CC BY
50
УДК 517.95
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ С НЕИЗВЕСТНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
Г.Ю. Удалова 16)
Самарский государственный архитектурно-строительный университет, ул. Молодогвардейская, 194, Самара, 443001, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. В работе изучена задача для уравнения смешанного эллиптико-гиперболи-ческого типа в прямоугольной области с разными неизвестными правыми частями. Установлен критерий единственности решения этой обратной задачи. Само решение построено в виде суммы ряда по системе собственных функций соответствующей одномерной задачи на собственные значения. Доказана устойчивость решения по граничным функциям.
Ключевые слова: уравнение смешанного типа, обратная задача, спектральный метод, единственность, существование, устойчивость.
1. Введение. Рассмотрим уравнение Лаврентьева-Бицадзе с разными неизвестными правыми частями
Ьи = ихх + ^п у)иуу = /(х,у)=\^ К 0’ (1)
в прямоугольной области Б = {(х,у) | 0 < х < 1, -а<у<в} , где а, в - заданные положительные числа, и связанную с ним следующую задачу.
Обратная задача. Найти в области Б функции и(х,у) и / (х,у), удовлетворяющие условиям:
и(х,у) е С 1(Б) П С2(Б- и Б+) , Мх) е С(0,1) П Ь[0,1]; (2)
Ьи(х,у) = /(х,у) , (х,у) е Б- и Б+ ; (3)
их(0,у)= их(1,у) = 0 , -а ^ у ^ в ’ (4)
и(х, -а) = ф(х), и(х,в) = ф(х), 0 ^ х ^ 1; (5)
иу(х, -а) = д(х), иу(х,в) = к(х), 0 ^ х ^ 1; (6)
где ф(х), ф(х), д(х), к(х) - заданные достаточно гладкие функции, ф'(0) = ф'(1) =
ф (0) = ф(1) = 0, Б- = Б П {у < 0}, Б+ = Б П {у > 0}.
Вопросы разрешимости обратных задач для различных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались в работах А.Н. Тихонова [1], М.М. Лаврентьева [2], В.К. Иванова [3] и др. Подробная библиография работ, посвященных теории
6Удалова Г.Ю., ассистент Самарского государственного архитектурно-строительного университета.
обратных задач, приведена в монографии А.М. Денисова [4].
К.Б. Сабитов [5] предложил новый подход для обоснования существования и единственности решения прямых задач для уравнений смешанного типа в прямоугольной области - метод спектральных разложений. Этим методом изучены обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа [6] - [8] и эллиптико-гиперболического типа [9] - [12].
В настоящей работе в отличии от работ [9] - [12] изучается обратная задача (2) - (6) для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа (1) с разными правыми частями и граничными условиями второго рода. Установлен критерий единственности решения задачи, и само решение построено в виде суммы ряда Фурье по собственным функциям соответствующей одномерной задачи на собственные значения. Отметим, что аналогичная задача для уравнения (1) в случае fi(x) = f2(x) = f (x) изучена в работе [12].
2. Критерий единственности решения задачи. Разделяя переменные в уравнении (1) при f (x,y) = 0, получим относительно функции X(x) спектральную задачу:
где ц - постоянная разделения. Задача (7), (8) имеет следующую систему собственных чисел и собственных функций:
Система (9) ортонормирована, полна и образует базис в пространстве Ь2[0,1].
Пусть существует решение задачи (2) - (6). Будем искать его в виде суммы ортогональных рядов:
Xі1 (x) + nX(x) = 0 , 0 < x < І ,
Xі(0) = Xі(І) = 0 ,
(Т)
\[^k = nk , k = 0, І, 2,... ,
X0(x) = І , Xk (x) = V2cos nkx , k = І, 2,... .
(9)
(10)
k=1
(11)
k=1
где
(12)
(13)
fi,k = V2 fi(x) cosnkxdx,i = 1, 2 , k E N.
J 0
На основании (12) и (13) введем следующие вспомогательные функции:
Г15)
“*1 — £
щЛу) = u(x,y) dx.
16)
“*1 — £
uk,
(у) = V2 u(x,y)cosnkxdx, k E N.
:17)
Дважды дифференцируя функции (16) и (17) при у > 0 и у < 0 и учитывая уравнение (1), получим
и0,£(У) =
1—£ 1—£ 1—£
j uyy dx = J f1 (x) dx — J uxx dx , y > 0
£ £ £
1—£ 1—£ 1—£
J uyy dx = — J f2 (x) dx + J uxx dx , y < 0
V £ £ £
18)
u'L (У) = <
1—£ 1—£ 1—£
V2j «„ cos nkx dx = V2j f 1 (x) cos nkx dx —Vl J uxx cos nkx dx, y > 0,
£ £ £
1—£ 1—£ 1—£
V2 f uyy cos nkxdx = —V2 j f2(x)cos nkxdx + V2 j uxx cos nkxdx,y< 0.
