Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.95 Б01 10.18522/0321-3005-2016-1-5-10

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

© 2016 г. Ж.А. Балкизов

Балкизов Жираслан Анатольевич - научный сотрудник, Институт прикладной математики и автоматизации, ул. Шортанова, 89а, г. Нальчик, КБР, 360017, e-mail: Giraslan@yandex.ru

Balkizov Zhiraslan Anatolievich - Scientific Researcher, Institute of Applied Mathematics and Automations, Shortanov St., 89a, Nalchik, KBR, 360017, Russia, e-mail: Giraslan@yandex.ru

Найдено решение задачи Гурса для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения. Доказана теорема об однозначной разрешимости рассматриваемой задачи. Показано, что в случае, когда нарушено условие теоремы, однородная задача, соответствующая исследуемой задаче, имеет бесчисленное множество линейно независимых решений.

Ключевые слова: вырождающееся гиперболическое уравнение, задача Гурса, задача Коши, уравнение Абеля, уравнение Вольтерра второго рода.

We found the solution of the Goursat problem for a degenerate hyperbolic equation in the region. We prove a theorem on the unique solvability of the problem. It is shown that when the broken condition of the theorem, the homogeneous problem corresponding to the problem under study has an infinite number of linearly independent solutions.

Keywords: degenerate hyperbolic equation, Goursat problem, Cauchy equation, Abel equation, Volterra equation of the second kind.

Постановка задачи

На евклидовой плоскости независимых переменных х и y рассмотрим уравнение

0 J<- УУ

ихх uyy + a

I у"ихх

(- у)(™ - 2)/2

(n-2)/U

У < 0,

х' ^ (1)

- Uyy + ЬуУп-2)/2Ux, у > 0, ()

где a, Ь , m , n = const, m > 0 , n > 0 .

Через Qj обозначим область, ограниченную ха-

2 .(_ y)(m+2)/2 = 0,

рактеристиками ctj = ACj : х -

m + 2

ст2

= C1B : х + —(-y)(m+2)/2 = г уравнения (1)

m + 2

при у < 0, выходящими из точек А = (0,0), В = (г, 0) (г > 0) и пересекающимися в точке С = (г /2, у!), и отрезком АВ прямой у = 0, а через - область, ограниченную характеристиками

ст,= АС? : х--— у(п+2)/2 = 0 ,

n + 2

Сти = CB : х + -

n + 2

(n+2)/2 _

y > 0, выходящими из точек A и B , пересекаю-

щимися в точке C2 = (г /2, y2), и отрезком AB пря-

= г уравнения (1) при

мой y = 0;

( _\-i2/(n+2) r(n + 2) v ;

y2 = -

yi = -

- (m + 2)

2/(m+2)

< 0;

> 0;

Q = Q YQ2 Y J ;

J = {(х, 0): 0 < х < г} (рисунок).

Область Qi, Q2

4

2

Методами функционального анализа и интегральных уравнений в работе [1] исследована краевая задача со смещением для уравнения (1) в случае, когда О1 = 0 и коэффициент Ь = 0. В [2] поставлены и исследованы характеристическая задача Коши и задача Гурса для класса вырождающихся внутри области гиперболических уравнений. В [3] сделаны некоторые обобщения по постановке и исследованию первой и второй задач Дарбу для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения. В [4] в описанной выше области О исследована краевая задача с разрывными условиями склеивания для уравнения (1) при а = 0, Ь = 0 в случае, когда данные задаются на противоположных характеристиках Ст2 и СТ3 . Исследованию краевых задач со смещением для уравнения (1) в области О , когда а = 0, Ь = 0, посвящена работа [5]. Задачи со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения, содержащего слагаемые с младшими производными, исследованы в работе [6]. В [7] получена априорная оценка решения первой и второй задач Дарбу для общего вырождающегося гиперболического уравнения

иуу - к(у)ихх + а(х уУх + Ь(х= у)иу + (2)

