Обратная задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ Г.Р. Юнусова

Аннотация. Для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области изучена обратная задача по поиску правой части с нелокальным условием, связывающим производные искомого решения, которые принадлежат разным типам рассматриваемого уравнения. Установлен критерий единственности и существование решения задачи методом спектрального анализа. Доказана устойчивость решения по нелокальному граничному условию.

Ключевые слова. Обратная задача, уравнение смешанного типа, метод спектрального анализа, единственность, существование, устойчивость.

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение параболо-гиперболического типа

в прямоугольной области Б = {(х,£)| 0 < х < 1, —а < £ < в}, где а > 0, в > 0 -заданные действительные числа.

Обратная задача. Найти в области Б функции и(х,£) и f (х,£), удовлетворяющие условиям:

Самарский государственный архитектурно-строительный университет, ул. Молодогвардейская 194, Самара, 443001, Россия, e-mail: [email protected]

Lu = f (x, t) ,

(1)

где

t > 0, t < 0,

t > 0, t < 0,

u(x, t) Є C\D) П C2(D_ U D+) ■ fj(x) Є C(0,1) П L[0,1] , i = 1, 2;

Lu(x,t) = f (x,t) , (x,t) Є D+ U D- ;

u(0,t) = u(1,t) = 0 , —a < t < в;

ut(x, —a) — ut(x, в) = ^(x) , 0 < x < 1;

u(x, —a) = <^(x), 0 < x < 1;

u(x, в) = g(x), 0 < x < 1,

где <^(x), ^(x), g(x) - заданные достаточно гладкие функции, причем <^(0) = <^(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

^(0) = ^(1) = g(0) = g(1) = 0, D+ = D П {t > 0}, D- = D П {t < 0}.

Обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались во многих работах. Прежде всего отметим здесь работы [1]-

В работе [11] предложен новый подход - метод спектральных разложений для обоснования единственности и существования решения прямых задач для уравнений смешанного типа. Таким методом решены обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с локальными граничными условиями [12], [13].

В данной работе впервые предлагается обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с нелокальным условием (6), связывающим производные искомого решения, которые принадлежат разным типам рассматриваемого уравнения (1). Установлен критерий единственности и существование решения обратной задачи (2) - (8) методом спектрального анализа. Доказана устойчивость решения по граничным условиям.

2. Единственность решения. Пусть и(ж,£) и f (х,£) - решение задачи (2) - (8). Рассмотрим функцию

где £ - достаточно малое число. Дифференцируя равенство (10) один раз по £ при £ > 0 и 2 раза при £ < 0, учитывая уравнение (1), получим

[10].

1

к = 1, 2,... .

(9)

0

На основании (9) введем функцию

к = 1, 2,... ,

(10)

t > 0,

(11)

t < 0,

(12)

где

Проинтегрируем два раза по частям интеграл /1. Тогда имеем

I\ = V2ux(x,t) sin7rA:x|]_e — V2nku(x,t) cos7rA:x|]_e — (тгк)2Uk,£(t). (13)

Переходя в равенствах (11) - (13) к пределу при е ^ 0 с учетом граничных условий (5), получим, что Uk(t) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

uk(t) + AkUfc(í) = /ífc , t > 0, (14)

uk(t) + AkUk (t) = /к , t< 0 , k e N , (15)

где

í

fik = V2 j fi(x) sinXkxdx , Ад. = тгк , A: G N, г = 1,2. (16)

0

Дифференциальные уравнения (14), (15) имеют общие решения

Í CW^ + %, t> 0,

Uk (t) = { Ak /2к (17)

I С2к cos Akt + Сзк sin Л/,/ - ^ . t < 0 ,

где C\k, С2к и C*3fc - произвольные постоянные. По условию решение u(x,t) G C1(D), тогда для функции (17) выполнены равенства

uk(0 + 0) = uk(0 - 0), uk(0 + 0)= Uk(0 - 0), k e N. (18)

Отсюда следует, что C-2k = ^lk , 2 ^2k^ C¿k = —^kCik- С учетом найденных

Ak

значений C2k и C3k функции (17) принимают вид

Си.е-Л^ + {^, Í >0,

Ak

Uk (t) = ^ (19)

((/lfc~/2fc) + C'ifc) cos Afcí - XkClk sin Xkt + #, ¿ < 0 .