(19)
Интегрируя последние слагаемые в формулах (18) и (19) по частям два раза и с учетом условий (4) переходя к пределу при £ ^ 0, получим
f1 (x) dx , y > 0
u0 (у) = <
(20)
— f2(x) dx, У < 0 ;
0
V2(nk)2 u(x,y)cos nkxdx + V2 f1(x) cos nkxdx, y> 0 ,
01 01
— V2(nk)2 u(x,y)cos nkxdx — V2 f2(x) cos nkxdx, y< 0 .
1
0
1
0
0
Отсюда следует, что функции ик (у), к £ N = N и{0}, являются решениями следующих дифференциальных уравнений:
,о у() о и у> 0 , (22
и'о(у) = —/2,о , у < 0 , (23
ик(у) — (пк)2ик(у) = /1,к , у> 0 , (24
ик(у) + (пк)2ик(у) = —/2,к , у < 0. (25
Му') = <
!1,о— + аоу + Ьо , у> 0
-12,0— + соУ + ^ , У < 0
Дифференциальные уравнения (22) - (25) имеют общие решения
акепку + Ьке-пку — , у > 0;
ик(у) =
(пк)2
ск ооб пку + йк вт пку —
2,к
(пк)
, у < 0, к £ N,
где ак, Ьк, Ск, dk - произвольные постоянные, к £ N0.
В силу (2) решения (26), (27) должны удовлетворять условиям склеивания:
ик(0 — 0) = ик(0 + 0), и'к(0 — 0) = ик(0 + 0), к £ Щ.
Удовлетворяя их этим условиям, получим d0 = Ь0, с0 = а0, ск = ак + Ьк +
dk = ак — Ьк. Тогда решения (26), (27) примут вид:
,2
(26)
(27)
12,к /1,к (пк)2 '
ио(у) = <
Доу^ + аоу + Ьо , у> 0
—12,02 + аоу + Ьо , у < 0
(28)
ик (у)
(
ак + Ьк +
ак епку + Ьк е-пку —
(пк)2
$2,к — $1,к
)
сое пку + (ак — Ьк) вт пку —
2,к
(пк)2 (пк)2
На основании (5), (6) и (12), (13) имеем
ик (—а) = фк, ик (в) = фк, ик (—а) = дк, ик (в) = Ьк,
у> 0; у < °-
(29)
2
2
2
где фк, фк, дк, Нк - коэффициенты разложения функций ф(х), ф(х), д(х), к(х) соответственно в ряд по системе (9), то есть
ф0 = ф(х) dx, фк = V2 ф(х) cos nkxdx,
(31)
ф0 = ф(х) dx, фк = V2 ф(х) cos nkxdx,
оо
g0 = g(x) dx, gk = V2 g(x) cos nkxdx,
(32)
(33)
h0 = h(x) dx, hk = V2 h(x) cos nkxdx, k E N.
(34)
Удовлетворим решения (28), (29) условиям (30). Тогда получим относительно неизвестных ак, Ьк и /х,к, /2,к, к £ Щ, системы линейных уравнений
—аао + Ьо —— f2,o = фо, в 2
ва0 + Ь0 + — f1,0 = ^,
а0 + af2,0 = gо, а0 + ef1,0 = h0,
(35)
, . , . , ,, cos nka cos nka — 1
(cos nka — sin nka)ak + (cos nka + sin nka)bk----------- Дк +------- f2,k = фк ,
(nk)
(nk)2
(nk)
2 J1,k фk
(sin nka + cos nka)ak + (sin nka — cos nka)bk — ^ fi,k + ^ f2,k =
(n k) (n k) n k
enkeak — e-nkebk = ^ .
