Научная статья на тему 'Краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с неизвестной правой частью'

Краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с неизвестной правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
217
57
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
УРАВНЕНИЕ СМЕШАННОГО ТИПА / ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА / СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД / ЕДИНСТВЕННОСТЬ / СУЩЕСТВОВАНИЕ / УСТОЙЧИВОСТЬ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Удалова Г. Ю.

В работе изучена задача для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области с разными неизвестными правыми частями. Установлен критерий единственности решения этой обратной задачи. Само решение построено в виде суммы ряда по системе собственных функций соответствующей одномерной задачи на собственные значения. Доказана устойчивость решения по граничным функциям.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с неизвестной правой частью»

УДК 517.95

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ С НЕИЗВЕСТНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

Г.Ю. Удалова 16)

Самарский государственный архитектурно-строительный университет, ул. Молодогвардейская, 194, Самара, 443001, Россия, e-mail: yeyeg@yandex.ru

Аннотация. В работе изучена задача для уравнения смешанного эллиптико-гиперболи-ческого типа в прямоугольной области с разными неизвестными правыми частями. Установлен критерий единственности решения этой обратной задачи. Само решение построено в виде суммы ряда по системе собственных функций соответствующей одномерной задачи на собственные значения. Доказана устойчивость решения по граничным функциям.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, обратная задача, спектральный метод, единственность, существование, устойчивость.

1. Введение. Рассмотрим уравнение Лаврентьева-Бицадзе с разными неизвестными правыми частями

Ьи = ихх + ^п у)иуу = /(х,у)=\^ К 0’ (1)

в прямоугольной области Б = {(х,у) | 0 < х < 1, -а<у<в} , где а, в - заданные положительные числа, и связанную с ним следующую задачу.

Обратная задача. Найти в области Б функции и(х,у) и / (х,у), удовлетворяющие условиям:

и(х,у) е С 1(Б) П С2(Б- и Б+) , Мх) е С(0,1) П Ь[0,1]; (2)

Ьи(х,у) = /(х,у) , (х,у) е Б- и Б+ ; (3)

их(0,у)= их(1,у) = 0 , -а ^ у ^ в ’ (4)

и(х, -а) = ф(х), и(х,в) = ф(х), 0 ^ х ^ 1; (5)

иу(х, -а) = д(х), иу(х,в) = к(х), 0 ^ х ^ 1; (6)

где ф(х), ф(х), д(х), к(х) - заданные достаточно гладкие функции, ф'(0) = ф'(1) =

ф (0) = ф(1) = 0, Б- = Б П {у < 0}, Б+ = Б П {у > 0}.

Вопросы разрешимости обратных задач для различных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались в работах А.Н. Тихонова [1], М.М. Лаврентьева [2], В.К. Иванова [3] и др. Подробная библиография работ, посвященных теории

6Удалова Г.Ю., ассистент Самарского государственного архитектурно-строительного университета.

обратных задач, приведена в монографии А.М. Денисова [4].

К.Б. Сабитов [5] предложил новый подход для обоснования существования и единственности решения прямых задач для уравнений смешанного типа в прямоугольной области - метод спектральных разложений. Этим методом изучены обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа [6] - [8] и эллиптико-гиперболического типа [9] - [12].

В настоящей работе в отличии от работ [9] - [12] изучается обратная задача (2) - (6) для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа (1) с разными правыми частями и граничными условиями второго рода. Установлен критерий единственности решения задачи, и само решение построено в виде суммы ряда Фурье по собственным функциям соответствующей одномерной задачи на собственные значения. Отметим, что аналогичная задача для уравнения (1) в случае fi(x) = f2(x) = f (x) изучена в работе [12].

2. Критерий единственности решения задачи. Разделяя переменные в уравнении (1) при f (x,y) = 0, получим относительно функции X(x) спектральную задачу:

где ц - постоянная разделения. Задача (7), (8) имеет следующую систему собственных чисел и собственных функций:

Система (9) ортонормирована, полна и образует базис в пространстве Ь2[0,1].

Пусть существует решение задачи (2) - (6). Будем искать его в виде суммы ортогональных рядов:

Xі1 (x) + nX(x) = 0 , 0 < x < І ,

Xі(0) = Xі(І) = 0 ,

(Т)

\[^k = nk , k = 0, І, 2,... ,

X0(x) = І , Xk (x) = V2cos nkx , k = І, 2,... .

(9)

(10)

k=1

(11)

k=1

где

(12)

(13)

fi,k = V2 fi(x) cosnkxdx,i = 1, 2 , k E N.

J 0

На основании (12) и (13) введем следующие вспомогательные функции:

Г15)

“*1 — £

щЛу) = u(x,y) dx.

