Нелокальная обратная задача по определению правых частей вырождающегося уравнения смешанного параболо-гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 35М10

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

С.Н. Сидоров

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, пр. Ленина, 37, Стерлитамак, 453103, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Для уравнения емешанншх) парабол о-гиперболи чеексих) типа в прямоугольной области изучена обратная задача по поиску неизвестных правых частей с нелокальным 1'раничным условием, связывающим значения решения по нормали на противоположных сторонах прямоух'ольной области, которые принадлежат разным типам изучаемохх) уравнения. Решения задач построены в виде сумм рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. Установлены критерий единственности и доказана устойчивость решений поставленных обратных задач по храничным данным.

Ключевые слова: уравнение смешаннохх) типа, обратная задача, спектральный метод, существование, единственность, устойчивость.

1. Введение. Рассмотрим уравнение смешанного параболо-гинерболического тина

( Гмхх - Щ + Ь2Гм = Л(х) , Ь > 0,

Ьм = < „ 1

\ ИГМсх - Пи - 62Н)тМ = /2(Ж) , Ь < 0,

в прямоугольной области Б = {(х,Ь)| 0 < х < 1, -а < Ь < в} где а > 0 в > 0 п > 0, т > 0 и Ь > 0 - заданные действительны е числа, м(х, ¿) и /¿(х), г =1, 2, - неизвестные функции. Поставим следующую задачу.

Задача. Найти в области Б функции м(х, ¿) и /¿(х), г = 1,2, удовлетворяющие следующим условиям:

и,(х,¿) е С1^) п С2(Д_) п (2)

/¿(х) е С(0,1) п Ь2[0,1], (3)

Ьм(х,Ь) = /¿(х), (х,Ь) е и Б+, (4)

м(0,Ь)= м(1,Ь) = 0, -а < Ь < в, (5)

м(х, -а) - м(х, в) = <^(х), 0 < х < 1, (6)

щ(х, -а) = ^(х), 0 < х < 1, (7)

ut(x, в) = g(x), 0 < x < 1

(8)

где <^(x) и ^(x) - достаточно гладкие функции, <^(0) = <^(1) = 0 ^(0) = "0(1) = 0, D- = D П {t < 0} D+ = D П {t > 0}.

Отмстим, что прямая начально-граничная задача (2), (4)-(6), где вместо условия (6) задано условие u(x, —а) = x(x), 0 < x < 1, для уравнения (1) при /i(x) = /2(x) = 0 в прямоугольной области D изучалась в работе [1] при всех n > 0и m > 0. В работах [2, 3] исследована аналогичная задача для уравнения (1) при n = 0 m > 0и b > 0. В |4| методами функционального анализа доказана однозначная разрешимость аналога задачи Трикоми в пространстве L2 для уравнения типа (1) при /(x) = 0 n = 0 b = 0, 0 < m < 1 в смешанной области, параболическая часть которой совпадает с D+, а гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник с основанием на .пинии вырождения. Статья |5| посвящена обратной задаче (2)-(8), где вместо условия (6) задано u(x, —а) = ^(x) для уравнения (1) при n = m = 0. Обратные задачи дня классических уравнений математической физики изучены достаточно полно (см. |6-10| и приведенную там обширную библиографию).

В настоящей работе найдены необходимые и достаточные условия единственности решения. Решение задачи строится в виде суммы рядов но собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи. При обосновании существования решения задачи возникают малые знаменатели |11, 121, затрудняющие сходимость построенных рядов. В связи с чем установлены оценки об отдаленности от пуня малых знаменателей с соответствующей асимптотикой, которые позволили при некоторых условиях относительно функций <^(x), ^(x), g(x) и параметpa а доказать принадлежность построенного решения классам (2) и (3). Доказана также устойчивость решения но граничпым функциям.

2. Единственность решения задачи. Пусть u(x,t) и /(x), i = 1, 2 - решение задачи (2)-(8). Следуя |1, 3| рассмотрим функции

о

На основании (9), введем функцию

(10)

(П) (12)

где

i

fik = л/2 / f(x) sin лкх dx , г = 1,2, к = 1, 2,... .