nk
Определители Aae (0), (k) систем (35), (36) равны соответственно:
авАар(0) = 2ав(а + в),
(36)
(37)
Аав(k) = (— sin nka + sh nke + sin nka ch nke — cos nka sh nke)
(n k) (n k)
Очевидно, что Аав (0) > 0. Тогда при условии, что при всех k E N
(38)
о
о
о
о
о
о
214 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26
системы (35) и (36) имеют единственные решения:
ао =
Ьо =
Л ,о
12 ,0
2(ф0 - - фо) — адо— eho 4 о
(0) Д
2(вфо + аФо) + ав (до — ho) Дав(0) , (41
2( ф О — фо) + адо + (а + 2в )h 2 (4
(0) е Д в
2( ф О — фо) + (2а + в )до + вЬ 4 со
(0) е Д а
ак = А-1(к)^е-пкв sin пка(фк — фк) + (1 - cos пка)е-пквдк/пк^ +
+ Д-в(к) ^1 + sinпка — cosпка — е-пкв sinnkOjhk/пк, (44)
bk = Д-1(к)^т пкаепкв (фк — фк) + (1 — cos пка)епкв gk /пк) +
+ Д-1 (к) ^1 — sin пка — cos пка + sin пкаепк^ hk/п , (45)
fi, к = Д-1(к)(пк)2 [sin пка • фк + (cos пка sh пк/З — sin пка ch пк/З — sh пк/З )фк ] +
+ Д-i (к)пк [(1 — cos пка)дк + (sin пка sh пк/З — cos пка ch пк/З + ch пк/З)hk] , (46)
f2 , к = Д-i (к)(пк)2 [(sin пка + cos пка sh пк/З — sin пка ch пк/З )фк — sh пк[3фк ] +
+ Д-1(к)(пк) [(— cos пка + sin пка sh пк/З — cos пка ch пк/З )дк + (ch пк/З — 1)hk ] .
(47)
Таким образом, функции (28) и (29) построены однозначно. Докажем теперь единственность решения задачи (2) - (6). Пусть ф(х) = ф(х) = g(x) = h(x) = 0 и выполнены условия (39). Тогда в силу (31) - (34) фк = фк = дк = hk = 0, к Е N0, а значит, системы (35) (36) имеет нулевое решение: ак = bk = fi,к = f2,к = 0, к Е N0. Тогда из
равенств (12) - (15) получаем, что при всех у Е [—а, в]
/ u(x,y) dx = 0 , / fi(x) dx = 0 ,i = 1, 2 ,
00
V2 u(x,y)cos пkxdx = 0 , V2 fi (x) cos пkxdx = 0 ,i = 1, 2 , к Е N.
00
Отсюда в силу полноты системы (9) в пространстве L2[0,1] и условий (2) следует, что u(x,y) = 0 и f (x,y) = 0 в D.
Пусть для некоторых а, в и к = р выражение Дав(р) = 0, тогда задача (2) - (6), где ф^) = ip(x) = g(x) = h(x) = 0, имеет ненулевое решение
up{y)
sin npa(ch np(y — в) — 1)
{np)2\
shпрв cos np(y + a) — A(p) {np)2Ap
2,p
У> 0 ,
(49)
f2,p , У < 0 ,
. , . Sin npa
h,p(X) = -IT, 4 J2,p cos npx,
(50)
(51)
A(p)
f2,p(x) = f2,p COs npx,
где A(p) = cos npa sh npfi + sin npa — sin npa ch npfi, f2,p - произвольная, отличная от нуля постоянная.
Естественно возникает вопрос при каких а и в выражение Аав (к) обращается в нуль. Для этого представим Аав (к) в следующем виде:
л /7\ . . пка пкв /-.—гг- . (пка \
Аав (к) = 4sm-^sh-^Vch пкв sin I + ®к\
sh пкв/2 п
' при к ^ +то. из пре^
пка
(52)
.------ ^ — при к ^ +то. Из представления (52) видно, что выра-
^/ch пкв 4
где вк = arcsin жение Аав(к) = 0 тогда и только тогда, когда sin
2
0: апх
2п] к
(пка \ 0 или sin I —--+ вк\
2П2
~к
= 0.
2ви
пк
В результате, получаем две серии корней Аар(к) щ,п2 Е N, к = 1, 2,... . Таким образом, доказана следующая
Теорема 1. Если существует решение задачи (2) - (6, то оно единственно тогда и только тогда, когда выполнены условия (39) при всех к Е N.
3. Существование решения задачи. Решение задачи (2) - (6) при условии (39) получено формально в виде сумм ортогональных рядов (10), (11). Поскольку Аар(к) входит в знаменатель коэффициентов этих рядов, то для обоснования существования решения задачи (2) - (6) необходимо показать существование чисел а и в таких, что при больших к выражение Аар(к) отделено от нуля. В противном случае может возникнуть проблема малых знаменателей [6, 13].
Для обоснования существования решения докажем следующее утверждение.
Лемма 1. Если а > 0 является алгебраическим числом степени п ^ 2, то существуют положительные постоянные во и С0, вообще говоря зависящие от а, такие, что при всех в > во и к Е N справедливы оценки
пкв
к2+е
п>2
(53)
\Аав(к)\ > епквC , п = 2
где £ > 0 - достаточно малое число.
