Оценки сумм интегралов от многочлена Лежандра Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.586 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 2

ОЦЕНКИ СУММ ИНТЕГРАЛОВ ОТ МНОГОЧЛЕНА ЛЕЖАНДРА*

К. В. Холшевников1'2, В. Ш. Шайдулин1'3

1 Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

2 Томский государственный университет, Российская Федерация, 634050, Томск, пр. Ленина, 36

3 Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, Российская Федерация, 196140, Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, 65/1

Получены оценки сумм

то

Рпк (х) = ^ Ртк (х).

т = п

Здесь

Pno(x) = Pn(x), Pnk(x) = J Pn,k-l(y)dy,

где Pn — многочлен Лежандра со стандартной нормировкой Pn(1) = 1. При к =1 в основном промежутке [—1, 1] сумма убывает с ростом n как n— 1, а в полуинтервале [—1, 1) — как n-3/2. При к > 1 точка x = 1 не нуждается в выкалывании. Сумма убывает как n-k-1/2. Более того, небольшое увеличение мультипликативной константы позволяет получить оценку

C sink 3/2 в |i?nfc(cos6»)| < —пк+1/2—'

где C слабо зависит от к, но не от n, в. Попутно выведен интеграл типа Мелера—Дирихле для Rnk (cos в). Библиогр. 6 назв. Ил. 3. Табл. 1.

Ключевые слова: многочлены Лежандра, оценка сумм, оценка остатка ряда.

l

Введение. Полученные с середины XIX века интегральные представления, асимптотические ряды и оценки многочленов Лежандра Pn (cos в) и их сумм [1, 2] широко используются в математике и ее приложениях. Описание гравитации компактных небесных тел потребовало аналогичных оценок сумм интегралов от многочленов Лежандра. В работе [3] получено асимптотическое разложение указанных сумм. Оно содержит степени sin в в знаменателях последовательных слагаемых и потому пригодно лишь в интервале 0 < в < п. Здесь мы получим как согласованную с асимптотикой оценку в указанном интервале, так и равномерную оценку на сегменте 0 ^ в ^ п. Обе оценки точны относительно показателя степени n. Результаты будут использованы при описании свойств ряда по сферическим функциям, представляющего ньютоновский потенциал небесных тел.

Перейдем к строгой постановке. Положим

x то

Pno(x) = Pn(x), Pnk (x)= Pn,k-1 (x') dx', Rnk (x) = Pmk (x), (1)

_ i m=n

где Pn — многочлен Лежандра со стандартной нормировкой Pn(1) = 1. Считаем ниже к произвольным фиксированным натуральным числом, n ^ к. Ряд в (1) сходится

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 14-02-00804) и СПбГУ (грант 6.37.341.2015).

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

абсолютно и равномерно относительно к ^ 1, п ^ к, х € [—1,1], поскольку [4]

где использован символ асимптотически меньше. Из (2) сразу следует

\р мк ИГ Лт И_I_ у7^ ^

\^к(х)\ _ у ^ тк+1/2 у 1/2)(п _ 1/2)^-1/2 ~ (к- 1/2)пк~1/2 ' 1 ;

Сравним (2), (3) с асимптотическим разложением [3]

„ , ътк-1/2в ( Г, _ Л П 7Г-

Кп^совв)

v/2^nfc+1/2sin(6»/2)

Показатели степени иа в (2) и (4) совпадают (а = к + 1/2), тогда как в (3) этот показатель на единицу меньше. Зато (3) справедливо при 0 ^ в ^ п, тогда как (4) — только на части этого отрезка е ^ в ^ п — е, на которой (n sin в)-1 можно считать малой величиной.

Поставим две задачи: получить неравенство, соответствующее асимптотике (4); получить неравенство (3) с точным показателем степени на. Предварительно выведем одну полезную формулу.

