Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 3 (32). С. 29—45

УДК 517.956.6

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С УСЛОВИЯМИ ПЕРИОДИЧНОСТИ

К. Б. Сабитов1, Г. Ю. Удалова2

1 Институт прикладных исследований, 453103, Россия, Стерлитамак, ул. Одесская, 68.

2 Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 443001, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

E-mails: [email protected], [email protected]

Исследуется задача с двумя нелокальными граничными условиями для уравнения смешанного типа третьего порядка, сводящаяся к обратной задаче для. уравнения эллиптико-гиперболического типа с неизвестными правыми частями. Установлен критерий единственности. Решение построено в явном виде как суммы ортогональных рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. Дано обоснование сходимости рядов в соответствующих классах функций при определённых ограничениях на данные задачи. Доказана устойчивость решения по граничным данным.

Ключевые слова: уравнения смешанного типа третьего порядков, прямая и обратная задачи, спектральный метод, единственность, существование, устойчивость.

Введение. Рассмотрим уравнение третьего порядка смешанного типа д д

— (Lu) = — (uxx + (sgn y)uyy — b2u) =0 (1)

в прямоугольной области D = {(x,y) | 0 < x < 1, —a < y < в} , где a, в, b — заданные положительные постоянные, и следующую задачу.

Задача 1.Найти в области D функцию u(x,y), удовлетворяющую условиям :

u(x,y) е C1(D), Uy(x, y) е C:(D), uXXy, Uyyy e C(D- и D+); (2)

д

— (Lu) = 0, (x, y) e D- U D+;

u(0,y) = u(1,y), ux(0,y)= ux(1,y), —a < y < в; (3)

u(x, —a) = ^(x), u(x, в) = ^(x), 0 ^ x ^ 1; (4)

uy(x, —a) = g(x), 0 ^ x ^ 1, (5)

где ^(x), ^>(x), g(x) —заданные достаточно гладкие функции, ф(0) = ф(1), р(0) = р(1), ф'(0) = ф'(1), <^'(0) = <^'(1), D- = Dn{y < 0}, D+ = Dn{y > 0}.

Уравнение (1) в области D равносильно уравнению эллиптико-гиперболи-ческого типа второго порядка с неизвестной правой частью

lu=f(xy)={f2ix!: y> 0, («)

Камиль Басирович Сабитов (д.ф.-м.н., проф.), директор. Удалова Галина Юрьевна, аспирант, каф. высшей математики.

Тогда задача 1 сводится к следующей обратной задаче.

Задача 2. Найти в области Б функции и(ж, у) и / (ж, у), удовлетворяющие условиям (2), (3)-(5) и

¿и = f (ж, у), (ж, у) е Б- и Б+; (7)

/¿(ж) е С(0,1) П ¿2[0,1], г = 1, 2. (8)

Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка изучались многими авторами (см. работы [1-3] и приведенную там библиографию). В [1,2] исследуются краевые задачи для уравнения (1) при Ь = 0 аналитическими методами в области, где гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник. Решение найдено в классе функций, представимых в виде и(ж,у) = ш(ж,у) + ш(ж), где ш(ж,у) — произвольное регулярное решение уравнения ¿и = 0 при Ь = 0, у = 0, ш(ж) —произвольная функция из класса С[0,1] П С2(0,1), удовлетворяющая условиям ш(0) = ш(1) =0. В [3] получены теоремы об однозначной разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных нечётного порядка в цилиндрических областях. В работах [4,5] доказаны единственность и существование решения краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка в прямоугольной области.

В данной работе, как и в работах [4,5], предлагается метод решения задачи для дифференциального уравнения третьего порядка путём сведения к обратной задаче для дифференциального уравнения смешанного типа второго порядка с неизвестными правыми частями. Ранее обратные задачи для различных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались многими авторами [6-13]. Обратные задачи для уравнений смешанного типа второго порядка с неизвестными правыми частями рассматривались в работах [14-20]. В работах [18-20] для уравнения (6) при Д(ж) = /2(ж) и /1 (ж) = /2 (ж) изучены обратные задачи с граничными условиями второго рода их(0, у) = их(1, у) = 0, —а ^ у ^ в, когда Ь = 0 и Ь > 0.

В этой работе изучены задачи 1 и 2 с условиями периодичности (3). Установлен критерий единственности. Решение указанных задач построено в виде суммы рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. При определенных ограничениях на данные задачи (2)-(5) дано обоснование сходимости рядов в классах (2) и (8). Установлена устойчивость решения по граничным данным.

1. Формальное построение решения задач 1 и 2. Поставленную задачу будем решать методом разделения переменных и(ж,у) = X(ж)У(у). Соответствующая спектральная задача относительно X(ж) имеет следующую систему собственных чисел и собственных функций: л/Щк = 2пк, к е N0 = N и {0};

Хо(ж) = 1, Х2к-1(ж) = л/2 8ш 2пкж, Х2к = ^2ео8 2пкж, к е N. (9)

Система (9) ортонормирована, полна и образует базис в пространстве ¿2[0,1].