16)

“*1 — £

uk,

(у) = V2 u(x,y)cosnkxdx, k E N.

:17)

Дважды дифференцируя функции (16) и (17) при у > 0 и у < 0 и учитывая уравнение (1), получим

и0,£(У) =

1—£ 1—£ 1—£

j uyy dx = J f1 (x) dx — J uxx dx , y > 0

£ £ £

1—£ 1—£ 1—£

J uyy dx = — J f2 (x) dx + J uxx dx , y < 0

V £ £ £

18)

u'L (У) = <

1—£ 1—£ 1—£

V2j «„ cos nkx dx = V2j f 1 (x) cos nkx dx —Vl J uxx cos nkx dx, y > 0,

£ £ £

1—£ 1—£ 1—£

V2 f uyy cos nkxdx = —V2 j f2(x)cos nkxdx + V2 j uxx cos nkxdx,y< 0.

(19)

Интегрируя последние слагаемые в формулах (18) и (19) по частям два раза и с учетом условий (4) переходя к пределу при £ ^ 0, получим

f1 (x) dx , y > 0

u0 (у) = <

(20)

— f2(x) dx, У < 0 ;

0

V2(nk)2 u(x,y)cos nkxdx + V2 f1(x) cos nkxdx, y> 0 ,

01 01

— V2(nk)2 u(x,y)cos nkxdx — V2 f2(x) cos nkxdx, y< 0 .

1

0

1

0

0

Отсюда следует, что функции ик (у), к £ N = N и{0}, являются решениями следующих дифференциальных уравнений:

,о у() о и у> 0 , (22

и'о(у) = —/2,о , у < 0 , (23

ик(у) — (пк)2ик(у) = /1,к , у> 0 , (24

ик(у) + (пк)2ик(у) = —/2,к , у < 0. (25

Му') = <

!1,о— + аоу + Ьо , у> 0

-12,0— + соУ + ^ , У < 0

Дифференциальные уравнения (22) - (25) имеют общие решения

акепку + Ьке-пку — , у > 0;

ик(у) =

(пк)2

ск ооб пку + йк вт пку —

2,к

(пк)

, у < 0, к £ N,

где ак, Ьк, Ск, dk - произвольные постоянные, к £ N0.

В силу (2) решения (26), (27) должны удовлетворять условиям склеивания:

ик(0 — 0) = ик(0 + 0), и'к(0 — 0) = ик(0 + 0), к £ Щ.

Удовлетворяя их этим условиям, получим d0 = Ь0, с0 = а0, ск = ак + Ьк +

dk = ак — Ьк. Тогда решения (26), (27) примут вид:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

,2

(26)

(27)

12,к /1,к (пк)2 '

ио(у) = <

Доу^ + аоу + Ьо , у> 0

—12,02 + аоу + Ьо , у < 0

(28)

ик (у)

(

ак + Ьк +

ак епку + Ьк е-пку —

(пк)2

$2,к — $1,к

)

сое пку + (ак — Ьк) вт пку —

2,к

(пк)2 (пк)2

На основании (5), (6) и (12), (13) имеем

ик (—а) = фк, ик (в) = фк, ик (—а) = дк, ик (в) = Ьк,

у> 0; у < °-

(29)

2

2

2

где фк, фк, дк, Нк - коэффициенты разложения функций ф(х), ф(х), д(х), к(х) соответственно в ряд по системе (9), то есть

ф0 = ф(х) dx, фк = V2 ф(х) cos nkxdx,

(31)

ф0 = ф(х) dx, фк = V2 ф(х) cos nkxdx,

оо

g0 = g(x) dx, gk = V2 g(x) cos nkxdx,

(32)

(33)

h0 = h(x) dx, hk = V2 h(x) cos nkxdx, k E N.

(34)

Удовлетворим решения (28), (29) условиям (30). Тогда получим относительно неизвестных ак, Ьк и /х,к, /2,к, к £ Щ, системы линейных уравнений

—аао + Ьо —— f2,o = фо, в 2

ва0 + Ь0 + — f1,0 = ^,

а0 + af2,0 = gо, а0 + ef1,0 = h0,

(35)

, . , . , ,, cos nka cos nka — 1

(cos nka — sin nka)ak + (cos nka + sin nka)bk----------- Дк +------- f2,k = фк ,

(nk)

(nk)2

(nk)

2 J1,k фk

(sin nka + cos nka)ak + (sin nka — cos nka)bk — ^ fi,k + ^ f2,k =

(n k) (n k) n k

enkeak — e-nkebk = ^ .

nk

Определители Aae (0), (k) систем (35), (36) равны соответственно:

авАар(0) = 2ав(а + в),

(36)

(37)

Аав(k) = (— sin nka + sh nke + sin nka ch nke — cos nka sh nke)

(n k) (n k)

Очевидно, что Аав (0) > 0. Тогда при условии, что при всех k E N

(38)

о

о

о

о

о

о

214 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26

системы (35) и (36) имеют единственные решения:

ао =

Ьо =

Л ,о

12 ,0

2(ф0 - - фо) — адо— eho 4 о

(0) Д

2(вфо + аФо) + ав (до — ho) Дав(0) , (41

2( ф О — фо) + адо + (а + 2в )h 2 (4

(0) е Д в

2( ф О — фо) + (2а + в )до + вЬ 4 со

(0) е Д а

ак = А-1(к)^е-пкв sin пка(фк — фк) + (1 - cos пка)е-пквдк/пк^ +

+ Д-в(к) ^1 + sinпка — cosпка — е-пкв sinnkOjhk/пк, (44)

bk = Д-1(к)^т пкаепкв (фк — фк) + (1 — cos пка)епкв gk /пк) +

+ Д-1 (к) ^1 — sin пка — cos пка + sin пкаепк^ hk/п , (45)

fi, к = Д-1(к)(пк)2 [sin пка • фк + (cos пка sh пк/З — sin пка ch пк/З — sh пк/З )фк ] +

+ Д-i (к)пк [(1 — cos пка)дк + (sin пка sh пк/З — cos пка ch пк/З + ch пк/З)hk] , (46)

f2 , к = Д-i (к)(пк)2 [(sin пка + cos пка sh пк/З — sin пка ch пк/З )фк — sh пк[3фк ] +

+ Д-1(к)(пк) [(— cos пка + sin пка sh пк/З — cos пка ch пк/З )дк + (ch пк/З — 1)hk ] .

(47)

Таким образом, функции (28) и (29) построены однозначно. Докажем теперь единственность решения задачи (2) - (6). Пусть ф(х) = ф(х) = g(x) = h(x) = 0 и выполнены условия (39). Тогда в силу (31) - (34) фк = фк = дк = hk = 0, к Е N0, а значит, системы (35) (36) имеет нулевое решение: ак = bk = fi,к = f2,к = 0, к Е N0. Тогда из

равенств (12) - (15) получаем, что при всех у Е [—а, в]

/ u(x,y) dx = 0 , / fi(x) dx = 0 ,i = 1, 2 ,

00

V2 u(x,y)cos пkxdx = 0 , V2 fi (x) cos пkxdx = 0 ,i = 1, 2 , к Е N.

00

Отсюда в силу полноты системы (9) в пространстве L2[0,1] и условий (2) следует, что u(x,y) = 0 и f (x,y) = 0 в D.

Пусть для некоторых а, в и к = р выражение Дав(р) = 0, тогда задача (2) - (6), где ф^) = ip(x) = g(x) = h(x) = 0, имеет ненулевое решение

up{y)

sin npa(ch np(y — в) — 1)

{np)2\

shпрв cos np(y + a) — A(p) {np)2Ap

2,p

У> 0 ,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(49)

f2,p , У < 0 ,

. , . Sin npa

h,p(X) = -IT, 4 J2,p cos npx,

(50)

(51)

A(p)

f2,p(x) = f2,p COs npx,

где A(p) = cos npa sh npfi + sin npa — sin npa ch npfi, f2,p - произвольная, отличная от нуля постоянная.

Естественно возникает вопрос при каких а и в выражение Аав (к) обращается в нуль. Для этого представим Аав (к) в следующем виде:

л /7\ . . пка пкв /-.—гг- . (пка \

Аав (к) = 4sm-^sh-^Vch пкв sin I + ®к\

sh пкв/2 п

' при к ^ +то. из пре^

пка

(52)

.------ ^ — при к ^ +то. Из представления (52) видно, что выра-

^/ch пкв 4

где вк = arcsin жение Аав(к) = 0 тогда и только тогда, когда sin

2

0: апх

2п] к

(пка \ 0 или sin I —--+ вк\

2П2

= 0.

2ви

пк

В результате, получаем две серии корней Аар(к) щ,п2 Е N, к = 1, 2,... . Таким образом, доказана следующая

Теорема 1. Если существует решение задачи (2) - (6, то оно единственно тогда и только тогда, когда выполнены условия (39) при всех к Е N.

3. Существование решения задачи. Решение задачи (2) - (6) при условии (39) получено формально в виде сумм ортогональных рядов (10), (11). Поскольку Аар(к) входит в знаменатель коэффициентов этих рядов, то для обоснования существования решения задачи (2) - (6) необходимо показать существование чисел а и в таких, что при больших к выражение Аар(к) отделено от нуля. В противном случае может возникнуть проблема малых знаменателей [6, 13].