Интеграл типа Мелера—Дирихле для Воспользуемся подобным инте-

гралом [3] для Pnk:

2fc+i/2 Г ( 1\

Рпк(cos6>) = ^^ _ 9 J (cos в — cos if )k^1'2 ехр г í n + — J ip dp. (5)

в

Заметим, что представление (5) справедливо и при в = 0, в = п, когда Pnk (±1) = 0. Действительно, во втором случае имеем дело с интегралом по стянутому в точку промежутку. В первом случае первый сомножитель подынтегральной функции равен

О-«*-* = f = («pf -exp^)2"' =

m=0 47 47

Подынтегральная функция представлена линейной комбинацией с вещественными коэффициентами гармоник i exp isp, s = n +1— к,... ,n + к. Мнимая часть гармоники равна cos sp и исчезает после интегрирования. Образуем сумму

s — 1

Y^Pmk (COS в)= Tnk (в) — Tsk (в), (6)

m=n

где

П

2к+1/2 ^ f (cos в — cosp)k—1/2 ip

Tsk = -TTTT S / -i-:-exP exP %SLP dLP-

п(2к — 1)!! J 1 — exp ip 2

в

Представим знаменатель в форме

1 — ехрг^ = 1 — cos <р — г sin ^ = —г\/2(1 — cos <р) exp

откуда

Tsk —

2k

п(2к - 1)!!

^ / hk(в, у)ехр гву dу,

где

Вычислим производную

hk (в,у)

(cos 0 — cos y>)k 1/2 (1 — cos у)1/2

dhk sin ^(cos в — cos у)k 3/2

ду

2(1 — cos у)3/2

[(2k — 1)(1 — cos у) — (cos в — cos у)] > 0.

Величина /?fc как функция от р> непрерывна в промежутке [0,7г] и возрастает от 0 до (1 + саи6)к-Ч2/уД при 0 < в < я-. При в = тг, р = тг она равна нулю, а при в = 0 равна (1 — cos y)k_1. Таким образом, hk как функция двух переменных непрерывна в треугольнике 0 ^ в ^ п, в ^ у ^ п при к > 1. При к — 1 она ограничена там и непрерывна за исключением точки в — у — 0 (рис. 1).

Ыв,<р) 2

Рис. 1. Семейство функций Ь,\(в3 (слева) и Ь,2(в3,ф) (справа); ве = зп/20,в = 0 + 20; значение « = 0 для Нх пропускается.

При фиксированных к, в и переменном в правая часть (7) определяет с точностью до постоянного множителя коэффициенты Фурье некоторой интегрируемой с квадратом функции. Эти коэффициенты стремятся к нулю при в Переходя к

пределу, получим

2k

Епк(cos 9) = ^i, J Fnk(6, p) dp, Fnk = hk(9, p) exp imp.

(8)

В частности,

Rni(cos в) = 1J Fnl(0, p) dp, Fnl = J

a V

cos в — cos у 1 — cos у

■ exp imp.

(9) 243

П

Р

Р

П

Преобразование интеграла (9). Перейдем к оценке Rnk. Начнем со случая к = 1. Фиксируем n ^ 1, в G [0, эт]. Функция Fni{9,p), рассматриваемая как функция комплексной переменной р = x + iy, голоморфна в полуполосе в ^ x ^ эт, y ^ 0 за исключением точки р = в, в окрестности которой она ограничена. Поэтому интеграл (9) можно взять по контуру ABCD (рис. 2).

Вычислим модули встречающихся функций:

\ cos в — cos р\2 = cos2 в — 2 cos в cos x ch y + sh2 y + cos2 x — (1/4) exp 2y, |1 — cos p\2 = 1 — 2cosx ch y + sh2 y + cos2 x — (1/4) exp2y, ^(в,р)| - exp(—ny),

где мы отметили асимптотику при y ^ ж. Видим, что Fni(в,р) стремится к нулю при y ^ж равномерно по n ^ 1, в G [0,эт], x G [в, эт]. Отодвигая перекладину BC на бесконечность, получим

п со со

Я J Fnl(в,р) dp = Fnl(в,в + iy) dy + Fni(в,эт + iy) dy.

При p = п + iy имеем

cos в — cos p = cos в + ch у ^ 0,

exp inp = ( —1)" exp(— ny), и второй интеграл пропадает.

