Обратная задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

© 2010 Н.В. Мартемьянова1

Для уравнения смешанного типа с неизвестной правой частью в прямоугольной области изучается краевая задача с нелокальным граничным условием. Установлен критерий единственности решения поставленной обратной задачи. Решение построено в виде сумм биортогональных рядов по системам корневых функций соответствующих взаимно сопряженных задач на собственные значения.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, обратная задача, спектральный метод, единственность, существование.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение Лаврентьева-Бицадзе с неизвестной правой частью

Ьп = пхх + здиу ■ иуу — Ъ2п = /(х) (1.1)

в прямоугольной области Б = {(х,у)\ 0 < х < 1, —а < у < в}, где а > 0, в > 0, Ъ > 0 — заданные действительные числа, и поставим следующую обратную задачу с нелокальным граничным условием.

Обратная задача. Найти в области Б функции п(х, у) и /(х), удовлетворяющие условиям:

п(х,у) £ С1 (Б) П С2(Б- и Б+); (1.2)

/(х) £ С(0,1); (1.3)

Ьп(х, у) = /(х), (х, у) £ Б- и Б+; (1.4)

пх(0,у)= пх(1,у), п(1,у)=0, —а < у < в; (1.5)

п(х, в) = у(х), п(х, —а) = ф(х), 0 ^ х ^ 1; (1.6)

пу(х, —а) = д(х), 0 ^ х ^ 1, (1.7) где у(х), ф(х) и д(х) — заданные достаточно гладкие функции,

^(1) = ^(1)=0, у/(0) = ^'(1), ф'(0) = ф'(1), (1.8) Б+ = Б П{у> 0}, Б- = Б П{у < 0} .

1Мартемьянова Нина Викторовна (ninamartem@yandex.ru), кафедра математического анали-

за Поволжской государственной социально-гуманитарной академии, 443090, Российская Федерация, г. Самара, ул. Антонова—Овсеенко, 26.

Различные обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались во многих работах. Отметим здесь прежде всего работы А.Н. Тихонова [1], М.М. Лаврентьева [2; 3], В.К. Иванова [4] и их учеников. Более подробно об этом можно найти в монографии А.М. Денисова [5].

В последние годы в работах [6-7] предложен новый подход — метод спектральных разложений для обоснования единственности и существования решения прямых задач для уравнений смешанного типа. Таким методом решены обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа [9; 10]. Отметим, что начальная задача с граничными условиями типа (1.5) и (1.6) исследована в работе [11] для уравнения теплопроводности. Прямая задача с условиями (1.5) и (1.6) для вырождающегося уравнения смешанного типа в области D исследована в [12]. Задача для вырождающегося гиперболического уравнения с интегральным нелокальным условием, эквивалентным условию (1.5), рассмотрена в [13].

В данной работе при всех b > 0 установлен критерий единственности решения нелокальной обратной задачи. Решение построено в виде суммы биортогонального ряда.

2. Формальное построение решения задачи

Решая задачу (1.2)-(1.7) в случае f (x) = 0 методом разделения переменных u(x,y) = X(x)T(y), получим для функции X(x) следующую спектральную задачу:

X"(x) + ¡X(x) = 0, 0 < x < 1, (2.1)

X '(0) = X '(1), X (1) = 0, (2.2)

где ¡ — постоянная разделения. Как известно [11; 14; 15] спектральная задача (2.1), (2.2) является несамосопряженной и имеет следующую систему собственных чисел и собственых и присоединенных функций:

¡0 = 0, ¡k = (2nk)2, (k = 1,2,...), (2.3)

Xo(x) = 1 — x, X2k-1(x) = sin2nkx, X2k(x) = (1 — x)cos2nkx. (2.4)

