Асимптотика интегралов от многочлена Лежандра и их сумм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.586

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 2(60). 2015. Вып. 4

АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ ОТ МНОГОЧЛЕНА ЛЕЖАНДРА И ИХ СУММ*

К. В. Холшевников1'2, В. Ш. Шайдулин3

1 Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

2 Институт прикладной астрономии РАН,

Российская Федерация, 191187, Санкт-Петербург, наб. Кутузова, 10

3 Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, Российская Федерация, 196140, Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, 65-1

Исследованы асимптотические представления интегралов Pnk (cos в) от многочленов Ле-жандра и их сумм по первому индексу от n + 1 до бесконечности. Здесь

x

Pno(x) = Pn(x), Pnk(ж) = J Pn>k-i(y)dy.

Показано, что асимптотика Pnk при n ^ те аналогична асимптотике Pn. Однако слагаемое порядка n—k—m—1/2 представляется линейной комбинацией не одного, а m косинусов вида

n + S1 + i)e+(S2 + i)5

где si, S2 —целые числа, зависящие от k, m. Для сумм Pnk по первому индексу от 0 до те получены замкнутые выражения. Для сумм от n +1 до те получена асимптотика. Она отличается от асимптотики Pnk лишь дополнительным множителем ctg 0/2. Попутно установлен интеграл типа Мелера—Дирихле для Pnk (cos 0). Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: асимптотика, интегралы от полиномов Лежандра.

i

Введение. В работах [1, 2] подробно рассмотрены различные свойства интегралов от многочлена Лежандра

x

Pno(x) = Pn(x), Pnk(x) = J Pn,k-i(y) dy,

-1

П

Pnk (cos в) = j Pn,k-i( cos t) sin tdt, k ^ 1.

(1)

Однако в посвященном асимптотике кратком параграфе [2] приведен лишь главный член разложения и слишком грубая оценка остаточного члена. Здесь мы восполняем пробел, приводя асимптотику интегралов Рпк и их сумм. Попутно получен интеграл типа Мелера—Дирихле. Результаты будут использованы при описании свойств ряда по сферическим функциям, представляющего ньютоновский потенциал небесных тел.

Асимптотическое разложение Рпк( сое). Асимптотическое разложение Pn(cosв) при фиксированном в, 0 < в <п, п ^ <х хорошо известно [3, п. 191]:

Pn (COS в) X Cm(n)sin-m-1/2 в<

n + m+lje-L+l j!

(2)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 14-02-00804) и СПбГУ (грант 6.37.341.2015).

0

Здесь

2л/2(2 п)!! Г(п +1) 2 тг(2п+ 1)!! ~ Г(п + 3/2) V я"

' 1

, 2 Л 3 25 7ГП V ~ + 128п2

+

2

п(п + 3/4)

пт

1

64п2

+ ...

(п + 3/2)™' ^ 4т(2т)!! ' Мы пользуемся символом возрастающей степени [4]:

[(2т - 1)!!]2

По

т=8-

П2

9 128

I, если т = 0,

г(а +1) • • • (а + т — 1), если т € N.

Теорема 1. Асимптотическое 'разложение Рпк(еов0) при фиксированном к ^ 0, 0 < в < п, п ^ то, имеет вид

Рпк (еов в) х 8тк-т-1/2 вТЙт(

(4)

Здесь Ткт — линейная комбинация косинусов вида

еов

п + а1 + ^\ в+\а2 +

1\ п

22

(5)

где в1,в2 — целые числа, зависящие лишь от к,'т. В частности, тригонометрический многочлен Ткт не содержит постоянного слагаемого. При фиксированных к, т, 0 ^ в ^ п справедлива оценка

МпТкт{п,в)\ <■ пк^1/2 ,

где Скт не зависит от п, в.

Доказательство. При к = 0 представление (4) совпадает с (2) при

(6)

Тот(п, в) = ст(п) еоэ

п + - (то + ^

(7)

и удовлетворяет утверждению теоремы. Далее воспользуемся индукцией по к с помощью рекуррентности [2]:

(2п + 1)Рп,к+1 = Рп+1,к — Рп-1,к.

