Задача Дирихле для нагруженного вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

© 2013 Е.П. Мелишева1

В работе установлены необходимые и достаточные условия единственности решения первой граничной задачи для нагруженного вырождающегося уравнения Лаврентьева — Бицадзе в прямоугольной области. Решение поставленной задачи построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной задачи на собственные значения. Показана устойчивость решения от граничных функций.

Ключевые слова: нагруженное вырождающееся уравнение смешанного типа, задача Дирихле, спектральный метод, единственность, существование, устойчивость.

Введение

Рассмотрим нагруженное уравнение смешанного типа

Ьи (х, у) = К (у) пхх + иуу — Ь2К (у) и (х, у) + С (у) и (х, 0) = 0 (1)

в прямоугольной области Б = {(х, у) : 0 < х < 1, —а < у < в}, где К (у) = здпу х х \у\п, п > 0, Ь > 0, а, в - заданные положительные действительные числа, С (у) = = С (у) при у ^ 0, С (у) = С2 (у) при у ^ 0, С (у), г = 1, 2 - заданные непрерывные функции.

Задача Дирихле. Найти в области Б функцию и (х,у), удовлетворяющую следующим условиям:

и{х,у) еС1 (Б) ПС2(Д+иД_); (2)

Ьи (х, у) = 0, (х, у) е Б+ и Б_; (3)

и (0,у)= и (1,у)=0, —а < у < в; (4)

и (х, в) = Р (х) , и (х, —а) = ф (х), 0 ^ х ^ 1, (5)

где р (х) , ф (х) - заданные достаточно гладкие функции, при этом р (0) = р (1) = = ф (0) = ф (1) = 0, Б+ = Б П{у> 0}, Б_ = Б П{у < 0}.

Отметим, что в работе [1] для нагруженного параболо-гиперболического уравнения в прямоугольной области изучена начально-граничная задача, в которой

1Мелишева Екатерина Петровна (melisheva86@mail.ru), кафедра математики и методики обучения Поволжской государственной социально-гуманитарной академии, 443090, Российская

Федерация, г. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26.

методом спектральных разложений [2; 3] установлен критерий единственности ее решения, которое построено в виде суммы ряда по собственным функциям со-ответствущей одномерной задачи на собственные значения. Задача Дирихле для уравнения (1) при С (у) = 0 изучалась в работах [3-9].

Ранее в работах [10—16] изучены краевые задачи (локальные и нелокальные) для нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных отдельных и смешанных типов в классических областях, т. е. в областях, у которых гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник.

В данной работе, следуя [3], установлен критерий единственности решения задачи Дирихле для нагруженного вырождающегося уравнения смешанного типа (1) в прямоугольной области В Решение задачи (2)-(5) построено в виде суммы ряда Фурье. Показана устойчивость решения от граничных функций <^(х) и ф(х). Эта задача при п = 0 изучена в работах автора [17; 18].

1. Единственность решения

Пусть и (х,у) - решение задачи (2)-(5). Следуя [3], рассмотрим функцию

1

u

о

На основании (6) введем функцию

1-е

u

i

uk(y) = V2¡u(X,y)^kxdx. (6)

икЛу) = ^2 /«(*,*)*п.Ь^, (7)

£

где £ — достаточно малое число. На основании (6), с учетом уравнения (1) и однородных граничных условий (4), получим

и'к (у) - \\упик (у) = —С\ (у) ик (0), у> 0, (8)

< (у) + Хк (-у)П ик (у) = -С2 (у) ик (0), у < 0, (9)

где \2к = Ь2 + (пк)2 .

