Научная статья на тему 'Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности'

Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
245
74
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ / ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ / СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД / ЕДИНСТВЕННОСТЬ / СУЩЕСТВОВАНИЕ / УСТОЙЧИВОСТЬ / EQUATIONS OF THE MIXED TYPE OF THIRD ORDER / DIRECT AND INVERSE PROBLEMS / SPECTRAL METHOD / UNIQUENESS / EXISTENSE / STABILITY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сабитов Камиль Басирович, Удалова Галина Юрьевна

Исследуется задача с двумя нелокальными граничными условиями для уравнения смешанного типа третьего порядка, сводящаяся к обратной задаче для уравнения эллиптико-гиперболического типа с неизвестными правыми частями. Установлен критерий единственности. Решение построено в явном виде как суммы ортогональных рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. Дано обоснование сходимости рядов в соответствующих классах функций при определённых ограничениях на данные задачи. Доказана устойчивость решения по граничным данным.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Boundary value problem for mixed type equation of the third order with periodic conditions

The problem for the equation of the mixed elliptic-hyperbolic type with nonlocal boundary conditions is viewed. This problem is reduced to the inverse problem for elliptichyperbolic equation with unknown right-hand parts. The criterion of the uniqueness is established. The explicit solution is constructed as the sum of orthogonal trigonometric series of the one-dimensional spectral problem eigenfunctions. The argumentation of the series convergence under some restrictions is given. The stability of the solution by the boundary functions is proved.

Текст научной работы на тему «Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 3 (32). С. 29—45

УДК 517.956.6

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С УСЛОВИЯМИ ПЕРИОДИЧНОСТИ

К. Б. Сабитов1, Г. Ю. Удалова2

1 Институт прикладных исследований, 453103, Россия, Стерлитамак, ул. Одесская, 68.

2 Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 443001, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

E-mails: sabitov_fmf@mail.ru, yeyeg@yandex.ru

Исследуется задача с двумя нелокальными граничными условиями для уравнения смешанного типа третьего порядка, сводящаяся к обратной задаче для. уравнения эллиптико-гиперболического типа с неизвестными правыми частями. Установлен критерий единственности. Решение построено в явном виде как суммы ортогональных рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. Дано обоснование сходимости рядов в соответствующих классах функций при определённых ограничениях на данные задачи. Доказана устойчивость решения по граничным данным.

Ключевые слова: уравнения смешанного типа третьего порядков, прямая и обратная задачи, спектральный метод, единственность, существование, устойчивость.

Введение. Рассмотрим уравнение третьего порядка смешанного типа д д

— (Lu) = — (uxx + (sgn y)uyy — b2u) =0 (1)

в прямоугольной области D = {(x,y) | 0 < x < 1, —a < y < в} , где a, в, b — заданные положительные постоянные, и следующую задачу.

Задача 1.Найти в области D функцию u(x,y), удовлетворяющую условиям :

u(x,y) е C1(D), Uy(x, y) е C:(D), uXXy, Uyyy e C(D- и D+); (2)

д

— (Lu) = 0, (x, y) e D- U D+;

u(0,y) = u(1,y), ux(0,y)= ux(1,y), —a < y < в; (3)

u(x, —a) = ^(x), u(x, в) = ^(x), 0 ^ x ^ 1; (4)

uy(x, —a) = g(x), 0 ^ x ^ 1, (5)

где ^(x), ^>(x), g(x) —заданные достаточно гладкие функции, ф(0) = ф(1), р(0) = р(1), ф'(0) = ф'(1), <^'(0) = <^'(1), D- = Dn{y < 0}, D+ = Dn{y > 0}.

Уравнение (1) в области D равносильно уравнению эллиптико-гиперболи-ческого типа второго порядка с неизвестной правой частью

lu=f(xy)={f2ix!: y> 0, («)

Камиль Басирович Сабитов (д.ф.-м.н., проф.), директор. Удалова Галина Юрьевна, аспирант, каф. высшей математики.

Тогда задача 1 сводится к следующей обратной задаче.

Задача 2. Найти в области Б функции и(ж, у) и / (ж, у), удовлетворяющие условиям (2), (3)-(5) и

¿и = f (ж, у), (ж, у) е Б- и Б+; (7)

/¿(ж) е С(0,1) П ¿2[0,1], г = 1, 2. (8)

Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка изучались многими авторами (см. работы [1-3] и приведенную там библиографию). В [1,2] исследуются краевые задачи для уравнения (1) при Ь = 0 аналитическими методами в области, где гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник. Решение найдено в классе функций, представимых в виде и(ж,у) = ш(ж,у) + ш(ж), где ш(ж,у) — произвольное регулярное решение уравнения ¿и = 0 при Ь = 0, у = 0, ш(ж) —произвольная функция из класса С[0,1] П С2(0,1), удовлетворяющая условиям ш(0) = ш(1) =0. В [3] получены теоремы об однозначной разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных нечётного порядка в цилиндрических областях. В работах [4,5] доказаны единственность и существование решения краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка в прямоугольной области.

В данной работе, как и в работах [4,5], предлагается метод решения задачи для дифференциального уравнения третьего порядка путём сведения к обратной задаче для дифференциального уравнения смешанного типа второго порядка с неизвестными правыми частями. Ранее обратные задачи для различных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались многими авторами [6-13]. Обратные задачи для уравнений смешанного типа второго порядка с неизвестными правыми частями рассматривались в работах [14-20]. В работах [18-20] для уравнения (6) при Д(ж) = /2(ж) и /1 (ж) = /2 (ж) изучены обратные задачи с граничными условиями второго рода их(0, у) = их(1, у) = 0, —а ^ у ^ в, когда Ь = 0 и Ь > 0.

