CC BY
26
УДК 517.95
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
ТИПА
© 2010 Г.Ю. Удалова1
В статье рассматривается обратная задача для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с неизвестной правой частью. Установлен критерий единственности решения задачи. Само решение построено в виде суммы ортогонального тригонометрического ряда.
Ключевые слова: уравнение смешанного типа, обратная задача, спектральный метод, единственность, существование.
Введение
Рассмотрим уравнение Лаврентьева — Бицадзе с неизвестной правой частью
Ьи = ихх + (вдиу)иуу = I (х) (1)
в прямоугольной области Б = {(х,у) | 0 < х < 1, —а < у < в} , где а, в — заданные положительные числа, и следующую задачу.
Обратная задача. Найти в области Б функции и(х,у) и I(х), удовлетворяющие условиям:
и(х,у) е С1 (Б) П С2(Б- и Б+); (2)
I(х) е С(0,1); (3)
Ьи(х, у) = I(х), (х, у) е Б- и Б+; (4)
их(0, у) = их(1, у)=0, —а < у < в; (5)
и(х, —а) = ф(х), 0 ^ х ^ 1; (6)
и(х,в)= р(х), 0 < х < 1; (7)
иу (х, —а) = д(х), 0 ^ х ^ 1, (8) где ф(х), <р(х), д(х) — заданные достаточно гладкие функции,
ф' (0) = ф'(1)= <р'(0) = ?'(1)=0, (9)
Б- = Б П{у < 0},Б+ = Б П{у> 0}.
1Удалова Галина Юрьевна ([email protected]), кафедра высшей математики Самарского го-
сударственного архитектурно-строительного университета, 443001, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.
Вопросы разрешимости различных обратных задач для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались во многих работах. Здесь прежде всего отметим работы А.Н. Тихонова [1], М.М. Лаврентьева [2], В.К. Иванова [3] и их учеников. Более подробная библиография работ, посвященных теории обратных задач, приведена в монографии А.М. Денисова [4].
В последние годы К.Б. Сабитов [5] предложил новый подход — метод спектральных разложений для обоснования единственности и существования решения прямых задач для уравнений смешанного типа в прямоугольной области. Таким методом решены обратные задачи К.Б. Сабитовым и Э.М. Сафиным [6-8] для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа.
В настоящей работе изучается обратная задача для уравнения смешанного эл-липтико-гиперболического типа, то есть задача (2)-(8). Методом спектрального анализа установлен критерий единственности решения задачи (2)-(8). Само решение построено в виде суммы ряда Фурье по собственным функциям соответствующей одномерной задачи на собственные значения.
1. Критерий единственности решения задачи
Пусть и(х,у) и ](х) решение задачи (2)-(8). Рассмотрим следующую систему функций:
Хк (х) : 1,У2сов пкх, к = 1, 2,..., 0 < х < 1, (10)
где Хо(х) = 1, которая ортонормирована, полна и образует базис в пространстве 12[0,1].
Рассмотрим функции
ио(у)= и(х,у) йх, (11)
о
uk(y) = u(x, y) cos nkx dx, k = 1, 2, .. . .
J 0
На основании (11) и (12) введем следующие вспомогательные функции:
/1-е /• 1-е
u(x,y) dx, uke(y) = V2 u(x, y) cosnkxdx.
(12)
(13)
Дважды дифференцируя функции (13) при у < 0 и у > 0 и учитывая уравнение (1), получим
ls(y) =
pl—е р1-е
/ uyy dx = (uxx — f (x)) dx, y< 0,
Je Je
/1-е i'l-e
uyy dx = J (f (x) — uxx) dx, y> 0,
(14)
uk , e(y)
V2 V2
[•1-е /*1-e
uyy cos nkxdx = V2 (uxx — f (x))cos nkxdx, y< 0,
Je Je
/1-е i'1-e
uyy cosnkxdx = V2 (f (x) — uxx) cosnkxdx, y> 0.
u
Проинтегрировав интегралы формул (14), (15) по частям два раза с учетом условий (5), получим
— I(х) ¿х, у < 0,
(у) н с 1° (16)
J I(х) ¿х, у > 0, —л/2(пк)2 и(х,у)сов пкх ¿х — \/2 I(х) сов пкхдх, у< 0,
< (у) = { > (17)
л/~2(пк)2 и(х,у)сов пкх ¿х + \/2 I(х) сов пкхс!х, у> 0. 00
Отсюда следует, что функции ик (у), к е N° = N и {0} являются решениями дифференциальных уравнений
и0(у) = I у < 0, (18)
<(у) = к, у > 0, (19)
и''(у) + (пк)2ик(у) = —Ь, у < 0, (20)
и''(у) — (пк)2ик(у) = ^, у > 0, к е N (21)
где 1
^ = ( I(х)йх, (22)
ио
^ = ^/2 1 I(х)сов пкхс!х, к = 1, 2,.... (23)
Jо
Дифференциальные уравнения (18)-(21) имеют общие решения
у2
I —+ а°у + Ь°, у< 0, ио(у) = { у22 (24)
Лу + с°у + ¿0, у > 0,
fk тк)
Ckenky + dke-nky - , y> 0, к e N,
ak cos nky + bk sin nky - -——^ , y < 0, uk-y) = { , , k {7rk) (25)
(nk)2'
где ak,bk,Ck,dk — произвольные постоянные, к e Nq. В силу (2) решения (24), (25) должны удовлетворять условиям склеивания:
Uk(0 - 0) = Uk(0 + 0), u'k(0 - 0) = u'k(0 + 0), к e Nq.
