1u = Uxx + C2D«-1uxx, 0 < x < i, 0 < t < T, (11)

которая удовлетворяет условиям (2), (3).

Доказательство. Для решения задачи применим метод Фурье, т. е. найдем в области Qt класс нетривиальных решений уравнения (11), удовлетворяющих граничным условиям (2) и представимых в виде

u(x, t )= X (x)T (t). (12)

Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (11), получим:

X" + A X = 0, X (0) = 0, X (i ) = 0, (13)

D&T + + bT = 0, (14)

где a = , b = f, A = const.

cl С1

Как известно, решение спектральной задачи (13) имеет вид

Xk (x) = sin(y*) , A = = (y) 2, k = 1, 2,.... (15)

Из (14) получим [6, с. 15]:

t

b

Tk (t ) + | Tk (t)

0

a +

Г( a)(t - t )1- a_

d t - f (t), (16)

где f (t) = Г-) (vk + arO + rg-TJTk, limDa 2Tk(t) = Tk, limD« 1Tk(t) = vk.

Применим к (16) теорию интегральных уравнений Вольтерра. Вводя обозначение

Ki(t,т) = ( a + ^^, 0 < т < t < T, 0, t < т < T,

и определяя далее последовательность ядер {Kn(t,тпосредством рекуррентных соотношений

t

чг—

т

последовательно находим

kn(t, t ~) — j kn-1 (t, t1) k (t1, t) dt1,

2, ч .ab(t - T)a b2(t - t)2 a-1

K2(t,T) - a2(t - T) + 2 arfen) + (r(2«) ,

^ ^2 , Ak2(t - T)a+^„,2^k(t - T)2 a , . (t - T)3 a-1

K3 (t, T) - a3(t - T)2 + 3a2b^-+ 3ab2-^-+ b3

Г( a + 2) Г(2 a + 1) Г(3 a)

и т. д.

Легко видеть, что

Kn+1(t, тs=0

0, t < т < T,

"+Y n + М a»+i-sbs (t-т)n+s(a-1) ^ т < t < T ¿Д s )а b r(n+1+s(а-1)), 0 < Т < t < T

где I П + 1 | = ^ !(П+~1_ 1) ! . Отсюда для резольвенты уравнения (16) имеем формулу

R(t, т, А ) = £(-1)nK„+1(t, т ) =

n=0

? ( 1)"ИК1 ( п + 1 ) д"+1_'У (г_т)и+1(а-1) 0< т < г < Т

и=0 (_1) М 1 / Ь Г(п+1+1(а_1)), 0 < т < г < Т ,

0, г < т <Т.

Таким образом, интегральное уравнение (16) имеет единственное решение, представимое в виде:

T(t)= f (t) -jR(t, т, А)f (t)dт =

= (Vk + атк)

t а-1 , 1ЛИ+1 n+V n + M an+1-sbstn+s(а-1)+а

+ у (_ 1)n+1 у Г( а) n=0( ) stcV s у Г(n + s(а - 1) + а+ 1)

+

+тк

tа-2 , ^ , +1П+V n + 1 an+1-sbstn+s( а-1)+а-1

+ У(-1)И+1У

Г( а _ 1) п=0 1=0 V 1 / Г (п +1(а _ 1) + а)

Возвращаясь к задаче (11), (2), (3), заключаем, что функции

Мк (х, г) = X (х)Т (г) =

/ n 1 an-sbstn+s( а-1)

(vk + атк)^-1 Е £ (-1)ч^ пп+ьь+г

~ » / n \ an-sbstn+s(а-1) \ . / nk

' а2 Е £(-1) U) Г (n + s( а - 1) + а- 1) s,4Г

те n

являются частными решениями уравнения (11), удовлетворяющими граничным условиям (2), что проверяется непосредственной подстановкой.

Обратимся теперь к решению задачи (11), (2), (3) в общем случае. Составим ряд

М(х, г) = £ Мк (х, г) = £х*(х)Т*(г). (17)

к=1

Функция м(х, г) удовлетворяет граничным условиям, так как им удовлетворяют все члены ряда (17). Требуя выполнения начальных условий (3), получаем:

•> а_Л _ 1;™ ^ V. (лл — V V. /^м;™ п а_2^

limD0T2u(x, t) = lim £ Tk (t)Xk (x) = £ X (x) limD«-2Tk (t) =

t 0 t 0 t 0 k=1 k=1

£ Xk <x)Tk = £Tk fx) = г (x),

k=1 k=1

п k

limD«-1u(x, t) = £ Xk(x) limD^T^i) = £ (x)v* = £ Vk sin —;

t^0 k=i t^0 k=i k=i V 1

Таким образом, в силу (15) получена разложимость начальных функций в следующие ряды Фурье по синусам:

х /nk \ х /п k \

т (x) = £ Tk sin ^ —xj , v (x) = £ Vk sin —xj . (18)

Условие (18) является необходимым условием разрешимости задачи (11), (2), (3) в классе функций, представимых в виде ряда (17). Представления (18) имеют место тогда и только тогда, когда

т (0) = т (i), v (0) = v (i), i i Tk = 2 j т(x) sin ( ^kx j dx, vk = у J v (x) sin ( ^k j xdx. 00 Как известно из теории рядов Фурье [7, с. 696], если функция т(x) имеет непрерывные производные до третьего порядка и удовлетворяет условиям т(0) = т(i) = т"(0) = т"(1) = 0, а v(x) имеет непрерывные производные до второго порядка и v(0) = v(1) = 0, то представленная формулой (17) функция u(x,t) будет обладать необходимыми производными, которые могут быть вычислены дифференцированием почленно в правой части (17).