На основании работы [3] найдем общее решение дифференцильных уравнений (8) и (9):

ак^/у1л. (РкУ9) + Ък^/уКл. (РкУ9) + Ък-/кС1к (у), У > 0, ик{у) = { ск^}±(рк(-у)ч) + (1к^У±(рк(-у)<1)+ (10)

С2к (у), у < 0,

2

здесь ак, Ьк, Ск, dk — произвольные постоянные, д = (п + 2)/2,рк = Хк/д и — модифицированные функции Бесселя первого и третьего ро-

2д 2д

да, и — функции Бесселя первого и второго рода соответственно,

2д 2д

Ть = (¿г)

Сы {у) = у/у I С\ (¿) уД [/1 (рк?) к, РкУ9) - к, (рк?) п (рку4)] л, (11)

о

С2к (у) = УI с2 (¿) а/^х

У

^ Ы-уУ) ^ ы-т - ^ Ы-у)я)У± ы-т} л. (12)

2д 2д 2д 2д

Лемма 1. Функции Ък7кС\к(у) и ¿кС2к(у): 1) являются решениями дифференциальных уравнений (8) на [0,Д] и (9) на [—а, 0] соответственно; 2) удовлетворяет условиям:

С1к (0 + 0) = С к (0 + 0) = 0, С\к (0 + 0) = —д€1(0), (13)

с2к(о - о) = С2к(0 - 0) = 0, с';к(0 - 0) = (14)

п

Доказательство. На основании формул для цилиндрических функций [19, с. 90]

^ (г"К„(г)) = -г'К^г), ^ {гЧ„{г)) = ^ (г-"Ки{г)) = -г-"Ки+1{г), ^ (г^Ш) =

^ = ^ (*-%(*)) = -г^У^г),

1 2 1„(г)К„+1(г) + 1„+1{г)К„{г) = Мг)У„+1(г) - ^+1(г)У„(г) =--

г пг

из (11) и (12) найдем

У

С'1к (У) = -РкЧУ^Кг, (ркУЧ) \ ¿СХ (1)1 г (рк^)Л-

2д I 2д 0

У

-РкЧУ(РкУч) \ (*) К А. (ркЛ <Й, (15)

2д 2д

0

0

с'2к(у) = -РкЧ(-уу-Ь,_1(рк(-уУ) [

2д 2д

У

0

+Ркч{-у)ч-1-Уг_1 (рк(-уУ) !^с2(г)71 (рк(-таь, (16)

2д 2д

У

<к (у) = (Ркч? у2ч-2С-1к(у) — дС1(у), (17)

<& (У) = - (РкЧ)2 (-у)2'-2С2к(у) + (18)

п

Подставляя в уравнение (8) соотношения (11) и (17) с учетом константы Ък7к, убеждаемся, что функция Ък7кС\к(у) является решением уравнения (8). Аналогично в силу равенств (12) и (18) получим, что функция ¿к7кС2к (у) является решением уравнения (9).

Из выражений (11), (12), (15) и (16) следует справедливость равенств (13) и (14), так как

1

lim у (pkyq) =

У—►О + О 2q 2 \Рк

TIJL\ . . . J-

lim (-У)Щ Ы-уУ) =--^ ^ .

y^ü—ü 2q П \Pk J

В силу (2) подберем постоянные ak, bk, ck, dk так, чтобы выполнились условия сопряжения

Uk (0 + 0) = Uk (0 - 0), u'k (0 + 0) = u'k (0 - 0) ,k e N. (19)

В силу (13) и (14) первое из равенств (19) выполнено, если dk = —nbk/2 при любых а^ и Ck, & второе равенство имеет место при Ck = Ьк — ак и dk =

= —nbk/2. Тогда функции (10) примут вид

аку/у1л. (PkVq) + Ък^/уК_l (pkyq) + bkjkCik (У), У > 0,

ик{у) = { -akV=yJ±(Pk(-y)q)+bkV=y-Yi-(pk(-y)q)+ (20)

\lkbkC2k (у), У < 0,

где

Ы-УУ) = Ы-УУ) + J^ Ы-УУ)

2 q

Для нахождения постоянных ak и bk воспользуемся граничными условиями (5) и формулой (6):

1

u

ü

1

u (x, —а üü Тогда из (20) на основании (21) и (22) найдем

i i

uM = ^lu{x,ß)™*kxdx = ^lviX)sb«kX<b = <Pk, (21)

üü i 1 Mfc (-а) = V2 j и (*, -а) sm.b^ = V2 J ф (s) sm.b^ = фк. (22)

Рк

а-к = -

^■Y±(pkaq) + ^ikC2k(-a) ~Фк VßK±(pkßq)+lkClk(ß)

J L 2q

A(k)