□ Представим выражение (52) в виде:
Аав(k) = епкв V2 (1 — е-пкв) \J 1 + е-2пкв sin nkal sin (nkal + вк), где а1 = а/2. Заметим, что для любых к £ N
2 > V2 (1 — е-пкв) V1 + е-2пкв > V2 (1 — е-пв) = Ci,
(55)
(56)
Ci здесь и далее положительные постоянные, вообще говоря, зависящие от в и а. Рассмотрим теперь множитель sin пка1 выражения (55) и представим в виде
|sinпка1\ = |sin(nkal — пп)\ = sinnk — -—j Для любого k £ N существует натуральное n такое, что
nN
а1
1
< 2k
(57)
В самом деле, чтобы выполнялось неравенство (57) достаточно положить
n=
[aik] , {aik} < ^
[aik] + І , {aik} > ^ ■
Из теории чисел известно [14, с.268], что для любого алгебраического числа а\ степени п ^ 2 и произвольного положительного числа 7 найдется положительное число С2, зависящее от а и 7 такое, что при любых целых р, д (д > 0) будет иметь место неравенство
p
а1------
q
Co
q
0+Y
Пусть п £ N такое, что выполнено неравенство (57). Отсюда имеем
(58)
nk
n
а1 —
п < 2
(59)
Тогда с учетом неравенства
2
п
sin x > — x , 0 < x < — ,
п ’ 2 ’
(60)
и оценки (58) при всех k Є N будем иметь
n
2C2
k1+Y
k
Теперь рассмотрим следующий множитель выражения (55)
Isin (nkal + Ok) I = I sin (nkal — nn + Ok) I
sin
nk ^ai — ^ + Ok
• sh x/2
Функции y = arcsin u и u = , возрастают, следовательно, имеет место неравенство
\/ ch 2x
n
Ol ^ Ok < 4
(62)
Учитывая оценки (58) и (59) можем записать
ПС2
kl+Y
< nk
ai
m
п < -2
(6З)
Тогда, в силу (62) и (63), возможны два случая:
Г).
2).
п 2 <
ai
m
і r\ і 3n
+ \OkI < -4 ;
0 <
п < 2
ство
В первом случае в силу убывания функции y = sin x при x Е верно неравен-
(64)
sin
m
nk \al------k ) + Ok
. 3п ^/2
> sin — = — 4 2
Рассмотрим теперь второй случай. Учитывая неравенство (60), имеем
22
sin Inkal — nm + OkI > — Inkal — nm + OkI = —
n n
4m — Г n
nkai-------4— n + Ok — 4
2 4m — Г n ||
Л nkal n l 4 — Ok — 4
)
(65)
Используя оценку (58), оценим снизу первое слагаемое неравенства (65):
ПС2
4m — Г = nk 4m — Г
nkal 4— n a — >
2k
(2k)
l+Y
(66)
Теперь, применяя формулу разности арксинусов аrcsin х — arcsin у = arcsin(xy//Г~ — х2), ху > 0, оценим сверху второе слагаемое (65):
y
n
Ok — 4 = ||
sh nke/2 г
arcsm —, , , „ — arcsm у 2
Г
arcsm
n
gnkfiyj Г + g — 2nkl3
л/ch nke
n < —
Г
<
n
nke
так как I aгcsinxI < ^x, 0 < jxI < Г.
Итак, из оценок (64) - (67) имеем
і , - л \ і 2 (пС2 п \
І^т (пка1 + вк) | > Д — - — ^
к1+~*
і
эпкр
(68)
Заметим, что епкв > (пкв)1+7 для всех к. Тогда из (68) имеем
і ґ „ і \ С4
|віп (пка1 + вк)| >
к1+У
(С -
(пв)1+У к1+"> ’
(69)
где С4 > 0 при в > во
і
пС^+'О
Таким образом, из (56), (61) и (69) получим оценку (53).
В случае п = 2 более точный результат дает теорема Лиувилля [15, с.160]: для любого алгебраического числа а степени п = 2 существует положительное число 8 > 0 такое, что при любых целых р, д (д> 0) справедливо неравенство
Р
а----
д
8
> ■
д2
Проводя рассуждения, аналогичные первому случаю п > 2, получим оценку (54). В Отметим, что любое иррациональное число а единственным образом разлагается в бесконечную цепную дробь а = {а0,а\,а2,... ,ап,...], при этом целые числа а\, а2, ... называются элементами числа а. Как известно элементы всякой квадратичной иррациональности ограничены.