У

1 — cos р = 1 + ch y ^ 2, %Fn1(в,эт + iy) = 0,

3 C

A D

в П

Рис. 2. Путь интегрирования в плоскости <.

Итак,

с

Rni(cos0) =--Sexpmé* / Сп{в, у) dy,

эт

Gn

' cos в(1 — ch y) + i sin в sh y

1/(1 — cos в ch y) + i sin в sh y Пусть в = 0 или в = эт. Тогда имеем

exp(— ny).

(10) (11)

G„(0, у) = exp {-ny), Сп{тг, у) = th - ехр{-пу),

x

и мнимая часть выражения (10) равна нулю. В результате получим

Rni (-1) = ñ„i(l)=0, (12)

как и должно быть, поскольку Pni (±1) = 0.

Пусть 0 < в < п. Предположение, что Gn(9,y) вещественно или чисто мнимо, приводит к уравнению

sin в sh y [cos в(1 — ch y) — (1 — cos в ch y)] = 0,

что при y = 0 дает уже известное решение sin в = 0. Таким образом, получим

sn

G„(e,y) = \Gn(6,y)\expiiJjn(6,y), 'ф„ + — .

По непрерывности функция фп находится в интервале sn/2 < фп < (s + 1)п/2 при подходящем s.

Формула (10) принимает вид

то

Rn Í = ~ J \Gn{0,y)\sin[ne + ^n{e,y)]dy.

0

По теореме о среднем имеем

то

ñnl(cos0) = -15т[пв + фп(в)] J \Gn(e,y)\dy, (13)

0

где

minфп(в,у) <фи(в) < maxфп(в,у).

y y

Осталось найти модуль и аргумент Gn.

Оценка Rn1. Преобразуем выражения

cos 0(1 — chy) + г sin 0 shy = 2sh — y sh — + sin в exp ia,

cos в sh y/2 sin в ch y/2

cos a =--, , sin a =

sh2 y/2 + sin2 в y sh2 y/2 + sin2 в

(1 — cos в chy) + г sin в shy = 2 ^sh2 ^ + sin2 —^ exp iß,

1 — cos в ch y sin в sh y COS ß = 1 2---—-—- , Sin ß = —-2--——

2(sh2 y/2 + sin2 6/2) 2(sh2 y/2 + sin2 в/2)

Для оценки аргумента Gn вычислим тригонометрические функции

sh y/2(ch y - cos 6 + sin2 6) cos 2ipn = cos(a — p) =-^ 0,

2 (sh2 y/2 + sin2 6/2) у sh2 y/2 + sin2 6

sin 6(1 — cos 6)chy/2

sin 2 фп = sin (a - ¡3) = -i-' - > 0.

2 (sh2 y/2 + sin2 6/2) у sh2 y/2 + sin2 6

Если 0 < 0 < п, имеем 0 < а — ß < п/2, т. е.

0 <фи(0,у) < п/4, 0 <М0) < п/4 . (14)

Перейдем к модулю Gn(0,y)

\Gn(0,y)\ = VfMexp(-ny), (15)

где введены обозначения

2 0 о у , , v(v + 4м — 4м2)

I2-, « = sh2f, v^O, f(u,v)= К '

2 2 (м + v)2

Очевидно, что справедливо неравенство

4 f _ (v - 2и)2 + 12u2v ^ п 4

3 З(м + «)2 ^ '

Поэтому (13), (15) влекут

оо

2 W 4 f

|i?„i(cos6»)| <-{ - / ехр(—ny) dy п V 3 J

о

C 2/4

|i?„i(cos6»)| < —, С =-{/-= 0.684092. (16)

n п V 3

Пусть теперь 0 <0 ^ п, 0 <м ^ 1. Вычислим производную

9 //(м, v)\ 8м2 — 7м — v

dv \ v ) (и + v)3 Если м ^ 7/8, функция / как функция от v убывает,

/(м, v) v + 4м — 4м тах-=

(м + v)

2

4 „ „ 2 0

=--4 = 4 ctg —

о м 2

Если м > 7/8, наибольшее значение v / принимает при v = 8м2 — 7м:

/(м, v) /(м, 8м2 — 7м) 1 4 тах-=-^-= —--- < - .

v v 8м2 — 7м 4м(4м — 3) 7

В результате получим

/(h,V) < /i(0)v, (17)

i | - 4 = 4 ctg2 |, _ если u^l, 0^ 138.59°,

4ц(41_3) = [4sin2|(4sin2|-3)]'1, если 0 > 138.59°.