<fk\fäJ_L (pkaq) + ijjkyfßl±_ (pkßq)

2q 2q

(23)

(24)

к Д(к)

при условии, что при всех к € N

Д (Л) = л/^фП (Рк[(^а9) + ^^ Ю. (Рй/?9) +

2д

+ к1±. (РкР4) С2к (-а) + (Рка1) С1к (/3) ф 0. (25)

2 21 21

Подставляя (23) и (24) в (20), найдем окончательный вид функции:

и (у)- / ДаУ(к)+'ФкБув(к)]Д-1(к), у> 0,

ик (у) = \ Аау(к) + фкДув(к)]Д-1(к), у < 0, (26)

где

лау (к) = у/Бу! 1 (^у9) У 1 (№а9) + л/оу^ 1 (^а9) К 1 (№у9) +

(РйУ9) Сгй (-а) - х. (Рй«9) Си Ы ,

2 29

= {рку*)П (№/39) - К 1 (№/39)/^. (№у9)

2д 2д 2д 2д

{ркУ") С1к (/3) - у/р>укП ЫЗ9) Си (у),

+

Аау{к) = (рка«)У,х. Ы-у)9) " ^ {ркеР)

+

у^ 1

+ 77 \fo-lkJx. (Рка4) с2к (у) - -а/^У7й (рк(-у)4) С2к (~а),

2 2ч 2 2ч

(к) = (Рк1Р)Т±. Ы-у)") + у/^ур^ (Рк(-уУ)К^ (рф1)

+ (рф11) с2к (у) + у/^Ьк^ (Рк(-уУ) с1к (/3).

2д 2д

Таким образом, функции ик (у) однозначно определены, что позволяет доказать теорему единственности решения задачи (2)—(5). Пусть и (х, у) - решение однородной задачи (2)-(5) (где у (х) = ф (х) = 0) и выполнены условия (25) при всех к е N. Тогда ук = фк = 0, и из формул (6) и (26) следует, что при любом у е

J и (х, у) &тпкхё,х = 0, к = 1, 2,... .

(27)

Из равенств (27) в силу полноты системы синусов {%/28Ш7гкх} в пространстве Ь2 [0,1] следует, что и (х, у) = 0 почти всюду на [0,1] при любом у € [—а, в]. Поскольку в силу (2) функция и (ж, у) непрерывна в И, то и (ж, у) = 0 в В.

Пусть при некоторых а, в, С (у), С2 (у) и к = I е N нарушено условие (25), т. е.

А(1)=Е (АгСд = у/р1г_ (рф*) ^ • У± (Л;ад) + у/рк±. (рфч) (Агад) +

2д 2д 2д 2д

7Г

+ г/1 (рфд)с21 (-а) (А,ач) Си (/3) = 0,

■ (28)

где ач = а9/д. Тогда однородная задача (2)-(5) (где у (х) = 0, ф (х) = 0) имеет нетривиальное решение

щ (х, у) = щ (у) 8Ш п1х, здесь функция щ (у) определяется по формуле

(29)

щ (у)

Дау (I)

Аау (1)

(р1 а9)

2я

\faJ_i. (р]ач)

-1

у> 0, у< 0.

(30)

Лемма 2. Функция Д(1) имеет счетное множество положительных нулей относительно а9 при любом фиксированном в > 0, Ь > 0, к € N и С2(0) = 0. Доказательство. Заметим, что функции уГа.3(Л^-г) и ^/аУ(А;,г), г = а„,

2д 2д

являются линейно независимыми решениями уравнения Бесселя

2 / 1 ч 2\

0.

а

¿г У ¿г^ у ( у д

(31)

1

Функция С21 (—а) в силу леммы 1 при 6*2(0) = 0 является решением соответствующего однородного дифференциального уравнения (9), которое при замене С21 (—а) = \f~aZ (XIг) сводится к уравнению (31). Отсюда следует, что функция Д(/) является решением уравнения (31). Из общей теории линейных дифференциальных уравнений известно, что нули двух линейно независимых решений уравнения Бесселя строго чередуются, т. е. на интервале между любыми последовательными нулями любого из этих решений содержится ровно один нуль другого решения. Функция (А;ад) имеет счетное множество положительных нулей.