Лемма 2. Пусть а > 0 является иррациональным числом с неограниченными элементами. Тогда для любого £ > 0 существует бесконечное множество натуральных чисел к таких, что
(к)І <ЄПкв
єС5
к
(70)
□ В силу теоремы 23 [15, с.49] для любого иррационального числа а с неограниченными элементами при любом є > 0 существует бесконечное множество пар целых чисел (к,т), к > 0, таких, что
т
а — — а к
є
< к2
Тогда
ІАар(к)І < епкв |віппка1І ■ ^іп(пка1 + 9к)| ^
ажкр
Віп пк(аі - т)
£ епквпк
а1 -
т
к
<е
пкв
єС5
~к~
Заметим, что из полученной оценки следует, что для а > 0, удовлетворяющих условию леммы 2, выражение Аар(к) может быть сколь угодно малым, а следовательно, решение задачи в виде сумм рядов (10), (11) для таких а не существует.
Далее, для доказательства существования решения задачи, из ряда (10) почленным дифференцированием составим ряды:
пх(х,у) = —\[2 £ пкпк(у) sin пкх , (71)
к=0
<х>
ПУ(х,у) = п0(у) + пкЫ^ппкх , (72)
к=0
<х>
Пхх(х,у) = ^\/2^2(пк)2пк(у) СО пкх , (73)
к=1
ПУУ(х,у) = по(у) + п'к(у)^пкх . (74)
к=0
Лемма 3. Пусть справедливо неравенство (53). Тогда для любых у £ [—а, в] справедливы оценки
| пк (у) | ^ Сб (к2+£ | фк | + к2+£ | фк | + к1+£ | дк | + к1+£ | Нк |) , (75)
I <(у) | ^ С (к4+£|фк| + к4+£|фк| + к3+£|дк| + к3+£|Нк|) , (76)
\ь,к| ^ с8к3+£ ^-Пв + к\фк| + еА + \Нк^ , (77)
Ц2,к| ^ Сдк3+£ (кфк| + кф| + д| + Н|) . (78)
Если справедлива оценка (54), то
К(у) ^ Сбк (кф| + Цфк| + д| + Н|) , (79)
|n,l(y)| ^ Ск (кфк| + кф| + ^к| + Нк|) , (80)
и1,к| ^ с&-3 ^кфв + к\фк| + ^^ , (81)
Ц2,к| ^ Сдк3 Щфк| + кф| + ^к| + Н|) . (82)
□ Непосредственно из равенств (44) - (47), учитывая лемму 1, имеем
К| « (е-'кв(фкI + ф|) + е-ПквМ + (1+ 72 + е-'к<>) 1М)
(83)
^к| « ^еПкФ (е’кв(фк\ + ф|) + еПквМ +(1 + ,Т2 + е’кв) ^)
^ С7к1+£ (к |фк| + к | фк | + | дк| + | Нк | ) ,
к2+'
111,к| ^ С0епкв ((пк)21фкI + 3(пк)2епкв|фк| + 2пк|дк| + 3пкепкв|Нк| )
(
(85)
Щфк |
епкв
« Ск«1 + кф\ + -М + Нк\)
к2+£
1Ь.к| < С0епкв ((пк)2 (1 + 2е'кв) фк| + е'кв(пк)'2\фк| + пк (1 + 2е'кв) \дк\ + пк.е'квН|)
^ Сяк3+£ (кф\ + к\фк\ + \дк\ + Н|) ■ (86)
Из формул (28), (29) и неравенств (83) - (86) получим оценку (75) для пк. Для того,
чтобы получить оценку (76), найдем производные:
пк(у)
пк (у) =
пк (акепку — Ьке-пку) ,
пк ^а>к + Ьк + sin пку + (ак — Ьк) со пку
(пк)2 (акепку + Ьке-пку
(пк)2
— I ак + Ьк + ^2'( , /21,к^ sinпку — (ак — Ьк) sinпку
(пк)2
у> 0; у < 0 ,
у> 0;
, у < 0.
Отсюда и из оценок (83) - (86) следует справедливость (76).
Неравенства (79) - (82) выводятся аналогичным образом. В
Из последней леммы следует, что ряды (10), (11), (71) - (74) мажорируются числовым рядом
СЮ£ (к4+£\фк\ + к4+£\фк\ + к3+£\дк\ + к3+£\Нк|)
(87)
к=1
Лемма 4. Пусть ф(х), ф(х) £ С5[0,1], д(х), Н(х) £ С4[0,1], ф"'(0) = ф"'(1) = ф"'(0) = ф'''(1) = д'(0) = д'(1) = д'''(0) = д'''(1) = Н'(0) = Н'(1) = Н'''(0) = Н'''(1) = 0. Тогда справедливы представления
ф{5) фк = — фк
где
(пк)5
(4)
п = -дк—
дк (пк)4
ф^ = л/2 фу (х) sin пкхйх.