Величина /i убывает от то до 1/4 с ростом м от 0 до 1, или, что то же, с ростом 0 от 0 до п (рис.3). В точке м = 7/8 гладкость сохраняется, рвется лишь вторая производная. Пользуясь (13), (15), (17), получим

оо

|i?„i(cos6>)| < -¿Vfi j ^sh | exp (-ny)dy.

или

v

v

Оценка (33) последнего интеграла приведена в приложении. Окончательно,

п > п0 > 1, 0 <в < п. (18)

пп3/2 пп3/2

Функция д(у), некоторые ее значения и асимптотика приведены в приложении.

Рис. 3. Величина fl как функция и (слева) и в (справа) в разных масштабах; в* = 138.59°.

Оценка (18) согласуется с асимптотикой (4) при к =1. Обратим внимание, что точка в = п не исключается.

Докажем точность порядка убывания левой части (16), т. е. невозможность замены знаменателя п на па, а > 1, за счет увеличения постоянной С. Фиксируем п > 2,

в=

2п

и = 81П

^ / „2 \ „2 / пМ п2

4п ' 16п2

пп 1--< -

432 / 16??2

1

48??2 )

<и <

16п2

(19)

Пусть V ^ 1/п2 = «о = вИ2 уо/2. Тогда по доказанному справедливо

] (и,«) V + 4и(1 — и)

(и + '

>

С1 =

у=1/и2 2

1 7Г2 / 7Г

~г? + 4^ V ~ 432

2

^ у2

п2 16п2 )

2

пп

1 + Т :"432

2\ -2 п2

= С1п2, (20)

1 + — = 1.304806. 16

Итак, получаем

¡{и,г) > С1П2и = С^вЬ2 | >

I I- Уо

__4 С\ и? Г

у/¡(и, г>)ехр(-пу) ¿у > у —— / ^/уещ)(-пу)д;у.

4

00 Вестник СПбГУ. Сер.1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3(61). 2016. Вып. 2

(21) 247

и

9

и

9

п

п

2

V

Из разложения арксинуса следует

Уо 1 Л___53_ =

2 n V 6п2 у 54п 2

Поэтому выполняется

уо -- г/i

i- у 1

/ С и2 f С

VJM exp(-ny) dy > у — / ,/у exp(-ny) dy = -j- , (22)

4

о о

где

_ 53/27

С2 = j Vtexp(-t) dt = 0.489207.

о

Пусть теперь v ^ 1/п2. Производная df 2u

— - 7-^ [2м(1 - и) - «(1 - 2и)}

дю (и + V)3 1 у ' у п

показывает, что f принимает наименьшее значение либо при V = ж, где она равна единице, либо при V = 1/п2. Последнее значение мы уже оценили. Согласно (20) оно больше единицы. Следовательно, / > 1 при V ^ 1/п2. Поэтому имеем

то то

[ УЯгмО ехр(-пу) ¿у > [ ехр(-пу) dy = ехр( пу°"> > _!_ . (23)

] ] п е2п

У0 У0

Складывая (22) и (23), получим

то

[ ехр{-пу) dy > 6 2 + С>2 . (24)

Обратимся к аргументу синуса в (13). Согласно (19) пв = п/2. С учетом (14) имеем

sin[пв + фп(в)\ = eos'фп(в) > —=.