В этой работе изучены задачи 1 и 2 с условиями периодичности (3). Установлен критерий единственности. Решение указанных задач построено в виде суммы рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. При определенных ограничениях на данные задачи (2)-(5) дано обоснование сходимости рядов в классах (2) и (8). Установлена устойчивость решения по граничным данным.

1. Формальное построение решения задач 1 и 2. Поставленную задачу будем решать методом разделения переменных и(ж,у) = X(ж)У(у). Соответствующая спектральная задача относительно X(ж) имеет следующую систему собственных чисел и собственных функций: л/Щк = 2пк, к е N0 = N и {0};

Хо(ж) = 1, Х2к-1(ж) = л/2 8ш 2пкж, Х2к = ^2ео8 2пкж, к е N. (9)

Система (9) ортонормирована, полна и образует базис в пространстве ¿2[0,1].

Пусть существует решение задачи 2. Будем искать его в виде суммы ортогональных рядов:

и(ж,у) = ио(у) + (и2к-1(у) йш2пкж + и,2к(у) еой2пкж), (10)

к=1

/¿(x) = /¿,0 + (/¿,2fc-i sin 2nkx + /j,2fc cos 2nkx), i = 1,2, (11)

fc=i

где

u0(y) = u(x,y) dx, u2k-i(y) = л/2 u(x,y) sin2nkxdx,

- (12)

u2fc(У) = u(x,y) cos 2nkx dx,

0

/¿,0 = /i(x) dx, /¿,2fc-i = л/2 / /¿(x)sin2nkxdx,

i (13)

/i,2fc =

/¿(x) cos 2nkx dx, i = 1,2, k e N.

0

Следуя [18], получим, что функции uk(y), k e N0, являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений

ик(У) - (sgn У)л! ufc(У) = (sSn y)/¿,fc, (14)

где Л| = д/(2nk)2 + b2, i = 1 при y > 0, i = 2 при y < 0.

Дифференциальные уравнения (14) имеют общие решения

Uk(y) = f flfceAfc' + bfcе-"'" - /i,k/Л2, У > 0 (15)

kvy; \ Ck cos Лкy + dfc sin Лкy - /2,k/Л|, y< 0, v 7

здесь k e N0, ak, bk, ck, dk — произвольные постоянные.

В силу условий (2) функции Ufc(y), определяемые формулами (15), удовлетворяют условиям сопряжения:

ufc(0 - 0) = ufc(0 + 0), uk(0 - 0) = uk(0 + 0), <(0 - 0) = <(0 + 0), k e N0.

Удовлетворяя их этим условиям, получим

í ake"ky + ( fl ,fe2~/2 'k - ak) e-"ky - , y > 0,

uk (y) = I /2 fc-/i k \ \ /0 , /2 fc-/i fc\\ , /2 k n (16)

I /2'2/,k cos ЛйУ + Í2ak + /2■ 2 / ■ k) sin Л^ - , y< 0.

V k V k / k

На основании (4), (5) и (12) имеем

ufc(-a) = , ufc(в) = ^fc, uk(-a) = gfc, k e N0, (17)

где , , gk — коэффициенты разложения функций ^(x), ^>(x), g(x) соответственно в ряд по системе (9), т. е.

= ^(x) dx, ^2k-i = л/2 / ^(x) sin2nkxdx, ./0 i ./0

^2k = л/2 / ^(x) cos2nkx dx, 0

^>0 = <^(ж) ^ж, ^>2к-1 = л/2 / ^(ж) й1п2пкж^ж,

Уо - Уо (19)

^2к = <^(ж) еой 2пкж ^ж,

до = / д(ж) ^ж, #2к-1 =

л/2 д(ж) й1п2пкж^ж, ^ 1 ^ (20) д2к =

л/2 д(ж) еой2пкж^ж. ./о

Удовлетворим решения (16) условиям (17). Тогда относительно неизвестных ак, Ьк, / 1,к, /2,к получим системы линейных уравнений:

cos Afc а - (2afc + sin Afc a - ff = ^fc,

afcеЛкв + (-afc - ) е=Лкв - = №, (21)

sin Afca +(2afc + cos Afca = f, k G No.

Определители систем (21) такие:

Aajgb(k) sin Aka sh Akв + cos Aka ch Akв - 2 cos Aka + 1

= Ak .

Тогда при условии, что при всех k G No

Aaeb(k) = 0, (22)

системы (21) имеют единственные решения:

-(sin Afca + cos Afca)^k + + (cos Afca - sin Afca - 2)gfc/Afc

afc = 2Akaeb(k) , (23)

/l,fc =

- A| [(sin Aka sh Akв + cos Aka ch Akв)^к + (2 cos Aka - 1)^>k]

Aaeb(k)

Afc (sin Afc a ch Afc в - cos Afc a sh Afc в + 2 sh Afc в)дк Aaeb (k)

, (24)

Ak [(2 cos Afc a - sin Afc a sh Afcв - cos Afca ch Afcв)^fc - ^fc]

f2,fc =-г-ttt--h

Aaeb(k)

+ Afc (2 sin Afca - sin Afca ch Afcв + cos Afca sh Afc( ) + Aaeb(k) . (25)

Таким образом, функции (16) построены однозначно.