ф
(5) ф к
(пк)5
Н
Н,— к
(4)
=
(пк)4
ф
(5)
^2 фу (х) sin пкх 4х .
д
(4)
л/2 д1у (х) cos пкх dx
Н^ = л/2 Н1у (х) cos пкх dx
(89)
(90)
(91)
о
о
о
ГО ОО
^ I ф(к] \ 2 < Щ\ФУ (Ж)11!2[0,1] , ^ I Фк5) \ 2 < Щ\фУ (Х)И2[0,1] , (92)
к=1 к=1
ГО ГО
^ \ дкк4\2 < 16\\д1У(х)\ I^2[0,1] , X! \ ьк4\2 < 16\\з1У(х)1И2[0,1] • (93)
к=1 к=1
□ Интегрируя вторые интегралы формул (31), (32) по частям пять раз, а интегралы формул (33), (34) - четыре раза, получим непосредственно выражения (88), (89).
Поскольку системы функций (9) и {л/2зтпкх}ГО=1 ортонормированы в пространстве Ь2[0,1], то справедливость оценок (92), (93) следует из неравенства Бесселя по этим системам. В
При выполнении условий леммы 4 ряд (87) мажорируется числовым рядом
ГО
С“Е к— (\ Ф(5) ! +! Ф5) \ + \ д14) \ + \ Ь4 \) • (94)
к=1
Лемма 5. Пусть функции ф(х), ф(х), д(х) и к(х) удовлетворяют условиям леммы
4 и ф(х), ф(х) £ С5+[0,1], д(х), к(х) £ С4+[0,1], е < 5 < 1. Тогда справедливы оценки:
\ ф5 \ < Си < к , \ Ф5) \ < С14 < к , 5 (9
1 д'к’ 1 < С15 < к , \ ь к4) \ < С16 < к • (96
□ следует из теоремы о скорости убывания коэффициентов ряда Фурье функции, удовлетворяющей на [0,1] условию Гельдера с показателем 5 £ (0,1) [16, с.81]. В В силу леммы 5 ряд (94) мажорируется сходящимся числовым рядом
ГО
С1^ кМ— • к=1
Тогда ряд (94), а значит и ряд (87) сходятся. Из сходимости этих рядов в силу признака Вейерштрасса сходятся равномерно ряды (10), (71), (72) в замкнутой области Б, ряды (73), (74) - в замкнутых областях Б+ и Б_, ряды (11) - на отрезке [0,1]. Следовательно функции и(х,у) и f (х,у) удовлетворяют условиям (2). Подставляя ряды (10), (11) в уравнение (1), убеждаемся, что эти функции удовлетворяют условию (3).
В случае, когда а является алгебраическим числом степени п = 2, в приведенных выше формулах е = 0, и ряд (94) сходится. Тогда построенные функции и(х,у) и ^(х), г = 1, 2, аналогично являются решением задачи (2) - (6), причем, для этого достаточно, чтобы функции ф(х), ф(х), д(х), к(х) обладали гладкостью, указанной в лемме 4. Итак, доказаны следующие утверждения.
Теорема 2. Пусть функции ф(х) ,ф(х), д(х) и к(х) удовлетворяют условиям леммы
5 и имеет место оценка (53). Тогда существует единственное решение задачи (2) - (6),
которое определяется рядами (10), (11).
Теорема 3. Пусть функции ф(х) ,ф(х), д(х) и Н(х) удовлетворяют условиям леммы 4 и имеет место оценка (54). Тогда существует единственное решение задачи (2) - (6), которое определяется рядами (10), (11).
4. Устойчивость решения задачи. Введем следующие нормы:
\ 1/2
ІНкад — ( І | и(х,у)| 2^ж)
Іи(х,У)Іс(Б) - тах 1 и(х,у)1 ,
Б
II/(х)ІІ
/0 (е/(к)(х)|2^ йх
1/2
п Є N .