2

Окончательно получаем

Rn! feos > ^ , С3 = ^ (с2 + 4Л = 0.281143. (25)

V 2п/ и п \ e2 J

Оценка Rnk при к > 1. При к > 1 оценка Rnk получается совсем просто. Подставим в последнюю формулу (1) представление (6) из [4]:

р _ í Рт+1,к—1 Рт—1,к—1

^ V 2m+ 1 2m + 1

m=n 4

P P P

Pn— l.k — 1 Pn,k— 1 , \ ^ Pm,k — 1 /г\/»\

+ > . 7-777ТТ7-Г~о7о\ • (26)

2п +1 2п +3 m=;+1 (m - 1/2)(m + 3/2)

248 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3 (61). 2016. Вып. 2

Согласно (2) имеем

i ^ 1 00 1

2Rnk ~ 2(n+l/2)(n-l)fc-V2 + 2(n + 3/2)nfc-V2 + TOfc+3/2 • (27)

Под знаком суммы стоит выпуклая функция, так что выполняется

^ 1 ¿ш 1

<

mí^+1 тк+3/2 Jn+1/2 mfc+3/2 (jfe+ l/2)(n+ l/2)fc+3/2 • Окончательно получаем

^-Stt/!- (28)

При к = 2 и n > к = 3 в (2) можно оставить знак строгого неравенства [4]. Сделать это в (28) мешает первое слагаемое в (27). Однако при к = 2,к = 3 и n > к = 4 справедливо

Kfc(cosfl)|< (n_^fc+1/2- (29)

При к = 2,n > 4 здесь можно заменить (n — 1)k+1/2 на (n — 1/2)k+1/2, поскольку (n + 1/2)(n —

1)3/2 >

(n 1/2)5/2.

Перейдем к оценкам, содержащим множитель sin в. Приятное отличие от случая к = 1 и тем более к = 0 заключается в его появлении в числителе, а не знаменателе. Платой за это служит увеличение константы C4, точнее замена ее на медленно (как к1'6) растущую функцию от к. Согласно [4] в оценке (2) можно заменить постоянную s/2/тг на Ak-i sinfc-3/2 в. Таким образом, справедливо

ч, ^ C5 sink—3/2 в 2к + 3 „

|fi»fc(cos^)|< 5nfc+1/2 , С5 = 5ГГТЛ_1. (30)

Свойства последовательности Ak изучены в [4]. Там же приведена таблица их первых значений. В частности, 0.825 < Ak < 1 при к < 8. Несколько усложнив оценку (30), можно получить строгое неравенство

C sink—3/2 в

\Ппк(со*в)\< 5_fc+1/2 , (31)

где

п = тт { п — 1, Приложение. Свойства одного интеграла. Пусть

сю

/(г/) = J л/0ь^ехр(-21>х)<1х, д{и) = г/3/2/(г/), V > ^ . (32)

0

Заметим, что сходимость всех несобственных интегралов в этом разделе локально-равномерна относительно V € (1/4, то).

Вычислим производную

то то

~^=д'{ь')= 3 J \Zshx ехр(—2г/ж) <1х — 4 г/ J жл/вЬ х ехр(—21/х) ¿х.

о о

Преобразуя второе слагаемое интегрированием по частям, получим

то

2 [ 1

—= д'(у) = / (яЬ -у — -у пЬ -у) рур(— 27/-?-) (\гг. < О

V V У V вЬ ж

о

поскольку вИ ж — ж еИж < 0 при ж > 0. Следовательно, д(и) убывает. Отсюда имеем

т( ^ д(у) ^ дМ ^ ^ 1

/(г/) = ^ ' (33)

Интеграл (32) можно выразить через бета-функцию Эйлера. Подстановка

у = Шж, ж = - 1п ——- , ехр(—2г/ж) = (-— ] , эЬж = — ^ , <1х =-

2 1-у' ^ ; V1 + 2/У 1 - У

преобразует его к виду 1

о

что равно 2-аВ(а, в) [5, раздел 1.5]. В результате получим

д(у) = 2-^В (*, г/ - Г) = =

^ у V2 4У Г(г/ + 5/4)

_ Г(г/ — 1/4) з/2

4(г/ + 1/4) Г(г/ + 1/4) ' 1 ;

Пользуясь асимптотикой логарифма гамма-функции [6, раздел 8.34], получим

то

\ - г>2к

11

(у — 1/4)2— (у + 1/4)2—

где Ва —числа Бернулли. Правая часть инвариантна относительно замены V ^ —V. Поэтому разложение содержит лишь четные степени V. Пользуясь рядом для логарифма и бинома, получим

то

От

(35)

т=1

4т+ 3 у-2Л+1 \ 4т(2т + 1) ^ /г(2/г - 1) \2т - 2к + I)

В частности,

а>1 = — ( — + 4В2 ] = — , а2 = Л- ( — + 4В2 + 32В4 ] = —, 16 V12 ) 64' 28 у 40 V 211

так что _

, ч лД72 / 5 21 \

Значения д{у) при некоторых V приведены в таблице.