+ c(x, у)и = /(х, у)

с коэффициентом к (у), удовлетворяющим условию у к (у )> 0 при у ф 0, который может обращаться в нуль при у = 0. В случае, когда в уравнении (2)

коэффициент к(у) = (- у)", т = 1(шо<!2), а функции а(х, у), Ь(х, у), с(х, у), /(х, у) удовлетворяют условиям Геллерстедта, в [8] доказаны существование и единственность функции Грина - Адамара 0(х, у; £,, , с помощью которой выписано решение

второй задачи Дарбу для уравнения (2). Достаточно полная библиография по вырождающимся гиперболическим уравнениям имеется в монографиях [9-13].

Регулярным в области О решением уравнения (1) назовем функцию и = и(х, у) из клас

са с(О)1 С1(о)1 С2 (о1 УО2 ), такую что их, и у е ь(1), при подстановке которой уравнение

(1) обращается в тождество. В работе исследуется

Задача. Найти регулярное в области О решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям и(х, у)=^(х) V (х, у)ест1, (3)

и(х у)=^2(х) V (х, у)естз, (4)

где VI (х), у2 (х) - заданные функции из класса

С1 [0, г / 2], причем V (0) = у2 (0).

Задача относится к классу задачи Гурса, которая была сформулирована и изучена в работе [2].

Обозначения

Введем обозначения:

_ m - 2a R _ т + 2a

^ = 2m72) ; ßi = 2(mT2) ;

Yi =

2Г(1 -ai )r(ai +ßi)

r(ßi )r(i-ai-ßi )[2(i-ai-ßi )]ai +ßi

n - 2b n + 2b

a2 = —(-ГЧ ; ß2 = -

Y 2 =

2(n + 2)' 2(n + 2)'

_2r(i-ai)_

r(i-ai-ßi )[2(i-ai-ßi )]ai +ßi

y = 2i-ßi (i-ßi)-ßi . Y3 = r(i -ßi) ;

Y 4 =

Y5 =

2r(i -a 2 )r(a 2 + ß2 )

r(ß2)г(1 - a2 - ß2 M - a2 - ß2)]a2 +ß2 '

_2r(i -a2 )_.

r(i-a2-ß2)[2(i-a2-ß2)]a2 +ß2 ;

2i-ß2 (i-ß2)-ß2 ; Y6 = r(i -ß2) ;

_ 2 (n - m)

(m + 2)(n + 2) ;

S = (a2 +ß2 )-(ai +ßi ) =

F(*) = ^ x

Y 2 x-ßi DX tai+ßi ^¿1 +Y 5 DX+ßi ta 2 D-ь y2

F2 (x) = [Y2x"ßi Doai tai +ßi vifj1 + Y6 Do-xV2ft

2Yi

F (х)=^

2Y 3

Y3vi(XI + Y5Dgita2 Do"ß2(

2Y 3

Y3 vi| X l + Y6 D0xV2 (j

Исследование задачи

Основным результатом исследования задачи является следующая

I I т | | п Теорема. Пусть |а| < —, \Ь\ < —, причем

(2а + т)2 + (2Ь + п)2 ф 0. Тогда существует единственное решение задачи. Действительно, пусть

и(х,0) = т(х), 0 < х < г , (5)

иу(х,0) = у(х), 0 < х < г . (6)

Решение задачи Коши (5)-(6) для уравнения (1) имеет вид [10, с. 12]:

(x У ) =

u(x. 1

х JT

0

+ —

B 1

х Jv

0

x + ■

B(abßi)

—|y|(/+2)/2

l + 2

У

(2t-1)

t ßi-1 (1 -1 )«-1 dt +

1 -«1,1 -ß1)'

x + ■

—|y|(l+2)/2 l + 2

(2t -1)

t (1 -1 )-ß1 dt,

а < —,

II 2 u(x, y ) = -

(7)

x +-|y|

l + 2

2 , ,(l+2)/2"

2 У 1

+ —— Jv l + 20

l

a = —, 2

x + -

,|(l+2)/2i

l+2

(2t -1) (1 -1)-ß1 dt,

(8)

u(x, У ) = '

2 У 1 + —— Jv l + 2 J

а =--.