Согласно теореме Келдыша [16], система корневых функций (2.4) задачи (2.1) и (2.2) является полной в ^[0,1]. Но для решения задачи (1.2)-(1.7) одной полноты системы функций (2.4) недостаточно, т. е. система (2.4) должна обладать свойством базисности. Тогда по этой системе можно однозначно разложить в ряд любую функцию из L2[0,1]. Для этого рассмотрим сопряженную задачу:

Y''(x) + ¡Y(x) =0, 0 < x < 1, (2.5)

Y (0) = Y (1), Y '(0)=0, (2.6)

которая имеет те же собственные значения, но другую систему корневых функций:

Y0(x) = 2, Y2k-1 (x) = 4x sin2nkx, Y2k (x) = 4 cos 2nkx. (2.7)

Системы функций (2.4) и (2.7) образуют биортогональную систему и удовлетворяют необходимому и достаточному условию базисности в пространстве L2[0,1], которое было впервые установлено В.А. Ильиным [14].

Решение задачи (1.2)-(1.7) будем искать в виде сумм биортогональных рядов:

u(x,y) = To(y)(1 — x) + ^T2k-1 (y) sin2nkx + ^T2k(y)(1 — x)cos2nkx, (2.8)

k=l k=1

f (x) = fo(1 — x) + J2 f2k-1 sin2nkx + J2 f2 k(1 — x)cos2nkx, (2.9)

где

k=i k=i 1

To(y) = 2 [ u(x,y)dx, (2.10) o

T2-i(y)=4 u(x,y)x sin2nkxdx, (2.11)

o

T2k(y) = 4 u(x,y) cos 2nkxdx, (2.12) o

f2k =4 f (x) cos 2nkxdx, f2k-1 =4 f (x)x sin2nkxdx, (2.13) oo

fo = 2 f f (x)dx. (2.14) o

o

На основании (2.10)-(2.12) введем функции

»1-s

To,s(y) = 2 J u(x,y)dx, (2.15)

f 1-s

T2k-i,s(y) = 4 u(x,y)x sin2nkxdx, (2.16)

Г 1-s

T2k,s(y) = 4 u(x,y)cos2nkxdx, (2.17)

где £ — достаточно малое число. Дифференцируя равенства (2.15)-(2.17) при y € € (—а, 0) U (0,в) два раза и учитывая уравнение (1.1), получим

, 1-s

Tq,s(y) = 2 J [f (x) — uxx(x,y) + b2u(x,y)]dx, y> 0, (2.18)

1-s

T^s(y) = 2 I [uxx(x,y) — b2u(x,y) — f(x)]dx, y < 0, (2.19)

, 1-s

T2'k-1,s(y) = 4 [f (x) — uxx(x,y)+ b2u(x,y)]x sin2nkxdx, y> 0, (2.20)

, 1-s

T2k-1,s(y) = 4 [uxx(x,y) — f(x) — b2u(x,y)]x sin2nkxdx, y< 0, (2.21)

, 1-s

Ti'k,s(y)=A [f (x) — uxx(x,y) + b2u(x,y)]cos2nkxdx, y> 0, (2.22)

, 1-s

T2k,s(y)=4 J [uxx(x,y) — f(x) — b2u(x,y)]cos2nkxdx, y< 0. (2.23)

В интегралах (2.18)-(2.23), интегрируя два раза по частям и переходя к пределу при £ ^ 0 с учетом граничных условий (1.5), найдем дифференциальные уравнения для функций (2.10)-(2.12):

Т0'(у) — Ъ2Т0(у) = /о, у > 0, (2.24)

Т''(у) + Ъ2То(у) = —/о, у < 0, (2.25)

Т2'к(у) — X2Т2к(у) = /2к, у> 0, (2.26)

T2'k(y)+ A¡T2k(y) = —f2k, У < 0, (2.27)

T2'k-i(y) — 4T2k-i(y)= f2k-i — 4nkT2k(y), y> 0, (2.28)

Ta'k-i(y) + A|T2k-i(y) = —f2k-i +4nkT2k(y), y< 0, (2.29)

где Ak = Vb2 + (2nk)2.