Поскольку у[аЗ(А;ад) и _Е(Л;ад) - линейно независимые решения уравнения (31), то функция Д(/) также имеет счетное множество положительных нулей относительно ач.

Таким образом, нами установлен следующий критерий единственности.

Теорема 1. Если существует решение .задачи (2)—(5), то оно единственно только тогда, когда выполнено условие (25) при всех к € N.

2. Обоснование существования решения

Поскольку а, в - любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение Д(к), которое входит в знаменатели коэффициентов (23) и (24), может стать достаточно малым, т. е. возникает проблема "малых знаменателей" [2]. Для обоснования существования решения данной задачи необходимо показать существование чисел а, в, Ь и функций С.. (у), г = 1, 2 таких, что при достаточно больших к выражение Д (к) отделено от нуля. Представим выражение Д(к) в следующем виде:

А(к) = ^фП(Рк^)А(к),

где

Д (к) = 6(к)+шк, (32)

(рФП

6(к) = У1. (Рка1) + 1г. (р]~ач)

(Рк^)

п

Jl (ркО4)

1

ик = ^7кС2к(-а) + —^ттС1к((3). (33)

2 11 (ркрч)

Обозначим через || С\ ||= тах |С1 (у)|, || С2 ||= тах |С2(у)|.

Лемма 3. Существуют положительные постоянные Со и ко (ко € N), зависящие, вообще говоря, от а, в, Ч, Ь, ||С1||, ЦС2Ц, такие, что при всех всех к > ко справедлива оценка

С0к~«. (34)

Доказательство. Перепишем выражение (33) в виде

Шк = ^1к + ^2к,

где

тг J±. (ркаЧ)

2 1±_ (РкРя)

На основании (11) имеем

в в 2д I 2д 2д I 2д

Отсюда с учетом оценок

о < (р^) < (ркр), 0 < (р^) < 1г (1) (А)24

при 0 ^ 4 ^ в, получим

г ^

3 2 У

в

<

(35)

где ^ - здесь и далее положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от а, в, Я, Ь, ЦС1Ц, ЦС2Ц. Тогда при больших к на основании асимптотической формулы для функции Бесселя [19, с. 98]:

^(г) = О \ \1 — I , ^ —> оо, \\nzj

исходя из оценки (35) имеем

Перепишем выражение (12) для С2к (—а) в следующем виде:

(36)

(37)

где

С2к (—а) = С2к> (—а)+С% (—а), о

С™ {-а) = Ц (ркад) I(ркП)9) =

— а

0

п С 1

= .П (рка")аё— / (рк{-1у)(й-

29 2(/ ] 2,

— а 0

(р^') -тЛг /{рк{-гу)<и,

2ч ЭШ чт- } 2,

сЦ\-а) = (Рка1) IЫ~т

(38)

Отсюда на основании неравенств

^ ы-т < ^ ычш)

^ы-т

2д

2Ч /2 V, ^

0

для £ € [—а, 0], где £ = —Ьт и Ьт € (0,а] является точкой наибольшего значения функции

Ja. ipk{—t)q) на сегменте [—а, О], получим

2q

ctg

2q

J±(pkaq) J±(Pktqm)

2q 2q

3

CK 2 +

+-

\\C2\\2qa

JA. (Pkaq)

2q

i

2q

Из последней оценки на основании (36) имеем

(39)

(40)

Аналогично, исходя из формулы (38) при больших к, получим

СЦ^-а^ < А4к-1.

На основании (39) и (40) при больших к имеем

|C2fc(—«)| < Ask-i-b.

Тогда для wik справедлива оценка

I I TT . , . , _1_1

kifcl < ~1кААк * 2, ^ А6к *

Теперь из неравенств (37) и (41) следует справедливость оценки (34).

Лемма 4- Если aq = p/t, р, t G N, (p, t) = 1 и j =i j + d, где d G Nq, r — остаток от деления kp на t, то существуют положительные постоянные Со и ко, ко G N, зависящие, вообще говоря, от а, ß, q, b, ||Ci||, ЦС2Ц, такие, что при всех к > ко справедлива оценка

(41)

\VkS(k)\^C0. (42)

Доказательство проводится аналогично работе [20].