2. Единственность решения задач 1 и 2. Пусть = <^(x) = g(x) = 0 и выполнены условия (22). Тогда в силу (18)—(20) коэффициенты = = = gk = 0, k G No, а значит, системы (21) имеют нулевые решения: a^ = /i,k = = f2,k = 0 при k G N0. Тогда из равенств (12) и (13), учитывая (16), получаем, что при всех y G [—a, в]

/ u(x,y) dx = 0, / u(x,y) sin2nkxdx = 0, / u(x,y)cos2nkxdx = 0,

./o ./o ./o

/ /¿(ж) dx = 0, / /¿(ж) sin2nkxdx = 0, / /¿(ж) cos2nkxdx = 0, i = 1,2. o o o

Отсюда в силу полноты системы (9) в пространстве L2[0,1] и условий (2), (8) следует, что u(x, y) = 0 и /(ж, y) = 0 в D.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть для некоторых a, в, b, k = p G N выражение Aaeb(p) = 0, тогда задачи 1 и 2, где <^(ж) = ф(ж) = g(x) = 0, имеют ненулевые решения:

Up(x,y)= uo(y) + Up(y)(Apsin2npx + Bpcos2npx), /¿(x) = /¿,p, i = 1,2, (26)

— 0 , y > 0,

, , ; чАавь(р) У ^Г' У '

/co^p^ — Л ff, y < 0, p G No, ^ Давь(р)А2 У А? ' * ' У o'

/1,P =(1 — ^^ ) /2,p,

Av. ... p

2cos ApaN Aaeb(p)

A«eb(p) = 2 cos Apa — sin Apa sh АРв — cos Ap a ch АРв,

где Ap, Bp, /2,p — произвольные постоянные.

Теперь рассмотрим вопрос, при каких a, в и b выражение Aaeb(k) = 0. Представим Aaeb(k) в следующем виде:

Aaeb(k) = /2(ch Ak в — 1)2 + 1 sin(Ak a + 0fc) + 1, (27)

где

. . ch Ak в — 2 n

yk = arcsin —. = ^ — при k ^

/2(ch Ak в — 1)2 + 1 4

Решая уравнение Aaeb(k) = 0 относительно a, получаем серию корней

a ((—1)n+17k — 4 + nn) , n G N, (28)

Ak

где Yk = arcsin (2(ch Ak в — 1)2 + 1) 1/2.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Если существует 'решение задач 1 и 2, то оно единственно тогда и только тогда, когда выполнены условия (22) при всех k G No.

3. Обоснование существования решения задач 1 и 2. Решение задач 1 и 2 при условии (22) построено формально в виде сумм ортогональных рядов (10), (11). Поскольку в числители коэффициентов этих рядов входит экспонента ехр(Лкв), а в знаменатель — выражение Давь(к), для обоснования существования решения задачи необходимо существование таких чисел а, чтобы Давь(к) при достаточно больших к возрастало не медленнее, чем ехр(Лкв). При этом в силу (28) возникает проблема малых знаменателей [4,22].

3.1. Оценка малых знаменателей.

Лемма 1. Если а = р/д, р, д € N (р, д) = 1, (д, 4) = 1, в, Ь — любые фиксированные положительные числа, то существуют положительные постоянные ко (ко € М) и С0, вообще говоря, зависящие от а, в и Ь, такие, что при любом к > к0 справедлива оценка

|Давь(А01 > Coe2nke.

(29)

Доказательство. Представим выражение Д„вь(к) в виде

Д«вь(к) = (sin Akа + cos Akа) sh Akв + cos Akae-Afce + 1 — 2 cos Akа =

= л/2 sh Afcв sin (Afcа + +cos Afcа (VAfcв — 2^ +1. (30)

Из выражения (30) при b = 0 имеем

|Д«во(к)| = V2sh2nkesin ^2пка + + cos 2пка (V2nfce — 2^+1 ^ ^ V2sh2nke sin ^2пка + — cos 2пка (V2nfce — 2^+1 ^

^ V2sh2nke sin ^2пка + — cos 2пка (V2nfce — 2) — 1. (31) Оценим первое слагаемое из правой части неравенства (31): ^2sh2nke sin (2пЛа + ^ Cie2nke sin ^2пка +

(32)

Здесь и в дальнейшем С — положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от а, в и Ь.

Если а = п € М, то при любом к € N

sin^2nfen + nj

п 1 = sin - = , 4 у/2

и тогда из (32) имеем

л/2 sh 2п^в

> ^ e2^e.

V2

Пусть теперь а = р/д, (р, д) = 1, (д, 4) = 1. Разделив в этом случае 2кр на д с остатком (2кр = + г, 0 ^ г < д), получим

/2nkp п

sin--+ -

V q 4

/ пг п \

si4 Т +4Í

= C > 0.