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для решения (10) и (11) задачи (2) - (6) справедливы оценки
Іи(х,у)^Ь2 ^ С17(||ф||ж3 + ІМІЖ| + ||д||ж2 + ||Н||ж2),
І/і(х)^Ь2 ^ С18 (||ф||ж| + ||ф|Ж| + ІІдІІЖ4 + ||Н||ж4), І — 1, 2 , ІІи(х,у)ІІС(Б) ^ С19(ІІфІІЖ4 + ||ф||ж24 + ІІдІІщ3 + ||Н||ж3), І/і(х)ІС(Б) ^ С20(||ф||щб + ||ф||ж6 + ІМІ^6 + ), І — 1, 2 ,
(97)
(98)
(99)
: іоо)
где постоянные Сі, І — 17, 20, не зависят от функций ф, ф, д и Н.
□ Поскольку система (9) ортонормирована в Ь2[0,1], то из (10) и (75) получаем
к=1
(Ш + |ф0| + Ы + |Н0|)2 +
+ Е (к2+£фк| + к2+єф| + к1+є^к| + к1+£Нк|)2
к=1
Ш + |ф0| + |д0| + |Н0| +
+ ^ (к4+2є|фк|2 + к4+2є|фк|2 + к2+2є|дк|2 + к2+2є|Нк|2)
к=1
. (101)
С,1 здесь и далее положительные постоянные. Представим коэффициенты фк, фк, дк и Нк в виде:
№к|
(3)1 1о(2)1 Н(2)1
І фк | — т , | дк I—^ ■ I Н | —
|ф3)| ,ф і — ^к
(пк)3
102)
где фк\ фк3, д^к2 и Ь^ - коэффициенты разложения в ряд Фурье по системам {л/2втпкх}ГО==1, (9) соответственно функций ф"'(х), ф"'(х), д"(х), Ь"(х). Подставляя (102) в неравенство (101), получим
\и(х,У)\ь2 < 4С
\ф0\2 + \ф0\2 + \д0\2 + Ы2 +
+
ГО
Е к4+2
к=1
|ф(3)Р |ф(3)|2 |д(2)|2 |д(2)'2'
£ \ фк \ + к4+2£ к \ + к2+2£ к \ + к2+2£ к
(пк)6
(пк)6
(пк)4
(пк)4
<
(103)
< 4С
\ф0\2 + \ф0\2 + \д0\2 + \ь0\2 + Е (\фк3)\2 + \фк3)\2 + \дк2)\2 + \ьк2)\2)
к=1
Заметим, что
\ф0\2 = / ф(х) х <
)
1 \ 2 (1-1 22
1 йх
ф (х) йх
)
= ф2(х) йх = ||ф|||2 ,
0
ГО ГО 1
Е\фк3>\2 «Е = (Г(х))2йх = \\4.'"\Ц2
к=1 к=1
Аналогично\ф0\2 < , \д0\2 < ||д||^2, \Ь0\2 < , £*= \фк3)\2 < Нф"'^, £*= \дк2)\2 <
"м12, Е^=1 \ьк2)\2 < . Отсюда и из (103) следует
\\и(х,у)\\2Ь2 < 4С\ [ЦфЦЪ + МЪ + \\д\\12 + \\Ь\\2Ь2 + \\ф"'\\12 + \\ф"'\\12 + \\д"\\12 + \\д"\\12] <
< С127(|ф\^з + М\ш? + 1Ы1
),
что означает справедливость оценки (97).
Пусть (х,у) - произвольная точка из Б. Учитывая (75), получим
< С2
\«(*,у)\ < \щ(у)\ + £ \ик(у)\ <
ГО
Е
к=1
к=1
Представив коэффициенты \фк\, \фк\, \дк\, \Ьк\ в виде
\фк \
\ф!4)\ М4)1 , _ \д(3)|
(пк)4
\фк \
(пк)4
\дк \
(пк)3
\Ьк\
1^3)!
(пк)3
(104)
где ф^, ф^, дк3), Ьк3 - коэффициенты разложения в ряд Фурье по системам (9) и {л/^т пкх}ГО=1 соответственно функций ф1У (х), ф1У(х), д111 (х), Ь111 (х), из (104)
2
1
1
2
0
0
к
к
получим
\и(х,у) \ < С2
\ ф0 \ + \ ф0 \ + \ д0 \ + \ Ь0 \ +
ГО
Е к
к=1 \
|ф(4)1 |ф(4)1 1а(3)1 |Ь(3)1
\ фк \ , 7„2+£ \ фк \ , 7_1+£ \ дк \ , 7_1+£ \ Ьк \
+ V к2+£^\ + к2+£¥к± + к1+£\^\ + к1+‘
<
< СС2
(пк)4 (пк)4 (пк)3 (пк)3
го
\ ф0 \ + \ ф0 \ + \ д0 \ + \ ь0 \ + ^2 к ( \ ф('к4 \ + \ фк4 \ + \ д('к) \ + \ Ьк3) \ )
к=1
На основании неравенства Коши-Буняковского имеем
1 г 1
ГО / ГО л \ 2 /го \ 2 /го \
ЕК^\ + \ фк4’ \ + \ дк"\ + \ ь?\) < ££ !>к4) \ 0 + £1 *?>\2
\к=1 / \к=1 / \к=1 /
105)
к=1
+
ГО \ 2 /го \ 2 /
£\дк3N + [Е\ Н?\0 =(
к=1 / \к=1 / '
п
~6
ТУ |
\ \ ь + \ \ ф'У \ \ ь + \\д"' \ \ Ь, + \ \ Н'" \ \ ь
<4) \2| +
*) •
106)
При получении оценки (106) было использовано равенство ГО=1 1/к2 = п2/6.