(8)

Комбинируя (4) и (8), получим

J2Qkm(n,в)Smk-m-1/2 в х 0

где

Якт(п, в) = (2п + 1)£„ бЬ вТк+1,т(п, в) — £и+1Ткт(п + 1, в) + £п_1 Ткт(п — 1, в).

е

п

1

1

п

о

о

Положим

(2n + 1)sin fffk+i,m(n, I

^П+1-Ткт(п +1,6»)- %-^-Tfcm(n - 1,

Cn

Cn

(9)

Величины е с близкими индексами имеют одинаковый порядок малости. В частности,

£n-1 1 0

- х н---1---Ь • • • ,

Cn 2n n2

что позволяет переписать (9) в виде

Сп+1 ^ 1 3 " 2 п 4 п2

(2n + 1)Tfc+i,m(n,<

1

sin 0

[Tfcm(n +1,0) - Tkm(n - 1,0)] -

1

2n sin 0

[Tfcm(n +1,0)+ Tfcm(n - 1,0)] +

Разность Ткт с указанными аргументами представляет собой линейную комбинацию разностей

2 sin 0 cos

и содержит sin в множителем. Соответствующую комбинацию косинусов включаем в Tk+i,m, а поправочные члены относим к Тк+ ijm+i. Теорема доказана. □

Явный вид Тко, Тк1. Для получения простых рекуррентных по к соотношений используем равенство

dP,

n,fc+l

(cos 0)

d0

= - sin 0Pnk (cos

которое вместе с (4) дает

Tk+i,m = - ( & - m+ 2 ] cos0Tfc+ijm_i - Tfcm .

(10)

Здесь штрих обозначает производную по в и мы позволяем себе опускать аргументы n, в у исследуемых функций.

Величины Tom известны и задаются формулой (7). Запишем (10) при m = 0:

Tfc+1,0 = -Tfc0

с базой индукции Too = cos [(n + 0 — f ]. Решение дается формулой Tfco(n, 0) = Afcoo(n) cos

» + i MH

где

Afcoo (n) =

(n + 1/2)k'

(11)

(12)

(13) 555

cos

1

Действительно, при к = 0 это верно. Интегрирование (11) дает для Тк+1,о нужный тригонометрический одночлен плюс постоянное слагаемое. По теореме 1 это слагаемое равно нулю, что и доказывает (12). Итак, Тко найдены. Переходим к Тк1:

Тк+1,1 = [к+^)со8вТк+11о.

Второе слагаемое в правой части известно. Переходя от произведения к сумме косинусов, придем к рекуррентности

Т

к+1,1

к + 1/2 ----^+1,00 < сов

ЬЬИН

+

+ cos

(14)

с базой

Ищем Тк1 в виде

Т01 = С1 cos

п +

в

3п

Тк1(п, в) = Ак10 (n)cos

п +

в + к -

2)2

+

+ Аки(п) cos

ПЬИ)§

(15)

Подставим (15) в (14):

3

п+ - I Ак+1, ю сое

+

= -Акю cos к +1/2

+ ( п ~ \ ) с°8

ИЬИН

ЧЬИ I

2

Ак+1,0^ cos

П~\)в+ [к+2!2

- Ак11 cos 1А п

+ соэ

п--)в+[к- ,

2 V 2 2

3\ 7Г

О 2

П+2)в+[к+1)1

Приравнивая коэффициенты, получаем

3 к + 1/2 к + 1/2

П+2) Лк+1'10 ~ Лк1°--2-Лк+1'00 ~ Лк1° ~ 2(п+1/2)к+1

1И л к + 1/2 . . к +1/2

п — — | Ак+1,11 — Акп----Ак+1,00 — Акп —

, А010 = С1

(16)

2(п + 1/2)к+1

А

011

Подстановка Хк = (п + 3/2)к Акю переводит первое соотношение (16) в

Хк+1 = Хк

(к +1/2) (п + 3/2

2 (п + 1/2) V п +1/2

1

Х0 = С1

8(п + 3/2) '

(17)

3

2

4

3

3

п

2

0

к

Решение рекуррентности (17) очевидно:

к-1

Хк =

; + 3/2) 2п +1

^ , 1\ /п + 3/2

ыг+2)

Компактное выражение для Хк легко получить, поскольку

к-1

1 + Ъ-(2к+ 1)Ък + (2к - 1)Ък+1 2(1-Ь)2

но мы не рекомендуем им пользоваться. К асимптотике прибегают при больших п и малых к, а в этом случае Ь ~ 1, 1 — Ь ~ — 1/п.

