Задача Дирихле для нагруженного уравнения Лаврентьева - Бицадзе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА — БИЦАДЗЕ

© 2010 Е.П. Мелишева1

В работе установлены необходимые и достаточные условия единственности решения первой граничной задачи для нагруженного уравнения Лаврентьева — Бицадзе в прямоугольной области. Решение поставленной задачи построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной задачи на собственные значения.

Ключевые слова: нагруженное уравнение смешанного типа, задача Дирихле, спектральный метод, единственность, существование.

Введение

Рассмотрим нагруженное уравнение смешанного типа

Ьи = здиу ■ пхх + иуу + С (у) и (х, 0) = 0 (1)

в прямоугольной области Б = {(х,у) : 0 < х < 1, —а <у < в}, а, в — заданные положительные действительные числа, С (у) = С (у) при у ^ 0, С (у) = Сч (у) при у ^ 0, С (у), г = 1, 2 — заданные непрерывные функции.

Задача Дирихле. Найти в области Б функцию и (х,у), удовлетворяющую следующим условиям:

и (х, у) е С1 (Б ) П С2 (Б+ и Б-); (2)

Ьи (х,у) = 0, (х,у) е Б+ и Б-; (3)

и (0,у)= и (1,у)=0, —а < у < в; (4)

и (х, в) = Р (х), и (х, —а) = ф (х), 0 ^ х ^ 1, (5)

где р (х) , ф (х) — заданные достаточно гладкие функции, при этом р (0) = р (1) = = ф (0) = ф (1), Б+ = Б П{у> 0}, Б- = Б П{у < 0}.

Отметим, что в работе [1] для нагруженного параболо-гиперболического уравнения в прямоугольной области изучена начально-граничная задача, в которой методом спектральных разложений [2] установлен критерий единственности решения этой задачи, и само решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной задачи на собственные значения.

Ранее в работах [3-12] изучены краевые задачи (локальные и нелокальные) для нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных отдельных и смешанных типов в классических областях.

1 Мелишева Екатерина Петровна ([email protected]), кафедра математического анализа

Поволжской государственной социально-гуманитарной академии, 443090, Российская Федерация, г. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26.

В данной работе, следуя [1; 2], установлен критерий единственности решения задачи Дирихле для нагруженного уравнения Лаврентьева — Бицадзе в прямоугольной области П. Решение задачи (2)—(5) представлено в виде суммы ряда Фурье.

1. Единственность решения

Пусть и (х,у) — решение задачи (2)—(5). Рассмотрим функцию

1

= <6,

0

где Xk = nk, к € N. На основании (6) введем функцию

1-е

Uk,e (y) = V2 / и (x,y)sm Xka

1-е

(y) = л/2 j и (ж, y) sin Xkxdx, (7)

где е — достаточно малое число. Дифференцируя равенство (7) по у два раза при у € (—а, 0) и (0, в) и учитывая уравнение (1), получим

1-е

<е (y) = V2 / U„ (x,y)sin Xk xdx =

е

1-е

= л/2 j [-uxx — C1 (y) и (x, 0)] sin Xkxdx =

е

1-е 1-е

— V2J uxx sin Xkxdx — V/2C1 (y) у и (x, 0) sin Xkxdx, y> 0; (8)

11-е

<е <y) = V2 / u„ (x,y)s,n Xk xdx =

е

11-е

V2 [uxx — C2 (y) и (x, 0)] sin Xkxdx

11-е 11-е

= -\/2 j uxx sin Xkxdx — V2C2 (у) J и (x, 0) sin Xkxdx, y< 0. (9)

ее

В первых интегралах из правой части равенств (8) и (9), интегрируя по частям два раза и переходя к пределу при е ^ 0 с учетом однородных граничных условий (4), получим

< (y) — Xkv,k (y) = —C1 (y) ик (0), y> 0, (10)

< (y) + Xkv,k (y) = —C2 (y) nk (0), y< 0. (11)

Дифференциальные уравнения (10) и (11) имеют общие решения

ckвХкУ + dkв-ХкУ - ^ I C (t) sh [Хк (y - t)]dt, y> 0, uk (y)={ 0 o (12)

ak cos Xky + bk sin Xky + f (t) sin [Xk (t - y)]dt, y < 0,

y

где ak, bk, ck, dk — произвольные постоянные.