(13)

о

Дифференциальные уравнения (11), (12) имеют общие решения |3|

Г^'А^+Л.Ш. *>0. (14)

\Ъкл/-Ь ./1/(24) (Рк ) + Оку/-Ь 3-1/(2 ч)(Рк (-¿)Ч ) + ¡2 к 'Шк(Ь) , Ь< 0 .

где ак, 6к и ск - произвольные постоянные, 3(г) - функция Бесселя первого рода порядка V Ак = 62 + (пк)2,

t

\ 2 „п

Ik (t) = e-Aktn+1/(n+D exksn+1/(n+i) ds , (15)

Lk . .

7Г

SU1 2g

V^J-l/^feH)9) í Jl/{2q)(Pk(-s)q)^ds. (16)

2o sin -р /

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 1. Функция f1kIk (t) является решением неоднородного уравнения (11) и удовлетворяет следующим грани чным условиям:

Ik(0) = 0, Ik(0) = 1.

Лемма 2. Функция ¡2ки>к(Ь) является решением неоднородного уравнения (12) я удовлетворяет следующим грани чным условиям:

^к(0) = ^к(0) = 0, «4'(0) = 1.

□ Доказательство лемм 1 и 2 проводится непосредственно на основании (15) и (16) По условию решение и,(х,1) € С1 (И), тогда аналогично |3| из равенств

«к(+0) = Мк(-0), п'к(+0)= п'к(-0) ,

дня функций (14) имеем

6к = -¡1 к71/(2д)(к), Ск = ак7-1/(2д)(к).

Здесь

1 / 1 \ / 2 \ 1/(2ч) 1 / 1 \ / 2 \-1/(2ч) *> - ^ (-) . 7.1Лад№) = --Г (--) .

С учетом найденных значений Ьк и ск функции (14) принимают вид

= < ак'У_1/{2д)(к)у^1^_1/{2д)(рк(-^'1)- (17)

[ -/lfc7l/(2(í)(A')v/-íЛ/(2(í)(pfc(-í)<í) + ./2/,"7ЛП , * < О .

Для нахождения коэффициентов ак, /1к и /2к воспользуемся граничными условиями (6), (7), (8) и формулой (9):

0 0 ...../,,„„„_, ,,,

00

Удовлетворяя функции (17) условиям (18)-(20), относительно неизвестных ак, /1к и /2к получим систему

акЕ1 к (а) + /1 к^1к (а) + /2к'к (-а) = ^к ик(г) = <{ акЕ2к(а) + /1к^2к(а) + /2к'к(-а) = фк , (21)

-afcА|вгае-лкe"+1/(n+D + /lfc - (в) + 1

gk

где

£1к(а) = -\/ö'7_i/(2g)(A:) J_i/(2g)(pkQ:q) ~ e~xlßn+1'^l) , (22)

E2fc(а) = Afcaq-1/2Y_i/(2q)(fc)Ji-i/(2g)(Pfc) , (23)

iifc(a) = -у/®Ъ/(2д)(к)Ji/(2g)ipk<yq) - h{ß) , (24)

F2k(а) = Afcaq-1/27i/(2q)(fc)Ji/(2q)_i(Pfcaq). (25)

Вычислим определитель системы (21), с учетом равенств (15), (16), (22)-(25) и 113, с.21|:

2

Jv(z) Ji-V(z) + J-V(z) Jv-i(z) = — sin(//7r) .

nz

Тогда получим

A(k) = wk(-а) [ - E2k(а)Аквга1к(в) + E2k(а) + Akвпе_Акe"+1/(n+i)F2k(а)

-wk(-а) - EikHAken1k(в) + Eik(а) - e_Ake"+1/(n+i) + A^впе_Акe"+1/(n+i)Fik(а)

- ч(-а)XIа(1-1/21-1т)(к).11-1т)(рка*)вп1к(в) +

+

+тк{-а)Х1^/а-/_1/ш{к)7-1/{2д){рка11)рп1к(р) к(—Хкад~1/(2д)(А:)1/(2д){ркОр) ~

+

+

Ч (-а)Хк а*-1/271/(2*)(ВД/(2*ы(Рк а*)в пе-* в"+1/(п+1) +

+

+ч'к (-а)Х1а*-1/211т)(к)31т){рка* )впе-х1^1/(п+1) + Ч (-а)е-хкв+1/(п+1)

о

+7-1/(2«?) (А') / J-l/(2g)(pfc(-s)<í)v/rS^-

_е-\2к в"+1/(п+1)