Удовлетворяя их этим условиям, получим a,Q = cq, bo = do, ak = Ck+dk, bk = Ck-dk. Тогда решения (24), (25) примут вид:
y2
, -fo^T + cq y + do, y < 0, uo(y) = { y22 (26)
foy + Coy + do, y > 0,
fk
. (Ck + dk)cos nky + (ck - dk)sin nky - ( k , y< 0,
uk (у)= i k k fk {nk) (2?)
Ckenky + dke-nky - , y > 0, k e N.
На основании (6)-(8) и (11), (12) имеем
ик (-а) = фк, ик (в ) = Рк, и'к (-а) = дк, (28)
где фк, Рк, дк — коэффициенты разложения функций ф(х), р(х), д(х) в ряд по системе (10), то есть
фо = ф(х) dx, фк = V2 I ^(x)cos nkxdx, (29)
J о J о
p(x) dx, ^к = V2 I p(x) cos nkxdx, (30)
оо
go = g(x) dx, gk = V2 g(x)cos nkxdx. (31)
оо
r-1 f 1
' (x) cos ^
lo J 0
r-1 r-1
yo = I y(x) dx, ^k = V2 I y(x)cos-; 00 r-1 л 1
„ ( x )cos 5
00 Удовлетворим решения (26), (27) условиям (28). Тогда получим относительно неизвестных Ck, dk и fk системы
а2
-aco + do--— fo = фо,
в2 (32)
peo + do + — fo = yo,
co + afo = go,
(cos nka — sin nka)ck + (cos nka + sin nka)dk — ( —)2fk = фк,
nk
enke ck + e-nke dk — (\)2 fk = yk, (33)
nk gk
(sin nka + cos nka)ck + (sin nka — cos nka)dk = —- •
nk
Определители систем (32) и (33) соответственно равны
1 Saß (0) = -a2 - 2aß + ß2, (34)
2 2
7-Чп^ав (к) = 7-^(cos пка ch пк@ — sin пка sh пк@ — 1).
(пк)2 (пк)2
Тогда при условии, что при всех к G No
(35)
5a.ß (k) = 0, (36)
системы (32) и (33) имеют единственное решение
2(фо - уо)а + (ß2 + a2)go
со = -2с (0)-, (37)
2öaß(0)
(ß2 - а2)фо - 2aßфo + aß(ß - a)go
do =-2м0-, (38)
уо - фо - (а + ß)go
/о =-MÖ-, (39)
nk^k - фк)(sinnka - cosnka) - gk (sinnka + cosnka - e-nkß^ Ck = 2nköaß (k) , (40)
nk(yk - фk)(sin nka + cos nka) + gk (cos nka - sin nka - enkß) dk = 2nköaß (k) , (41)
fk —
(nk)2 [<fk + (sin nka sh nkß — cos nka ch пкр)фк]
Saß(k)
nk(sin nka ch nkß + cos nka sh nkß)gk
(42)
ke N.
Saß(k)
Таким образом, функции (26) и (27) построены однозначно. Докажем теперь единственность решения задачи (2)—(8). Пусть ф(х) — x) — g(x) = 0 и выполнены условия (36). Тогда в силу (29)—(31) фк — фк — gk = 0, k G N0, а значит, при выполнении условий (36) из соотношений (37)—(42) следует Ск — dk — fk = 0, k G N0. Отсюда в силу (26) и (27) вытекает, что uk (y) = 0 при любом k G N0. Тогда на основании (11), (12), (22) и (23) получаем, что при всех y G [—a,ß]
/ u(x, y) dx — 0, / f (x) dx — 0,
00
/ u(x,y)cos nkxdx — 0, / f (x) cos nkxdx — 0, k G N.
00
Отсюда в силу полноты системы (10) в пространстве L2[0,1] и условий (2) и (3) следует, что u(x,y) = 0 в D и f(x) = 0 на (0,1).