Общие решения дифференциальных уравнений (2.24)-(2.29) имеют вид:

( aoeby + boe-by — ¡0, y> 0,

To(y) = I (2.30)

[ co cos by + do sin by — ¡0, y < 0,

akeXkV + bke-Xky — ¡t, y> 0,

T2k(y) = { fc (2.31)

Ck cos Ak y + dk sin Ak y — ¡t, y< 0,

к

ak eXky + bk e-Xky — ¡к-1 +

+2кy(—akеХкУ + bkе-ХкУ) — , y> 0,

Ck cos Ak y + dk sin Ak y — ¡к— +

к

+у(—'dk cos Ak y + Ck sin Ak y) — , y< 0,

T2k-i(y) = <

(2.32)

где ао,Ьо,со,Со, ,Ск,Ск, ,Ьк,Ск,Ск — произвольные постоянные.

Поскольку решение и(х,у) удовлетворяет условию (1.2), то для функций (2.30)—(2.32) выполнены следующие условия сопряжения:

Т2к(0 - 0) = Т2к(0 + 0), Т2'й(0 - 0) = Т'к(0 + 0), Т2к-г(0 - 0) = Т2к-1(0 + 0), Т2к-1(0 - 0) = Т2к-1(0 + 0), (2.33)

То(0 - 0) = То(0 + 0), ТО(0 - 0) = ТО(0 + 0).

Функции (2.30)—(2.32) удовлетворяют условиям (2.33) только тогда, когда

Ск = ак + Ьк, Ск = ак - Ьк, Ск = Ск + ск, ск = Ск -ск, со = ао + Ьо, Со = ао - Ьо.

Подставив найденные значения Ск, Ск, Ск, Ск, со, Со в (2.30)—(2.32), получим

aoeby + boe-by — ¡0, y> 0,

To (y) = < (2.34)

Л b 2,

(ao + bo) cos by + (ao — bo) sin by — ¡0, y < 0,

akeXky + bke-Xky — ¡t, y> 0,

T2k (y) = { k (2.35)

(ak + bk )cos Ak y + (ak — bk) sin Aky — #, У < 0,

ак еХку + Ьк е-Хку — + Хк

+хт у(—акеХку+Ъкв-Хку)—

Т2к-1(у) = <

(ак + Ьк) сов Хку + (ак — Ьк) вт Хку+

+ Хт у[(Ък — ак )сов Хк у + (ак + Ък) вт Хку] —

у> 0,

(2.36)

$2к-

х~Г

4пк}2к

у < 0.

Из равенств (2.10)-(2.12) с учетом граничных условий (1.6) и (1.7) будем иметь

То(—а)= фо, То (в) = ро, ТО (—а) = до,

Т2к (—а) = ф2к, Т2к (в) = Р2к, Т'к (—а) = д2к, Т2к-1(—а) = ф1к, Т2к-1(в) = Р1к, Т'к-1(—а) = д1к,

где

(2.37)

(2.38)

(2.39)

(2.40)

(2.41)

1о Jо Jо

Удовлетворяя функции (2.34)-(2.36) граничным условиям (2.37), получим относительно ао,Ъо,/о, ак,Ък, /2к, ак,ак,/2к-1 системы:

Р2к-1 р(х)х вт2пкхё,х, р2к р(х) сов2пкхйх,

оо

ф2к-1 ф(х)х вт2пкхё,х, ф2к ф(х) сов2пкхйх,

оо

д2к-1 д(х)х вт2пкхё,х, д2к д(х)сов2пкхйх,

оо

ро = 2 р(х)в,х, фо =2 ф(х)вх, до = 2 р(х)вх. ио Jо Jо

аоеьв + Ъое-Ьв — $ = ро,

ао (сов Ъа — вт Ъа) + Ъо (вт Ъа + сов Ъа) — $ = фо, Ъао(сов Ъа + вт Ъа) + ЪЪо(вт Ъа — сов Ъа) = до,