Тогда система (21) имеет единственное решение

ак = (А(к))-1рк - Х2квп1к(в)<(-а) + ч'к(-а)

-(А(к))-1фк [ - Хквп1к(в)чк(-а) + Чк(-а) + (А(к))-1дк ^(а)ч'к(-а) - ^к(а)чк(-а)

+

/1 к = -(А(к))-1^ к[Х к вп1к (в)Чк (-а)] + (А(к))-1фк[Хк вп1к (в)чк (-а) -(А(к))-1дк \Е1 к(а)Чк(-а) - е-*в"+1/(п+1)ч^(-а) - Е2к(а)чк(-а)

/2к = -(А(к))-1^к - Е2к(а)Х2вп1к(в) + Е2к(а) + ^к(а)Х2впе-х1 в"+1/(п+1)

(26)

(27)

(28)

-(А(к))-1фк \ - Е1 к (а)Х2 вп1к (в) + Е1 к (а) - е-х1 в"+1/(п+1) + Хк впе-хк в"+1/(п+1) (а)

+ (А(к))-1дк

Е1 к(аЩк(а) - Г2к(а)е-хкв"+1/(п+1) - Е2к(аЩк(а) + Е2к(а)1к(в)

если при всех к Е N

А(к) = 0.

(29)

(30)

*

о

Таким образом, найден окончательный вид функций ик (¿), которые определяются по формуле (17), а коэффициенты ак, /1к и /2к находятся по формулам (27), (28) и (29).

Исходя из форму.:: (17), (28) и (29) докажем единственность решения задачи (2)-(8). Пусть <^(х) = ^(х) = д(х) = 0 на [0,1] и при всех к выполнено условие (30). Тогда все = фк = дк = 0 и из формул (17), (28) и (29) следует, что ик(Ь) = 0 на [—а, в] и /¿к = 0 (г = 1, 2) при вс ех к € N. Следовательно, из (9) и (13) имеем

и(х,Ь) эт пкхйх = 0, / /¿(х) этпкхйх = 0, г = 1, 2.

Отсюда в силу полноты системы синусов в пространстве Ь2[0,1] следует, что и(х,Ь) = 0 и Ц^х) = 0 почти всюду па [0,1] при любом I € [—а,/3]. Поскольку и,(х,1) € С (И) и /г{х) Е С{0,1), то и{х,г) = 0 в Б и /¿(ж) = 0 на (0,1).

Предположим, что условие (30) нарушено при некоторых а, в-, Ь т-, п и к = I, т.е. А(1) = 0. Тогда однородная задача (2)-(8) (где <^(х) = ^(х) = д(х) = 0) имеет ненулевое решение

и1(х,Ьь) = и^Ь^вт п1х, (31)

где

и (е-л2*п+1/(га+1) + /щ, ь> 0,

^( ) \Еп(Ь) + /п(Гц(Ь) - ^(*)) + /2^(Ь), * < 0,

и (X) = и ЯП ТГ**, /и = + 1 • (32)

, / ч , . , , Е-21 (а) + ¡11^2/(а)

/2/(ж) = /2/ вт ¡21 =--77-:- ■ (33)

Лемма 3. При любом фиксированном в > 0 и больших к для функции 1к(в) справедлива. оценка

\1к(в)\< <?ок-2 , (34)

где С0 - положительная постоянная, зависящая от в и п. □ Перепишем выражение 1к(в) из (15) в следующем виде:

в

/ 2 йп+1-зп + 1

е~ к "+1 (1з.

о

Введем замену Ь = (вп+1 — вп+1)/(п + 1), тогда имеем

в1

в

п+1

I п + 1

Применяя к последнему интегралу форму:iy 113, с. 3241

a

f xa-1(a - x)e-1e-px dx = B(a, ß)aa+e-1 iFi(a, а + ß; —ap)

0

имеем

4(/3) = Äß ( 1, —¡ЗГ1 iFx ( 1,1 + —- АЛ2 \ n +1/ V n +1

Используя асимптотику для функции 1F1(a,c; z) при Re(z) — —то [14, с. 266]

iс; z) = -Ц^Ц (-z)"a [1 + Od^l"1)], i(c — a)

получаем

1 +

4(/3) = ß2B (l, /ЗГ1 r^V) (/3iA2)-1 [1 + Od^iAll"1)]

-ra\-2n i /П ^„^M ,Q-ra\-2 i гл n—4\

= ГПАГ [1 + )] = ГПАГ + 0(к"4). (35)

Отсюда получаем требуемую оценку (34). ■

Лемма 4. При любых фиксированных в> 0 Ь > 0 т > 0 п> 0 и достаточно больших к выражение А(к) имеет счетное множество нулей относительно а9 = а9/д.