< V к / к

Теперь для нахождения коэффициентов C1k, /1k и /2k воспользуемся граничными условиями (6) - (8) и формулой (9)

i 1

u'k(—ct) — u'k(f3) = V2 j[щ(х, -а) — щ(х, [3)} sin тгкхс1х = V2 j ф(х) sin тгкхс1х = фк > (20)

00 1 1

-a) S,nrfrfx = Vij , (2D

00 1 1

ufc(/3) = V2 J и(х, /3) simrkxdx = J д(х) sin zkxrlx = gk . (22)

00

Удовлетворяя функции (19) условиям (20) - (22), относительно неизвестных , /^ и

/2к получим систему

/it sin At a - /¡t sin At a + Cit At(sin Ata - At cos At a + At e Лк e) = At ^t /it cos At a + /2t (1 - cos At a) + Cit At(cos At a + At sin At a) = A^ ^t,

/it + CitA2e-Лїe = A2gt.

(23)

Из системы (23) при условии

A(k) = Ak(1 — cos Aka)(1 + e-Л ke) + sin Aka(1 — e-Лкe) = 0 , k e N

(24)

единственным образом находим

C

it

V>k(l - cos Aka) + Afc(^fc - gk) sin Aka AfcA(fc)

(25)

/it = At

^t (1 - cos At a) + At (^t - gt) sin At a _л 2 «

-----------------------\ aíia---------------------e

At Д(к)

(26)

/2t = At

<£t

V’fc [Afc sin AfcO! + cos AfcQ'(l - e л^)] + Al(<pk - gk)(l - cos \ka e л^)

Afc A (A:)

(27)

Таким образом найден окончательный вид функций Mfc(í), которые определяются по формуле (19), а коэффициенты C1k, /1k и /2k находятся из формул (25) - (27).

Пусть теперь <^(x) = ^(x) = g(x) = 0 на [0,1] и выполнены условия (24) при всех k € N. Тогда = gk = 0 и из (19), (25) - (27) следует, что uk(t) = 0 на сегменте

[—а, в] и /¿k = 0, i = 1, 2, при всех k € N. Отсюда, в силу (9) и (16), имеем

i i yu(x,í)sin nkxdx = 0 , J /¿(x) sin nkxdx = 0 , i = 1, 2 , k € N .

0 0

В силу полноты системы синусов {sinnkx} в пространстве L2[0,1], из последних равенств следует, что u(x,t) = 0 и fi(x) = 0 почти всюду на [0,1] при любом t Е [—Q',/3]. Поскольку, в силу (2) и (3), функции u(x, t) и /¿(x) непрерывны соответственно на D и (0,1), то u(x,t) = 0 в D и fi(x) = 0 на (0,1).

Предположим, что условие (24) нарушено при k = p и некоторых а и в, т.е.

Д(р) = Ap(1 - cos Apa)(1 + e Лрв) + sin Apa(1 - e Лрe) = 0 .

Тогда однородная задача (2) - (8) (где ^(ж) = 0, ^(ж) = 0, $(х) = 0) имеет ненулевое решение

up(x, t)

(e-V - e-Арв) sin npx Ap(cos Apa — e-Лрв)

t > 0

sin Ар а

(cos Apt — 1) — Ap sin Apt — e Лрв + 1

sin npx , t < 0

/ip(x) = /ip sin npx , /ip = —Ape Л pe ,

Ap(e-Лрв — cos Apa) _Л2

(28)

(29)

/2p (x) = /2p sin npX , /2p = A,

2 1 ''p

sin Ар а

— e-Л 2в + 1 .

Таким образом, нами установлен следующий критерий единственности.

Теорема 1. Если существует решение и(х, ¿) и f (х,і) задачи (2) - (8), то оно единственно только тогда, когда при всех к Є N выполнены условия (24).

Естественно возникает вопрос об обращении в нуль выражения Д(к). Для этого представим Д(к) в следующем виде:

Д(А’) = 2\JА|(1 + е ХЩ2 + (1 - е Лк/?)2 sin + 7fc)

sm ■

Afc a

(30)

где

A|(1 + е~хЩ2 + (1 - е~хЩ2

Из представления (30) видно, что выражение Д(к) = 0 только тогда, когда

2пп 2пт 27^

а = ——, п € М, или а = —-------------- —, т € N .

Ак А^

3. Обоснование существования решения. Поскольку а и в - любые числа, то при достаточно больших к выражение Д(к) может стать достаточно малым, то есть возникает проблема "малых знаменателей". Чтобы не было такой ситуации, надо показать существование чисел а и в, что при достаточно больших к выражение Д(к) отделено от нуля.

