Об одной смешанной задаче для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 517. 95

ОБ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

© 2006 г. Т.И. Дёмина

In the given work the mixed problem for the Lavrentiev-Bitsadze equation in rectangular area is considered. The solution is obtained by means of separation of variables, the uniqueness is proved with the help of Green formula.

В области D = {(x, y): 0 < x < 1; -a < y < в} , а, в = const > 0 , рассмотрим уравнение Лаврентьева-Бицадзе

uxx + signy ■ uyy = (1)

Пусть D+ = Di (y > °), D~ = D i (y < 0) - соответственно эллиптическая и гиперболическая части области D.

Смешанная задача. Найти решение u(x; y) уравнения (1) из класса

С1 (d+ ) iС1 (d- ) iC2 (D+ u D") , удовлетворяющее краевым условиям:

uy (x, в) = p(x), uy (x, -a) = ц/(x), 0 < x < 1, u(0, y) = M (y), u(1, y) = M (y), a < y < в,

(2)

и условиям сопряжения:

lim u (x, y) = k1 lim u (x, y), lim uv (x, y) = k2 lim uv (x, y), (3)

y^0+ y^Ü- y^Ü+ y^Ü- y

где kj, k2 = const ф ü.

Справедлива следующая Теорема. Пусть

1) q>(x) е С4[0,1], уу(x) е С3[Ü,1], Uo(y), UU(y) е С4[-a,Ü] п C4[Ü, ß];

2) ^(n)(Ü) = cp(n)(1), 4/(n)(Ü) = 4/(n)(1), n = 0, 2, M,<n)(-a) = u(n)(Ü) = = ß\n\ß), n =1,3, i = 0, 1;

3) JV(3)(x)cos nkxdx = O (sinnka), Ü M-4)(y)cos ~~ydy = O f sin nk|,

Ü -a a Ka)

к = 1,2,..., i = 0,1;

4) lim Uo (y) = k lim Uo (y), lim UU (y) = k2 lim u (y);

y ^0+ y ^ 0- y^Ü+ y^Ü-

5) a - иррациональное число, k2 sinnkachnkß ф k1 cosnkashnkß.

Тогда существует единственное решение задачи (1)-(3).

|и + (х, у), V(X, у) £ £>+, Доказательство. Обозначим и(х, у) = <!

[и-(х, у), V(х, у) £ Б~.

Методом разделения переменных [1] получено решение задачи (1)-(3)

в области :

u + (X, у) = 2

k=1

. nk nk

nksh—х + mksh — (1 - х) k ß k ß nk

----—--cos—у +

nk ß

sh — ß

(4)

pkchnky - k2ckchnk(ß-y) . +—---—-——— sin nkx

nkshnkß

(n0 - m0) x + m0

в области D :

u (X, y) = 2

k=1

. nk ч . nk sk sin-(1 - X) + tk sin-X nk

-cos—у +

а

а

sin-

nk

а

а

(5)

qk cos nky - ck cos nk (а + у) . +—---k---— sin nkx

Здесь nk

nk sin nkа

mk , Pk, sk , tk, qk , no >

(to so) x + so

m

0, s0, t0 - известные величины,

полученные в результате разложений в ряды Фурье граничных функций из условий (2)-(3), а именно при 0 < у < в :

. . т0 ® пк п0 ® пк

Ио(у) = ~г + X тк у, мСуО = -О + X пк у, 2 к=1 в 2 к=1 в

при -а < у < 0 :

£ пк t т пк

^0(у) =~0 + X ^ с°5—у, М(у) = -О + X Ч с°5—у ;

2 к=1 а 2 к=1

а

при 0 < x < 1:

ад ад

ф(x) = 2 Pk sin nkx, ц/(x) =2 qk sinnkx,

k=1

k=1

2 ß 2 ß nk 2 ß

где m0 =ß\^0(y)dy, mk =ß\^0(y)cosßydy, n0 y)dy, nk = ß 0 ß 0 ß ß 0

2 ß nk 2 0 2 0

= ^/M(y)cos—ydy, k = 1,2,...; s0 =--\ ^0(y) dy , sk =--I ^0(y) x

ß0 ß а-а а-а

тгк 2 0 2 0 жк

хcos—ydy, to = — J M\(y)dy, h = _а J ^i(y)cos' к =1' 2'

• -а ^ -а

1 1

pk = 2\q>(x)svnnkxdx, qk = 2fi^(x)sinnkxdx, k = 1,2,...