□ Следуя работам [3, 15], на основании (26) и (35) выражение к2+лД(к) (А = 1/2 -1 /(2д)) представим в следующем виде:

к2+ЛД(к) = В 1к + В2к , (36)

0

В1к = -к2+хО(к-4)[ЗпХ11-1/ш(к) 1

—а 0

в2к =-к2+хе-^А2Г7-1/(2,)(А:) У 3.1т){рк{-8У)у/^~8й8-ги!к{-а)

—а В1 к

а«

Би. = А:2+лО(А:-4)/ЗгаА27-1/(2,)(А:)^-1/(2,)(рА.а'^) /Й"1^,

0

где 0 < 0 < 1. С учетом асимптотической формулы [16, с. 98] для функции

Ш = - \V - I) + , с оо , (37)

при к > к1; оде - достаточно большое натуральное число, имеем

В

1к

Вк sin ( Ака0 + п

д + 1 4q

+ O(k-2) = в(к} + B

>(2) к.

(38)

Здесь

Вк

3 1

23/2 (а«) " /5" А:2+Л О (А:"4) Ah-1/(2,) (fc)

ßv7^ у/рк

Отметим, что величина £>к при к > к\ ограничена и отделена от нуля 0 < В < Вк < Vх2В, В = 21/2-1/(2д)7Г-1-1/(2{г)^ал)3/(2{г)-1/2/3пГ(1д2д^ддд^^ Выражение В^ имеет

счетное множество положительных нулей относительно aq = aq/q, Выражения В и В2к являются бесконечно малыми при k — то, Тогда A(k) имеет счетное множество положительных нулей относительно aq, ■

Таким образом, нами установлен следующий критерий единственности.

Теорема 1. Если существует решение u(x, t) и /¿(ж) (i = 1, 2) задачи (2)-(8), го оно единственно только тогда, когда при всех k £ N выполнены условия (30).

3. Существование решения задачи. Так как выражение A(k) находится в знаменателе функций ик(t) то при достаточно больших k оно может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема «малых знаменателей» |11, 12, 3|. Покажем, что при достаточно больших k выражен не A(k) отделено от нуля.

Лемма 5. Если выполнено одно из условий: 1) aq0 - любое натуральное число; 2) aq0 = p/t - любое дробное число, где p и t - взаимно-простые натуральные числа и r/t ф (3q — 1)/(4q), где г = 0,t — 1, то существуют положительные постоянные ко £ N и Co, такие, что при любых k > ko и фиксированных b > 0 в > 0 m > 0 и n > 0 справедлива оценка

|k2+AA(k)| > Co > 0, А =1/2 - 1/(2q) .

(39)

□ Пусть k2 £ N такое, что при k > k2

b

0 < — < 1. пк

Тогда в силу работы |3|, имеем представление

А/, = \/Ь2 + (тгА:)2 = тгА: + 0,, где для вк справедлива оценка

b2

< 0к <

b2

4nk 2nk

B ( к)

q + 1 "

< = Вк sin ( 7Гkaq0 + 0kaqe + ж-

4q

(40)

(41)

(42)

Пусть ая9 = р/Ь - дробное число, Разделим кр на Ь с остатком: кр = зЬ + г, 0 < г < 5, г € N0 = N и {0}. Тогда выражение (42) оценим следующим образом:

|в£| = вк

г р 5 + 1

вт ( 7Г5 + 7Г—|- 0к—Ь 7Г—-—

в > —

~ 2

. г а + 1

вт 7г—Ь 7г—-—

Ь 4д

С > 0

так как в силу оценки (41) существует конечный предо.;:

Иш |В

(1)| 1к|

С.