(33)

Из оценок (31), (32) и (33) имеем

- 1 >

|Да0о(*)| > Сзе2пкв - | (е-2пкв - 2) еов2пка

>е2пкв (Сз - Зе-2пкв) >С3

при к > = (2пв)-11п(6/Сз). Здесь Сз = шт{С1//2, С1 ■ С2}. Теперь рассмотрим разность

(34)

|Д«вь(к) - Д«во(к)|

еЛкв _ е2пкв

(вт Лк а + еов Лк а)-

- ^ е2пкв (- вт Лк а - еов Лк а + 2пка+еов 2пка) +1 е Лкв (еов Лк а - вт Лк а)-

-1 е-2пкв(еов 2пка - вт 2пка) + 2(еов 2пка - еов Лка) ^

еЛкв - е2пкв 1 ^---1 втЛка + еовЛка| + -е п в(| втЛка - в1п2пка| +

+ | еов Лка - еов 2пка|) + 1 е-Лкв| еов Лка - вт Лка| +

+ ^е-2пкв| еов 2пка - вт 2пка| + 2| еов 2пка - еов Лка| ^

вт

+

< е**,' е(Лк-2'к>в - 1 ^ +

. (Лк - 2пк)а . (Лк + 2пк)а вт- • вт-

(Лк - 2пк)а

еов

(Лк + 2пк)а

2

+ /2е-2пкв + 4

+

. (2пк - Лк)а вт-

Учитывая неравенства

0 ^ ех - 1 ^ 2х, 0 ^ х ^ 1; | втх| ^ |х|,

получим

|Давь(к) - Даво(к)| < е2пкв [^2(Лк - 2пк)в + (Лк - 2пк)а+

+/2е-4пкв + 2е-2пкв|Л* - 2пк|а

Отсюда, в силу оценки 0 < Лк - 2пк < Ь2/(2пк) при любых к € М, будем иметь

е2пкв / ч

|Давь(к) - Даво(к)| < (^262в + Ь2а + 2/2пке-4пкв + 2а62е"2пкв) <

<

е2пкв 2пк

л/2б2в + Ь2а + 2пке-4пкв + 2аЬ2

<

2пк

л/2б2в + ЗаЬ2 + — 2в

С4е2пкв к '

2

2

Из последней оценки и неравенства (34) будем иметь

|Да/8ь(к)| = |Да/зь(к) - Д«во(к) + Д«в0(к)| ^

^ |Д«во(Л)| - |Давь(к) - Даво(к)| > Се2пкв - —

V 2 к /

= е

при к > к0 ^ тах{.1,к2}, где к2 = 2С4/С3, Со = С3/4. □

Лемма 2. Пусть а > 0 является любым иррациональным алгебраическим числом степени п = 2. Тогда существуют положительные постоянные во, Ьо и Со, вообще говоря, зависящие от а, такие, что при всех в > во, Ь < Ьо и к е N справедлива оценка

|Д«во(к)| ^ еЛквС0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(35)

Доказательство. Первый множитель выражения (27) имеет оценку

1

Лйв - 1)2 + 1 ^ ^ [\/2(еЬ Айв - 1) + 1

еЛкв 2^2

1 + ^2е-2Лкв - (2 - ^2)е-Лкв

еЛкв. (36)

2\/2

Рассмотрим теперь второй множитель выражения (27). При Ь < 2п имеет место равенство

' Ь ) 2

Лй = / (2пк)2 + Ь2 = 2пк^ 1 + (^Пк)

= 2пк

1 I Ь V V Ь у

= 2пк + ст^,

При этом для ст^ справедлива оценка [15]

2пк

< стй <

4пк.

Тогда получим

(37)

| 8т(Л&а + )| = | 8т(2пка + ст^а + )| =

= | 8т(пка1 + (гк + 6к) | = | 8т(пка1 - пп + (гк + ) |,

где с(к = Стка, а1 = 2а. Для (к с учётом (37) имеем оценку

Ь2

а

8пк

< ак <

Ь2

а

4пк

(38)

(39)

Для любого к € N существует п € N такое, что имеет место неравенство [14]

1

(40)

п

ai — т k

1

< 2k'

с другой стороны, по теореме Лиувилля [21, е. 60] известно, что для любого алгебраического числа степени п = 2 найдется число 5 > 0 такое, что при любых целых р и д (д > 0) справедлива оценка

ai

> i

g2

(41)

Пусть п € N такое, что выполняется неравенство (40). Тогда, учитывая оценку (41), имеем

пй

— ^ пк k

ai -

m к

п <2 •

Учитывая, что ^ п/4 при к ^ те, в силу возрастания функций

еИ х - 2

у = агевт и и и

имеем

л/2(Аx — 1)2 + 1

п

(42)

Тогда при всех Ь < Ь1 = п/\/2а выполнено < п/8, а следовательно, с учётом (42),

~ п п Зп

+ < 8 + 4=Т'

Возможны два случая:

1) п/2 < |пка1 - пп + + 0к| < 7п/8,

2) 0 < |пка1 - пп + + | < п/2. В первом случае

7п

| sin(nkai — пп + <гк + ) | > sin —.

8

Во втором случае, учитывая неравенство

2п

sin x > — x, 0 < x < —, п2

(43)

получим

| sin(nkai — пп + + )| > — |nkai — пп + + | =

п

пк^а —

4n — 1 4k

^ - ( пк п

+ ¡k — £fc

ai —

4n 1

4k

— |¡jfc | — |£fc I , (44

где efc = п/4 — 0fc > 0.