Пусть существует решение задачи 2. Будем искать его в виде суммы ортогональных рядов:

и(ж,у) = ио(у) + (и2к-1(у) йш2пкж + и,2к(у) еой2пкж), (10)

к=1

/¿(x) = /¿,0 + (/¿,2fc-i sin 2nkx + /j,2fc cos 2nkx), i = 1,2, (11)

fc=i

где

u0(y) = u(x,y) dx, u2k-i(y) = л/2 u(x,y) sin2nkxdx,

- (12)

u2fc(У) = u(x,y) cos 2nkx dx,

0

/¿,0 = /i(x) dx, /¿,2fc-i = л/2 / /¿(x)sin2nkxdx,

i (13)

/i,2fc =

/¿(x) cos 2nkx dx, i = 1,2, k e N.

0

Следуя [18], получим, что функции uk(y), k e N0, являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений

ик(У) - (sgn У)л! ufc(У) = (sSn y)/¿,fc, (14)

где Л| = д/(2nk)2 + b2, i = 1 при y > 0, i = 2 при y < 0.

Дифференциальные уравнения (14) имеют общие решения

Uk(y) = f flfceAfc' + bfcе-"'" - /i,k/Л2, У > 0 (15)

kvy; \ Ck cos Лкy + dfc sin Лкy - /2,k/Л|, y< 0, v 7

здесь k e N0, ak, bk, ck, dk — произвольные постоянные.

В силу условий (2) функции Ufc(y), определяемые формулами (15), удовлетворяют условиям сопряжения:

ufc(0 - 0) = ufc(0 + 0), uk(0 - 0) = uk(0 + 0), <(0 - 0) = <(0 + 0), k e N0.

Удовлетворяя их этим условиям, получим

í ake"ky + ( fl ,fe2~/2 'k - ak) e-"ky - , y > 0,

uk (y) = I /2 fc-/i k \ \ /0 , /2 fc-/i fc\\ , /2 k n (16)

I /2'2/,k cos ЛйУ + Í2ak + /2■ 2 / ■ k) sin Л^ - , y< 0.

V k V k / k

На основании (4), (5) и (12) имеем

ufc(-a) = , ufc(в) = ^fc, uk(-a) = gfc, k e N0, (17)

где , , gk — коэффициенты разложения функций ^(x), ^>(x), g(x) соответственно в ряд по системе (9), т. е.

= ^(x) dx, ^2k-i = л/2 / ^(x) sin2nkxdx, ./0 i ./0

^2k = л/2 / ^(x) cos2nkx dx, 0

^>0 = <^(ж) ^ж, ^>2к-1 = л/2 / ^(ж) й1п2пкж^ж,

Уо - Уо (19)

^2к = <^(ж) еой 2пкж ^ж,

Jо

до = / д(ж) ^ж, #2к-1 =

л/2 д(ж) й1п2пкж^ж, ^ 1 ^ (20) д2к =

л/2 д(ж) еой2пкж^ж. ./о

Удовлетворим решения (16) условиям (17). Тогда относительно неизвестных ак, Ьк, / 1,к, /2,к получим системы линейных уравнений:

cos Afc а - (2afc + sin Afc a - ff = ^fc,

afcеЛкв + (-afc - ) е=Лкв - = №, (21)

sin Afca +(2afc + cos Afca = f, k G No.

Определители систем (21) такие:

Aajgb(k) sin Aka sh Akв + cos Aka ch Akв - 2 cos Aka + 1

= Ak .

Тогда при условии, что при всех k G No

Aaeb(k) = 0, (22)

системы (21) имеют единственные решения:

-(sin Afca + cos Afca)^k + + (cos Afca - sin Afca - 2)gfc/Afc

afc = 2Akaeb(k) , (23)

/l,fc =

- A| [(sin Aka sh Akв + cos Aka ch Akв)^к + (2 cos Aka - 1)^>k]

Aaeb(k)

Afc (sin Afc a ch Afc в - cos Afc a sh Afc в + 2 sh Afc в)дк Aaeb (k)

, (24)

Ak [(2 cos Afc a - sin Afc a sh Afcв - cos Afca ch Afcв)^fc - ^fc]

f2,fc =-г-ttt--h

Aaeb(k)

+ Afc (2 sin Afca - sin Afca ch Afcв + cos Afca sh Afc( ) + Aaeb(k) . (25)

Таким образом, функции (16) построены однозначно.

2. Единственность решения задач 1 и 2. Пусть = <^(x) = g(x) = 0 и выполнены условия (22). Тогда в силу (18)—(20) коэффициенты = = = gk = 0, k G No, а значит, системы (21) имеют нулевые решения: a^ = /i,k = = f2,k = 0 при k G N0. Тогда из равенств (12) и (13), учитывая (16), получаем, что при всех y G [—a, в]

/ u(x,y) dx = 0, / u(x,y) sin2nkxdx = 0, / u(x,y)cos2nkxdx = 0,

./o ./o ./o

/ /¿(ж) dx = 0, / /¿(ж) sin2nkxdx = 0, / /¿(ж) cos2nkxdx = 0, i = 1,2. o o o

Отсюда в силу полноты системы (9) в пространстве L2[0,1] и условий (2), (8) следует, что u(x, y) = 0 и /(ж, y) = 0 в D.