Пусть для некоторых а и ß выражение Saß(0) — 0, тогда однородная задача (2)—(8), где <^(x) — ф(x) — g(x) — 0, имеет ненулевое решение
u°(x,y)
y2 а2 f°l "2 — ay — ~2
y> 0,
—fo (y2+ ay + \ 0,
f (x) — f°, 0 < x < 1,
где а = (\/2 — 1)@, в > 0 /о = 0 — произвольная постоянная.
Теперь пусть для некоторых а, в и к = р G N выражение 5ар(р) = 0. Тогда однородная обратная задача имеет ненулевое решение
(x, y) —
I (np)
fp_
)2
о
(пр)2
2 Say (р) cos npx,
y> 0,
fp
(-—[1 — cos np(y + a)] cos npx, y< 0,
fp(x) — — fp cos npx.
Здесь /р = 0 — произвольная постоянная. Таким образом доказана следующая
Теорема 1. Если существует решение задачи (2)—(8), то оно единственно тогда и только тогда, когда выполнены условия (36) при всех к G N0.
u
2. Существование решения задачи
Пусть выполнены условия (36). Тогда в силу (11), (12), (22) и (23) решение задачи (2)—(8) будем искать в виде сумм ряда
и(х,у) = ио (у) + ик (у)сов пкх, (43)
к = 1
/(х) = /о + V" /к соя пкх,
к=1
(44)
где ио(у) и ик (у) определены формулами (26) и (27), а постоянные Ск, йк и /к находятся из соотношений (37)-(42).
Для обоснования существования решения докажем следующее утверждение.
Лемма 1. Если 1) а = р € N; 2) а = р/д, (р,д) = 1, д = 4, то существует постоянная Со, вообще зависящая от а, такая, что при больших к и любых в > 0 справедлива оценка
\5*в(к)| > Соепкв. (45)
Доказательство. Представим 6ар(к) в следующем виде:
(к) = \/сЬ2пкв вт(пка — 7к) + 1,
где 7к = агсвт(сЬпкв/\/сЬ2пкв) — п/4 при к — Пусть а = р € N. Тогда из (46) имеем
(46)
\5а/з(к)\ ^ сИпкв — 1 = е
= епкв
1 + е-2пкв \ / 1
1 + е _ е-пкв} > епкв [ £ _ е-пкв
> С1 е
пкв
при к > к1 >
11п-
, 0 <С1 < 1/2 и любых в> 0.
пр111 1-2С1
Пусть теперь а = р/д, где р,д € N, (р, д) = 1, д = 4. В этом случае разделим кр на д с остатком: кр = вд + г, в, г € N3, 0 ^ г < д. Тогда выражение (46) примет
вид
—Зав(к) = л/сЪ2пкв(- 1)я — р^ + 1
(47)
Если г = 0, то этот случай сводится к рассмотренному выше а = р € N. Пусть 0 < г < д, то есть 1 ^ г ^ д — 1 и д ^ 2. Тогда из (47) получим
(к)\ =
епкв
у/2
у/сЪ2пкв( — 1)8 81п ^д — 4 + + 1
П П Я1П--- + £к
д4
Пг П
д— 4
— V2е-пкв ).
2
В силу того, что £к — 0 при к — существует номер к2 такой, что при всех
к > к2:
Я1П
М1 — 4)+£к
1
> 2
11 Я1П П I---
д4
\5а.в (к) \ >
епкв /1
у/2 \2
при к > шах{к2, кз}, кз
Ль
. Тогда
аптт^ — 2е-пк^ >С2
2^2
Пкв
пв \в1пп(1/д — 1/4) \ — 2%/2С2
+ 1,
0 <С2 <
1
11 Я1П п |---
д4
2%/2
Лемма доказана.
Далее, из равенства (43) формально почленным дифференцированием составим ряды:
их(х,у) = — ^^ кпик(у) я1п кпх,
(48)
к=1
uy (x,y) = u'0(y) + u'k(y) sin knx, (49)
k=1
ж
Uxx(x,y) = - (kn)2Uk (y) cos knx, (50)
k=1
ж
Uyy (x,y) = u'0(y)+^2 u'k(y)cos knx. (51)
k=1
Лемма 2. Пусть при больших к справедливы условия (45). Тогда для таких к для коэффициентов Ск, ¿к, /к имеют место оценки:
| Ск | < (| Фк | + | ^ | + , (52)
С / еПкв
| dk | < -kLl | уk | + | фк | + | gk | ), (53)
| fk | < с^^Мг + k21Фк l + klgk |) , (54)
где С i — здесь и далее положительные постоянные.
Доказательство. Непосредственно из равенств (40)—(42), учитывая лемму 1, имеем
| ч < | У |+| Фг |+^
ldk|, | + Сф;!+ + Ы< -Се (| и| +1 l + ^
If I <- (nk)2 (Zfok| +2U I + ^gk ^ r ,2 f Ы| + ,. I + gk|
lfk|^"cr[e^+2фl + —)^C3k [e^ + ф| + -r
из которых следует справедливость оценок (52)-(54).