Поскольку Wk является бесконечно малой более высокого порядка, чем S(k) при больших к, то из лемм 3 и 4 вытекает следующее утверждение.

Лемма 5. Если a.q = p/t, p,t G N, (p,t) = 1 и j ф^ | + d, где d G Nq, r — остаток от деления кр на t, то существуют положительные постоянные Со и ко, ко G N, зависящие, вообще говоря, от а, ß, q, b, ||Ci||, ЦС21|, такие, что при всех к > ко справедлива оценка

\VkA(k)\ > С0 = const > 0.

(43)

Доказательство. Из выражения (32) с учетом оценок (34) и (42) при к > ко > > тах < ко, ко, ( ^г-2- ) > получим

> k/Mfc — Vkcük

>Со- (кок-

С° - г

> 0.

Если Д(к) =0 и выполнена оценка (43), то решение задачи (2)—(5) можно представить в виде суммы ряда Фурье

- (ж, у) = а/2 ик (У) sin 7Гкх,

(44)

k=1

П

0

q

где функции ик (у) определяются по формулам (26). Поскольку система синусов {\/28Ш7гкх} образует базис в Ь2 [0,1], то ряд (44) сходится в Ь2 [0,1] при каждом у € [—а, в]. Покажем, что при определенных условиях относительно функций х) и ф(х) сумма и(х,у) ряда (44) удовлетворяет условиям (2) и (3).

Рассмотрим следующие соотношения:

Дау(к)

Р^у) = Чтгг> Яъ{у) = Чгггг> уе[0,/3],

Вур{к)

Д(к)

Д(к) '

= %= уе[-а, 0].

(45)

(46)

А(кУ кКУ' Д(к) Лемма 6. Пусть выполнена оценка (43) при к > ко. Тогда для таких к справедливы оценки:

\Рк(у)| < Сь Рк(у)

< С к

Рк (у)

< ск

IЯк{у)\^С2кЬ~х, я'к{у) ^С2к^+Хе, С}1{у)

< С2к2

-л

у € [0, в];

I Мк(у)\^С3к*+Ае

\+\-к<1

мк(у)

< С3ке

-кй

мк (у) < С4к

На

у € [—а, 0],

где С - здесь и далее положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от а, в, Я, Ь, ||С1||, \\С2\\; 3 = /я, X =1/2д. Доказательство аналогично работам [3; 21].

Лемма 7. Если выполнена оценка (43) при к > ко, тогда для таких к и при всех у € [—а, в] справедливы оценки:

КЫ1 < С5к^+Х (\<рк\ + \фк\),

и'к(у) (к^\рк\ + кх\фк\

ик{у)\^С7к^х{\^к\ + \фк\).

Доказательство. Из формулы (26), используя (45) и (46), получим следующее представление функций и к (у):

ик(у) = ¥кРк(у) + ФкЯк(у), у > 0, ик(у) = РкМк(у)+фк^к(у), у< 0.

Отсюда на основании леммы 6 нетрудно получить указанные в лемме 7 оценки. Формально из ряда (44) почленным дифференцированием составим ряды:

их (ж, у) = \П 7Гкик (у) СОЭ 7Гкх,

к=1

иу (х, у) = а/2 ик (у) эш 7Гкх,

к=1

иХх (х, у) = —л/2 (ттк)2 ик (у) этэткх,

к=1

иуу (ж, у) = л/2 ^^ ик (у) эш 7Гкх.

(47)

(48)

(49)

(50)

к=1

Ряды (44), (47)—(50) в силу леммы 7 мажорируются числовым рядом

+^

с8 ]Г ^+Л(Ы + Ы). (51)

k = k0 + 1

Лемма 8. Если р(х) е C4[0,1], ср(0) = ср(1) = у>"(0) = у>"(1) =0 и ф(х) е е C4[0,1], ф(0) = ф(1) = ф"(0) = ф"(l) = 0, то

¥k = —j-4<plV, фк = (52)

(пк) (пк)

где

1 1

0 0

|2 <(х)|Ц2 [0,1], Е |2 < (х)1112[0,1]- (53)

к=1 к=1

Доказательство. Интегрируя по частям четыре раза в интегралах из (21) и (22), с учетом условий леммы получим представления (52). Справедливость оценок (53) следует из неравенства Бесселя по тригонометрической системе {л/гвштг кх}+™.