(2.42)

ак

еХкв + Ъке-Хкв — # =

Х2 - р2к,

•ч ак (сов Хк а — вт Хк а) + Ък (вт Хк а + сов Хк а) — Хк = Ф2к,

к

Хк а к (сов Хк а + вт Хк а) + Хк Ък (вт Хк а — сов Хка) = д2к, йк еХкв + Ьке-Хкв — Щ- = Р1,

•ч ак (сов Хк а — вт Хк а) + Ьк (вт Хк а + сов Хк а) — = Р2,

Хк ак(сов Хк а + вт Хк а) + Хкак (вт Хк а — сов Хка) = Р3

(2.43)

(2.44)

к

где

Pi = Wk-i + ^ ^(akeХкв — bk e-X кв) + ^

P2 = ^2k-i — ^ЛТ a[a,k (cos Ak a + sin Ak a) + bk (sin Aka — cos Ak a)]+

+ ^пШш, (2.45)

к

Рз = 92k-i + [ak (cos Ak a + sin Ak a) + bk (sin Aka — cos Ak a)]+

+2nka[ak (cos Ak a — sin Ak a) + bk (sin Aka + cos Ak a)]. Решая системы (2.42)-(2.44) методом определителей, получим

(^o — ^o)(sin ba — cos ba) + b (sin ba + cos ba — e-be) ao =-^-, (2.46)

(^o — <£>o)(sin ba + cos ba) + (sin ba — cos ba + ebe)

2Дав (0)

—^2k — ^2k (Дав (k) — 1) Дав (k)

л 2 r 2k v

f2k = Ak-X-71л--+

(Pi — P2)(sinAka — cosAka) + pk(sinAka + cosAka — e Xкв)

2Дав (k)

(2.47)

= —b2yo — b2 фo(Дaв (0) — 1) + fo Дав (0) +

bgo(sin ba ch bp + cos ba sh bp)

+-Дав(0-, (2.48)

(^2k — ^2k )(sin Ak a — cos Aka) + (sin Ak a + cos Ak a — e-X кв)

ak =--, (2.49)

(^2k — V2k )(sin Ak a + cos Ak a) + ^ (sin Ak a — cos Ak a + eX кв)

bk =-2Дв(Ю-, (2.50)

g2k (sin Ak a ch Akp + cos Aka sh Akp) , ,

+Ak-T-T7T-, (2.51)

Дав (k)

~k = --, (2.52)

~ (P2 — Pi)(sin Ak a + cos Ak a) + p3 (sin Ak a — cos Aka + eX кв)

bk =-2^-, (2.53)

f A2 — Pi — Р2(Дав (k) — 1) +

J2k-i = Ak-T-71---+

Дав (k)

P3 (sin Ak a ch Akp + cos Aka sh Akp) ткл\

+Ak ДОв^ (2)

при условии, что при k € Wo = N U {0}

Дав (k) = sin Aka sh Akp — cos Aka ch Akp + 1 = 0. (2.55)

Подставляя найденные значения постоянных (2.46)-(2.54) в формулы (2.34)-(2.36), найдем формальное решение задачи (1.2)-(1.7) в виде суммы рядов (2.8) и (2.9).

b

o

3. Единственность решения обратной задачи

Пусть существует два решения {и1(х,у), /1(х)} и {и2(х,у), /2(х)} задачи (1.2)—(1.7). Тогда разность и = и\ — и>2 удовлетворяет уравнению (1.1), но с правой частью /(х) = /1(х) — /2(х), условию (1.5) и однородным граничным условиям:

и(х,в) =0, и(х, — а) = 0, иу (х, — а) = 0. (3.1)

Пусть при всех к € N0 выполнено условие (2.55). Поскольку в силу (3.1) р(х) = = Ф(х) = д(х) = 0, то Ро = фо = до =0 и Р2к-1 = Р2к = Ф2к-1 = Ф2к = Я2к-1 = = д2к = 0 при всех к € N .В силу этого и условия (2.55) из равенств (2.46)—(2.54)