Рекуррентность для Ак11 решается аналогично и мы получаем

Ак1о(п) =

1

1

к-1

, + 3/2)к+1 (2п +1)(п + 3/2)'

Е * +

к-1

Аки(п) = —

(2п + 1)(п — 1/2)'

■ей+

■ + 3/2 2 ) +1/2

п — 1/2 '

1

2 п+ 1/2

(19)

Асимптотически

„ , , 1 — 2к2 (к + 1)(10к2 +2к — 9)

8пк+1

48пк+2

. . . к2 к(к2 — 1) Акп(п) х 24п,+2 +••• •

Представление Ткт. Представления (12), (15) легко обобщить:

(20)

Ткт (п, в) = Е Акт« (п) COS

(21)

При т = 0 и т =1 это совпадает с (12) и (15) соответственно. Подставим (21) в (10):

Е(п + т- 2в + о ) соэ

п + то-2в+^|$ + (/г - то + ^ | ^

т1

- Е ( к ~ т + О ) соэ в соэ

п + то — 2в — — + (/г — то + — | —

— Е Акте еos

п + то — 2в+ —+ (/г — то — — | —

т1

Ек — т + 3/2 .

---Ак+1,т-1,а \ соэ

п + то-2в+^|# + (/г - то + ^ | ^

+

+ еos

3\ ( 3\ п

п + то-2в--1# + I /г — т + - I —

— Е Акте еos

п + то — 2в+ —+ (/г — то — — | —

1

1

1

1

Отсюда

14 к - т + 3/2

П + ТО — 2в+-1 Аи+г^тв — Акте —-----+ Ак+1,т-1,а-1) •

При т = 0,1, 2 правая часть известна, что позволяет найти все Ак2я, поскольку

А020 = С2 , А021 = А022 = 0.

Далее можно перейти к значению т = 3 и так далее, что полностью определяет все

Акшй.

Из сказанного вытекает представление

Сп Акшй (п)

1

пк+т+1/2

с\ + — + ^ +...

(23)

где постоянные 6*1,6*2,... зависят от индексов к, т, в, но не п.

В заключение приведем первые два члена асимптотики для Рп0, Рп1, Рп2:

Т00(п) = cos

Тю(п) =

Т01(п)

9

+ 1/2

cos

Тц(п) = Allo(n)cos Т20(п) =

1

(п +1/2)2

■ cos

8(п + 3/2)

П+1)0+1

+ А111 (п) cos

1 3п

п + - 6» н--

2) 4

3 3п

п+ - \в--

2 4

Ч д *

п--6*--

2 4

Т21(п) = А210 (п) cos

3п п+ - )в+-2 4

+ А211 (п) cos

Здесь

Ац0(п) = -А2ю(п) = -

п + 5/2

8 (п +1/2) (п + 3/2)2

7 п2 + 21п+ 59/4 8(п+ 1/2)2(п + 3/2)3 '

Аш(п) = -

1

А211 (п) = -

4 (п - 1/2) (п +1/2)' 4п 1

4(п - 1/2)2(п + 1/2)2

Интеграл типа Мелера—Дирихле. Теорема 2. Справедливо интегральное представление

2к+1/2 Г / 1\

Рпк(СОвв) = к _ у (сОв6> -СОв^^вт Гп+ - \ Ч>

(24)

Доказательство. При к = 0 соотношение (24) представляет собой формулу Мелера [3, п. 18]. Считая ее справедливой для индекса к ^ 0, докажем и для индекса к +1.

пп

1

П

Из формул (1), (24) следует

k+1/2 п п

Рп,k+i(cos в) = -^Щ—yyjj У sin í di J(cost - cos^)fc~1/2 sin ^n + ^ =

0 t п V

2fc+1/2 f ( l\ r ,

= —-— / sin f n H— I c¿>dc¿> / (cosí — eos 2 sint dt.