Тогда в силу леммы 8 ряд (51) оценивается рядом

+^

С9 ]Г кх-* МУ\ + \Ф1У\)- (54)

к=к0 + 1

Если при указанных в лемме 5 числах ач выражение Д (к) = 0 при всех к =

= 1,/го, то в силу сходимости ряда (54) на основании признака Вейерштрасса сходятся равномерно ряды (44), (47) и (48) на И, а ряды (49) и (50) на соответствующих замкнутых областях и Следовательно, функция и{х,у), определенная рядом (44), удовлетворяет условию (2). Подставляя ряды (44), (49) и (50) в уравнение (1) при у > 0, а ряды (44), (49) и (50) в уравнение (1) при у < 0, убеждаемся в том, что функция (44) является решением уравнения (1) на множестве и

Если при указанных в лемме 5 значениях ач выражение А (/) =0 при к = = т = кьк2,...,кг, где 1 ^ к1 < к2 < ... < к ^ к0, кг,'1 = 1,1, и I — заданные натуральные числа, то для разрешимости задачи (2)—(5) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

{ртач) + фту/а1±- [РтР4) = 0,

(55)

\füY i_{pmaq) + f7mC2m(-Qí) -фт i_(pmf3q) + 7mCím(/3)

0.

В этом случае решение задачи (2)—(5) определяется в виде ряда

(fci-l k¡-1 +оо \

Е+-- + Е + Е Uk{y) sÍn + Е CmUm (у) SÍn 7ГТОЖ,

k=1 k=k—1+1 k=kl + lj m

(56)

где um (y) определяется по формуле (30), Cm — произвольные постоянные, в сумме ^ индекс m принимает значения ki,k2,..., k¡, конечные суммы в (56) следует

m

считать нулями, если верхний предел меньше нижнего.

Таким образом, нами доказано следущее утверждение.

Теорема 2. Пусть функции р (х) и ф (х) удовлетворяют условиям леммы 8, С (у) € С [0, в] , 6*2 (у) € С [—а, 0] и выполнена оценка (43) при всех к > ко. Тогда если А (к) ф 0 при всех к = 1,ко, то задача (2)—(5) имеет единственное решение, которое определяется рядом (44); если Д(к) = 0 при к = т = = кьк2,...,кг ^ ко, то задача (2)—(5) разрешима только тогда, когда выполнены условия (55), и решение в этом случае определяется рядом (56).

3. Устойчивость решения

Введем следущие нормы:

1 \ 1/2

2

■(x, у) ||ь2[0,1] = ||и (x, у) \\ь2 = (0 \и (х, у) ^¿л

IIм (х, У) Нс(с) = Iм у) I'

\\/ (х) Цщь = ( /¿I/(к) (х)

1/2

2

¿х

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и Д(к) = 0 при к = 1,ко. Тогда для решения (44) задачи (2)—(5) имеют место оценки:

\\и (х,у) ||ь2 < Сю (М\ш1 + Мш^) , (57)

\\и{х,У)\\с{-Б) (Мш* + (58)

где постоянные Сю и Сц не зависят от (х) и ф(х).

Доказательство. Поскольку система {а/28Ш7гкх} ортонормирована в Ь2 [0,1], то из (29) и леммы 7 имеем

Ьоо

\\и (х, у) \Ц2 = Е п\ (у) < С?2 £ к1+2Л (\рк \ + \фк \)2 <

= 1 к=1

^2 7„1+2Л Л |2 . I / 12Л

< 2С?^ к1^ (\рк\2 + \фк\2) . (59)

к=1

Поскольку срк = 1рк/(пк), фк = фк/(тгк), = а/2 § (ж) соэ тгкхсЬс, ф^

к

1

а/2/ ф (х) совтгкхс1х, то из (59) получим

о

^ + ^

■ (*.») Ш = Е^2Л +< с?о £ (пЛ + •

к=1 к=1

Отсюда вытекает справедливость оценки (57). Пусть и (х,у) — произвольная точка из И. Тогда, используя формулу (29) на основании леммы 7, будем иметь