следует, что ак = Ьк = /2к = о,к = Ък = /2к-1 = 0 при всех к € N0. Отсюда на основании (2.34)-(2.36) и (2.10)-(2.14) при всех у € [—а, в] имеем:

2 u(x,y)dx = 0, 4 / u(x,y) cos2nkxdx = 0,

Jo Jo

4 u(x,y)x sin2nkxdx = 0; 2 f (x)dx = 0,

oo

4 / f (x)cos2nkxdx = 0, 4 / f (x)xsin2nkxdx = 0, k = 1, 2,... .

oo

f (x)x i

oo В силу полноты системы функций (2.7) в пространстве L2[0,1] из последних равенств следует, что u(x,y) = 0 почти всюду на [0,1] при любом y е [—а, в] и f(x) = 0 почти всюду на (0,1). В силу (1.2), (1.3) функция u(x,y) непрерывна в D и f (x) е C(0,1), поэтому u(x, y) = 0 в D и f (x) = 0 на (0,1).

Пусть при некоторых а, в и k = p е No нарушено условие (2.55), т. е. Aap(p) = = 0. Тогда задача (1.2)—(1.7), где p(x) = ф(x) = g(x) = 0, имеет ненулевое решение

up(x, y) = Tp(y) sin 2npx, fp(x) = fp sin 2npx,

где

{\—2j ( cos Xpa sh Xpy+sin Xpa ch \py-sh Xp(y-p) Л y> 0

Ap Jp y cos Xpa sh Xpfi+sin Xpa ch Xpfi 1J , y > v,

y—2 j ( sin Xp (a+y) + cos XpV sh Xpfi-sin Xpy ch Xpfí -Л y < 0 p Jp I cos Xpa sh Xpe+sin Xpa ch Xp@ J , y ,

fp = 0 — произвольная постоянная.

Таким образом, нами установлен следующий критерий единственности. Теорема 1. Если существует решение задачи (1.2)-(1.7), то оно единственно только тогда, когда при всех k е No выполнено условие (2.55).

4. Обоснование существования решения обратной задачи

Решение задачи (1.2)—(1.7) при условии (2.55) получено формально в виде сумм биортогональных рядов (2.8) и (2.9). Поскольку Áap(k) входит в знаменатель коэффициентов этих рядов, то для обоснования существования решения задачи (1.2)—(1.7) помимо условия (2.55) необходимо показать, что существуют числа а, в > 0 такие, что при больших k выражение Áap (k) отделено от нуля. Для этого представим Áap(k) в следующем виде:

Aa0 (k) = v/ch2Xk в sin(Xk а — ) + 1, (4.1)

где yk = arcsin(chAk0/ \Jch2Ak0) ^ п/4 при k ^ Из представления (4.1)

видно, что выражение Дав (k) = 0 только в том случае, когда

a = ^ — 1^arcsin(1/Vch2Ake) + п, п = 0,1, 2,... .

Ak Ak 2k

Лемма 1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) a = p — натуральное; 2) a = p/q,p,q € N, (p,q) = 1,q = 4, то существует постоянная Co, вообще зависящая от a, такая, что при больших k и любом фиксированном в > 0 справедлива оценка

\Дав(k)| > Coe2^ > 0. (4.2)

Доказательство. При больших k

b2 b2

0 <Ak —2nk = . =- < —. (4.3)

^b2 + (2nk)2 + 2nk 4nk v '

Пусть Дав(k) = Дав(k) \b=o и рассмотрим следующую разность: Дав (k) — Дав (k) = 1 (eXкв — e2пкв) (sin Ak a — cos Ak a)+

+ 2 e2пkв (sin Ak a — cos Ak a + cos 2nka — sin 2nka)) — ^ e-X к в (sin Ak a + cos Aka)+

+ 2 e-2пkв (sin 2nka + cos 2nka).