Для функций (12) в силу (2) и (6) выполнены условия сопряжения

Uk (0 + 0) = Uk (0 - 0), u'k (0 + 0) = u'k (0 - 0). (13)

Условия (13) имеют место только в том случае, когда

ak + bk , ak - bk ,, ,ч ck = -2-' dk = -2-. (14)

Подставляя (14) в (12), получим

u ( ) = Í еХкУ + е-ХкУ - fkkCu (y) , y> 0,

Uk (y) \ ak cos Xky + bk sin Xk y + fk C2k (y), y< 0, ()

где

y o

C-ik (y) = J Ci (t) sh [Xk (y - t)]dt, C2k (y) = J C2 (t) sin [Xk (t - y)]dt.

o y

Для нахождения постоянных ak и bk воспользуемся граничными условиями (5) и формулой (6):

1 1 (в) = V2 j u (ж, в) sin Xkxdx = V2 j p (x) sin Xkxdx = pk, (16)

uk

oo 1 1

uk (-a) = V2j u (x, -a) sin Xkxdx = V2j ф (x) an Xkxdx = (17)

oo Тогда из (15) на основании (16) и (17) найдем

-фk sh Xk в - Pk sin Xk a

ak = -T-^-, (18)

(k)

Фk [Xk ch Xke - C-k (в)] - Pk [Xk cos Xk a + C2k (-a)]

bk = --Ш--(19)

XkTa¡g (k)

при условии, что при всех k G N

Тав (k) = [Cik (в) - Xk ch Xk в] -

Xk

- [Xk cos Xk a + C2k (-a)]=0. (20)

Xk

Подставляя (18) и (19) в (15), найдем окончательный вид функции

uk (y) =

ф Clk (y) sh Хкв-С1к (в) sh Xky +

ХкАав (k) +

+ ф sh fk(y-e)] + Pk Аау (k) y> 0

+ фk Аав(k) + Pk Аав(k), y>

ф. А-Ув(k) p, Sin fk (a+y)

Vk Аав (k) Pk Аав (k)

_ p C2k(y)sin fk a+C2k(-a)sin fk y y < 0

Pk fk Аа@ (k) , y < 0

(21)

где

Aay (k) = Sm Хка [Cik (y) - Xk ch Xky] - ShУ [Ak cos Aka + C2u (-a)], У > 0, Ak Ak

A-ув (k) = - Sin Ak У [Cik (в) - Ak ch Ak в] - Sh Ak в [Ak cos Aky + C2k (y)], У < 0. Ak Ak

Таким образом, функции uk (y) однозначно определены, что позволяет доказать теорему единственности решения задачи (2)—(5). Пусть u (x,y) — решение однородной задачи (2)—(5), где p (x) = ф (x) = 0, и выполнено условие (20) при всех k € N. Тогда pk = фk = 0, и из формул (21) и (6) следует, что при любом y € [-a в]

1

Ju (x, y) sin Akxdx = 0, k = 1, 2,... . (22)

о

Из равенств (22) в силу полноты системы синусов {i/2sin Akx} в пространстве L2 [0,1] следует, что u (x, y) = 0 почти всюду на [0,1] при любом y € [-a, в]. Поскольку в силу (2) функция u (x, y) непрерывна в D, то u (x, y) = 0 в D.

Пусть при некоторых a, в, Ci (y), C2 (y) и k = p € N нарушено условие (20), т. е.

Aae (p) = ^^^ Cip (в) - Ap ch Apв] -Ap

sh A в

--[Ap cos Apa + C2p (-a)] = 0. (23)

Ap

Тогда однородная задача (2)—(5), где p (x) = 0, ф (x) = 0, имеет нетривиальное решение

up (x, y) = up (y) sin Apx, (24)

где функция up (y) определяется по формуле

( ap[Ap sh [\p(@-y)] + Clp(@) sh Xpy] ap (

u (y) = J Xp sh XpCipU,; - (25)

up Vy) — \ ap[(C1p (0)-X„ ch Xp 0)sin Xpy+Xp sh XpB cos Xpy] , ap ^ , \ (25)

p y ^ ap[(Cip (e)-Xp ch Xp в) sin Xpy+Xp sh Xpfi cos Xpy] . ap c (y) y < 0

Xp sh Xp0 Xp

C2p \y),y

- %С1р (у), у> 0

sh Хрв сс« Хру] . а. Хр sh Хрв Х.