2 •

x--

H (l+2)/2"

l + 2 2

x + _^|у|(/+2)/2(1 - 2t) (1 - t)-/(l+2)dt,

(9)

^(t ) = -

ф(о)

+ Doax"V(t), cp'(x)e ф, r]

v(x) = Y1 D^"p1T'(t)-!!x«1 D-ß1 ^t)

i i m

а < —, Ii 2 -

(10)

'(x)=-Y4 D^ "ß2T'(t) + I5x«2 {{) ,

1,1 n b < 2;

(13)

где I = т при у < 0 ; I = п при у > 0 ;

В(р, #) = | tp-1 (1 -1)9-1 dt - интеграл Эйлера перво-

0

го рода (бета-функция).

Удовлетворяя (7) и (8) условию (3) с учетом свойства оператора дробного дифференцирования порядка а, 0 < а < 1 [14, с. 11]:

у(х) = -у6 Л-?2 х'(0+^^0-хр2 ^2ф, ь = п; (14)

у(х) = (2-2а2)-а2 ха2 у^), Ь = -П. (15)

Из метода Трикоми, основанного на установлении знакоопределенности интеграла вида

г

I = | и(х,0)иу (х, 0^х , из полученных выше фун-

0

даментальных соотношений и из свойства положительности оператора дробного (в смысле Ри-мана - Лиувилля) интегро-дифференцирования

порядка а< 1 [14, с. 45-46] следует единственность решения задачи, при соблюдении условий теоремы.

Перейдем к доказательству существования ре-

I I т | | п шения задачи. Пусть |а| < — и |Ь| < — . Для определенности предположим, что т < п . В случае, когда т > п , исследование проводится аналогично. Исключая из соотношений (10) и (13) неизвестную функцию у(х) с учетом условий (3)-(4), относительно т'(х) приходим к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка

У1 О-^1 )x'(t )+у 4 В-*+?2 )x'(t ) = = ^2 ха1 Б"Р1 ^ 11 + 15 ха2 Б-?

Г(1 -а)

находим следующие фундаментальные соотношения между функциями т(х) и у(х), принесенные из

области на линию вырождения у = 0 :

у(х) = У3 Б--?1х'(1 )-Ц-Б--?1 ({), а = т . (11)

Из (9) при условии (3) приходим к равенству

у(х) = -(2 - 2а 1 )-а1 ха1 ^х) , а = - т . (12)

Аналогично, удовлетворяя представления (7)-(9) условию (4), в зависимости от значения коэффициента Ь находим следующие фундаментальные

соотношения:

2 ^ • ^1+у -2 Б-х 2

0 < х < г , (16)

Ф) = У0, (17)

где У0 = У1(-)=У2 (0) .

Разделив обе части уравнения (16) на У1

(У1 Ф 0), затем применив оператор Ба +?1 к обеим

частям полученного уравнения, а также пользуясь свойством композиции операторов интегро-дифференцирования с одинаковыми началами [15, c. 44]

а+? Б? ф(*) = х? П^ tаф(t) для любых ае[0,1], ?< 0 и ф(х)е ¿[0, г], уравнение (19) перепишем в виде

т'(х) + ^Б0-хМО = ^(х). (18)

У1

Относительно функции х'(х) уравнение (18) является интегральным уравнением Вольтерра второ-

1

+

2

+

l

x

го рода, решение которого выписывается в явном виде по формуле [16, с. 123]

x'(x) = Fi(x)-

-Ü J(x -1 )8-1 В,, 8 Yi 0

Ei/8(z; ц)= S

(x -1 )8; 8

Yi

Fi(t )dt,

где в1/ 8

Леффлера.