Отсюда с учетом оценок: 0 ^ ex — 1 ^ 2x при 0 ^ x < 1, \ sin x\ ^ x и (4.3) имеем

eXкв _ ^пкв

\Дав (k) — Д ав (k)\ < -2-\ sin Ak a — cos Ak a\ +

+ 2e2nkl3(\ sin Aka — sin 2nka\ + \ cos Aka — cos 2nka\) + O(e-2nkl3) <

<

(,2пкв

V2

(32пкв

(e( X к-2пк)в — 1) +2л/2

(Ak — 2nk)a sin -

2

+ O (e-2^) <

<

V2

< e2nkl3(Ak — 2nk)(a + V20) + O (e-2^) < C, (4.4)

(Хк - 2пк)20 + ^(Ак - 2пк)а + О (е-2пк<

е2пк@

где С — положительная постоянная, зависящая от а, 0, Ь.

Теперь в силу (4.4) нам достаточно показать справедливость оценки (4.2) для

сар(к) = л/сЪ4пк0 вт(2пка - Ск) + 1, (4.5)

где Ск = Ск при Ь = 0. Пусть а = р € N. Тогда из (4.5) имеем

' 1 + е-4пкв ~2

~ /1 + 1=-4пкв \ \Дав(k)\ = ch 2nk0 — 1 = e2^! ^--e-2пкЛ >

> e2пкв(^2 — e-2nk^ > Cie2пкв

при k > ko > [ln( i_2c )], 0 <Ci < 1/2 и произвольном 0 > 0.

Пусть теперь а = р/д, где р,д € N, (р, д) = 1, д = 4. В этом случае разделим 2кр на д с остатком: 2кр = зд + г, з,г € N0, 0 ^ г < д. Тогда выражение (4.5) примет вид

ДаР(к) = ^сЬ4пкв( —1)а вш(д — рк) + 1. (4.6)

Если г = 0, то данный случай сводится к уже рассмотренному выше а = р € N. Пусть 0 < г < д, и ясно, что 1 ^ г ^ д — 1, д ^ 2. Тогда из (4.6) получим

\Аар(к)\ = \у/сЪ4пкр( — 1)а 8ш(Ц — 4+ £к) + 1| >

е2пкв

\ М П — П + вк )\—т/2е-2пкв д4

(4.7)

у/2

где вк ^ 0 при к ^ Поскольку д = 4, то из оценки (4.7) следует (4.2).

Теперь при определенных условиях на функции р(х), Ф(х), д(х) при условии (2.55) и (4.2) покажем, что функции и(х, у) и /(х), определенные соответственно рядами (2.8) и (2.9), удовлетворяют условиям (1.2), (1.3) и (1.4). Формально из (2.8) почленным дифференцированием составим ряды:

их(х,у) = ^2 Т2к-1(у)Х2 к (х) + ^ Т2к (у)Х2 к-1 (х), (4.8)

к=1 к=1

ж ж

иу (х,у)= ТО (у)Хо(х) + ^2 Цк-1(у)Х2к (х) + ^2 ТШ*2к-1(х), (4.9)

к=1 к=1 ж ж

ихх(х,у) = ^2 Т2к-1(у)Х^к (х) + ^2 Т2к(у)Х2к-1(х), (4.10)

к=1 к=1

жж

иуу (х,у) = ТОО (у)Хо(х) + Е Т2/к-1(у)Х2к (х) + ]Т Т2'к (у)Х2к-1 (х). (4.11)

к=1 к=1

Лемма 2. Пусть выполнены условия (2.55) и (4-2). Тогда при больших к справедливы оценки:

\Т2к (у)| < М [\д2к \ + к(\р2к \ + \Ф2к\)],

М2

\Т2к-1(у)\ < [\д2к-1\ + \д2к \ + к(\р2к-1\ + \Ф2к-1\) + к(\р2к\ + \Ф2к!)],

\Т2к (у)\ < Мз[\д2к \ + к(\р2к \ + \Ф2к Ш, \Т2к-1(у)\ < М4[\д2к-1\ + \д2к \ + к(\р2к-1\ + \Ф2к-1\) + к(\р2к\ + \Ф2к!)],