Лемма 1. Если а Є М, где М = {а \ а = \Zd-\-p, р Є Ъ, \J~cl > —р, сі = 2, 3, 5, 6, 7, 8}, то существует постоянная Са, зависящая от а такая, что при всех к Є N справедливо неравенство

|Д№)1 > ^ • (зі)

2

□ Следуя [13], выражение (30) представим в виде

Д(к) = Ак(в)Д1(к)Д2(к),

где А¡¡.(р) = 2^7г2Л:2(1 + е_7г2А-2/?)2 + (1 — е_7г2А-2/?)2 , Д^А:) = втнА:«!

Д2(к) = в1п(пка1 + 7к), а1 = а/2 .

Преобразуем выражение Д1(к) следующим образом:

(32)

Д1(к)| = в1п(пка1 — пт)

те N.

Для всякого к е N можно подобрать т е N такое, что имеет место неравенство

т

а1

к

1

< 2к

(33)

Действительно, достаточно положить

т

[а1к] , если{а1к} < 1/2 , а1к + 1, если{а1к} > 1/2 ,

где [а1к] и {а1к} - целая и дробная части соответственно иррационального числа а1к. Пусть т е N такое, что выполнено неравенство (33) или равносильное ему

*к (а, -

п

< 2

(34)

Тогда с учетом неравенства

2х п

йпи > — , 0 < х < —

7Г 2

и теоремы Лиувилля ([14], с.59) будем иметь | Д1 (к) |

т 2 т к 2 т ||

вт - Т) > — тгк п а1 - " ¥ а-1 - — к

> 2А:— = — к'2 к

(35)

(36)

где С1 - положительное число.

Преобразуем выражение Д2(к) к виду:

1----— Н----- )

к пк

Пусть т е N такое, что выполнено условие (34). В силу неравенства

п

0 < агсвтж < —х, 0 < х < 1,

(37)

справедлива следующая оценка:

п / Ъ 1 '

0 < — = — arcsm

nk nk

n2k2(1 + e-n2fc2e)2 + (1 - e-n2fc2e)2

1 1 1

< — arcsin — < —— nk nk 2nk2

(38)

Из (34) и (38) получим два возможных случая:

n

1) — < ттк J 2 “

m 7fc Ql “ і+ й

< nk

m

«і

+ nk

7fc

nk

<

< nk

«і —

m

~k

2) 0 <

m Yfc

"‘ “ ¥ + rt

n n n 3n

6A: 2 6A: 4 ’

п < 2 '

В первом случае будем иметь

і А ,п, . • Зтг у/2 С2 \А2(к)\>шпт = — >т.

Во втором случае с учетом неравенства (35), получим

і і 2

Аг(А’) > — 7гА: п

m 7fc

"‘ “ ¥ + rt

2k

m 7fc

ai “ ¥ + rf

2k

«1

m

¥

Tfc

nk

(39)

(40)

В дальнейшем предположим, что а является квадратическим иррациональным числом, т. е. является корнем только многочлена второй степени

f (x) = x2 — d = (x — ai)(x + ai) ,

d > 0, Q'i = y/d ^ N. Из представления (41) при ж = m/k, где m, к G N

m

«1

l/(f)l ^ 1 , 1 _ S

'¡: п, А'2 ( „,) А-2(2п, . ') А:2

(41)

(42)

так как

m

¥ + “‘s

m

«1

/(f)

11

+ 2q'i < — + 2q'i < — + 2q'i

|-m2 — dA:2| ^ 1 = A-2 “ A-2 ‘

Теперь потребуем выполнение условия

* 1

1

> —

2а'1 + | 4\/^ + 1 ^7г

Неравенство (43) имеет место, когда й принимает значения: 2, 3, 5, 6, 7, 8.

k

k

k

2

Таким образом, построено множество {qi, oi\ = y/d, d = 2, 3, 5, 6, 7, 8} чисел Q'i, для которых с учетом (40), (38), (42), (43),

|A2(k)| > 2k

ai

m

~k

Ъ

nk

>

2£ — 1/n C2

k

k

Откуда, учитывая выражение (32) получим справедливость леммы. В

Теперь при определенных условиях на функции ^(ж), <^(ж), $(ж) и число а покажем, что функции

г/, (ж, i) = -4/2 Mfc(i) sin 7гА:ж

k=i

fi (x) = V2 ^2 fik sin тгкх , г = 1,2

(44)

(45)

k=i

удовлетворяют условиям (2) и (3), где ик(£) и /¿к - определяются формулами (19), (25) - (27).