С учетом (106) неравенство (105) примет вид
\ и(х,у) \ < С3 [\ф\ь2 + \\ф\\ь2 + \\д\\ь2 + \\Ь\\ь2 + (\\ф1У\\Ь2 + \\ф1У\\Ь2 + ||д'''||ь2 + 11Ь'''1Ь2 )]
< С19 ( \ \ф \ \ + \ \ф \ \ + \ \д \ \ шз3 + \ \ь \ \ шз3
Аналогично на основании неравенств (77), (78) устанавливается справедливость оценок (98) и (100). В
Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для решения (10) и (11) задачи (2) - (6) справедливы оценки
\\и(х,у)\\ь2 < С17( ||ф || Ш2 + НИШ! + \\д\\ш1 + ||Ь\ш21),
11/г(х)1|ь2 < С18(\\ф\\ш2 + ||ф|1ш4 + (ЫШ3 + И^Ш3), г =1, 2 ,
Ни(х,у)\\с(Б) < С19(||ф||ш23 + 11ф11ш3 + Нд\\ш2 + Нь\\ш2),
11/г(х)11с(д) < С20(Нф\\ш5 + Нф\\ш5 + Нд\\ш4 + Нь\\ш4), г = 1,2 •
□ Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 4 с использованием оценок (79), (81) и (82). В
2
Литература
1. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. - 1943. - 39;5. - С.195-198.
2. Лаврентьев М.М. Об одной задаче для волнового уравнения // ДАН СССР. - 1964. -
157;3. - С.520-521.
3. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / М.: Наука, 1978. - 206 с.
4. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач / М.: МГУ, 1994. - 285 с.
5. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // ДАН СССР. - 2007. - 413;1. - С.23-26.
6. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // ДАН СссР. - 2009. - 429;4. - С.451-454.
7. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // Известия Вузов. Математика. - 2010. - 4. - С.55-62.
8. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-ги-перболического типа // Матем. заметки. - 2010. - 87;6. - С.907-918.
9. Сабитов К.Б., Мартемьянова Н.В. Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа // Известия Вузов. Математика. - 2011. - 2. - С.71-85.
10. Сабитов К.Б., Хаджи И.А. Краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с неизвестной правой частью // Известия Вузов. Математика. - 2011. - 5. - С.44-52.
11. Мартемьянова Н.В. Нелокальная обратная задача для уравнения с оператором Лаврен-тьева-Бицадзе в прямоугольной области // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения» (28 - 30 июля 2011 г., г. Стерлитамак) / Уфа: Гилем, 2011. С.153-158.
12. Удалова Г.Ю. Обратная задача для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Вестник СамГУ - Естественно-научная серия. - 2010. - №4(78). - С.116-122.
13. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН. - 1963. - XVIII;6(114). - С.91-192.
14. Бухштаб А.А. Теория чисел / М.: Просвещение, 1966. - 384 с.
15. Хинчин А.Я. Цепные дроби / М.: Наука, 1978. - 112 с.
16. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.1 / М.: Мир, 1965. - 616 с.
BOUNDARY PROBLEM FOR LAVRENTYEV-BICZADZE’s EQUATION WITH UNKNOWN RIGHT-HAND PART G.Y. Udalova Samara state architectural-construction university,
Molodogvardeyskaya St., 194, Samara, 443001, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. Boundary problem for differential equation of mixed elliptic-hyperbolic type with various unknown right sides in the rectangular domain is studied. The criterion uniqueness of a solution is found. The solution is constructed as the sum of eigenfunctions connected with special one-dimensional boundary problem. The solution stability relative to boundary functions is proved.
Key words: mixed type equation, inverse problem, spectral method, uniqueness, solution existence, stability.