Применяя формулу разности арксинусов

агсвтж — агсвту = агсвт(жд/1 — у2 — ул/1 — ж2), жу > 0, и учитывая неравенство агсвт х < пж/2, 0 <ж< 1, а также оценку (36), при

1п ^

в>в1 =

2

^Ь2 + (2п)2 будем иметь

^—4

сИ Айв — 2 1

агсвт —. = — агсвт —=

^2(сИ Ай в — 1)2 + 1 л/2

2 —

= агсвт -, = ^

л/2 V2(сИ Айв — 1)2 + 1

< __ ^_2П_. (45)

2\/2 V2(сИ Айв — 1)2 + 1 (л/2 — 1)еЛ*в

Из неравенства (45) следует, что

2п 2п 2п

0 <ек < -— < -< -= -. (46)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

й (л/2 — 1)еЛкв (л/2 — 1)Ак в (л/2 — 1)2пкв (\/2 — 1)вк

Тогда из (44) с учётом (39) и (46) получим

I . / , ~ /! м 2 /п5 Ь2а 1 \ Сд .

| вт(пка1 — пп + + 0к) | > - — — ——--=- > — (47)

1 1 1 к ^1 пЧ 4к 4пк (—2 — 1)в^ к у 7

при

Ь < &2 = пк 1 (5--4-V в>в2 = ^ •

2 у^ пв (—2 — 1)/ п5(\/2 — 1)

Из выражений (36), (43) и (47) следует справедливость леммы при в > во = шах{въ в2} и Ь < Ь0 = шт{2п, Ь1, Ь2}.П

Лемма 3. Пусть а > 0 является любым иррациональным алгебраическим числом степени п = 2. Тогда существует к0 € М, зависящее, вообще говоря, от а, в и Ь, такое, что при всех к > к0 справедлива оценка (35).

Доказательство леммы аналогично доказательству леммы 2 с той разницей, что необходимые ограничения для выполнения неравенств накладываются не на параметры в и Ь, а на номер к0.

3.2. Существование решения задач 1 и 2 при выполнении условий леммы 1. Для доказательства существования решения задач 1 и 2 из ряда (10) формально почленным дифференцированием составим ряды

иЖх(ж,у) = —л/2^(2пк)2(и2к_1(у) вт2пкж + (у)сов2пкж), (48)

uyy (x,y) = «о (y) + V/2^(■u2/fc_l(y)sin2пkx + u2'fc(y) cos 2пkx), (49)

k=i

те

(x,y) = \/-^(2пк)2(—u2fc_i(y) cos2пkx + «2k (y)sin2пkx), (50) k=i

те

«yyy (x, y) = u0"(y) + V^^(u/2/k_l(y)sin2пkx + «2fc (y)cos2пkx). (51)

k=i

Лемма 4. Пусть выполнено неравенство (29) при к > ко. Тогда при таких к для любых y € [—a, в] справедливы оценки

|«k(y)| < C4 (№*| + | + |gk|/к), (52)

|«k(y)| < C5к (к|^| + %k| + |gk|), (53)

|«k//(y)| < Сбк2 (к|^| + %k| + |gk|), (54)

|fi,k| < С7к (к|^| + %k| + |gfc|), (55)

|/2,k| < Сек (к|^| + %k| + |gfc|). (56)

Доказательство. На основании формул (16) найдём

|«k(y)| < e2nkeeb|afc| + /í1 + ^ < eb ■ e2nke|afc| +

+ 3 |fi,fc| + 1 |f2,k| . C (e2nk,3|a 1+ |fi,fc| + |f2,fc| ) (57)

+ 8Л2'ИТ + 2Л2 'ИТ ^C4e |ak|+ ЦТ+ 1И• (57)

На основании формул (16) вычислим

«///(y) = í AkafceAfcy + 2 (—2akAk — /2,k + /i, к) e_Afcy, y > 0,

k \ ^ (/i,k — /2,fc)cos Ak y — i (4afcA| + /2,k — /i,k) sin Afcy, y< 0, Г Ak [AkakeAfcy + 2 (2akAk + /2,k — /i,k)e_Aky], y > 0, «k/(y) = < Ak[ i (/2,k — /i,k) sin Ak y— (59)

l — i (4Ak ak + /2,k — /i,k )cos Ak y, y< 0.

Аналогично, исходя из равенств (58) и (59), получим

K(y)| < Ció (^e2^|ak| + |/i,k| + |/2,k|) , (60)

|«k/(y)| < Ciiк (^e2^|ak| + |/i,k| + |/2,k|) • (61)

Далее на основании равенств (23)—(25) в силу оценки (29) найдём

i | . V^k| + |^k| + (V2 + 2)|gk|/Ak . Ci2 ( |gk|) (62)

|ak| < --Cóe2nke- ^ | + ^k| + , (62)

|/1,к| < | + + |)' (63)

1/2,^ | < См^* |+ке^кв+ь |)- (64)

Тогда из соотношений (62)—(64) и (57)—(61) получим непосредственно оценки (52)-(56). □

В силу (52), (53), (55), (56) ряды (10), (11), (48), (49) мажорируются рядом

С15 ^ к(А#к| + | + $|), (65)

а ряды (50) и (51) — рядом

С16 ^ к2(*| + | + Ь|). (66)

к=к0+1

Лемма 5. Пусть ф(ж), <(ж) € С3[0,1], $(ж) € С2[0,1], ф''(0) = ф''(1), <''(0) = <''(1), $(0) = $(1), $'(0) = $'(1). Тогда справедливы представления

^2к-1 = -|2Пкз, ^ = - (2Л|3, <2к-1 = - (2%, (67)

<2к = (2пк)3 , $2к-1 = (2пк)2 , $2к = (2пк)2 ,

где , <к3), $к2) (к € М) — коэффициенты разложения в ряд по системе (9) функций ф(3)(ж), <(3)(ж), $(2)(ж), для которых справедливы следующие оценки :

£2=11^3)|2 < Н^(3)(ж)Н|2[0,1], <3)|2 < Н^(3)(ж)Н^2[0,1], (68) £2=1 |$к2)|2 < И^ИИ^д]. ( )