Лемма 2. Пусть выполнено условие (31). Тогда при больших к справедливы оценки

|/ifc| < Mi |0k| + |^fc| + k2|gfc|

|/2fc| < M2k3 |0k| + k( |^fc| + |gk|

|ufc(t)| <

K(t)| <

M3

M^k

Мдк2

M^k2

Ы + ^ Ы + |gfc|

Ы + k( Ы + |gfc| |0k| + k( |^fc| + Ы

|0k| + Ц |^fc| + Ы

К(^)1 < Мбк3 |^| + к^|^| + ^|

где Мг - здесь и далее положительные постоянные.

□ Учитывая оценку (31) из (25) будем иметь

t > 0 ,

, t < 0 ,

, t > 0

, t < 0

, t < 0 ,

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

|CV |

0k (1 — cos Aka) + Ak(^k — gk) sin Aka

A* A(k)

< Mo[|0k| + k(|^k| + |gk|)] .

<

(51)

Исходя из оценок (51), (31) и равенств (26), (27) получим

|/1к1 < 1 + Лке Хкв^1 + лке Хкв(|^1 + |^к|) < 1 +1 + к2|^к|], (52)

|/2к 1 < л2[|№1 + (Лк + 1)|^к1 + лк(|№1 + !Ы)] < М2к3[|^к 1 + к(|^1 + |^к|)] • (53)

На основании формулы (19) и оценок (51) - (53) при любых к е N и £ е [0,в] имеем

\ икЩ < I Си-1 + -*2 |/и.| < лк

< Л^/о [|'0А'| + к( | ^Рк | + |£/А-1)] + 7^1 [Ы + | (рк | + к21¿7А-1] <

к2'

|^к | + к( |^к | + |^

< М3

|ик(£)| = |лкс1ке-Лк4| < М4к2 ^| + к(^| + Ы) Аналогично при £ е [—а, 0] получим

|и/с(/)| < д2 (|/1^1 + I /2А' | ^) + | С*1/с1 + | Ад.СУ1Д. | < |^| + к^|^А-| + 19к

К(£)| =

Лк

(Л/с - /2/с)

А2

< М5к2

+ С^) бш Лк£ + Лк С*1^ сое Лк£

<

|^к| + к( |^к| + |0к

К(*)| =

Лк

(/1к — Лк:)

Лк

+ с1к) вт Лк£ + ЛкС1к сое Лк£

<

< М5к3

|^к| + к( |^к| + |^к

Формально из (44) почленным дифференцированием составим ряды:

и* (ж, £) = ик (£) й1п пкж

к=1

г/:.т(ж, ¿) = \/2 тгк щ(£) сов тгкх ,

к=1

ий(ж,£) = ик(£) з1п пкж, £ < 0 ,

к=1

(#, ¿) = —\/2^^(7г к)2щ(£) зттгкх.

ихх (ж

(54)

(55)

(56)

(57)

к=1

Ряды (44), (45), (54) - (57) в силу лемм 1 и 2 мажорируются рядом

М, £ к3 >| + к ( |р(.| + |р*|

(58)

к=1

Для сходимости ряда (58) достаточно, чтобы ^(ж) € С4[0,1], ^(ж),д(ж) € С5[0,1], ^(0) = ^(1) = 0, з = 0, 2; ^«(0) = <^(1) = д^(0) = д«(1) = 0, г = 0, 2, 4.

Тогда ряд (58) оценивается рядом

где

к=1

1 ^14)

7Г4 А:4

1 (5) <Рк

П5 А:5

1 (5) 9к

П5 А:5

^4) = >/2 / г 1 ,/./•

(5)

(5)

у/2 ^(5)(ж) сое пкж ^ж

>/2 д^ (ж) сое пкж ^ж .