Пусть для некоторых a, в, b, k = p G N выражение Aaeb(p) = 0, тогда задачи 1 и 2, где <^(ж) = ф(ж) = g(x) = 0, имеют ненулевые решения:

Up(x,y)= uo(y) + Up(y)(Apsin2npx + Bpcos2npx), /¿(x) = /¿,p, i = 1,2, (26)

— 0 , y > 0,

, , ; чАавь(р) У ^Г' У '

/co^p^ — Л ff, y < 0, p G No, ^ Давь(р)А2 У А? ' * ' У o'

/1,P =(1 — ^^ ) /2,p,

Av. ... p

2cos ApaN Aaeb(p)

A«eb(p) = 2 cos Apa — sin Apa sh АРв — cos Ap a ch АРв,

где Ap, Bp, /2,p — произвольные постоянные.

Теперь рассмотрим вопрос, при каких a, в и b выражение Aaeb(k) = 0. Представим Aaeb(k) в следующем виде:

Aaeb(k) = /2(ch Ak в — 1)2 + 1 sin(Ak a + 0fc) + 1, (27)

где

. . ch Ak в — 2 n

yk = arcsin —. = ^ — при k ^

/2(ch Ak в — 1)2 + 1 4

Решая уравнение Aaeb(k) = 0 относительно a, получаем серию корней

a ((—1)n+17k — 4 + nn) , n G N, (28)

Ak

где Yk = arcsin (2(ch Ak в — 1)2 + 1) 1/2.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Если существует 'решение задач 1 и 2, то оно единственно тогда и только тогда, когда выполнены условия (22) при всех k G No.

3. Обоснование существования решения задач 1 и 2. Решение задач 1 и 2 при условии (22) построено формально в виде сумм ортогональных рядов (10), (11). Поскольку в числители коэффициентов этих рядов входит экспонента ехр(Лкв), а в знаменатель — выражение Давь(к), для обоснования существования решения задачи необходимо существование таких чисел а, чтобы Давь(к) при достаточно больших к возрастало не медленнее, чем ехр(Лкв). При этом в силу (28) возникает проблема малых знаменателей [4,22].

3.1. Оценка малых знаменателей.

Лемма 1. Если а = р/д, р, д € N (р, д) = 1, (д, 4) = 1, в, Ь — любые фиксированные положительные числа, то существуют положительные постоянные ко (ко € М) и С0, вообще говоря, зависящие от а, в и Ь, такие, что при любом к > к0 справедлива оценка

|Давь(А01 > Coe2nke.

(29)

Доказательство. Представим выражение Д„вь(к) в виде

Д«вь(к) = (sin Akа + cos Akа) sh Akв + cos Akae-Afce + 1 — 2 cos Akа =

= л/2 sh Afcв sin (Afcа + +cos Afcа (VAfcв — 2^ +1. (30)

Из выражения (30) при b = 0 имеем

|Д«во(к)| = V2sh2nkesin ^2пка + + cos 2пка (V2nfce — 2^+1 ^ ^ V2sh2nke sin ^2пка + — cos 2пка (V2nfce — 2^+1 ^

^ V2sh2nke sin ^2пка + — cos 2пка (V2nfce — 2) — 1. (31) Оценим первое слагаемое из правой части неравенства (31): ^2sh2nke sin (2пЛа + ^ Cie2nke sin ^2пка +

(32)

Здесь и в дальнейшем С — положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от а, в и Ь.

Если а = п € М, то при любом к € N

sin^2nfen + nj

п 1 = sin - = , 4 у/2

и тогда из (32) имеем

л/2 sh 2п^в

> ^ e2^e.

V2

Пусть теперь а = р/д, (р, д) = 1, (д, 4) = 1. Разделив в этом случае 2кр на д с остатком (2кр = + г, 0 ^ г < д), получим

/2nkp п

sin--+ -

V q 4

/ пг п \

si4 Т +4Í

= C > 0.

(33)

Из оценок (31), (32) и (33) имеем

- 1 >

|Да0о(*)| > Сзе2пкв - | (е-2пкв - 2) еов2пка

>е2пкв (Сз - Зе-2пкв) >С3

при к > = (2пв)-11п(6/Сз). Здесь Сз = шт{С1//2, С1 ■ С2}. Теперь рассмотрим разность

(34)

|Д«вь(к) - Д«во(к)|

еЛкв _ е2пкв

(вт Лк а + еов Лк а)-

- ^ е2пкв (- вт Лк а - еов Лк а + 2пка+еов 2пка) +1 е Лкв (еов Лк а - вт Лк а)-

-1 е-2пкв(еов 2пка - вт 2пка) + 2(еов 2пка - еов Лка) ^

еЛкв - е2пкв 1 ^---1 втЛка + еовЛка| + -е п в(| втЛка - в1п2пка| +

+ | еов Лка - еов 2пка|) + 1 е-Лкв| еов Лка - вт Лка| +

+ ^е-2пкв| еов 2пка - вт 2пка| + 2| еов 2пка - еов Лка| ^

вт

+

< е**,' е(Лк-2'к>в - 1 ^ +

. (Лк - 2пк)а . (Лк + 2пк)а вт- • вт-

(Лк - 2пк)а

еов

(Лк + 2пк)а

2

+ /2е-2пкв + 4

+

. (2пк - Лк)а вт-

Учитывая неравенства

0 ^ ех - 1 ^ 2х, 0 ^ х ^ 1; | втх| ^ |х|,

получим

|Давь(к) - Даво(к)| < е2пкв [^2(Лк - 2пк)в + (Лк - 2пк)а+

+/2е-4пкв + 2е-2пкв|Л* - 2пк|а

Отсюда, в силу оценки 0 < Лк - 2пк < Ь2/(2пк) при любых к € М, будем иметь

е2пкв / ч

|Давь(к) - Даво(к)| < (^262в + Ь2а + 2/2пке-4пкв + 2а62е"2пкв) <

<

е2пкв 2пк

л/2б2в + Ь2а + 2пке-4пкв + 2аЬ2

<

2пк

л/2б2в + ЗаЬ2 + — 2в

С4е2пкв к '