Теперь потребуем, чтобы постоянная С1 была больше нуля. Это возможно только тогда, когда

г, а + 1/7 га +1

7Г- + 7Г—:— ф па или —|---— ф а , а Е N ,

45

45

или

1г -^-1 + 4^-4- . а Ь

(43)

Если число а - иррациональное, то неравенство (43) при всех г и Ь имеет место. Пусть а - рациональное число и Ь = 1, т.е. в этом случае ад9 = р - натуральное число, поэтому, г = 0, тогда неравенство (43) выполняется при всех а > 1 и й € N. Если Ь > 2, то в силу оценки

1 г а+1 . 1

4<1 +

4а

<1 + 5

неравенство (43) имеет место при всех й > 2. Есл и й = 1, то можно подобрать число г/Ь, такое, что нарушается условие (43), т.е. выполняется равенство

г 3д — 1

1 ~ 4д

но этот случай но условию исключается.

>(2)

Поскольку выражения В(к) из (38), В2к и В3к из (36) являются бесконечно малыми при к ^ оо, то существует к3 € N такое, что при указанных ая9 и всех к > к3 справедливы неравенства

в \<°2

Взк\ < —

(44)

Здесь и далее С - положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от а, в Ь п и ш. Тогда из представления (36) на основании оценок (44), получим

|А:-2+ЛД(А:)| > - \В™\- \В2к\ - \Взк\ > °2

Со > 0

при к > к0 = шах{к1; к2, к3}, ■

Замечание. Отметим, что условие

г Зд — 1 1 ^ Ад

в ломмо 4 существенно, так как в противном случае оценка (39) не имеет место.

Действительно, пусть нарушается условие (45). Тогда последовательность В(к1) является бесконечно малой:

|Bífc)| = Bk

с другой стороны, при больших k в силу неравенства sin x > 2x/n, 0 < x < п/2, и оценки (41) имеем

B

í ) 1 k 1

Bk

sin(^)|>C5|0fc|>y .

В этом случае вместо оценки (39) можно получить другую более худшую оценку.

При выполнении оценки (39) при всех к > к0 и неравенства (30) при к = 1, 2,..., к0 решение задачи (2)-(8) будем искать в виде сумм рядов

и(х, t) = л/2 ^^ uk(t) sin тгкх,

(46)

k=1

fi(x) = V2 fik sin тгкх, i = 1,2,

(47)

k=1

где ик (Ь) и /¿к _ определены соответственно по формулам (17), (28) и (29).

Лемма 6. При любом фиксированном Ь € [—а, 0) и больших к для функции 1Г2(а; Ь, с; г) справедлива оценка

iF2 a; b, c; -

(jPktqY

4

<C7k2", /? = I + Ia-I(6 + C)

(48)

□

ции 1Г2(а; Ь,с; г) [17, с. 221]. ■

Лемма 7. При любых Ь € [—а, 0] и к € N справедливы оценки:

К(t)|< Os, K(t)|< Cok2 , |wk'(í)|< Ciok2 .

(49)

□

с. 37|

хЛ+^+1 л (л + V +1 Л + V + 3 х2\

о ^ /

где Яе(Л + V) > —1 ■

Следствие. При Ь = —а справедливы следующие оценки:

Н(—а)| < Спк-2, \т'к(—а)| < С12к-1.

Лемма 8. Если выполнена оценка (39) при к > к0; тогда для таких к справедливы оценки

\пк(Ь)\ < Мг(к1+Х\^к\ + кхф\ + к\дк|), \пШ < М2(к3+Х\^к\ + к2+х\фк\ + к3\дк\), Ь Е [0,/3]; \ик(Ь)\ < М3(к3Ы + к2\фк\ + к2+х\дк\), К(Ь)\ < М4(к5\^к\ + к4\фк\ + к4+х\дк\), \и'к(Ь)\ < М5(к5\^к\ + к4\фк\ + к4+х\дк\), Ь Е [—а, 0], \1гк\ < М6(к1+Х\^к\ + кх\фк\ + к\дк\), \12к\< М7(к3Ы + к2\фк\ + к2+х\дк\). Здесь и далее М.. - положительные постоянные.

□ С учетом следствия и асимптотической формулы (37) оценим выражения (22)-(25).