(59)

(60)

(61)

(62)

Е1>к4)12 < 11>(4)11!2, ЕкТ < ііЛі* , Еі&т < іі^(5)ііі2

к=1

к=1

к=1

Тогда в силу сходимости ряда (59) на основании признака Вейерштрасса сходятся абсолютно и равномерно на замкнутой области И ряды (44), (54), (55), а ряды (56) и (57) в соответствующих замкнутых областях И+ и И_. Аналогично функция /¿(ж), определенная рядом (45), непрерывна на сегменте [0,1]. Непосредственной подстановкой (44) и (45) в уравнение (1) убеждаемся в том, что функции и(ж, ¿) и /¿(ж), определенные рядами (44) и (45), удовлетворяют условию (4).

Следовательно, нами доказана

Теорема 2. Пусть функции>(ж) Є С4[0,1], <^(ж), #(ж) Є С5[0,1], >(-?')(0) = >(-?')(1) = 0,

І = 0, 2, ^(г)(0) = ^(г)(1) = #(г)(0) = $(г)(1) = 0, і = 0, 2, 4 и выполнена оценка (31). Тогда существует единственное решение задачи (2) - (8) и оно определяется рядами (44) и (45).

4. Устойчивость решения. Введем следующие нормы:

Кж,і)ік2(0,1) = Нж,і)іи2 = Кж,і)і ^ж

0

1/2

1

1

1

1

| |и(х, t) |\c(D) = \u(xi t) I i D

/ 1 n \ 1/2

||/i(x)||w2n = (/( 5^|f?)(x)|2) dx) > n G N u(°} > * = 12 •

V */ k—0 /

о k—0

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для решения задачи (2) — (8) имеют место оценки:

Нм(я,'01к2 < + 1М1ж1 + 1Ы1ж!) , £ > 0 , (63)

< Мв(|М|ж1 + |М|ж| + ||д||ж|) , t < 0 , (64)

||/1(я)||Ь2 < М9(||^||ж2° + ||^||ж2° + ||д||ж2) , (65)

||/2(я)||Ь2 < М10(||^||Ж| + ||^||Ж24 + ||д||Ж24) , (66)

1110(0+) ^ (IIV’! 1и/2° + 1М |и/’| + 1Ы |и/22) > t>0, (67)

IIм(ж, ¿) I |С(Д_) < ^12 (| IV’! |ту| + 1М |ту| + I 1^1 |ту|) 1 < 0, (68)

||/1(я)||С[0,1] < М1э(||^||ж21 + ||^||ж21 + ||д||ж23) , (69)

||/2(я)||С[0,1] < М14(||^||ж24 + ||^||ж| + ||д||ж|) , (70)

где постоянные Мг не зависят от функций ^(ж), ^(ж) и д(ж).

□ Поскольку система {у^т^ж}^ ортонормирована в Ь2[0,1], то из равенств (44), (19) и леммы 2 при £ > 0 имеем

оо оо

|u(x,t)||L = uk(t) < 0^^1 + к(ы + |gk M2 <

fc—i fc—i

2

< 3Mt£ [|^fc|2 + (k^fc)2 + (kgfc)2] • (71)

fc—i

Учитывая представления = \/2 / у/(ж) сое тгкхйх, = д^/тгк, д[^

о

i

V2J д' (x) cos nkxdx, из неравенства (71) получим о

ГО

||u(x,t)|||2 < 3MiY^ D^fc|2 + |^i1)|2 + |gk1)|2] <

fc—i

< зм2(|М|^ + + ||g'HU < M(ii^iiWo + |M|W,. + ||g||W,0,

где Мг - здесь и далее положительные постоянные. Отсюда следует справедливость оценки (63). Аналогично исходя из (44) и (19) на основании леммы 2 при £ < 0 будем иметь

ОО ОО

12

го

u(x,t)||L2 = — MiYl [k|^fc 1 + ^(|^ + |gk I)] 2 —

¿fcW — M5 fc=1 fc=1

— 3M5 ^ [(k0fc)2 + (kVfc)2 + (fc2gfc)2] — 3Mf£ 0^í1)|2 + |^fc2)|2 + |g(2)|2] —

fc=1

fc=1

— 3Mf(\\'Ф'||L2 + ||^//||L2 + ||g//||IJ — M8 (||^||W21 + MWl + ||g||W2) > (72)

1

где фк = у/2 / ф'(х) соътткхЛх, <рк = у/2 / ср"(х) Бттгкхдх, дк = у/2 / д"(х) Бттгкхдх. 0 0 0 Из неравенства (72) вытекает оценка (64).