Некоторые значения д(и)

V Ф) V йИ

0.25 <х 2 0.3195

0.5 0.4370 3 0.3161

0.75 0.3607 5 0.3143

1 0.3389 10 0.3136

1.5 0.3244 оо 0.3133

0,т ~ 42т

Литература

1. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952, 476 с.

2. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: ФМ, 1962. 500 с.

3. Холшевников К. В., Шайдулин В.Ш. Асимптотика интегралов от многочлена Лежандра и их сумм // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2015. Т. 2(60), вып. 4. С. 553-562.

4. Холшевников К. В., Шайдулин В.Ш. О свойствах интегралов от многочлена Лежандра // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Т. 1(59), вып. 1. С. 55-67.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1965. 296 с.

6. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

Статья поступила в редакцию 2 октября 2015 г. Сведения об авторах

Холшевников Константин Владиславович — доктор физико-математических наук, профессор; kvk@astro.spbu.ru

Шайдулин Вахит Шамильевич — кандидат физико-математических наук, доцент; shvak@yandex.ru

ESTIMATES OF SUMS OF INTEGRALS OF LEGENDRE POLYNOMIAL

Konstantin V. Kholshevnikov1'2, Vakhit Sh. Shaidulin1,3

1 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; kvk@astro.spbu. ru, shvak@yandex. ru

2 Tomsk State University, pr. Lenina, 36, Tomsk, 634050, Russian Federation; kvk@astro.spbu.ru

3 Main (Pulkovo) Observatory RAS, Pulkovskoe chaussee, 65/1, St. Petersburg, 196140, Russian Federation; shvak@yandex.ru

Estimates of sums

Rnk (x) = Pmk (x)

m = n

are established. Here

Pno(x) = Pn(x), Pnk(x) = J Pn,k-l(y)dy,

Pn being a Legendre polynomial with the standard normalisation Pn (1) = 1. If k = 1 then the sum decreases with growing n as n-1 if x belongs to the main segment [—1, 1], wheras it decreases as n-3/2 if x belongs to the semi-segment [—1, 1). If k > 1 the point x = 1 does not need to be excluded. The sum decreases as n-k-1/2. The more, a small increasing of the multiplicative constant permits to obtain an estimate

C sink 3/2 e \Rr<k(cose)\ < nk+l/2 ,

where C depends weakly on k (but not on n, 0). As a by-product, the integral of Mehler—Dirichlet type for Rnk(cos 0) is deduced. Refs 6. Figs 3. Tables 1.

Keywords: Legendre polynomials, estimate of sums, estimate of a remainder of a series.

l

References

1. Hobson E. W., The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics (Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1931. 476p.).

2. Szegö G., Orthogonal polynomials 23 (AMS Colloquium publ., 1975, 432p.).

3. Kholshevnikov K. V., Shaidulin V. Sh., "Asymptotic behaviour of integrals of Legendre polynomial and their sums", Vestnik St.Petersburg University: Mathematics 48, Issue4, 233—240 (2015).

4. Kholshevnikov K.V., Shaidulin V. Sh., "On Properties of Integrals of the Legendre Polynomial", Vestnik St.Petersburg University: Mathematics 47, Issue 1, 28—38 (2014).

5. Bateman H., Erdelyi A., Higher Transcendental Functions 1 (McGraw-Hill, New York, Toronto, London, 1953, 298p.).

6. Gradsteyn I.S., Ryzhik I.M., Table of Integrals, Series, and Products (Eds. D. Zwillinger and V.Moll, 2014, 1184p.).