\Е1к(а)\ < Сгзк-х + е-х\Г+1 / (п+1) < Сик-х, \Е2к(а)\ < С15к1-х, (51)

^к(а)\ < С16к-1+х + Си < С18, \Е2к(а)\ < С19кх . (52)

С помощью оценок (34), (51), (52) и следствия получим оценки дня выражений (27)-(25),

\ак\ < С2о(к1+хЫ + кх\фк\ + к2х\дк\), (53)

Цгк\ < М6(к1+х\^к\ + кх\фк\ + к\дк\) , (54)

\/2к\ < М7(к3Ы + к2\фк\ + к2+х\дк\). (55)

При любом Ь Е [0,в] из (15) имеем

\1к(Ь)\< С21, \1'к(Ь)\< к2С22. (56)

Ь Е [—а, 0]

|7±l/(2g)V/Zí^/±l/(2g)(Ы-í)<'')| <<^23, (57)

\^-1/{2д)(—Ь)д-1/2,к-1/{2Я)(Рк(—Ь)д)| < С24к, (58)

\ъ/(2д)(—ЬУ-1/2.1т2д)-1 (Рк(—Ь)4)\ < С25к-1+х . (59)

На основании (17), с учетом оценок (53)-(59), получаем требуемые оценки. ■

В силу леммы 8, ряд (46) и его производные первого порядка в замкнутой области И и ироизводпые второго порядка соответственно в областях I) | и !)_ и ряды (47) па |0,1| мажорируются рядом

+те

M8 ^ (k5|^| + k4|^fc| + k4+A|gfc|) . (60)

fc=fcü + 1

Лемма 9. Пусть <^(ж) Е C6[0,1], ^(ж) Е C5[0,1], g(x) Е C5+^[0,1], А < ^ < 1, </(0) ^г(1) = ^г(0) = (1) = $г(0) = $г(1) = 0 i =1, 2. Тогда справедливы представления:

1 (6) / 1 /(5) i i ^ M9

^ = -ЗТ7Т <^fc , V'fc = -77T V'fc , Ы <

где

k ' n5k5 rk ' " k5+^

= y/2 j tplI(x) smirkxdx , = v7^ j ф1 (x) eos irkx dx ,

0 0

+те +те

Erfi2 <II^v/ III , £ tó5)i2 <II^v IL • fc=0 fc=0

При выполнении условий леммы 8 ряд (60) оценивается числовым рядом

+те

-«.о £ H'^ + ^' + i^)- (61)

В силу сходимости ряда (61), следует равномерная сходимость ряда (46), рядов из производных первого порядка членов этого ряда в D и возможность его почленного дифференцирования по ж и t дважды при t < 0 и любое число раз при t > 0, и рядов (47) па [0,1].

Если при некоторых к = l = k1; k2,km, оде 1 < k1 < k2 < ... < km < k0, оде kn, /?. = l,?n, m - заданные натуральные числа, Д(/) = 0, то дня разрешимости задачи (2)-(8) достаточно, чтобы

i i i

J ^(ж) sin nlxdx = J -0(ж) sin nlxdx = J g(x) sin nlxdx = 0, l = k1;...,km. (62) 000

Тогда решение задачи (2)-(8) определяется в виде сумм рядов

(fcl —1 1 те \

+ ••• + ^^ + ^^ I (t) sin пкж + ^^ ДиДж,^, (63) fc=1 fc=fcm_i + 1 fc=fcm+1/ l

(fcl —1 fcm — 1 те \

+ ••• + + J] I fik sin пкж + J] AifaOr), i =1, 2, (64)

fc=1 fc=fcm-i + 1 fc=fcm + 1 / l

где функции uk(t), fik, u^x^) и /^(x) определяются соответственно по формулам (17), (28), (29), (31)—(33), Ац ~ произвольная постоянная, в суммах ^ индекс l принимает значения k1; k2, •••, kl; конечные суммы выражений (63), (64) следует считать равными пуню, если нижний продол больше верхнего.

Таким образом, справедлива

Теорема 2. Пусть функции <^(x), ^(x) и g(x) удовлетворяют условиям леммы 9 и выполнена оценка (39) при к > ко. Тогда если А (к) ф 0 при всех к = 1, ко, то существует единственное решение задачи (2)-(8) и это решение определяется рядами (46), (47); если A(k) = 0 при некоторых k = k1, •••, km < ko, то задача (2)-(8) разрешима тогда, когда выполняются условия ортогональности (62) и решение в этом случае определяется рядами (63), (64).