2

2

Из последней оценки и неравенства (34) будем иметь

|Да/8ь(к)| = |Да/зь(к) - Д«во(к) + Д«в0(к)| ^

^ |Д«во(Л)| - |Давь(к) - Даво(к)| > Се2пкв - —

V 2 к /

= е

при к > к0 ^ тах{.1,к2}, где к2 = 2С4/С3, Со = С3/4. □

Лемма 2. Пусть а > 0 является любым иррациональным алгебраическим числом степени п = 2. Тогда существуют положительные постоянные во, Ьо и Со, вообще говоря, зависящие от а, такие, что при всех в > во, Ь < Ьо и к е N справедлива оценка

|Д«во(к)| ^ еЛквС0.

(35)

Доказательство. Первый множитель выражения (27) имеет оценку

1

Лйв - 1)2 + 1 ^ ^ [\/2(еЬ Айв - 1) + 1

еЛкв 2^2

1 + ^2е-2Лкв - (2 - ^2)е-Лкв

еЛкв. (36)

2\/2

Рассмотрим теперь второй множитель выражения (27). При Ь < 2п имеет место равенство

' Ь ) 2

Лй = / (2пк)2 + Ь2 = 2пк^ 1 + (^Пк)

= 2пк

1 I Ь V V Ь у

= 2пк + ст^,

При этом для ст^ справедлива оценка [15]

2пк

< стй <

4пк.

Тогда получим

(37)

| 8т(Л&а + )| = | 8т(2пка + ст^а + )| =

= | 8т(пка1 + (гк + 6к) | = | 8т(пка1 - пп + (гк + ) |,

где с(к = Стка, а1 = 2а. Для (к с учётом (37) имеем оценку

Ь2

а

8пк

< ак <

Ь2

а

4пк

(38)

(39)

Для любого к € N существует п € N такое, что имеет место неравенство [14]

1

(40)

п

ai — т k

1

< 2k'

с другой стороны, по теореме Лиувилля [21, е. 60] известно, что для любого алгебраического числа степени п = 2 найдется число 5 > 0 такое, что при любых целых р и д (д > 0) справедлива оценка

ai

> i

g2

(41)

Пусть п € N такое, что выполняется неравенство (40). Тогда, учитывая оценку (41), имеем

пй

— ^ пк k

ai -

m к

п <2 •

Учитывая, что ^ п/4 при к ^ те, в силу возрастания функций

еИ х - 2

у = агевт и и и

имеем

л/2(Аx — 1)2 + 1

п

(42)

Тогда при всех Ь < Ь1 = п/\/2а выполнено < п/8, а следовательно, с учётом (42),

~ п п Зп

+ < 8 + 4=Т'

Возможны два случая:

1) п/2 < |пка1 - пп + + 0к| < 7п/8,

2) 0 < |пка1 - пп + + | < п/2. В первом случае

7п

| sin(nkai — пп + <гк + ) | > sin —.

8

Во втором случае, учитывая неравенство

2п

sin x > — x, 0 < x < —, п2

(43)

получим

| sin(nkai — пп + + )| > — |nkai — пп + + | =

п

пк^а —

4n — 1 4k

^ - ( пк п

+ ¡k — £fc

ai —

4n 1

4k

— |¡jfc | — |£fc I , (44

где efc = п/4 — 0fc > 0.

Применяя формулу разности арксинусов

агсвтж — агсвту = агсвт(жд/1 — у2 — ул/1 — ж2), жу > 0, и учитывая неравенство агсвт х < пж/2, 0 <ж< 1, а также оценку (36), при

1п ^

в>в1 =

2

^Ь2 + (2п)2 будем иметь

^—4

сИ Айв — 2 1

агсвт —. = — агсвт —=

^2(сИ Ай в — 1)2 + 1 л/2

2 —

= агсвт -, = ^

л/2 V2(сИ Айв — 1)2 + 1

< __ ^_2П_. (45)

2\/2 V2(сИ Айв — 1)2 + 1 (л/2 — 1)еЛ*в

Из неравенства (45) следует, что

2п 2п 2п

0 <ек < -— < -< -= -. (46)

й (л/2 — 1)еЛкв (л/2 — 1)Ак в (л/2 — 1)2пкв (\/2 — 1)вк

Тогда из (44) с учётом (39) и (46) получим

I . / , ~ /! м 2 /п5 Ь2а 1 \ Сд .

| вт(пка1 — пп + + 0к) | > - — — ——--=- > — (47)

1 1 1 к ^1 пЧ 4к 4пк (—2 — 1)в^ к у 7

при

Ь < &2 = пк 1 (5--4-V в>в2 = ^ •

2 у^ пв (—2 — 1)/ п5(\/2 — 1)

Из выражений (36), (43) и (47) следует справедливость леммы при в > во = шах{въ в2} и Ь < Ь0 = шт{2п, Ь1, Ь2}.П

Лемма 3. Пусть а > 0 является любым иррациональным алгебраическим числом степени п = 2. Тогда существует к0 € М, зависящее, вообще говоря, от а, в и Ь, такое, что при всех к > к0 справедлива оценка (35).