здесь ар =0 — произвольная постоянная.

Покажем, что функция (24) удовлетворяет всем условиям однородной задачи Дирихле. Легко видеть, что функция (25) удовлетворяет условиям сопряжения

ир (0 + 0) = ир (0 - 0), и'р (0 + 0) = и'р (0 - 0),

т. е. функция (24) удовлетворяет условию (2).

Проверим для функции ир (х, у) выполнимость условий (3) и (4):

[и'р (у) - Арир (у)] sin Арх

'р \У ! 'p"p 1

Lu (x ) J = [Apup (y) - Apup (y)] sin Apx = 0, y> 0, u | [u'p (y) + Apup (y)] sin Apx

= [-Apup (y) + Apup (y)] sin Apx = 0, y < 0;

>"p w 'Vй'p \yj] 0111 /Kp Apup (y)] sin Ap

(y)+ Apup (y)] —P

up (0, y) = up (y) sin0 = 0, up (1, y) = up (y) sin nk = 0. А в силу условия (23) для функции (25) выполняются равенства:

C

up (в)

2 sh Apв ch Apf3 + 2 sh Apв (C^ - ch A

2 sh Apв

р

-?/ ^ {t)sh [Хр (в - t)]dt

Cip sh Xpf apCip

sh Xpf

Xp

Xp

,(—a) =

— sin Xpa (— ch Xpf) + cos Xpa sh Xpf

sh Xpf

+

0

+ Xp j C2 (t)sin [Xp (t + a)]dt

, ^ „ , - л h л я Cip sin Xpa C2p sh Xpfi cos Xpa sh Xp f + sin Xpa ch Xp f------+

Xp

Xp

0.

эЬ Хрв у /\р /\р

Таким образом, нами установлен следующий критерий единственности. Теорема 1.1. Если существует решение задачи (2) - (5), то оно единственно только тогда, когда выполнено условие (20) при всех к е N.

a

p

0

a

p

a

p

2. Существование решения

Решение задачи (2)—(5) при условии (20) будем искать в виде суммы ряда Фурье

+^

u (x,y) = \Í2^2l ик (y) sin Xkx, (26)

k=i

где функции Uk (y) определяются по формулам (21), из которых видно, что выражение Аар (к) является знаменателем. Для обоснования существования решения (26) данной задачи необходимо показать существование чисел a, f и функций Ci (y), i = 1, 2, таких, что при больших к выражение Аар (к) отделено от нуля.

Лемма 2.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) a = p — натуральное; 2) a = p/q,p, q G N, (p, q) = 1, q = 4, то существует постоянная Cq такая, что при больших к и любом фиксированном f > 0 справедлива оценка

\Аар(к)\ > C0enke > 0. (27)

Доказательство. Представим Аар (к) в следующем виде:

enk¡3

АаР (к) = —enke Bk (f) sin (пкa + pk ) + —"k (a, f), (28)

где pk = arcsin (shXkf/^fch2XkP) ^ 4 при к ^

1 + с-^кР

Вк = -, (29)

( 8ш пкаС С2к (—а) (1 — е-2пкв)

^к(а,в) = -лепит С1к(в)--2П-• (30)

Прежде всего отметим, что при всех в > 0 и к ^ 1 выражения (29) и (30) ограничены:

-1= <вк (в) < 1, (31)

, ( в) К II С1 (у) II +а II Сч (у) II (32)

I ии(а,в) К-2П-, (32)

где

max | Ci (y) || C2 (y)

II Ci (y)

В силу оценок (31) и (32) достаточно оценить выражение

Saß (k) = sin (nka + ^k). Пусть а = p € N, тогда из (33) имеем

тях 1 C2 (y) 1 .