Доказательство. Интегрируя вторые и третьи интегралы равенств (18), (19) по частям три раза, а равенства (20) — два раза, получим непосредственно выражения (67). Поскольку система функций (9) ортонормирована в пространстве £2[0,1], справедливость оценок (68) следует из неравенства Бесселя по этой системе. □

Лемма 6. Пусть ф(ж), <(ж) € С4[0,1], $(ж) € С3[0,1], <(0) = <(1), </(0) = <''(1), фш(0) = <'(1), <'''(0) = <'''(1), $(0) = $(1), $'(0) = $'(1), $''(0) = $''(1). Тогда справедливы представления

^-1 = (2П-1, ^ = (2Щ4, <2к-1 = ^, „(4) З(3) З(3)

т , — „2кп _ З2к „ , _ З2к-1

<2к = (2пк)4 , $2к-1 = (2пк)3, $2к = (2пк)3,

где ^,4), , Уд3 (к € М) — коэффициенты разложения в ряд по системе (9) функций ^(4)(ж), ^>(4)(ж), д(3)(ж), для которых справедливы следующие оценки :

ЕГ=1Й4)|2 < 1вп^(4)(ж)Н|а[о,1], ЕГ=11^14)|2 < 1бу^(4)(х)у|2[0;1], ЕГ=1 |д(3)|2 < 16Уу(3)(Х)У|2[О;1]'

Доказательство леммы 6 проводится аналогично доказательству леммы 5.

При выполнении условий леммы 5 ряд (65), а значит и ряды (10), (11), (48), (49), мажорируются сходящимся числовым рядом

те

С23 £ 1 ( | 43) | + | | + | 9(2)| )•

При выполнении условий леммы 6 ряд (66), а значит и ряды (50), (51), мажорируются сходящимся числовым рядом

те

С24 £ 1 ( | 44)| + | ^4)М ¿4)| )'

Тогда, по признаку Вейерштрасса, при выполнении условий леммы 5 ряд (10) сходится равномерно в области ряд (11)—на отрезке [0,1], а при выполнении условий леммы 6 ряды (48)—(51) сходятся равномерно в области

Следовательно, функции и(ж,у) и /(ж, у) удовлетворяют условиям (2), (8). Подставляя ряды (48), (49) в (10), (11), убеждаемся, что эти функции удовлетворяют условию (7).

Если для указанных в лемме 1 чисел а при некоторых к = I = к1, к2, ..., кр ^ ко, где к и р — заданные натуральные числа, выражение Да/дь(1) = 0, то для разрешимости задачи (2)—(5) достаточно, чтобы выполнялись условия

■0г = ^г = Уг = 0, I = кь к2, ..., кр. (69)

Тогда решение задачи (2)-(5) определяется в виде

кр-1 +те ч

и(ж, у) = (й§п к^ио(у) + (£ + '.' + £ + £

х(и2^-1(у) вт2пкж + и2& еов 2пкж) + £ Мг иг (ж, у), (70)

/&1-1 &Р-1 +те ч

/г(ж) = ^пк/+ (£ +'.' + £ + £ )х

х(/г,2й-1 вт2пкж + /¿,2Йеов 2пкж) + £Мгиг(ж,у), (71)

где и (ж, у) определяется по формуле (26), Мг — произвольные постоянные, в сумме £ г индекс I принимает значения к1, к2, ..., кр; sgn к1 = 0 при к1 = 0 и sgn = 1 при ^ 1. В случае, когда в конечных суммах верхний предел меньше нижнего, соответствующую сумму следует считать равной нулю.

Таким образом, доказаны следующие утверждения.

Теорема 2. Пусть функции <(ж), ф(ж), $(ж) удовлетворяют условиям леммы 5 и имеет место оценка (29) при к > к0. Тогда, если при всех к ^ к0 выполнены условия (22), то существует единственное 'решение задачи 2, которое определяется рядами (10), (11). Если при некоторых к ^ к0 выражение Давь(к) = 0, то решение задачи 2 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядами (70), (71).

Теорема 3. Пусть функции <(ж), ф(ж), $(ж) удовлетворяют условиям леммы 6 и имеет место оценка (29) при к > к0. Тогда, если при всех к ^ к0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 1, которое определяется рядом (10). Если при некоторых к = к1, к2, ..., кр ^ к0 выражение Да^ь(к) = 0, то решение задачи 1 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядом (70).

3.3. Существование решения задач 1 и 2 при выполнении условий лемм 2

и 3. Доказывая леммы, подобные леммам 2 и 3, можно обосновать справедливость следующих утверждений.

Теорема 4. Пусть функции <(ж), ф(ж), $(ж) удовлетворяют условиям леммы 6 и имеет место оценка (35) при всех Ь < Ь0 и в > в0. Тогда существует единственное решение задачи 2, которое определяется рядами

Теорема 5. Пусть функции <(ж),ф(ж), $(ж) удовлетворяют условиям леммы 6 и имеет место оценка (35) при к > к0. Тогда, если при всех к ^ к0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 2, которое определяется рядами (10), (11). Если при некоторых к = к1, к2, ..., кр ^ к0 выражение Да^ь(к) = 0, то решение задачи 2 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядами (70), (71).