Доказательство леммы аналогично доказательству леммы 2 с той разницей, что необходимые ограничения для выполнения неравенств накладываются не на параметры в и Ь, а на номер к0.

3.2. Существование решения задач 1 и 2 при выполнении условий леммы 1. Для доказательства существования решения задач 1 и 2 из ряда (10) формально почленным дифференцированием составим ряды

иЖх(ж,у) = —л/2^(2пк)2(и2к_1(у) вт2пкж + (у)сов2пкж), (48)

uyy (x,y) = «о (y) + V/2^(■u2/fc_l(y)sin2пkx + u2'fc(y) cos 2пkx), (49)

k=i

те

(x,y) = \/-^(2пк)2(—u2fc_i(y) cos2пkx + «2k (y)sin2пkx), (50) k=i

те

«yyy (x, y) = u0"(y) + V^^(u/2/k_l(y)sin2пkx + «2fc (y)cos2пkx). (51)

k=i

Лемма 4. Пусть выполнено неравенство (29) при к > ко. Тогда при таких к для любых y € [—a, в] справедливы оценки

|«k(y)| < C4 (№*| + | + |gk|/к), (52)

|«k(y)| < C5к (к|^| + %k| + |gk|), (53)

|«k//(y)| < Сбк2 (к|^| + %k| + |gk|), (54)

|fi,k| < С7к (к|^| + %k| + |gfc|), (55)

|/2,k| < Сек (к|^| + %k| + |gfc|). (56)

Доказательство. На основании формул (16) найдём

|«k(y)| < e2nkeeb|afc| + /í1 + ^ < eb ■ e2nke|afc| +

+ 3 |fi,fc| + 1 |f2,k| . C (e2nk,3|a 1+ |fi,fc| + |f2,fc| ) (57)

+ 8Л2'ИТ + 2Л2 'ИТ ^C4e |ak|+ ЦТ+ 1И• (57)

На основании формул (16) вычислим

«///(y) = í AkafceAfcy + 2 (—2akAk — /2,k + /i, к) e_Afcy, y > 0,

k \ ^ (/i,k — /2,fc)cos Ak y — i (4afcA| + /2,k — /i,k) sin Afcy, y< 0, Г Ak [AkakeAfcy + 2 (2akAk + /2,k — /i,k)e_Aky], y > 0, «k/(y) = < Ak[ i (/2,k — /i,k) sin Ak y— (59)

l — i (4Ak ak + /2,k — /i,k )cos Ak y, y< 0.

Аналогично, исходя из равенств (58) и (59), получим

K(y)| < Ció (^e2^|ak| + |/i,k| + |/2,k|) , (60)

|«k/(y)| < Ciiк (^e2^|ak| + |/i,k| + |/2,k|) • (61)

Далее на основании равенств (23)—(25) в силу оценки (29) найдём

i | . V^k| + |^k| + (V2 + 2)|gk|/Ak . Ci2 ( |gk|) (62)

|ak| < --Cóe2nke- ^ | + ^k| + , (62)

|/1,к| < | + + |)' (63)

1/2,^ | < См^* |+ке^кв+ь |)- (64)

Тогда из соотношений (62)—(64) и (57)—(61) получим непосредственно оценки (52)-(56). □

В силу (52), (53), (55), (56) ряды (10), (11), (48), (49) мажорируются рядом

С15 ^ к(А#к| + | + $|), (65)

а ряды (50) и (51) — рядом

С16 ^ к2(*| + | + Ь|). (66)

к=к0+1

Лемма 5. Пусть ф(ж), <(ж) € С3[0,1], $(ж) € С2[0,1], ф''(0) = ф''(1), <''(0) = <''(1), $(0) = $(1), $'(0) = $'(1). Тогда справедливы представления

^2к-1 = -|2Пкз, ^ = - (2Л|3, <2к-1 = - (2%, (67)

<2к = (2пк)3 , $2к-1 = (2пк)2 , $2к = (2пк)2 ,

где , <к3), $к2) (к € М) — коэффициенты разложения в ряд по системе (9) функций ф(3)(ж), <(3)(ж), $(2)(ж), для которых справедливы следующие оценки :

£2=11^3)|2 < Н^(3)(ж)Н|2[0,1], <3)|2 < Н^(3)(ж)Н^2[0,1], (68) £2=1 |$к2)|2 < И^ИИ^д]. ( )

Доказательство. Интегрируя вторые и третьи интегралы равенств (18), (19) по частям три раза, а равенства (20) — два раза, получим непосредственно выражения (67). Поскольку система функций (9) ортонормирована в пространстве £2[0,1], справедливость оценок (68) следует из неравенства Бесселя по этой системе. □

Лемма 6. Пусть ф(ж), <(ж) € С4[0,1], $(ж) € С3[0,1], <(0) = <(1), </(0) = <''(1), фш(0) = <'(1), <'''(0) = <'''(1), $(0) = $(1), $'(0) = $'(1), $''(0) = $''(1). Тогда справедливы представления