Откуда x(x) = x(0) +

Y 4

¿=o r(8 k + ц)

функция типа Миттаг -

Ni-I4 (x -1 )8 Ei

0 I

Yi

/ 8

_I4 (x-1)8;8 + i Yi

>Fi(t )dt.

(19)

Решение уравнения (20) имеет вид x(x) = x(0)+

+ Ni-I6(x-1)8 Ei,8 0I Yi

-16 (x -1 )8; 8 + i

Yi

F2 (t )dt

(20)

. (21)

Yi D-^1 +ßi V(t) = ^xa D-ßl vi + (2 - 2a2)-a2 xa2 v2|j) решение которого имеет вид

T(x) = T(0) +xt"ßi D0a/ sai +ßi vi(f)dt + + (2 - 2a2 )-a2 Y-1 D^Oi+ßi-11a2 v2 (t)

~ т , п

Если а = — и Ь = —, то решение уравнения У 3 о-1' т'(( )+т 6 С-12 т'(( ) =

=*о2)+^О* *(2

получающегося из системы (11), (14), определяется по формуле х(х) = х(0) +

0 I

+ ^i(x -1 )8 Ei/8 Y 3

-Ü. (x - t )8 ; 8+ 1

Y3

\f4 (t )dt.

(25)

т-г m , n . _

При a = — и b = - — решение уравнения Абеля

При |a| < m и b = n из соотношений (10) и (14) приходим к уравнению относительно x'(x)

Yi D0f'+ßi V(t)+Y 6 D-ß2 x'(t ) =

= Ifxai D0ß Vi(|) + x6D-xß2 v2(2}

Y 3 D-ß x'(t ) = Y3 D-ß vif t} +

-(2 - 2a 2 )

имеет вид

x 2 V2

I 1 т п

Если а < — и Ь = —, то из соотношений (10) и

II 2 2 4 У

(15) относительно искомой функции х'(х) получаем интегральное уравнение Абеля

х(х) = ^х) + (2 - 2«2 )-а2 У-1 -1 1(^) . (26)

^ . п

Пусть теперь а = -— , |Ь| < — . Тогда из системы

(12), (13) приходим к интегральному уравнению Вольтерра первого рода со слабой особенностью

У4 О-х*2 +Р 2 Ц) = (2 - 2«1 )-а х»1 у1(х] +

+ Xl xa2 D"ß2 v' + 2 x D0x V2

-ß2,,/J t

решение которого имеет вид

x(x) = x(0)+(2-2ai)-ai Y-1 D^ +ß2-tai vift^ +

+ xt"ß2 da2 sa2 +ß2 v'2 ff) dt.

2y 4

0

(27)

(22)

m 1 1 n

Пусть далее a = — и |b| < — . В этом случае из

rr m n

При a = - — , b = — решение уравнения Y6D-ß■ x'(t)= (2-2aiГ"1 f1 vi(x} + +1 D-? ■ v'2 i t

системы (11), (13) относительно x'(x) получается удовлетворяющее усл°вию (17), имеет вид

уравнение

Y3 D(-ß1 x'(t ) + Y 4 D-(«2 2 V(t ) =

= "2"Divi(2}+15xa■ D-ß' v2(2)

(23)

Решение задачи (17) для уравнения (23) имеет вид

x(x)=x(0)+

х(х) = У2(§] + (2 - 2а!)-*1 у-1 В11 "1 1а ) . (28)

Если нарушено условие теоремы, т.е. если имеет место равенство (2а + т)2 +(2Ь + п)2 = 0, то однородная задача, соответствующая исследуемой неоднородной задаче, имеет бесчисленное множество линейно независимых решений вида

+ Ni-I4 (x -1 )8 Ei/8 0I 13

-14 (x -1 )8 ; 8 +1 13

F3 (t )dt. (24)

У) = gfx \у\(/+2)/2 }- £(0), где £(x) -

про-

k

z

x

2

извольная функция из класса С1[0, г] С2]0, г[. При этом из равенств (12), (15) следует, что для существования решения задачи (2)-(3) для уравнения (1) необходимо, чтобы заданные функции У1(х), (х) обладали свойством

(29)

(2 - 2а1) а ха

+ (2 - 2а2)-а2 ха2 у'2^х 1 = 0.