тг(2к — 1)!! J V 2 J J

0 0

Внутренний интеграл равен (cos 0 — cos ^>)fc+1/2 /(k + l/2), что доказывает индуктивное предположение. □

Сумма интегралов от многочленов Лежандра. Обозначим

R (0) = Х) Pnfc (cos 0). (25)

nk

= 0

Как известно [3, §2.8], ряд (25) при к = 0, 0 < в < п сходится к сумме

= 2^72" (26)

Теорема 3. При k ^ 1, 0 ^ в ^ п ряд (25) сходится абсолютно и равномерно к сумме вида

2k — 1 в

Rk{d) = вкш sinm - , Вкт = const. (27)

m=0

Доказательство. Сходимость следует из оценки [2]

limnfc+1/2 |Pnfc(cosé»)| < Из определения Pnk, ñk вытекает

п

ñk+1 (в) = ^ ñk (t) sintdt. (28)

ö

Вычисляя интеграл (28) при к = 0, придем к представлению (27) для ñi при Вю = 2, Bii = -2.

Действуем по индукции, вычисляя интеграл (28) от тригонометрического многочлена (27):

п 1 2k— 1

/, , „ 2k 1

ñfc(t)sin-cos- dt = 4 J Y, BkmTm+1d,T =

n /n m— 0

sin 0/2

2k 1

4 V 1 - sinm+2 - .

m + 2 V 2 у

m—0 4 '

Окончательно, при к ^ 1

2к 1 Вк 4

Вк+1,0 = 4 У"^ _ то, ВЙ+1Д=0, вк+1гт = ~—Вк,т-2 для 2<т<2/г + 1,

о

т+2

что и доказывает теорему.

Приведем значения Вкт при к = 1, 2, 3:

□

В-|о = 2, Вц = — 2

4

В 20 = ^21 = 0,

¿>зо = ¿>31 = 0, £>32 = —77, 5 3

Легко показать, что при к ^ 1

8

в 22 = —4, В 23 = д! В33 = 0, В34 = 4, В35 = —

32 15'

В

к,2к-1 =

(2к — 1)!!

В

к,2к-2 =

22к-1(—1)к-1 (2к — 2)!! '

(29)

а для к ^ 2

Вкт = 0 при т =1, 3, .. ., 2к — 3. Перейдем от полных сумм к остаткам

(30)

Д„к(в)= Е Ргк(еовв).

г=п+1

(31)

Представления (4), (21) позволяют записать

Дпк (в)

Е в1пк-т_

т то

1/2 вЕ Е

Сг Актя (г) еов

в=0 г=п+1

г + то — 2в + — + \ ~ т ~ 2/ ~2

Внутренняя сумма с точностью до обозначений имеет вид (34) (см. приложение), причем коэффициенты £г Актя(г) удовлетворяют условиям (35) в силу (23). Поэтому согласно (36)

й„к (в) ХЕ 8Шк-т-1/2 в Е Ф„кт«(в).

(32)

Здесь

,Т, Сп+1 Актя(п + 1)

У =-, .-соэ

2вт{0/2)

(п + т — 2в + 1)в + к — т +

1п

22

+

п + 1) — Сп+2 Ак (п + 2) + [2вт(0/2)]2 С°8

п т — 2а -\— \ 9 I к — то--| —

2 \ 2 2

+.

Выпишем явно первые два члена асимптотики, пользуясь (3), (13), (20):

о

о

Rnk (0)

sink-1/2 0

л/2и{п + 7/4)(n + 3/2)fc sin(<9/2)'

cos

+

+ 3/2

iu(0) + ..Л, (33)

где

5 ^ 2fc + l

1 — 2fc2 + 8 sin в

cos

-Ib N) f.

+

k2

4 sin 0

cos

n<9 + ( /г - -

Приложение. Сумма одного ряда. Пусть

Фп(х, у) = ^^ am cos (mx + у), n> 0, x = 2nk, (34)

m=n+1

и для некоторого а > 0 выполнено

lim |am|m<J < оо, lim |6m|rn<J+1 < oo, lim |cm|rn<7+2 < oo, (35)

где

bm am am+1 ? cm bm bm+1 am 2am+1 + am+2 •

Тогда при n —>■ то справедлива асимптотика

sin[(n+ 1/2) ж + у] cos[(n+ l)x + y] Ф„(х,«/)х-ап+1-—-—--h6„+i-—-ö——--Ь... • (36)

2 sin x/2

4 sin2 x/2

Доказательство. Обозначим

sin (x/2 - y) + sin [(m + 1/2) x + y]

= > COSÍfcX + У) = -;- .