Лемма 3. Пусть имеет место оценка (45) при больших k. Тогда для таких k и при любом y € [—а, /3] справедливы оценки
luk (y)| < C4k2enke lck l + k2ldk l + lfk l, (55)
luk (y)| < C5k2enke lck l + k2ldk l + lfk l, (56)
lu'l(y)l < C6k2enke lck l + k2ldk l + lfk l. (57) Доказательство. Из равенства (27) вычислим
kn[—(ck + dk) sinnky + (ck — dk) cos nky], y < 0,
( )=( kn[—(ck + dk)sinnky
i(y) =\ kn[ckenky — dke-nky], y> 0,
(58)
(59)
n( = j (kn) [—(ck + dk)cos nky — (ck — dk)sin nky], y< 0, uk (y) = \ (kn)2 [ckenky + dke-nky], y> 0.
Непосредственно из выражений (27), (58), (59) следует справедливость оценок (55)-(57).
Для доказательства сходимости рядов (43), (44), (48)—(51) заметим, что они при любых (х, у) € О мажорируются рядом
(к2\*к \ + к2\фк \ + к\дк |) . (60)
к=1
Лемма 4. Если *(х), ф(х) € С3[0,1], д(х) € С2[0,1] и *'(0) = *'(1) = ф'(0) = = ф'(1) = 0, то
*к = " (МГ *к , (61)
фк = -тАз ф(3), (62)
)2
где
дк = - дк), (63)
(кп)2
*к3) = л/2 *'''(х)вт -ккхвхх,
Jо
Г1
ф^ = л/2 / ф'''(x)smпкхё^х, Jо
д''(х)сов пкх ¿х
Jо
1
(2) дк
]Г\*к3)\2 < \\*'''(х)\\|2[0,1]^\фк3)\2 < \\ф'''(х)\\|2[0,1]^\дк2)\2 < \\д''(х)\\|2[од]-
к=1 к = 1 к = 1
(64)
Доказательство. Проинтегрировав интегралы равенств (29), (30) по частям три раза, а интеграл равенства (31) два раза, получим непосредственно равенства (61)-(63). Справедливость оценок (64) следует из неравенства Бесселя по тригонометрической системе.
Лемма доказана.
Тогда в силу леммы 4 ряд (60) оценивается рядом
^ 1
с6£ к (*к3)\ + \ф{"]\ + \дк]\) (65)
В силу сходимости ряда (65) на основании признака Вейерштрасса ряды (43), (48)—(51) сходятся равномерно на О, а ряд (44) на [0,1]. Подставляя (50) и (51) в уравнение (1), убеждаемся, что функции и(х,у) и ](х), определенные рядами (43) и (44), удовлетворяют условию (4).
Таким образом, доказано следующее утверждение
Теорема 2. Если функции *(х),ф(х) и д(х) удовлетворяют условиям леммы 4 и выполнены условия (36) и (45), то существует единственное решение ззадачи (2)—(8), которое определяется рядами (43) и (44)-
и
Литература
[1] Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН. 1943. Т. 39. № 5. С. 195-198.
[2] Лаврентьев М.М. Об одной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1964. Т. 157. № 3. С. 520-521.
[3] Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
[4] Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 285 с.
[5] Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН. 2007. Т. 413. № 1. С 23-26.
[6] Сабитов К.Б. Критерий единственности решения краевой задачи для уравнения смешанно-составного типа // Труды международной научной конференции, посвященной юбилею академика В.А. Ильина. Уфа: Гилем, 2008. Т. 2. С. 154-161.
[7] Сабитов К. Б., Сафин Э. М. Обратная задача для уравнения параболо-гипер-болического типа в прямоугольной области // Докл. РАН. 2009. Т. 429. № 4. С. 451-454
[8] Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гипер-болического типа в прямоугольной области // Изв. вузов. Сер.: Математика. 2010. № 4. С. 55-62.
[9] Удалова Г.Ю. Единственность решения обратной задачи для уравнения смешанного типа // Труды СФАНРБ. Уфа: Гилем, 2009. С. 155-159.
Поступила в редакцию 25////2010; в окончательном варианте — 25////2010.
INVERSE PROBLEM FOR EQUATION OF MIXED ELLIPTIC-HYPERBOLIC TYPE
© 2010 G.Yu. Udalova2
In this work the inverse problem for the equation of the mixed elliptic-hyperbolic type with the unknown right side is viewed. The criterion of the uniqueness of the solution is established.
Key words: equation of the mixed type, inverse problem, spectral method, uniqueness, existense.
Paper received 25////2010. Paper accepted 25////2010.
2Udalova Galina Yuryevna (yeyegSyandex.ru), Dept. of Higher Mathematics, Samara State University of Architecture and Civil Engineering, Samara, 443001, Russia.