Теорема 6. Пусть функции ф(ж), <(ж) € С5[0,1], $(ж) € С4[0,1], ф''(0) =

= ф''(1), <''(0) = <''(1), (0) = ф'''(1), <'''(0) = <'''(1), ф(4)(0) = ф(4)(1), <(4)(0) = <(4)(1) $(0) = $(1), $'(0) = $'(1), $''(0) = $''(1), $'''(0) = $'''(1)

и имеет место оценка (35) при всех Ь < Ь0 и в > в0. Тогда существует единственное решение задачи 1, которое определяется рядом (10).

Теорема 7. Пусть функции <(ж),ф(ж), $(ж) удовлетворяют условиям теоремы 6 и имеет место оценка (35) при к > к0. Тогда, если при всех к ^ к0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 1, которое определяется рядом (10). Если при некоторых к = к1, к2, ..., кр ^ к0 выражение Да^ь(к) = 0, то решение задачи 1 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядом (70).

4. Устойчивость решения задач 1 и 2. Рассмотрим известные нормы

(10), (11).

1Нж,у)||с(D) =max |u(x,y)|, ||/(®)||w = (j0\P0 l/(k)(x)l^ 1/2, n G N0.

Теорема 8. Если выполнены условия теоремы 2 и Давь(к) = 0 при к = = 1, 2,..., ко, то для решения (10), (11) задач 1 и 2 справедливы оценки

||u(x,y)|L2 < Ci7(y^(x)|L2 + H<P(x)||L2 + yg(x)|L2^ ||u(x,y)|C(D) < C18(|^(x)|Wi + + yg(x)|L2^

||/i(x)|L2 < Ci9(|^(x)|w| + + ||g(x)|wi),

||/i(x)|c(D) < C20(||^(x)||wf + + |g(x)!w|).

Здесь Ci — положительные постоянные, не зависящие от ф и g.

Теорема 9. Если выполнены условия теоремы 3, то для решения (10), (11) задач 1 и 2 справедливы оценки

||u(x,y)|L2 < C2i(|^(x)|wi + + yg(x)|L2^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

||u(x,y)|C(D) < С22(||ф(х)|Ц2 + + ||g(x)|W21^

||/i(x)|L2 < C23(|^(x)|w| + ||^(x)|w3 + |g(x)!w|) , ||/i(x)|c(D) < C24(||#*)||w4 + ||^(x)|w4 + ||g(x)|w4).

Здесь Ci — положительные постоянные, не зависящие от ф и g. Доказательство теорем 8 и 9 проводится аналогично работе [19].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. А. В. Бицадзе, М. С. Салахитдинов, "К теории уравнений смешанно-составного типа"// Сиб. матем. журн., 1961. Т. 2, №1. С. 7-19. [A. V. Bitsadze, M. S. Salakhitdinov, "On the theory of equations of mixed-composite type" // Sibirsk. Mat. Zh., 1961. Vol.2, no. 1. Pp. 7-19].

2. Т. Д. Джураев, Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979. 239 с. [T. D. Dzhuraev, Boundary value problems for equations of mixed and mixed-composite types. Tashkent: Fan, 1979. 239 pp.]

3. А. И. Кожанов, Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990. 150 с. [A. I. Kozhanov, Boundary Value Problems for Odd-Order Equations of Mathematical Physics. Novosibirsk: Novosibirsk. Univ., 1990. 150 pp.]

4. К. Б. Сабитов, "Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка"// Докл. РАН, 2009. Т. 427, №5. С. 593-596; англ. пер.: K. B. Sabitov, "A boundary value problem for a third-order equation of mixed type" // Dokl. Math., 2009. Vol. 80, no. 1. Pp. 565-568.

5. К. Б. Сабитов, "Задача Дирихле для уравнения смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области"// Диффер. уравн., 2011. Т. 47, №5. С. 705-713; англ. пер.: K. B. Sabitov, "The Dirichlet problem for a third-order equation of mixed type in a rectangular domain" // Differ. Equ., 2011. Vol.47, no. 5. Pp. 706-714.

6. А. Н. Тихонов, "Об устойчивости обратных задач" // Докл. АН СССР, 1943. Т. 39, №5. С. 195-198; англ. пер.: A. N. Tikhonov, "On the stability of inverse problems" // C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.), 1943. Vol. 39, no. 5. Pp. 176-179.

7. М. М. Лаврентьев, "Об одной задаче для волнового уравнения" // Докл. АН СССР, 1964. Т. 157, №3. С. 520-521. [англ. пер.: M. M. Lavrent'ev, "On an inverse problem for the wave equation" // Soviet Math.. Dokl., 1964. Vol. 5, no. 3. Pp. 970-972].

8. М. М. Лаврентьев, К. Г. Резницкая, В. Г. Якно, Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, Сибирск. отдел., 1982. 88 с. [M. M. Lavrent'ev, K. G. Reznitskaya, V. G. Yakhno, One-dimensional inverse problems of mathematical physics. Novosibirsk: Nauka, Sibirsk. Otdel., 1982. 88 pp.]

9. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П., Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с. [V. K. Ivanov, V. V. Vasin, V. P. Tanana, Theory of linear ill-posed problems and its applications. Moscow: Nauka, 1978. 206 pp.]

10. А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко, "Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением"// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003. Т. 43, №4. С. 562-570; англ. пер.: A. I. Prilepko, D. S. Tkachenko, "Properties of solutions of a parabolic equation and the uniqueness of the solution of the inverse source problem with integral overdetermination" // Comput. Math. Math. Phys., 2003. Vol.43, no. 4. Pp. 537-546.