Для обоснования существования решения докажем следующее утверждение.

Лемма 1. Если а > 0 является алгебраическим числом степени п ^ 2, то существуют положительные постоянные во и С0, вообще говоря зависящие от а, такие, что при всех в > во и к Е N справедливы оценки

пкв

к2+е

п>2

(53)

\Аав(к)\ > епквC , п = 2

где £ > 0 - достаточно малое число.

□ Представим выражение (52) в виде:

Аав(k) = епкв V2 (1 — е-пкв) \J 1 + е-2пкв sin nkal sin (nkal + вк), где а1 = а/2. Заметим, что для любых к £ N

2 > V2 (1 — е-пкв) V1 + е-2пкв > V2 (1 — е-пв) = Ci,

(55)

(56)

Ci здесь и далее положительные постоянные, вообще говоря, зависящие от в и а. Рассмотрим теперь множитель sin пка1 выражения (55) и представим в виде

|sinпка1\ = |sin(nkal — пп)\ = sinnk — -—j Для любого k £ N существует натуральное n такое, что

nN

а1

1

< 2k

(57)

В самом деле, чтобы выполнялось неравенство (57) достаточно положить

n=

[aik] , {aik} < ^

[aik] + І , {aik} > ^ ■

Из теории чисел известно [14, с.268], что для любого алгебраического числа а\ степени п ^ 2 и произвольного положительного числа 7 найдется положительное число С2, зависящее от а и 7 такое, что при любых целых р, д (д > 0) будет иметь место неравенство

p

а1------

q

Co

q

0+Y

Пусть п £ N такое, что выполнено неравенство (57). Отсюда имеем

(58)

nk

n

а1 —

п < 2

(59)

Тогда с учетом неравенства

2

п

sin x > — x , 0 < x < — ,

п ’ 2 ’

(60)

и оценки (58) при всех k Є N будем иметь

n

2C2

k1+Y

k

Теперь рассмотрим следующий множитель выражения (55)

Isin (nkal + Ok) I = I sin (nkal — nn + Ok) I

sin

nk ^ai — ^ + Ok

• sh x/2

Функции y = arcsin u и u = , возрастают, следовательно, имеет место неравенство

\/ ch 2x

n

Ol ^ Ok < 4

(62)

Учитывая оценки (58) и (59) можем записать

ПС2

kl+Y

< nk

ai

m

п < -2

(6З)

Тогда, в силу (62) и (63), возможны два случая:

Г).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2).

п 2 <

ai

m

і r\ і 3n

+ \OkI < -4 ;

0 <

п < 2

ство

В первом случае в силу убывания функции y = sin x при x Е верно неравен-

(64)

sin

m

nk \al------k ) + Ok

. 3п ^/2

> sin — = — 4 2

Рассмотрим теперь второй случай. Учитывая неравенство (60), имеем

22

sin Inkal — nm + OkI > — Inkal — nm + OkI = —

n n

4m — Г n

nkai-------4— n + Ok — 4

2 4m — Г n ||

Л nkal n l 4 — Ok — 4

)

(65)

Используя оценку (58), оценим снизу первое слагаемое неравенства (65):

ПС2

4m — Г = nk 4m — Г

nkal 4— n a — >

2k

(2k)

l+Y

(66)

Теперь, применяя формулу разности арксинусов аrcsin х — arcsin у = arcsin(xy//Г~ — х2), ху > 0, оценим сверху второе слагаемое (65):

y

n

Ok — 4 = ||

sh nke/2 г

arcsm —, , , „ — arcsm у 2

Г

arcsm

n

gnkfiyj Г + g — 2nkl3

л/ch nke

n < —

Г

<

n

nke

так как I aгcsinxI < ^x, 0 < jxI < Г.

Итак, из оценок (64) - (67) имеем

і , - л \ і 2 (пС2 п \

І^т (пка1 + вк) | > Д — - — ^

к1+~*

і

эпкр

(68)

Заметим, что епкв > (пкв)1+7 для всех к. Тогда из (68) имеем

і ґ „ і \ С4

|віп (пка1 + вк)| >

к1+У

(С -

(пв)1+У к1+"> ’

(69)

где С4 > 0 при в > во

і

пС^+'О

Таким образом, из (56), (61) и (69) получим оценку (53).