^-1 = (2П-1, ^ = (2Щ4, <2к-1 = ^, „(4) З(3) З(3)

т , — „2кп _ З2к „ , _ З2к-1

<2к = (2пк)4 , $2к-1 = (2пк)3, $2к = (2пк)3,

где ^,4), , Уд3 (к € М) — коэффициенты разложения в ряд по системе (9) функций ^(4)(ж), ^>(4)(ж), д(3)(ж), для которых справедливы следующие оценки :

ЕГ=1Й4)|2 < 1вп^(4)(ж)Н|а[о,1], ЕГ=11^14)|2 < 1бу^(4)(х)у|2[0;1], ЕГ=1 |д(3)|2 < 16Уу(3)(Х)У|2[О;1]'

Доказательство леммы 6 проводится аналогично доказательству леммы 5.

При выполнении условий леммы 5 ряд (65), а значит и ряды (10), (11), (48), (49), мажорируются сходящимся числовым рядом

те

С23 £ 1 ( | 43) | + | | + | 9(2)| )•

При выполнении условий леммы 6 ряд (66), а значит и ряды (50), (51), мажорируются сходящимся числовым рядом

те

С24 £ 1 ( | 44)| + | ^4)М ¿4)| )'

Тогда, по признаку Вейерштрасса, при выполнении условий леммы 5 ряд (10) сходится равномерно в области ряд (11)—на отрезке [0,1], а при выполнении условий леммы 6 ряды (48)—(51) сходятся равномерно в области

Следовательно, функции и(ж,у) и /(ж, у) удовлетворяют условиям (2), (8). Подставляя ряды (48), (49) в (10), (11), убеждаемся, что эти функции удовлетворяют условию (7).

Если для указанных в лемме 1 чисел а при некоторых к = I = к1, к2, ..., кр ^ ко, где к и р — заданные натуральные числа, выражение Да/дь(1) = 0, то для разрешимости задачи (2)—(5) достаточно, чтобы выполнялись условия

■0г = ^г = Уг = 0, I = кь к2, ..., кр. (69)

Тогда решение задачи (2)-(5) определяется в виде

кр-1 +те ч

и(ж, у) = (й§п к^ио(у) + (£ + '.' + £ + £

х(и2^-1(у) вт2пкж + и2& еов 2пкж) + £ Мг иг (ж, у), (70)

/&1-1 &Р-1 +те ч

/г(ж) = ^пк/+ (£ +'.' + £ + £ )х

х(/г,2й-1 вт2пкж + /¿,2Йеов 2пкж) + £Мгиг(ж,у), (71)

где и (ж, у) определяется по формуле (26), Мг — произвольные постоянные, в сумме £ г индекс I принимает значения к1, к2, ..., кр; sgn к1 = 0 при к1 = 0 и sgn = 1 при ^ 1. В случае, когда в конечных суммах верхний предел меньше нижнего, соответствующую сумму следует считать равной нулю.

Таким образом, доказаны следующие утверждения.

Теорема 2. Пусть функции <(ж), ф(ж), $(ж) удовлетворяют условиям леммы 5 и имеет место оценка (29) при к > к0. Тогда, если при всех к ^ к0 выполнены условия (22), то существует единственное 'решение задачи 2, которое определяется рядами (10), (11). Если при некоторых к ^ к0 выражение Давь(к) = 0, то решение задачи 2 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядами (70), (71).

Теорема 3. Пусть функции <(ж), ф(ж), $(ж) удовлетворяют условиям леммы 6 и имеет место оценка (29) при к > к0. Тогда, если при всех к ^ к0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 1, которое определяется рядом (10). Если при некоторых к = к1, к2, ..., кр ^ к0 выражение Да^ь(к) = 0, то решение задачи 1 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядом (70).

3.3. Существование решения задач 1 и 2 при выполнении условий лемм 2

и 3. Доказывая леммы, подобные леммам 2 и 3, можно обосновать справедливость следующих утверждений.

Теорема 4. Пусть функции <(ж), ф(ж), $(ж) удовлетворяют условиям леммы 6 и имеет место оценка (35) при всех Ь < Ь0 и в > в0. Тогда существует единственное решение задачи 2, которое определяется рядами

Теорема 5. Пусть функции <(ж),ф(ж), $(ж) удовлетворяют условиям леммы 6 и имеет место оценка (35) при к > к0. Тогда, если при всех к ^ к0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 2, которое определяется рядами (10), (11). Если при некоторых к = к1, к2, ..., кр ^ к0 выражение Да^ь(к) = 0, то решение задачи 2 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядами (70), (71).

Теорема 6. Пусть функции ф(ж), <(ж) € С5[0,1], $(ж) € С4[0,1], ф''(0) =

= ф''(1), <''(0) = <''(1), (0) = ф'''(1), <'''(0) = <'''(1), ф(4)(0) = ф(4)(1), <(4)(0) = <(4)(1) $(0) = $(1), $'(0) = $'(1), $''(0) = $''(1), $'''(0) = $'''(1)

и имеет место оценка (35) при всех Ь < Ь0 и в > в0. Тогда существует единственное решение задачи 1, которое определяется рядом (10).