Если имеет место равенство (29), то общее решение неоднородной задачи будет определяться по формуле

^(х, y) = g^ х -

2 ■ ,(/+2)/2

2 y 1 * + —— iv

l + 2 n

l + 2 2

у

- g(0) +

х + 7^ У(l+2)/2 (1 - 2t)

l + 2

(1 -1 )~l/(l+2) dt,

где v* (х) = -(2 - 2a1 )-ai ха1 ^хj =

= (2 - 2a 2 )

х

V2

Таким образом, для каждого

m |,| n

из значений

|a| < m , |b| < n , (2a + m) + (26 + nf Ф 0 найдена

функция u(x, 0) = x(x), которая в зависимости от значений коэффициентов a и b уравнения (1) определяется по одной из формул: (19), (21), (22), (24)-(28). Показано, что в случае, когда

(2a + mf + (2b + n) = 0, функция x(x) не может быть найдена из соответствующих фундаментальных соотношений, и, что в этом случае однородная задача, соответствующая исследуемой задаче, имеет бесчисленное множество линейно независимых решений. После того как функция x(x) найдена по одной из перечисленных выше формул, функцию v(x) легко найти из соответствующих фундаментальных соотношений. Тогда решение исследуемой задачи выписывается как решение задачи Коши для уравнения (1) в соответствующей области Q или Q2 по формулам (7)-(9).

В заключение хотелось бы выразить благодарность А.М. Нахушеву за постановку задачи, а также за постоянное внимание и поддержку моих научных работ.

Литература

1. Нахушев А.М. Новая краевая задача для одного вырож-

дающегося гиперболического уравнения // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187, № 4. С. 736-739.

2. Кальменов Т.Ш. О характеристической задаче Коши для

одного класса вырождающихся гиперболических уравнений // Диф. уравнения. 1973. Т. IX, № 1. С. 84-96.

3. Нахушев А.М. К теории краевых задач для вырождаю-

щихся гиперболических уравнений // Сообщения Академии наук Грузинской ССР. 1975. Т. 77, № 3. С. 545548.

4. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче

для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Диф. уравнения. 1978. Т. XIV, № 1. С. 50-64.

5. Кумыкова С.К. Краевая задача со смещением для вы-

рождающегося внутри области гиперболического уравнения // Диф. уравнения. 1980. Т. XVI, № 1. С. 93-104.

6. Салахитдинов М.С., Мирсабуров М. О некоторых крае-

вых задачах для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Диф. уравнения. 1981. Т. XVII, № 1. С. 129-136.

7. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для вырождающихся ги-

перболических уравнений // Диф. уравнения. 1971. Т. VII, № 1. С. 49-56.

8. Gellerstedt S. Sur un equation linearre aux derivees par-

tielles de type mixte // Arkiv Math. Astr. och Fysik. 1937. № 29, 26A. P. 1-25.

9. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гипер-

болические уравнения. М., 1966. 292 с.

10. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические урав-

нения. Минск, 1977. 160 с.

11. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений

гиперболического и смешанного типов. Самара, 1992. 161 с.

12. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в

частных производных. М., 2002. 288 с.

13. Кальменов Т.Ш. К теории начально-краевых задач для

дифференциальных уравнений // Цикл научных работ Т.Ш. Кальменова. Алматы, 2013. 406 с.

14. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение.

М., 2003. 272 с.

15. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.,

1995. 301 с.

16. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и пред-

ставления функций в комплексной плоскости. М., 1966. 672 с.

References

1. Nakhushev A.M. Novaya kraevaya zadacha dlya odnogo

vyrozhdayushchegosya giperbolicheskogo uravneniya [The new boundary value problem for a degenerate hyperbolic equation]. Dokl. AN SSSR, 1969, vol. 187, no 4, pp. 736739.