—a^y^O

(33)

1 e—2nkß i e—2nß

\ Saß (k) |= |sin (nkß + Vk)| > -^- > -^- > Ci > 0. (34)

2

2

Пусть а = p/q, где p и q — взаимно простые числа. Разделим kp на q с остатком: kp = sq + r, где s, r € N U {0}, 0 ^ r < q. Тогда выражение (33) примет вид

(nr \

Saß (k) = (-l)ssin f — + vJ . (35)

Если r = 0, то данный случай сводится к уже рассмотренному выше а = p € N. Пусть r > 0. Тогда ясно, что l ^ r ^ q — l, и из (35) получим

l nr п \ ^aß (k) | = | sini — + 4+ £k) |,

э. Поскольку q = 4, то из посл

1 i nr п \ ^aß (k) | > 2 | si^- + 4J | > C2 > 0.

(36)

пг п д 4

где ^ 0 при к ^ Поскольку q = 4, то из последнего соотношения при

больших к следует

1, . I пг п

Я 4

Из равенства (28) в силу оценок (34) и (36) следует справедливость неравенства (27) при больших к.

Лемма 2.2. Пусть выполнены условия (20) и (27). Тогда при больших к справедливы оценки:

' М1 (\фк| + Ш), у> 0, М2 \ + Ы), у< 0,

Мзк (Ы + \Фк\), у> 0, МАк (Ы + \фк\), у< 0,

М5к2 (\фк \ + \фк\), у> 0,

^k (y)| <

wk Ы| <

(37)

(38)

uk (y) | <

Mek2 (Vk| + Фk|), y< 0,

(39)

где М^ — здесь и далее положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от а, в, ЦС-1 (у) II и ||С2 (у) у.

Доказательство. Справедливость оценки (37) непосредственно следует из формулы (21) и оценки (27). Исходя из (21) вычислим производные ик (у) и ик (у):

Ф

C1k(y) sh Xkß — Xk Cik (ß) ch Xky ' Xk Aaß (k)

+

(y) =

+ ф Xk ch[Afc (y—ß)] + Aay(k) y> 0

+ Фk Aaß(k) + Vk Aaß(k), y> 0

Aaß (k)'

ф A yß(k) rn, Xk cos Afc(a+v) фУ Aaß (k) Vk Aaß (k)

C2k(v) sin Afca+AfcC2fc( —a) cos Xky Vk XkAaß (k) ,

(40)

uk (y)

фу + фу — фу.

Xk [Cik(y) sh Xk ß—Cik(ß) sh Xk y]

Aaß (k)

+

X2k sh [Xk (y—ß)]

XkAay (k)

Aaß (k) XkA-yß (k)

Aaß (k) + Vk Aaß (k) Г Xk[C2k(y) sin Xka+C2k( —a) sin Xky] Vk Aaß (k)

+ Vk Aaß (k) : Xk sin Xk (a+y)

+

y< 0,

y> 0,

y< 0,

(41)

u

k

где

Ky (k)

sin Xk a Xk

C-k (y) - Xk sh Xk y - ch Xk y [Xk cos Xk a + C2k (-a)]

T-ye (k) = - cos Xk y [Cik (в) - Xk ch Xk в ] -

sh Xk в Xk

C2k (y) - X2k sin Xky

y о

Cik (y) = XkJ Ci (t) ch [Xk (y - t)]dt, C2k (y) = -XkJ C2 (t) cos [Xk (t - y)]dt. 0 y

Тогда из равенств (40) и (41) на основании (27) и (37) убеждаемся в справедливости оценок (38) и (39).

Формально из (26) почленным дифференцированием составим ряды:

y (x,y) = V2^2 uk (y) sin Xkx, y< 0,

k = 1

+ ж

y (x,y) = V2^2 uk (y) sin Xkx, y > 0,

k=1

+ж

uyy (x, y) = Xk uk (y) sin Xk x-

k=1

ж

-V2C1 (y)J2 uk (0) sin Xkx, y> 0,

k=1 +ж

(x, y) = Xk uk (y) sin Xk x, y> 0,

k=1

uyy (x, y) = Xk uk (y) sin Xkx-

k=1

ж

-V2C2 (y)J2 uk (0) sin Xkx, y< 0,

(42)

(43)

(44)

(45)

k=1

Uxx (x, y) = Xk Uk (y) sin Xk x, y< 0.

k=i

Ряды (26), (42)-(47) в силу леммы 2 мажорируются числовым рядом

MrJ2 ^(Pk\ + tykI).