Теорема 7. Пусть функции <(ж),ф(ж), $(ж) удовлетворяют условиям теоремы 6 и имеет место оценка (35) при к > к0. Тогда, если при всех к ^ к0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 1, которое определяется рядом (10). Если при некоторых к = к1, к2, ..., кр ^ к0 выражение Да^ь(к) = 0, то решение задачи 1 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядом (70).

4. Устойчивость решения задач 1 и 2. Рассмотрим известные нормы

(10), (11).

1Нж,у)||с(D) =max |u(x,y)|, ||/(®)||w = (j0\P0 l/(k)(x)l^ 1/2, n G N0.

Теорема 8. Если выполнены условия теоремы 2 и Давь(к) = 0 при к = = 1, 2,..., ко, то для решения (10), (11) задач 1 и 2 справедливы оценки

||u(x,y)|L2 < Ci7(y^(x)|L2 + H<P(x)||L2 + yg(x)|L2^ ||u(x,y)|C(D) < C18(|^(x)|Wi + + yg(x)|L2^

||/i(x)|L2 < Ci9(|^(x)|w| + + ||g(x)|wi),

||/i(x)|c(D) < C20(||^(x)||wf + + |g(x)!w|).

Здесь Ci — положительные постоянные, не зависящие от ф и g.

Теорема 9. Если выполнены условия теоремы 3, то для решения (10), (11) задач 1 и 2 справедливы оценки

||u(x,y)|L2 < C2i(|^(x)|wi + + yg(x)|L2^

||u(x,y)|C(D) < С22(||ф(х)|Ц2 + + ||g(x)|W21^

||/i(x)|L2 < C23(|^(x)|w| + ||^(x)|w3 + |g(x)!w|) , ||/i(x)|c(D) < C24(||#*)||w4 + ||^(x)|w4 + ||g(x)|w4).

Здесь Ci — положительные постоянные, не зависящие от ф и g. Доказательство теорем 8 и 9 проводится аналогично работе [19].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. А. В. Бицадзе, М. С. Салахитдинов, "К теории уравнений смешанно-составного типа"// Сиб. матем. журн., 1961. Т. 2, №1. С. 7-19. [A. V. Bitsadze, M. S. Salakhitdinov, "On the theory of equations of mixed-composite type" // Sibirsk. Mat. Zh., 1961. Vol.2, no. 1. Pp. 7-19].

2. Т. Д. Джураев, Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979. 239 с. [T. D. Dzhuraev, Boundary value problems for equations of mixed and mixed-composite types. Tashkent: Fan, 1979. 239 pp.]

3. А. И. Кожанов, Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990. 150 с. [A. I. Kozhanov, Boundary Value Problems for Odd-Order Equations of Mathematical Physics. Novosibirsk: Novosibirsk. Univ., 1990. 150 pp.]

4. К. Б. Сабитов, "Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка"// Докл. РАН, 2009. Т. 427, №5. С. 593-596; англ. пер.: K. B. Sabitov, "A boundary value problem for a third-order equation of mixed type" // Dokl. Math., 2009. Vol. 80, no. 1. Pp. 565-568.

5. К. Б. Сабитов, "Задача Дирихле для уравнения смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области"// Диффер. уравн., 2011. Т. 47, №5. С. 705-713; англ. пер.: K. B. Sabitov, "The Dirichlet problem for a third-order equation of mixed type in a rectangular domain" // Differ. Equ., 2011. Vol.47, no. 5. Pp. 706-714.

6. А. Н. Тихонов, "Об устойчивости обратных задач" // Докл. АН СССР, 1943. Т. 39, №5. С. 195-198; англ. пер.: A. N. Tikhonov, "On the stability of inverse problems" // C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.), 1943. Vol. 39, no. 5. Pp. 176-179.

7. М. М. Лаврентьев, "Об одной задаче для волнового уравнения" // Докл. АН СССР, 1964. Т. 157, №3. С. 520-521. [англ. пер.: M. M. Lavrent'ev, "On an inverse problem for the wave equation" // Soviet Math.. Dokl., 1964. Vol. 5, no. 3. Pp. 970-972].

8. М. М. Лаврентьев, К. Г. Резницкая, В. Г. Якно, Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, Сибирск. отдел., 1982. 88 с. [M. M. Lavrent'ev, K. G. Reznitskaya, V. G. Yakhno, One-dimensional inverse problems of mathematical physics. Novosibirsk: Nauka, Sibirsk. Otdel., 1982. 88 pp.]

9. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П., Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с. [V. K. Ivanov, V. V. Vasin, V. P. Tanana, Theory of linear ill-posed problems and its applications. Moscow: Nauka, 1978. 206 pp.]

10. А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко, "Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением"// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003. Т. 43, №4. С. 562-570; англ. пер.: A. I. Prilepko, D. S. Tkachenko, "Properties of solutions of a parabolic equation and the uniqueness of the solution of the inverse source problem with integral overdetermination" // Comput. Math. Math. Phys., 2003. Vol.43, no. 4. Pp. 537-546.

11. А. В. Баев, "Единственность решения обратной задачи для уравнения акустики и обратная спектральная задача"// Матем. заметки, 1990. Т. 47, №2. С. 149-151. [A. V. Baev, "Uniqueness of a solution of an inverse problem for an equation in acoustics, and an inverse spectral problem" // Mat. Zametki, 1990. Vol.47, no. 2. Pp. 149-151].