4. Устойчивость решения задачи. Введем следующие известные нормы:

о 41/2

||u(x, t)||l2[0,i] = ||u(x, t)||l2 = I / |u(x,t)|2 dx

о v/2

11/И11ь2 = I / |/(x)|2dr I , ||w(a;,i)||C(S) = rrax |w(a:,i)|.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и A(k) = 0 при всех k < k0. Тогда для решения (46), (47) задачи (2)-(8) имеют место оценки:

||u(x,t)||L2 < Mil (||^///(x)||L2[0,l] + ||^//(x)||l2[0,1] + ||g///(x)||L2[0,1]) ,

||/l(x)|U2 < M12 (||^//(x)||L2[0,1] + ||^(x)|U2[0,1] + ||g'(x)||L2[0,1]) , ||/2(x)||L2 < M13 (||^///(x)||L2[0>1] + ||^//(x)||L2[0,1] + ||g///(x)||L2[0,1]) , IK^Hc® < м14 (||/У(х)||с[оД] + ||^"И11с[0.1] + 11/У(х)||с[0,1]) , ИЛИИС(П) < M1B (Н^'ИНвд + ||V'"(x)llcM + ||/(х)||с[од]) ,

Шх)\\с(5) < Mie (||/У(х)||с[од] + Н^'ИНсрд] + Н/У(х)||с[од]) , где постоянные Mi не зависят от функций ^(x), ^(x) и g(x).

□ Доказательство аналогично доказательству соответствующей леммы работы [3]. ■

Литература

1. Сабитов К. Б. Начально-граничная задача для парабол о-гиперболического уравнения со степенным вырождением на переходной .линии /7 Дифференц. уравнения. 2011. 47, № 1. С.1-8.

2. Сабитов К.Б. Нелокальная задача для уравнения парабол о-гиперболического типа в прямоугольной области /7 Мат. заметки. 2011. 89, №4. С.596-602.

3. Сабитов К.Б., Сидоров С.Н. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося параболо-гиперболичеекого уравнения /7 Дифференц. уравнения. 2014. 50, №3. С.356-365.

4. Капустин Н.Ю. Задача Трикоми для парабол о-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью. I. /7 Дифференц. уравнения. 1987. 23, №1. С. 72-78.

5. Сабитов К.В., Сафнн Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в нрямоух'ольной области /7 ДАН. 2009. 429, №4. С.451-454.

6. Иванов В.К., Васнн В.В., Танан В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / М.: Наука, 1978.

7. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.Т. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.: Наука, 1980.

8. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач / М.: МГУ, 1994.

9. Prilepko A.I., Orlovskv D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics / New-York: Marcel Dekker, 2000.

10. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи / Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009.

11. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике /7 УМН. 1963. 18, №6. С.91-192.

12. Ломов И.С. Малые знаменатели в аналитической теории вырождающихся дифференциальных уравнений /7 Дифференц. уравнения. 1993. 29, №12. С.2079-2089.

13. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды / М.: Наука, 1981. 800' с.

14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1. 2-е изд. / М.: Наука,

1973.

15. Сабитов К.В., Ваганова Э.В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 2013. 49, №1. С.68-78.

16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2. 2-е изд. / М.: Наука,

1974.

17. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации / М.: Мир, 1980.

18. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции / М.: Наука, 1983.

NONLOCAL INVERSE PROBLEM OF RIGHT PARTS DETERMINING OF THE MIXED PARABOLIC-HYPERBOLIC TYPE DEGENERATE EQUATION

S.N. Sidorov

Sterlitamak department of Bashkir State University, Lenin Av., 37, Sterlitamak, 453103, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The inverse boundary problem in rectangular region is studied for equation of mixed parabolic-hyperbolic type. It consists of finding the unknown right-hand parts with a nonlocal boundary condition, connecting values of the derived solution on opposite sides normals of the rectangular domain which belong to different types of the equation under study. Solutions are built in the form of sums over eigenfuuetions system that corresponds to one-dimensional spectral problem. It is set the criterion of solution uniqueness and it is proved the solution stability of inverse problems on boundary data.

Key words: equation of mixed type, inverse problem, spectral method, existence, uniqueness, stability.