Для обоснования метода Фурье нам понадобится лемма об асимптотических

х k

свойствах функции типа Миттаг-Леффлера Ep(z; Д) = £ —(—z _п [8, с. 136].

k=0 Г(Д+kp )

Лемма 1. Пусть p > у, д - вещественная постоянная и а1 - фиксированное число из интервала ^ур, min jп, ppj^. Тогда справедливы следующие оценки:

1. Если | argz| < а1 и |z| > 0, то

|Ep (z; д )|< M1 (1 + |z|)p (1-Д) eRezP + ^h.

1 + |z|

2. Если а < | argz| < п и |z| > 0, то

Г М ^ М2

\ер(г;м)\ < тти,

где Мт и М2 - постоянные, не зависящие от г. Продолжим обоснование Метода Фурье.

Покажем, что ряд (17) и ряды производных -О^и, О^-1", ихх, —а-1"**, которые получаются из него, будут равномерно сходиться.

Для доказательства равномерной сходимости ряда (17) будем использовать известные оценки коэффициентов Фурье [7, с. 647] и свойства гамма-функции. Получим следующее соотношение:

|uk | <

a1 ^ ^ / / n \ an-sbstn+s(a-1)

х n

(vk + ^k) t а-1 £ £ (-1)„

n=0 s=0

s J Г(„ + s( а - 1) + а)

+

+

w а-2у £(-1)'

n=0 s=0

^n-sbstn+s( а-1)

s J Г(п + s( а - 1) + а- 1)

<

<, а-1M3 "t k2

те (1 + a-1bt а-1)n

у (-at)" У + ' j ,

n=0 Г (n + S0(а - 1) + а)

+1 а-1M +t k2

те И + a-1btn

У (-at)" у + ' j ,

n=0 Г (n + S0( а - 1) + а)

+

+t а-2 M +t k2

(1 + a-1bt а-1)'

n=0( at) Г (n + s 1 ( а - 1) + а- 1)

= t

1

Мб k2

те [- (at + btа)]n n=0 Г (n + s0(а - 1) + а)

+ t а-2 M +t k2

те [- (at + bt а)]n ¿0 Г (n + s1( а - 1) + а- 1)

= tа-1 § IE [- (at + bt а);s0 а + а] | +1а-2M |E [- (at + bt а);s1 (а - 1) + а - 1] |,

к2

где фиксированные 10, 11 е N такие, что

1

Г (n + s0 (а - 1) + а) s=0^ \ Г (n + s( а - 1) + а) /'

Г (n + s1( а - 1) + а - 1) Sgl Г (n + s( а - 1) + а - 1)

Рассмотрим ряд

У (tа-1 МбE1 [- (at + bt а); а] +1 а-2М5E [- (at + bt а); а - 1] ).

k=1

Используя вторую оценку из леммы 1, получим

M6M2tа-1 M5M2t

|Uk | < г, . ,-"^Т^ +

2

(19)

к2 [1 + |аг + Ьг а |] к2 [1 + |аг + Ьг а |]'

откуда следует равномерная сходимость ряда (15).

Из сходимости мажорантного ряда, имеющего порядок , следует и равномерная сходимость ряда (19), а значит и ряда (17) при г > г0 > 0, где г0 - любое число. Равномерная сходимость рядов

D«u(x, t) - У Dt Uk, Dt u(x, t) - У Dt Uk, k=1 k=1

те 2 те

(x, t) - у ddX2k, D Oj-1Uxx(x, t) - уя?"1^

k=1

k=1

доказывается аналогично, и отсюда следует возможность почленного дифференцирования ряда (17) и применения обобщенного принципа суперпозиции, т. е. функция м(х,г), определяемая рядом (17), а значит и (10), удовлетворяет уравнению (11). Теорема доказана. □

n

1

1

1

и

Заключение

Полученные результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач для обобщенного уравнения влагопереноса, а также послужат основой для развития теории краевых задач для дифференциальных уравнений, лежащих в основе математического моделирования физических и природных систем с фрактальной структурой.

В работе рассмотрены вопросы однозначной разрешимости краевой задачи для уравнения Аллера - Лыкова с дробной производной Римана - Лиувилля. В развитие рассматриваемой тематики актуальными остаются вопросы построения разностных схем для обобщенного уравнения влагопереноса Аллера - Лыкова, рассмотрение задач с нелокальными граничными условиями, а также проведение численных расчетов

Список литературы

[1] Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nahushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]

[2] Архестова С. М., Шхануков-Лафишев М. Х., "Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера - Лыкова с нелокальным условием", Известия КБНЦ РАН, 2012, №3, 7-16. [Arhestova S. M., Shhanukov-Lafishev M. H., "Raznostnye shemy dlja urav-nenija vlagoperenosa Allera - Lykova s nelokal'nym usloviem", Izvestija KBNC RAN, 2012, №3, 7-16].