(х, у) К I ик(у) ^2С13 + \фк\) . (60)

» 2

к=1 к=1

Так как = — fk/i77^)2^ Фк = —ФкК^к)'2, <рк = л/2 f <р (ж) smnkxdx, фк

= л/2 J ф (х) sinnkxdx, то из (60), на основании неравенства Коши — Буняков-

0

ского, получим

(х, у) I < ]Г I + \ф'к\) <

7Г ^ V /

9 / , 3 _

<

а/2 С-

13

Е

i

1/2

<

\fc=1 V2 С13

^3-2Л

1/2

1/2

I2 + Е Ф I2

vfc=1

Vfc=1

<

IIv Ik + 11'ф М < C11 (IMW + MIw?).

Из (61) непосредственно следует оценка (58).

(61)

2

2

п

Литература

[1] Сабитов К.Б. Начально-граничная задача для нагруженного уравнения пара-боло-гиперболического типа // Докл. АМАН. 2009. T. 11. № 1. С. 66-73.

[2] Сабитов К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гипербо-лического типа в прямоугольной области // Математические заметки. 2009. Вып. 2. С. 273-279.

[3] Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // ДАН. 2007. Т. 413. № 1. С. 23-26.

[4] Cannon J.R. Dirihlet problem for an aquation of mixed type with a discontinius coefficient // Ann. math. pura ed appl. 1963. V. 62. P. 371-377.

[5] Шабат Б.В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // ДАН. 1957. Т. 112. № 3. С. 386-389.

[6] Хачев М.М. Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лаврентьева-Бицад-зе в прямоугольной области // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С. 136-139.

[7] Жегалов В.И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа // Неклассические уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1985. С. 168-172.

[8] Солдатов А.П. Задача Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 11. С. 2001-2009.

[9] Сабитова Ю.К., Бахристова А.А. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе // Труды Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан. Сер.: Физико-математические и технические науки. УФА: Гилем, 2009. Вып. 6. С. 103-110.

[10] Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождащегося нагруженного ин-тегродифференциального уранения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 1. С. 103-108.

[11] Казиев В.М. Задача Трикоми для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С. 173-175.

[12] Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 1. C. 86-94.

[13] Дженалиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алмата, 1995. 270 с.

Пулькина Л.С. Нелокальная задача для нагруженного гиперболического уравнения // Труды МИАН. 2002. Т. 236. С. 298-303.

Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Вычислительная математика и математическая физика. 2004. Т. 44. № 4. С. 694-716.

Хубиев К.У. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа // Доклады АМАН. 2005. Т. 7. № 2. С. 74-77.

Мелишева Е.П. Задача Дирихле для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2010. Т. 80. № 6. С. 39-47.

Сабитов К.Б., Мелишева Е.П. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Известия вузов. Сер.: Математика. 2013. (в печати).

Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука. 1966. Т. 2. 296 с.

Сабитов К.Б., Вагапова Э.В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 1. С. 68-78.

Сабитов К.Б., Сидоренко О.Г. Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 1. С. 105-113.

Поступила в редакцию 1 / У/2013; в окончательном варианте — 1 / У/2013.

DIRICHLET PROBLEM FOR LOADED DEGENERATING EQUATION OF THE MIXED TYPE IN THE RECTANGULAR AREA

© 2013 E.P. Melisheva2

In this work necessary and sufficient conditions for uniqueness of a solution to the first boundary problem for Lavrentiev-Bitsadze equation in rectangular domain are established. The solution to the problem is constructed as a sum of series with respect of eigenfunctions of a corresponding one-dimensional Stour-m-Liouviele problem. The stability is shown.

Key words: loaded degenerating equation of the mixed type, Dirichlet problem, spectral method, uniqueness, existence, stability.

Paper received 1/V/2013. Paper accepted 1/V/2013.

2Melisheva Ekaterina Petrovna (melisheva86amail.ru), the Dept. of Mathematics and Teaching Methods, Samara State Academy of Social Sciences and Humanities, Samara, 443090, Russian Federation.