0 0

Условия 1) - 3) теоремы необходимы для того, чтобы ряды (4), (5), а

также ряды, полученные из них дифференцированием до второго порядка,

мажорировались сходящимися числовыми рядами [2].

Используя условия сопряжения (3), с учетом условий 4), 5) теоремы, а

также опираясь на результаты работы [3], находим

pk sinnkа - k1qkshnkp Ck = .

k2 sin nka chnkв - k1 cos ka shnkв

Единственность решения задачи (1)-(3) доказывается аналогично [4].

Пусть u(x,y) = u1(x,y) -u2(x,y) - решение однородной задачи (1)-(3).

Докажем, что u(x,y) = 0, V (x,y) e D .

Методом разделения переменных строится вспомогательная функция

(sh nky - cth nkв ch nky) sin nkx, V (x, y) e D+,

wk (x y) =

к _ sinnky —-cthnkßcosnky |sinnkx, V(x,y) e D_

ki

которая для любого k = 1,2,... является решением уравнения (1) из класса С1 (D+) iС1 (d~) iC2 (D+ u D") и удовлетворяет краевым условиям:

Wk (0, y) = Wk (1, y) = 0, wk (x, в) = 0.

Введем обозначения: D- = {(x,y):e< x < 1 -e, s< y < в - e), D- = = {(x, y):e< x < 1 -e, - a + e < y < -e), где e = const > 0.

Справедливо равенство I í+í I (uLw - wLu)dxdy = I í+í I [(sign y X

Ids D-) lo —

x (uwy - wuy) dx + (uwx - wux) dy] = 0.

Переходя к пределу при е ^ 0 и учитывая краевые условия, имеем

1

(k2 sin nkachnkp - k1 cos nkashnkp)\u(x,-a) sin nkxdx = 0 .

0

Отсюда, используя условие 5) теоремы [5], получаем u(x,-а) = 0 . Таким образом, функция u(x, y) является решением однородной задачи: u(0,y) = и(1,y) = 0, -а < y < 0; u(x,-а) = uy (x,-а) = 0, 0 < x < 1, для

уравнения (1) в области D~, тогда u = 0 в области D~ . Следовательно,

и = 0 в области В+ . В результате получили, что и(х, у) = 0 в области В . Теорема доказана.

Литература

1. ТихоновА.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1966.

2. Петровский В.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., 1961.

3. Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик, 1998.

4. Нахушев А.М. // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6. № 1. С. 190, 191.

Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, г. Нальчик_

12 сентября 2006 г.

УДК 575.174:519.876.5

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРАТЕГИИ «ВЫСОКАЯ ДОЗА - УБЕЖИЩЕ» ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ГЕНЕТИЧЕСКИ МОДИФИЦИРОВАННОЙ КУКУРУЗЫ ДЛЯ ПОДАВЛЕНИЯ КУКУРУЗНОГО СТЕБЛЕВОГО МОТЫЛЬКА

©2006 г Е.А. Жадановская, Ю.В. Тютюнов, Р. Ардити

We have developed a reaction-diffusion model of the development of resistance to transgenic maize in the European corn borer population. Kostitzin's demo-genetic model describes local interactions between three competing pest genotypes based on a susceptible and a resistance alleles to transgenic plants, while the spatial spread of insects is modelled based on diffusion. We used this model to estimate the effects of spatial factors, including pest dispersal and the size and shape of the refuge, on the efficiency of the "high dose - refuge" strategy, which was designed to prevent or delay the development of resistance in populations of insect pests and notably in those of the European corn borer, Ostrinia nubilalis Hbn.

Генетические гибриды кукурузы, вырабатывающие Bt-токсин (Bacillus thuringiensis), были разработаны, чтобы защитить данную сельскохозяйственную культуру от группы вредителей, повреждающих внутренние ткани стебля кукурузы. В частности, Bt-кукуруза уже в течение 10 лет успешно применяется в США, Аргентине, Канаде и некоторых других странах против кукурузного мотылька (Ostrinia nubilalis Hbn.), являющегося одним из серьезных вредителей кукурузы. Высокая токсичность Bt-гибридов для личинок мотылька обеспечивает экономически выгодные низкие уровни заражения вредителем кукурузных полей. Однако эффективность данной биотехнологии может быть существенно снижена или полностью потеряна вследствие возможной быстрой генетической адаптации мотылька к Bt-токсину. Еще до начала коммерциализации генетически модифицированных культур результаты модельных исследований показали, что частота