На основании соотношений (45), (46) получим

| |f1(x)IIL2 = ^2 Zifc — М1 X/ 0^fc| + |^fc| + ^2|gfc|]

<

fc=1

fc=1

го

— 3M12X¡ 0^^|2 + Ы2 + (k2#fc)2] — 3M12X¡ 0^^|2 + ^|2 + |gí2)|^ — fc=1 fc=1

— 3M12(||^|||J + |МИ2 + ||<ЛЦ,) — mís2(IMIW° + IMIWj + NiWj )•

Откуда следует оценка (65). Справедливость оценки (66) устанавливается аналогично.

Пусть (х, t) - произвольная точка из D+. Тогда используя формулу (44) на основании леммы 2 и неравенства Коши-Буняковского, будем иметь

|и(ж,*)| < V2 ^ KWI < У^Мз ^ [\фк\ + 4\<Pk\ + 19к\)]

<

fc=1

fc=1

< у/2М3 ^ - [\фк\ + |(^[2)| + |g[2)|)] <

<

у/2 М3

fc=1

го ^ \ 1/2 г го

fc=1

k2

1/2

fc=1

го 1/2 го

Е^Т " + (E |^2)|2

fc=1

1/2

+

+^(E¿) (Etó2,i2

fc=1

fc=1

1/2

<

<

2M3

>/6

L2 + ||^//||¿2 + ||gW||L^ — Mn( ||^||W2° + + ||g||W22)

где £ 1/к2 = п2/6, из которого получаем оценку (67). Аналогично доказывается спра-к=1

ведливость оценки (68).

Пользуясь формулой (45), леммой 2 и равенствами (60) - (62), будем иметь

1/2И1 < l/ifel ^ V^M2 [fc3|V’fc| + А’4(Ы + Ы)]

<

fc=1

fc=1

<

fc=i

д, Liri4)| + l^i5)| + |gfc5)|)] <

<

i(EiV’i4)i2)1/2 + (Ei^5)i24l/2

^ fc=i '

fc=i

ro ^ \ 1/2 / ro

<

7Г y/2,M‘2

ЕЙ' (Ei»i5,r2 fc=i 7 v fc=i

L + ||^(V)||L2 + ||g(V)||L2) < Mi4

fc=i i/2

+

<

+ ¡MW5 + ||g||w26) •

Таким образом, из последнего неравенства вытекает оценка (70). Справедливость оценки (69) доказывается аналогично.

Литература

1. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. - 1943. - 39;5. -С.195-198.

2. Лаврентьев М.М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения // ДАН СССР. - 1964. - 157;3. - С.520-521.

3. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.Т. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев. - М.:Наука,1980. - 286 с.

4. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов. - М.:Наука, 1978. - 206 с.

5. Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Матем. сборник. -1992. - 183;4. - С.49-68.

6. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач / А.М. Денисов. - М.:МГУ, 1994. - 207 с.

7. Денисов A.M. Обратная задача для квазилинейного волнового уравнения // Диф-ференц. уравнения. - 2007. - 43;8. - С. 1097-1105.

8. Денисов A.M. Обратные задачи для квазилинейного гиперболического уравнения в случае движущейся точки наблюдения // Дифференц. уравнения. - 2009. -45;11. - C.1543-1553.

9. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Вычислительная математика и математическая физика. - 2004. - 44;4. - С.694-716.

10. Кожанов А.И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения // ДАН. - 2006. - 409;6. - С.740-743.

11. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // ДАН. - 2007. - 413;1. - С.23-26.

12. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного парабо-ло-гиперболического типа в прямоугольной области // Изв. вузов. Математика. -2009. - 4. - С.55-62.

13. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного парабо-ло-гиперболического типа // Матем. заметки. - 2010. - 87;6. - С.55-62.

14. Хинчин А.Я. Цепные дроби / А.Я. Хинчин. - М.:Наука, 1978. - 112 с.

THE INVERSE PROBLEM FOR THE EQUATION OF MIXED TYPE WITH NONLOCAL BOUNDARY CONDITION G.R. Yunusova

Samara State Architecturally-Building University,

Molodogvardeyskaya St., 194, Samara, 443001, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The inverse problem in the rectangular domain for the equation of parabolic-hyperbolic type with nonlocal condition is studied. The consists of searching of the right-hand side of equation such that relates the derivatives of the desired solution which belong to different types of equations. The criterion of uniqueness and existence of the solution is established by the spectral analysis method. Solution stability on nonlocal condition is proved.

Keywords: inverse problem, spectral analysis, uniqueness, existence, stability.