^ к У> 2 sin ж/2

fc=0

Суммируя (34) по частям [4, §2.6], получим

Фп(х, y) = Е am(Vm - Vm-l) = -On+1Vn + ^ Vm(Om - am+i)

m=n+1 m=n+1

sin(x/2 - y)

-вп+1"п H--—-TZ- / ( Om Om+1 )+

1

2 sin x/2

m=n+1

2 sin x/2

Фn(x, y). (37)

Здесь ф аналогична Ф:

то 1

у) = ^cos (mx + ^ = ~х + У ~ ~ •

m=n+1

2

2

Последняя сумма в правой части (37) равна а„+1, так что

^ . . sin [(n +1/2)x + y] 1 ~ .

Ф„ x, у = -an+1-U . 7 -^ + —--Ф„ x, y .

2sin x/2 2sin x/2

Повторяя процесс, получим (36), что и требовалось.

□

1

V

m

Замечание. Нетрудно достроить формулу (36) до бесконечного ряда, если потребовать выполнения (35) для разностей последовательности ат произвольного порядка. Достаточно наложить условие

V.

z_/ m^+s

s=0

es = const. (38)

Литература

1. Антонов В. А., Холшевников К. В., Шайдулин В.Ш. Об оценке производной многочлена Лежандра // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 4. C. 3—9.

2. Холшевников К. В., Шайдулин В.Ш. О свойствах интегралов от многочлена Лежандра // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Т. 1(59). Вып. 1. C. 55-67.

3. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952. 476 с.

4. Грэхем Р., Кнут Д., Поташник О. Конкретная математика. М., 1998. 704 с.

Статья поступила в редакцию 26 марта 2015 г. Сведения об авторах

Холшевников Константин Владиславович —доктор физико-математических наук, профессор; kvk@astro.spbu.ru

Шайдулин Вахит Шамильевич — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, shvak@yandex. ru

ASYMPTOTIC BEHAVIOUR OF INTEGRALS OF LEGENDRE POLYNOMIAL AND THEIR SUMS

Konstantin V. Kholshevnikov1'2, Vakhit Sh. Shaidulin3

1 St.Petersburg State University,

Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; kvk@astro.spbu.ru

2 Institute of Applied Astronomy RAS,

Kutuzova nab., 10, St. Petersburg, 191187, Russian Federation; kvk@astro.spbu.ru

3 Pulkovo Observatory of RAS, Pulkovskoe chaussee, 65-1, St. Petersburg, 196140, Russian Federation; shvak@yandex.ru

Asymptotic representations of the integrals Pnk(cos в) of the Legendre polynomials and their first-index sums from n +1 to infinity are investigated. Here

x

Pno(x) = Pn(x), P„k(x) = J Pn>k-l(y)dy.

It is shown that the asymptotic behaviour Pnk as n ^ <x is similar to that of Pn. Hovewer, the summand of order

n-fc-m-V2 is

represented as a linear combination of m cosines of the form

instead of a single cosine, where si and S2 are integers which depend only on k,m. For the first-index sum Pnk from 0 to ^ closed expressions are obtained. Asymptotic behaviour of sums from n+1 to ^ is derived. Its form differs from the asymptotic behaviour of Pnk by a single multiplier ctg 0/2. Simultaneously, the integral of Mehler—Dirichlet type for Pnk(cos 0) is established. Refs 4. Keywords: asymptotics, integrals of Legendre polynom.

References

1. Antonov V.A., Kholshevnikov K. V., Shaidulin V. Sh., "Estimating the derivative of the Legendre polynomial", Vestnik St. Petersburg University: Mathematics 43(4), 191—197 (2010).

2. Kholshevnikov K. V., Shaidulin V. Sh., "On Properties of Integrals of the Legendre Polynomial", Vestnik St. Petersburg University: Mathematics 47(1), 28-38 (2014).

3. Hobson E. W., The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics (Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1931, 476 p.).

4. Graham R., Knuth D., Patashnik O., Concrete Mathematics (Berkeley, California, Addison-Wesley, 1998).

a

m

1