\Т2'к(у)\ < М5к[\д2к\ + к(\р2к\ + \Ф2к\)], \Т2>'к-1(у)\ < Мбк[\д2к-1\ + \д2к\ + к(\р2к-1\ + \Ф2к-1\)+ к(\р2к\ + \Ф2к\)], где Mi — здесь и далее положительные постоянные.

Доказательство. Из (2.49)-(2.51) с учетом леммы 1 получим

М7

\ак \ < ^^Лкф [\д2к \ + к(\Р2к \ + \Ф2к Ш, (4.12)

\Ьк \ < М[\д2к\ + к(\Р2к\ + \Ф2кШ, (4.13)

\/2к \ < М9к[\д2к\ + к(\р2к\ + \Ф2кШ. (4.14)

Аналогично из равенств (2.52)—(2.54) и (2.45), воспользовавшись леммой 1, найдем следующие оценки:

I ^ к^Пкф [\92к-1\ + \Я2к\ + к(\^2к-1\ + \Ф2к-1\) + к(\с2к \ + \Ф2к \)], (4.15)

\Ьк \ < ^Т1 [\g2k-1 \ + \Я2к \ + к(\^2к-1\ + \^2к-1\) + к(\^2к \ + \Ф2к\)], (4.16)

\/2к-1\ < М12к[\д2к-1\ + \Я2к \ + к(\^2к-1\ + \^2к-1\) + к(\с2к \ + \Ф2к\)]. (4.17) Из (4.12)—(4.14) и (4.15)—(4.17) и вытекает справедливость требуемых в лемме оценок.

Тогда на основании леммы 2 ряды (2.8), (2.9) и (4.8)—(4.11) мажорируются рядом

М15£ к[\д2к-1\ + \д2к \ + к(\^2к-1\ + \^2к-1\ + \С2к \ + \^2к\)]. (4.18)

к=1

Лемма 3. Пусть р(х) £ С3[0, 1], ^(1) = 0, у>'(0) = у>'(1), ^"(1) = 0, ф(х) £ £ С3[0,1], ф(1) = 0, ф'(0) = ф'(1), ф''(1) = 0, д(х) £ С2[0,1], д(1) = 0, д'(0) = д'(1). Тогда справедливы представления:

(3) о (3) (3)

л У2к-1 , Мк л Ак (419)

^2к—1 = " (2пкр + , ^2к =(2Пкр, (4.19)

ф = ф(к-1 + зф(к ф = ф(з (4 20)

ф2к-1 = " (2Щ3 + (2ЛкГ, ф2к = (Щ3, (420)

д(2) 2д(2) д(2) = д2к — 1 2д2к д = д2к (421) д2к-1 = " " (^, д2к = " (2Щ2, (4.21)

где

^ = 4 / с"'(х) в1П 2пкхс1х, ^2к-1 =4 / с'''(х)х сов2пкхс1х,

./о ./о

/■ 1 /■ 1

ф(к =4 / ф"'(х) эш2пкхс!х, ф2к-1 =4 / ф"'(х)хсов2пкхс1х,

2 о 2 —1 о

Г1 /■ 1

д(2)) = 4 / д'' (х) соэ 2пкхйх, д2к-\ =4 / д''(х)х §т.2пкхв,х,

2 о 2 —1 о

Ь2[0,1], XI \ф(3)\2 ^ 16\\ф(3)(х)\\12[0,1], (4.22) =1 =1

Е\д(2)\2 < 16\\д(2)(х)\\22[о,1]. (4.23)

=1

Доказательство. Рассмотрим интегралы (2.38), (2.39) и (2.40). Интегрируя (2.38) и (2.39) по частям три раза, а (2.40) два раза с учетом условий леммы, получим требуемые представления (4.19)-(4.21). Справедливость оценок (4.22) и 4.23) следует из [11].