12. А. М. Денисов, Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 285 с. [A. M. Denisov, Introduction to the theory of inverse problems. Moscow: Moscow State Univ., 1994. 285 pp.]

13. А. И. Кожанов, "Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи" // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2004. Т. 44, №4. С. 694-716; англ. пер.: A. I. Kozhanov, "Nonlinear loaded equations and inverse problems" // Comput. Math. Math. Phys., 2004. Vol. 44, no. 4. Pp. 657-675.

14. К. Б. Сабитов, Э. М. Сафин, "Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа"// Матем. заметки, 2010. Т. 87, №6. С. 907-918; англ. пер.: K. B. Sabitov, E. M. Safin, "The inverse problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type" // Math. Notes, 2010. Vol. 87, no. 6. Pp. 880-889.

15. К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова, "Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа"// Изв. вузов. Матем., 2011. №2. С. 71-85; англ. пер.: K. B. Sabitov, N. V. Martem'yanova, "A nonlocal inverse problem for a mixed-type equation" // Russian Math. (Iz. VUZ), 2011. Vol.55, no. 2. Pp. 61-74.

16. К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова, "Обратная задача для уравнения эллиптико-гиперболического типа с нелокальным граничным условием" // Сиб. матем. журн., 2012. Т. 53, №3. С. 633-647; англ. пер.: K. B. Sabitov, N. V. Martem'yanova, "An inverse problem for an equation of elliptic-hyperbolic type with a nonlocal boundary condition" // Siberian Math. J., 2012. Vol.53, no. 3. Pp. 507-519.

17. К. Б. Сабитов, И. А. Хаджи, "Краевая задача для уравнения Лаврентьева—Бицад-зе с неизвестной правой частью"// Изв. вузов. Матем., 2011. №5. С. 44-52; англ. пер.: K. B. Sabitov, I. A. Khadzhi, "The boundary-value problem for the Lavrent'ev-Bitsadze equation with unknown right-hand side" // Russian Math. (Iz. VUZ), 2011. Vol. 55, no. 5. Pp. 35-42.

18. Г. Ю. Удалова, "Обратная задача для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа"// Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2010. №4(78). С. 89-97. [G. Yu. Udalova, "Inverse problem for equation of mixed elliptic-hyperbolic type" // Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser, 2010. no. 4(78). Pp. 89-97].

19. Г. Ю. Удалова, "Обратная задача для уравнения с оператором Лаврентьева—Бицад-зе" // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2012. Т. 14,

№1. С. 98-111. [G. Yu. Udalova, "Inverse problem for equation with Lavrentev-Bitsadze operator"// Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy Akademii Nauk, 2012. Vol. 14, no. 1. Pp. 98-111].

20. Г. Ю. Удалова, "Краевая задача для уравнения Лаврентьева—Бицадзе с неизвестной правой частью" // Научные ведомости Белгородского гос. ун-та. Сер. Математика. Физика, 2012. Т. 26, №5. С. 209-225. [G. Yu. Udalova, "The boundary-value problem for the Lavrent'ev-Bitsadze equation with unknown right-hand side" // Nauchnyye Vedomosti Belgorodskogo Gos. Un-ta. Ser. Matematika. Fizika,, 2012. Vol.26, no. 5. Pp. 209-225].

21. А. Я. Хинчин, Цепные дроби. М.: Наука, 1978. 112 с. [A. Ja. Hinchin, Continued fractions. Moscow: Nauka, 1978. 112 pp.]

22. В. И. Арнольд, "Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике"// УМН, 1963. Т. 18, №6(114). С. 91-192; англ. пер.: V. I. Arnol'd, "Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics" // Russian Math. Surveys, 1963. Vol. 18, no. 6. Pp. 85-191.

23. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965. 616 с. [A. Zigmund, Trigonometric series. Vol. 1. Moscow: Mir, 1965. 616 pp.]

Поступила в редакцию 08/IV/2013; в окончательном варианте — 20/VII/2013.

MSC: 35M12; 35M10, 35A02

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR MIXED TYPE EQUATION OF THE THIRD ORDER WITH PERIODIC CONDITIONS

K. B. Sabitov1, G. Yu. Udalova2

1 Institute of Applied Research,

68, Odesskaya st., Sterlitamak, Russia, 453103.

2 Samara State University of Architecture and Civil Engineering, 194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russia.

E-mails: [email protected], [email protected]

The problem for the equation of the mixed elliptic-hyperbolic type with nonlocal boundary conditions is viewed. This problem is reduced to the inverse problem for elliptic-hyperbolic equation with unknown right-hand parts. The criterion of the uniqueness is established. The explicit solution is constructed as the sum of orthogonal trigonometric series of the one-dimensional spectral problem eigenfunctions. The argumentation of the series convergence under some restrictions is given. The stability of the solution by the boundary functions is proved.

Key words: equations of the mixed type of third order, direct and inverse problems, spectral method, uniqueness, existense, stability.

Original article submitted 08/IV/2013; revision submitted 20/VII/2013.

Kamil B. Sabitov (Dr. Phys. & Math. Sci.), Director. Galina Yu. Udalova, Postgraduate Student, Dept. of Higher Mathematics.