11. А. В. Баев, "Единственность решения обратной задачи для уравнения акустики и обратная спектральная задача"// Матем. заметки, 1990. Т. 47, №2. С. 149-151. [A. V. Baev, "Uniqueness of a solution of an inverse problem for an equation in acoustics, and an inverse spectral problem" // Mat. Zametki, 1990. Vol.47, no. 2. Pp. 149-151].

12. А. М. Денисов, Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 285 с. [A. M. Denisov, Introduction to the theory of inverse problems. Moscow: Moscow State Univ., 1994. 285 pp.]

13. А. И. Кожанов, "Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи" // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2004. Т. 44, №4. С. 694-716; англ. пер.: A. I. Kozhanov, "Nonlinear loaded equations and inverse problems" // Comput. Math. Math. Phys., 2004. Vol. 44, no. 4. Pp. 657-675.

14. К. Б. Сабитов, Э. М. Сафин, "Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа"// Матем. заметки, 2010. Т. 87, №6. С. 907-918; англ. пер.: K. B. Sabitov, E. M. Safin, "The inverse problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type" // Math. Notes, 2010. Vol. 87, no. 6. Pp. 880-889.

15. К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова, "Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа"// Изв. вузов. Матем., 2011. №2. С. 71-85; англ. пер.: K. B. Sabitov, N. V. Martem'yanova, "A nonlocal inverse problem for a mixed-type equation" // Russian Math. (Iz. VUZ), 2011. Vol.55, no. 2. Pp. 61-74.

16. К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова, "Обратная задача для уравнения эллиптико-гиперболического типа с нелокальным граничным условием" // Сиб. матем. журн., 2012. Т. 53, №3. С. 633-647; англ. пер.: K. B. Sabitov, N. V. Martem'yanova, "An inverse problem for an equation of elliptic-hyperbolic type with a nonlocal boundary condition" // Siberian Math. J., 2012. Vol.53, no. 3. Pp. 507-519.

17. К. Б. Сабитов, И. А. Хаджи, "Краевая задача для уравнения Лаврентьева—Бицад-зе с неизвестной правой частью"// Изв. вузов. Матем., 2011. №5. С. 44-52; англ. пер.: K. B. Sabitov, I. A. Khadzhi, "The boundary-value problem for the Lavrent'ev-Bitsadze equation with unknown right-hand side" // Russian Math. (Iz. VUZ), 2011. Vol. 55, no. 5. Pp. 35-42.

18. Г. Ю. Удалова, "Обратная задача для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа"// Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2010. №4(78). С. 89-97. [G. Yu. Udalova, "Inverse problem for equation of mixed elliptic-hyperbolic type" // Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser, 2010. no. 4(78). Pp. 89-97].

19. Г. Ю. Удалова, "Обратная задача для уравнения с оператором Лаврентьева—Бицад-зе" // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2012. Т. 14,

№1. С. 98-111. [G. Yu. Udalova, "Inverse problem for equation with Lavrentev-Bitsadze operator"// Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy Akademii Nauk, 2012. Vol. 14, no. 1. Pp. 98-111].

20. Г. Ю. Удалова, "Краевая задача для уравнения Лаврентьева—Бицадзе с неизвестной правой частью" // Научные ведомости Белгородского гос. ун-та. Сер. Математика. Физика, 2012. Т. 26, №5. С. 209-225. [G. Yu. Udalova, "The boundary-value problem for the Lavrent'ev-Bitsadze equation with unknown right-hand side" // Nauchnyye Vedomosti Belgorodskogo Gos. Un-ta. Ser. Matematika. Fizika,, 2012. Vol.26, no. 5. Pp. 209-225].

21. А. Я. Хинчин, Цепные дроби. М.: Наука, 1978. 112 с. [A. Ja. Hinchin, Continued fractions. Moscow: Nauka, 1978. 112 pp.]

22. В. И. Арнольд, "Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике"// УМН, 1963. Т. 18, №6(114). С. 91-192; англ. пер.: V. I. Arnol'd, "Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics" // Russian Math. Surveys, 1963. Vol. 18, no. 6. Pp. 85-191.

23. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965. 616 с. [A. Zigmund, Trigonometric series. Vol. 1. Moscow: Mir, 1965. 616 pp.]

Поступила в редакцию 08/IV/2013; в окончательном варианте — 20/VII/2013.

MSC: 35M12; 35M10, 35A02

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR MIXED TYPE EQUATION OF THE THIRD ORDER WITH PERIODIC CONDITIONS

K. B. Sabitov1, G. Yu. Udalova2

1 Institute of Applied Research,

68, Odesskaya st., Sterlitamak, Russia, 453103.

2 Samara State University of Architecture and Civil Engineering, 194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russia.

E-mails: sabitov_fmf@mail.ru, yeyeg@yandex.ru

The problem for the equation of the mixed elliptic-hyperbolic type with nonlocal boundary conditions is viewed. This problem is reduced to the inverse problem for elliptic-hyperbolic equation with unknown right-hand parts. The criterion of the uniqueness is established. The explicit solution is constructed as the sum of orthogonal trigonometric series of the one-dimensional spectral problem eigenfunctions. The argumentation of the series convergence under some restrictions is given. The stability of the solution by the boundary functions is proved.

Key words: equations of the mixed type of third order, direct and inverse problems, spectral method, uniqueness, existense, stability.

Original article submitted 08/IV/2013; revision submitted 20/VII/2013.

Kamil B. Sabitov (Dr. Phys. & Math. Sci.), Director. Galina Yu. Udalova, Postgraduate Student, Dept. of Higher Mathematics.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.