(46)

(47)

(48)

k=1

Лемма 2.3. Если p(x) G C3[0,1], p(0) = p(1) = p"(0) = p"(l) =0 и ф(x) G

G C3[0,1], ф(0) = ф(1) = ф"(0) = ф"(1) = 0, то

1

где

Pk = - Xk Pk , фk = - Xk ф: ,

1 1

p': = V~2 ¡ p" (x)cos Xkxdx, ф' = V~2 ¡ ф'" (x)cos Xkxdx,

(49)

u

u

u

xx

J2\p'k' |2 < ii/' (x)|||2[0,i], E ф |2 < \\*"' (x)lH2[0,i]. (50)

k=1 k=i

Доказательство. Интегрируя по частям три раза в интегралах из (16) и (17), с учетом условий леммы получим представления (49).

Справедливость оценок (50) следует из неравенства Бесселя по тригонометрической системе {cos Akx}.

Тогда в силу леммы 2.3 ряд (48) оценивается рядом

kdv'k' \ + Ф |). (51)

k=ik

В силу сходимости ряда (51) на основании признака Вейерштрасса сходятся равномерно ряды (26), (42) и (43) на D, а ряды (44)-(47) на соответствующих замкнутых областях D+ и D-. Следовательно, функция u (x, y), определенная рядом (26), удовлетворяет условию (2). Подставляя ряды (26), (44) и (45) в уравнение (1) при y > 0, а ряды (26), (46) и (47) в уравнение (1) при y < 0, убеждаемся в том, что функция (26) является решением уравнения (1) на множестве D+ U D-.

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 2.1. Пусть функции p (x) и ф (x) удовлетворяют условиям леммы 2.3, Ci (y) € C [0, в], C2 (y) € C [-a, 0] и выполнены условия (20) и (27), то существует единственное решение задачи (2)—(5), и оно определяется рядом (26).

Литература

[1] Сабитов К.Б. Начально-граничная задача для нагруженного уравнения па-раболо-гиперболического типа. Докл. АМАН. Нальчик. 2009. Т. 11. № 1. С. 66-73.

[2] Сабитов К.Б. Задача Трикоми для уравнений смешанного параболо-гипербо-лического типа в прямоугольной области // Математические заметки. 2009. Т. 86. Вып. 2. С. 273-279.

[3] Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегродифференциального уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 1. С. 103-108.

[4] Казиев В.М. Задача Трикоми для нагруженного уравнения Лаврентьева — Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С. 173-175.

[5] Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 1. С. 86-94.

[6] Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.

[7] Дженалиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алмата, 1995. 270 с.

[8] Пулькина Л.С. Нелокальная задача для нагруженного гиперболического уравнения // Труды МИАН. 2002. Т. 236. С. 298-303.

[9] Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

[10] Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Вычислительная математика и математическая физика. 2004. Т. 44. № 4. С. 694-716.

[11] Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.

[12] Хубиев К.У. Локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Белгород, 2009. 15 с.

Поступила в редакцию 12/V/2010; в окончательном варианте — 12/V/2010.

DIRICHLET PROBLEM FOR LOADED EQUATION OF LAVRENTIEV — BIZADZE

© 2010 E.P. Melisheva2

Necessary and sufficient conditions of the uniqueness of solution of the first boundary problem for the loaded equtation of Lavrentiev — Bitsadze in the rectangular area are established in this work.The solution of the task in view is constructed in the form of the number sum on the own functions of a corresponding one-dimensional problem on the own values.

Key words: loaded equation of the mixed type, Dirichlet problem, spectral method, uniqueness, existence.

Paper received 12/V/2010. Paper accepted 12/V/2010.

2Melisheva Ekaterina Petrovna (melisheva86amail.ru), the Dept. of Mathematical Analysis, Samara State Academy of Social Sciences and Humanities, Samara, 443090, Russian Federation.