[3] Лафишева М. М., Керефов М. А., Дышекова Р. В., "Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера - Лыкова с нелокальным условием", Владикавказский математический журнал, 19:1 (2017), 50-58. [Lafisheva M. M., Kerefov M. A., Dyshekova R. V., "Raznostnye shemy dlja uravnenija vlagoperenosa Allera - Lykova s nelokal'nym usloviem", Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal, 19:1 (2017), 50-58].

[4] Геккиева С. Х., "Первая краевая задач для уравнения влагопереноса Аллера - Лыкова с дробной по времени производной", Устойчивое развитие: проблемы, концепции, модели, Материалы Всероссийской конференции с международным участием, 2017, 99-102. [Gekkieva S. H., "Pervaja kraevaja zadach dlja uravnenija vlagoperenosa Allera -Lykova s drobnoj po vremeni proizvodnoj", Ustojchivoe razvitie: problemy, koncepcii, modeli, Materialy Vserossijskoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem, 2017, 99-102].

[5] Керефов М. А., Геккиева С. Х., "Первая краевая задача для неоднородного нелокального волнового уравнения", Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика, 2016, №4, 76-86. [Kerefov M. A., Gekkieva S. H., "Pervaja kraevaja zadacha dlja neodnorodnogo nelokal'nogo volnovogo uravnenija", Vestnik Bur-jatskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika, informatika, 2016, №4, 76-86].

[6] Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с. [Pshu A. V., Uravnenija v chastnyh proizvodnyh drobnogo porjadka, Nauka, M., 2005, 199 pp.]

[7] Смирнов В. И., Курс высшей математики. Т. 2, БХВ-Петербург, СПб., 2008, 848 с. [Smirnov V. I., Kurs vysshej matematiki. V. 2, BHV-Peterburg, SPb., 2008, 848 pp.]

[8] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, Наука, М., 1966, 672 с. [Dzhrbashjan M. M., Integral'nye preo-brazovanija i predstavlenija funkcij v kompleksnoj oblasti, Nauka, M., 1966, 672 pp.]

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М. Физматлит. 2003. 272 с.

[2] Архестова С. М., Шхануков-Лафишев М. Х. Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера - Лыкова с нелокальным условием // Известия КБНЦ РАН. 2012. №3. С. 7-16.

[3] Лафишева М. М., Керефов М. А., Дышекова Р. В. Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера - Лыкова с нелокальным условием // Владикавказский математический журнал. 2017. Т. 19. №1. С. 50-58.

[4] Геккиева С. Х. Первая краевая задач для уравнения влагопереноса Аллера - Лыкова с дробной по времени производной // Материалы Всероссийской конференции с международным участием. Устойчивое развитие: проблемы, концепции, модели. 2017. С. 99-102.

[5] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

[6] Керефов М. А., Геккиева С. Х. Первая краевая задача для неоднородного нелокального волнового уравнения // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. 2016. №4. С. 76-86

[7] Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. СПб.: БХВ-Петербург, 2008. 848 с.

[8] Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

Для цитирования: Геккиева С. Х., Керефов М. А. Краевые задачи для обобщенного уравнения влагопереноса // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 21-31. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-21-31

For citation: Gekkieva S. Kh., Kerefov M. A. The boundary value problem for the generalized moisture transfer equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 21: 1, 21-31. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-21-31

Поступила в редакцию / Original article submitted: 28.12.2017

В окончательном варианте / Revision submitted: 16.03.2018

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2018. no.1(21). pp. 21-31. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-21-31

MSC 35E99

THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE GENERALIZED MOISTURE TRANSFER EQUATION

S. Kh. Gekkieva1, M. A. Kerefov2

1 Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Center of RAS, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89 A, Russia

2 Kabardino-Balkarian State University named after H. M. Berbekov, 360004, Nalchik, Chernyshevsky st., 173, Russia

E-mail: [email protected], [email protected]

In mathematical modeling of continuous media with memory, we deal with equations that describe a new type of wave motion, something between ordinary wave diffusion and classical wave propagation. There are fractional differential equations, which are the basis for the most mathematical models describing a wide class of physical and chemical processes in the fractal geometry of the Nature. The paper presents a new moisture transfer equation with a fractional Riemann - Liouville derivative that generalize the Aller - Lykov equation. The first boundary value problem for the generalized moisture transfer equation is considered. To prove the uniqueness of a solution we employ the energy inequalities method; an a priori estimate is obtained in terms of the fractional Riemann - Liouville derivative. The existence of the solution for the problem is proved by the Fourier method.

Key words: Tricomi problem, parabolic-hyperbolic equation, non-characteristic plane, Fourier transform, maximum principle, apriori estimate, uniqueness, existence, system of integral equations.

@ Gekkieva S. Kh., Kerefov M.A., 2018