2. Kal'menov T.Sh. O kharakteristicheskoi zadache Koshi dlya

odnogo klassa vyrozhdayushchikhsya giperbolicheskikh uravnenii [On the characteristic Cauchy problem for a class of degenerate hyperbolic equations]. Dif. uravneniya, 1973, vol. IX, no 1, pp. 84-96.

3. Nakhushev A.M. K teorii kraevykh zadach dlya vyrozh-

dayushchikhsya giperbolicheskikh uravnenii [To the theory of boundary value problems for degenerate hyperbolic equations]. Soobshcheniya Akademii nauk Gruzinskoi SSR, 1975, vol. 77, no 3, pp. 545-548.

4. Kumykova S.K., Nakhusheva F.B. Ob odnoi kraevoi

zadache dlya giperbolicheskogo uravneniya, vyrozhdayu-

shchegosya vnutri oblasti [A boundary value problem for hyperbolic equations degenerating inside the domain]. Dif. uravneniya, 1978, vol. XIV, no 1, pp. 50-64.

х

2

2

2

5. Kumykova S.K. Kraevaya zadacha so smeshcheniem dlya

vyrozhdayushchegosya vnutri oblasti giperbolicheskogo uravneniya [A boundary value problem with shift for a degenerate hyperbolic equation in the field]. Dif. uravneniya, 1980, vol. XVI, no 1, pp. 93-104.

6. Salakhitdinov M.S., Mirsaburov M. O nekotorykh kraevykh

zadachakh dlya giperbolicheskogo uravneniya, vyrozh-dayushchegosya vnutri oblasti [On some boundary value problems for hyperbolic equations degenerating inside the domain]. Dif. uravneniya, 1981, vol. XVII, no 1, pp. 129136.

7. Nakhushev A.M. O zadache Darbu dlya vyrozhdayush-

chikhsya giperbolicheskikh uravnenii [On the Darboux problem for degenerate hyperbolic equations]. Dif. uravneniya, 1971, vol. VII, no 1, pp. 49-56.

8. Gellerstedt S. Sur un equation linearre aux derivees par-

tielles de type mixte. Arkiv Math. Astr. och Fysik., 1937, no 29, 26A, pp. 1-25.

9. Smirnov M.M. Vyrozhdayushchiesya ellipticheskie i giper-

bolicheskie uravneniya [Degenerate elliptic and hyperbolic equations]. Moscow, 1966, 292 p.

Поступила в редакцию

10. Smirnov M.M. Vyrozhdayushchiesya giperbolicheskie

uravneniya [Degenerate hyperbolic equations]. Minsk, 1977, 160 p.

11. Repin O.A. Kraevye zadachi so smeshcheniem dlya uravne-

nii giperbolicheskogo i smeshannogo tipov [Boundary-value problems with a shift for the hyperbolic and mixed types of equations]. Samara, 1992, 161 p.

12. Nakhushev A.M. Zadachi so smeshcheniem dlya uravnenii v

chastnykh proizvodnykh [Problems with shift for partial differential equations]. Moscow, 2002, 288 p.

13. Kal'menov T.Sh. [On the theory of boundary value problems

for differential equations]. Tsikl nauchnykh rabot T.Sh. Kal'menova [The cycle of T.Sh. Kalmenov scientific works]. Almaty, 2013, 406 p.

14. Nakhushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie

[Fractional calculus and its application]. Moscow, 2003, 272 p.

15. Nakhushev A.M. Uravneniya matematicheskoi biologii

[Equations of mathematical biology]. Moscow, 1995, 301 p.

16. Dzhrbashyan M.M. Integral'nye preobrazovaniya i pred-

stavleniya funktsii v kompleksnoi ploskosti [Integral transforms and representations of functions in the complex plane]. Moscow, 1966, 672 p.

15 мая 2015 г.