В случае п = 2 более точный результат дает теорема Лиувилля [15, с.160]: для любого алгебраического числа а степени п = 2 существует положительное число 8 > 0 такое, что при любых целых р, д (д> 0) справедливо неравенство

Р

а----

д

8

> ■

д2

Проводя рассуждения, аналогичные первому случаю п > 2, получим оценку (54). В Отметим, что любое иррациональное число а единственным образом разлагается в бесконечную цепную дробь а = {а0,а\,а2,... ,ап,...], при этом целые числа а\, а2, ... называются элементами числа а. Как известно элементы всякой квадратичной иррациональности ограничены.

Лемма 2. Пусть а > 0 является иррациональным числом с неограниченными элементами. Тогда для любого £ > 0 существует бесконечное множество натуральных чисел к таких, что

(к)І <ЄПкв

єС5

к

(70)

□ В силу теоремы 23 [15, с.49] для любого иррационального числа а с неограниченными элементами при любом є > 0 существует бесконечное множество пар целых чисел (к,т), к > 0, таких, что

т

а — — а к

є

< к2

Тогда

ІАар(к)І < епкв |віппка1І ■ ^іп(пка1 + 9к)| ^

ажкр

Віп пк(аі - т)

£ епквпк

а1 -

т

к

пкв

єС5

~к~

Заметим, что из полученной оценки следует, что для а > 0, удовлетворяющих условию леммы 2, выражение Аар(к) может быть сколь угодно малым, а следовательно, решение задачи в виде сумм рядов (10), (11) для таких а не существует.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Далее, для доказательства существования решения задачи, из ряда (10) почленным дифференцированием составим ряды:

пх(х,у) = —\[2 £ пкпк(у) sin пкх , (71)

к=0

<х>

ПУ(х,у) = п0(у) + пкЫ^ппкх , (72)

к=0

<х>

Пхх(х,у) = ^\/2^2(пк)2пк(у) СО пкх , (73)

к=1

ПУУ(х,у) = по(у) + п'к(у)^пкх . (74)

к=0

Лемма 3. Пусть справедливо неравенство (53). Тогда для любых у £ [—а, в] справедливы оценки

| пк (у) | ^ Сб (к2+£ | фк | + к2+£ | фк | + к1+£ | дк | + к1+£ | Нк |) , (75)

I <(у) | ^ С (к4+£|фк| + к4+£|фк| + к3+£|дк| + к3+£|Нк|) , (76)

\ь,к| ^ с8к3+£ ^-Пв + к\фк| + еА + \Нк^ , (77)

Ц2,к| ^ Сдк3+£ (кфк| + кф| + д| + Н|) . (78)

Если справедлива оценка (54), то

К(у) ^ Сбк (кф| + Цфк| + д| + Н|) , (79)

|n,l(y)| ^ Ск (кфк| + кф| + ^к| + Нк|) , (80)

и1,к| ^ с&-3 ^кфв + к\фк| + ^^ , (81)

Ц2,к| ^ Сдк3 Щфк| + кф| + ^к| + Н|) . (82)

□ Непосредственно из равенств (44) - (47), учитывая лемму 1, имеем

К| « (е-'кв(фкI + ф|) + е-ПквМ + (1+ 72 + е-'к<>) 1М)

(83)

^к| « ^еПкФ (е’кв(фк\ + ф|) + еПквМ +(1 + ,Т2 + е’кв) ^)

^ С7к1+£ (к |фк| + к | фк | + | дк| + | Нк | ) ,

к2+'

111,к| ^ С0епкв ((пк)21фкI + 3(пк)2епкв|фк| + 2пк|дк| + 3пкепкв|Нк| )

(

(85)

Щфк |

епкв

« Ск«1 + кф\ + -М + Нк\)

к2+£

1Ь.к| < С0епкв ((пк)2 (1 + 2е'кв) фк| + е'кв(пк)'2\фк| + пк (1 + 2е'кв) \дк\ + пк.е'квН|)

^ Сяк3+£ (кф\ + к\фк\ + \дк\ + Н|) ■ (86)

Из формул (28), (29) и неравенств (83) - (86) получим оценку (75) для пк. Для того,

чтобы получить оценку (76), найдем производные:

пк(у)

пк (у) =

пк (акепку — Ьке-пку) ,

пк ^а>к + Ьк + sin пку + (ак — Ьк) со пку

(пк)2 (акепку + Ьке-пку

(пк)2

— I ак + Ьк + ^2'( , /21,к^ sinпку — (ак — Ьк) sinпку

(пк)2

у> 0; у < 0 ,

у> 0;

, у < 0.

Отсюда и из оценок (83) - (86) следует справедливость (76).