При выполнении условий леммы 3 ряд (4.18) оценивается числовым рядом

М1бЕ к(\д(2)\ + \^3)\ + \ф(3)\). (4.24)

=1 к

Из сходимости ряда (4.24) в силу признака Вейерштрасса сходятся равномерно ряды (2.8), (4.8), (4.9) в замкнутой области В, ряды (4.10), (4.11) в замкнутых

областях D+ и D_ и ряд (2.9) на промежутке [0,1]. Поэтому функция u(x,y), определенная рядом (2.8), удовлетворяет условию (1.2), а функция f (x), определенная рядом (2.9), удовлетворяет условию (1.3). Подставляя ряды (4.10), (4.11), (2.8), (2.9) в уравнение (1.1), убеждаемся, что функции u(x,y) и f (x), определенные равенствами (2.8) и (2.9) соответственно, удовлетворяют условию (1.4).

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 2. Пусть функции p(x), ф(х), g(x) удовлетворяют условиям леммы 3 и выполнены условия (2.55) и (4-2), тогда существует единственное решение .задачи (1.2)-(1.7), где функции u(x,y) и f (x) определяются соответствующими рядами (2.8) и (2.9), коэффициенты которых находятся по формулам (2.34)-(2.36), (2-46)-(2.48), (2-49)-(2.51), (2.52)-(2.54).

Литература

[1] Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН. 1943. T. 39. № 5. С. 195-198.

[2] Лаврентьев М.М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1964. Т. 157. № 3. С. 520-521.

[3] Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.Т. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

[4] Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

[5] Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

[6] Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН. 2007. Т. 413. № 1. С. 23-26.

[7] Сабитов К.Б. Критерий единственности решения краевой задачи для уравнения смешанно-составного типа // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: труды международной научной конференции, посвященной юбилею академика В.А. Ильина. Уфа: Гилем, 2008. Т. 2. C. 154-161.

[8] Сабитов К.Б. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка // Докл. РАН. 2009. Т. 427. № 5. С. 593-596.

[9] Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гипер-болического типа в прямоугольной области // Докл. РАН. 2009. Т. 429. № 4. С. 451-454.

[10] Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного пара-боло-гиперболического типа в прямоугольной области // Известия вузов. Сер.: Математика. 2010. № 4. С. 55-62.

[11] Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294-304.

[12] Сабитова Ю.К. Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной области: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Стерлитамак, 2007. 20 с.

[13] Волынская М.Г. Единственность решения одной нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. 2008. № 2 (61). С. 43-51.

[14] Ильин В.А. О существовании приведенной системы собственных и присо-единеных функций у несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора // Труды Матем. института им. В.А. Стеклова. 1976. Т. 142. С. 148-155.

[15] Моисеев Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С. 1094-1100.

[16] Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77. № 1. С. 11-14.

Поступила в редакцию 15/ V/ 2010; в окончательном варианте — 15/V/ 2010.

INVERSE PROBLEM FOR THE EQUATION OF THE MIXED TYPE WITH NONLOCAL BOUNDARY

CONDITION

© 2010 N.V. Martemyanova2

The nonlocal boundary problem is studied in the rectangular region for the equation of the mixed type with the unknown right part. The criterion of the uniqueness of solution of this inverse problem is established. Solution is constructed as a sum of biorthogonal series on the systems of root functions of the corresponding mutually adjoint problems on their own values.

Key words: inverse problem, equation of the mixed type, spectral method, uniqueness, existence.

Paper received 15/V/ 2010. Paper accepted 15/V/ 2010.

2Martemyanova Nina Viktorovna (ninamartemSyandex.ru), the Dept. of Mathematical Analysis, Samara State Academy of Social Sciences and Humanities, Samara, 443090, Russian Federation.