Неравенства (79) - (82) выводятся аналогичным образом. В

Из последней леммы следует, что ряды (10), (11), (71) - (74) мажорируются числовым рядом

СЮ£ (к4+£\фк\ + к4+£\фк\ + к3+£\дк\ + к3+£\Нк|)

(87)

к=1

Лемма 4. Пусть ф(х), ф(х) £ С5[0,1], д(х), Н(х) £ С4[0,1], ф"'(0) = ф"'(1) = ф"'(0) = ф'''(1) = д'(0) = д'(1) = д'''(0) = д'''(1) = Н'(0) = Н'(1) = Н'''(0) = Н'''(1) = 0. Тогда справедливы представления

ф{5) фк = — фк

где

(пк)5

(4)

п = -дк—

дк (пк)4

ф^ = л/2 фу (х) sin пкхйх.

ф

(5) ф к

(пк)5

Н

Н,— к

(4)

=

(пк)4

ф

(5)

^2 фу (х) sin пкх 4х .

д

(4)

л/2 д1у (х) cos пкх dx

Н^ = л/2 Н1у (х) cos пкх dx

(89)

(90)

(91)

о

о

о

ГО ОО

^ I ф(к] \ 2 < Щ\ФУ (Ж)11!2[0,1] , ^ I Фк5) \ 2 < Щ\фУ (Х)И2[0,1] , (92)

к=1 к=1

ГО ГО

^ \ дкк4\2 < 16\\д1У(х)\ I^2[0,1] , X! \ ьк4\2 < 16\\з1У(х)1И2[0,1] • (93)

к=1 к=1

□ Интегрируя вторые интегралы формул (31), (32) по частям пять раз, а интегралы формул (33), (34) - четыре раза, получим непосредственно выражения (88), (89).

Поскольку системы функций (9) и {л/2зтпкх}ГО=1 ортонормированы в пространстве Ь2[0,1], то справедливость оценок (92), (93) следует из неравенства Бесселя по этим системам. В

При выполнении условий леммы 4 ряд (87) мажорируется числовым рядом

ГО

С“Е к— (\ Ф(5) ! +! Ф5) \ + \ д14) \ + \ Ь4 \) • (94)

к=1

Лемма 5. Пусть функции ф(х), ф(х), д(х) и к(х) удовлетворяют условиям леммы

4 и ф(х), ф(х) £ С5+[0,1], д(х), к(х) £ С4+[0,1], е < 5 < 1. Тогда справедливы оценки:

\ ф5 \ < Си < к , \ Ф5) \ < С14 < к , 5 (9

1 д'к’ 1 < С15 < к , \ ь к4) \ < С16 < к • (96

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

□ следует из теоремы о скорости убывания коэффициентов ряда Фурье функции, удовлетворяющей на [0,1] условию Гельдера с показателем 5 £ (0,1) [16, с.81]. В В силу леммы 5 ряд (94) мажорируется сходящимся числовым рядом

ГО

С1^ кМ— • к=1

Тогда ряд (94), а значит и ряд (87) сходятся. Из сходимости этих рядов в силу признака Вейерштрасса сходятся равномерно ряды (10), (71), (72) в замкнутой области Б, ряды (73), (74) - в замкнутых областях Б+ и Б_, ряды (11) - на отрезке [0,1]. Следовательно функции и(х,у) и f (х,у) удовлетворяют условиям (2). Подставляя ряды (10), (11) в уравнение (1), убеждаемся, что эти функции удовлетворяют условию (3).

В случае, когда а является алгебраическим числом степени п = 2, в приведенных выше формулах е = 0, и ряд (94) сходится. Тогда построенные функции и(х,у) и ^(х), г = 1, 2, аналогично являются решением задачи (2) - (6), причем, для этого достаточно, чтобы функции ф(х), ф(х), д(х), к(х) обладали гладкостью, указанной в лемме 4. Итак, доказаны следующие утверждения.

Теорема 2. Пусть функции ф(х) ,ф(х), д(х) и к(х) удовлетворяют условиям леммы

5 и имеет место оценка (53). Тогда существует единственное решение задачи (2) - (6),

которое определяется рядами (10), (11).

Теорема 3. Пусть функции ф(х) ,ф(х), д(х) и Н(х) удовлетворяют условиям леммы 4 и имеет место оценка (54). Тогда существует единственное решение задачи (2) - (6), которое определяется рядами (10), (11).

4. Устойчивость решения задачи. Введем следующие нормы:

\ 1/2

ІНкад — ( І | и(х,у)| 2^ж)

Іи(х,У)Іс(Б) - тах 1 и(х,у)1 ,

Б

II/(х)ІІ

/0 (е/(к)(х)|2^ йх

1/2

п Є N .

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для решения (10) и (11) задачи (2) - (6) справедливы оценки

Іи(х,у)^Ь2 ^ С17(||ф||ж3 + ІМІЖ| + ||д||ж2 + ||Н||ж2),

І/і(х)^Ь2 ^ С18 (||ф||ж| + ||ф|Ж| + ІІдІІЖ4 + ||Н||ж4), І — 1, 2 , ІІи(х,у)ІІС(Б) ^ С19(ІІфІІЖ4 + ||ф||ж24 + ІІдІІщ3 + ||Н||ж3), І/і(х)ІС(Б) ^ С20(||ф||щб + ||ф||ж6 + ІМІ^6 + ), І — 1, 2 ,

(97)

(98)

(99)

: іоо)

где постоянные Сі, І — 17, 20, не зависят от функций ф, ф, д и Н.

□ Поскольку система (9) ортонормирована в Ь2[0,1], то из (10) и (75) получаем

к=1

(Ш + |ф0| + Ы + |Н0|)2 +

+ Е (к2+£фк| + к2+єф| + к1+є^к| + к1+£Нк|)2

к=1

Ш + |ф0| + |д0| + |Н0| +

+ ^ (к4+2є|фк|2 + к4+2є|фк|2 + к2+2є|дк|2 + к2+2є|Нк|2)

к=1

. (101)

С,1 здесь и далее положительные постоянные. Представим коэффициенты фк, фк, дк и Нк в виде:

№к|

(3)1 1о(2)1 Н(2)1

І фк | — т , | дк I—^ ■ I Н | —

|ф3)| ,ф і — ^к

(пк)3

102)

где фк\ фк3, д^к2 и Ь^ - коэффициенты разложения в ряд Фурье по системам {л/2втпкх}ГО==1, (9) соответственно функций ф"'(х), ф"'(х), д"(х), Ь"(х). Подставляя (102) в неравенство (101), получим

\и(х,У)\ь2 < 4С

\ф0\2 + \ф0\2 + \д0\2 + Ы2 +

+

ГО

Е к4+2

к=1

|ф(3)Р |ф(3)|2 |д(2)|2 |д(2)'2'

£ \ фк \ + к4+2£ к \ + к2+2£ к \ + к2+2£ к

(пк)6

(пк)6

(пк)4

(пк)4

<

(103)

< 4С

\ф0\2 + \ф0\2 + \д0\2 + \ь0\2 + Е (\фк3)\2 + \фк3)\2 + \дк2)\2 + \ьк2)\2)

к=1

Заметим, что

\ф0\2 = / ф(х) х <

)

1 \ 2 (1-1 22

1 йх

ф (х) йх

)

= ф2(х) йх = ||ф|||2 ,

0

ГО ГО 1

Е\фк3>\2 «Е = (Г(х))2йх = \\4.'"\Ц2

к=1 к=1

Аналогично\ф0\2 < , \д0\2 < ||д||^2, \Ь0\2 < , £*= \фк3)\2 < Нф"'^, £*= \дк2)\2 <

"м12, Е^=1 \ьк2)\2 < . Отсюда и из (103) следует

\\и(х,у)\\2Ь2 < 4С\ [ЦфЦЪ + МЪ + \\д\\12 + \\Ь\\2Ь2 + \\ф"'\\12 + \\ф"'\\12 + \\д"\\12 + \\д"\\12] <

< С127(|ф\^з + М\ш? + 1Ы1

),

что означает справедливость оценки (97).

Пусть (х,у) - произвольная точка из Б. Учитывая (75), получим

< С2

\«(*,у)\ < \щ(у)\ + £ \ик(у)\ <

ГО

Е

к=1

к=1

Представив коэффициенты \фк\, \фк\, \дк\, \Ьк\ в виде

\фк \

\ф!4)\ М4)1 , _ \д(3)|

(пк)4

\фк \

(пк)4

\дк \

(пк)3

\Ьк\

1^3)!

(пк)3

(104)

где ф^, ф^, дк3), Ьк3 - коэффициенты разложения в ряд Фурье по системам (9) и {л/^т пкх}ГО=1 соответственно функций ф1У (х), ф1У(х), д111 (х), Ь111 (х), из (104)

2

1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

2

0

0

к

к

получим

\и(х,у) \ < С2

\ ф0 \ + \ ф0 \ + \ д0 \ + \ Ь0 \ +

ГО

Е к

к=1 \

|ф(4)1 |ф(4)1 1а(3)1 |Ь(3)1

\ фк \ , 7„2+£ \ фк \ , 7_1+£ \ дк \ , 7_1+£ \ Ьк \

+ V к2+£^\ + к2+£¥к± + к1+£\^\ + к1+‘

<

< СС2

(пк)4 (пк)4 (пк)3 (пк)3

го

\ ф0 \ + \ ф0 \ + \ д0 \ + \ ь0 \ + ^2 к ( \ ф('к4 \ + \ фк4 \ + \ д('к) \ + \ Ьк3) \ )

к=1

На основании неравенства Коши-Буняковского имеем

1 г 1

ГО / ГО л \ 2 /го \ 2 /го \

ЕК^\ + \ фк4’ \ + \ дк"\ + \ ь?\) < ££ !>к4) \ 0 + £1 *?>\2

\к=1 / \к=1 / \к=1 /

105)

к=1

+

ГО \ 2 /го \ 2 /

£\дк3N + [Е\ Н?\0 =(

к=1 / \к=1 / '

п

~6

ТУ |

\ \ ь + \ \ ф'У \ \ ь + \\д"' \ \ Ь, + \ \ Н'" \ \ ь

<4) \2| +

*) •

106)

При получении оценки (106) было использовано равенство ГО=1 1/к2 = п2/6.

С учетом (106) неравенство (105) примет вид

\ и(х,у) \ < С3 [\ф\ь2 + \\ф\\ь2 + \\д\\ь2 + \\Ь\\ь2 + (\\ф1У\\Ь2 + \\ф1У\\Ь2 + ||д'''||ь2 + 11Ь'''1Ь2 )]

< С19 ( \ \ф \ \ + \ \ф \ \ + \ \д \ \ шз3 + \ \ь \ \ шз3

Аналогично на основании неравенств (77), (78) устанавливается справедливость оценок (98) и (100). В

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для решения (10) и (11) задачи (2) - (6) справедливы оценки

\\и(х,у)\\ь2 < С17( ||ф || Ш2 + НИШ! + \\д\\ш1 + ||Ь\ш21),

11/г(х)1|ь2 < С18(\\ф\\ш2 + ||ф|1ш4 + (ЫШ3 + И^Ш3), г =1, 2 ,

Ни(х,у)\\с(Б) < С19(||ф||ш23 + 11ф11ш3 + Нд\\ш2 + Нь\\ш2),

11/г(х)11с(д) < С20(Нф\\ш5 + Нф\\ш5 + Нд\\ш4 + Нь\\ш4), г = 1,2 •

□ Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 4 с использованием оценок (79), (81) и (82). В

2

Литература

1. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. - 1943. - 39;5. - С.195-198.

2. Лаврентьев М.М. Об одной задаче для волнового уравнения // ДАН СССР. - 1964. -

157;3. - С.520-521.

3. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / М.: Наука, 1978. - 206 с.

4. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач / М.: МГУ, 1994. - 285 с.

5. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // ДАН СССР. - 2007. - 413;1. - С.23-26.

6. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // ДАН СссР. - 2009. - 429;4. - С.451-454.

7. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // Известия Вузов. Математика. - 2010. - 4. - С.55-62.

8. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-ги-перболического типа // Матем. заметки. - 2010. - 87;6. - С.907-918.

9. Сабитов К.Б., Мартемьянова Н.В. Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа // Известия Вузов. Математика. - 2011. - 2. - С.71-85.

10. Сабитов К.Б., Хаджи И.А. Краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с неизвестной правой частью // Известия Вузов. Математика. - 2011. - 5. - С.44-52.

11. Мартемьянова Н.В. Нелокальная обратная задача для уравнения с оператором Лаврен-тьева-Бицадзе в прямоугольной области // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения» (28 - 30 июля 2011 г., г. Стерлитамак) / Уфа: Гилем, 2011. С.153-158.

12. Удалова Г.Ю. Обратная задача для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Вестник СамГУ - Естественно-научная серия. - 2010. - №4(78). - С.116-122.

13. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН. - 1963. - XVIII;6(114). - С.91-192.

14. Бухштаб А.А. Теория чисел / М.: Просвещение, 1966. - 384 с.

15. Хинчин А.Я. Цепные дроби / М.: Наука, 1978. - 112 с.

16. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.1 / М.: Мир, 1965. - 616 с.

BOUNDARY PROBLEM FOR LAVRENTYEV-BICZADZE’s EQUATION WITH UNKNOWN RIGHT-HAND PART G.Y. Udalova Samara state architectural-construction university,

Molodogvardeyskaya St., 194, Samara, 443001, Russia, e-mail: yeyeg@yandex.ru

Abstract. Boundary problem for differential equation of mixed elliptic-hyperbolic type with various unknown right sides in the rectangular domain is studied. The criterion uniqueness of a solution is found. The solution is constructed as the sum of eigenfunctions connected with special one-dimensional boundary problem. The solution stability relative to boundary functions is proved.

Key words: mixed type equation, inverse problem, spectral method, uniqueness, solution existence, stability.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.