CC BY
236
УДК 517.586 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 1
0 СВОЙСТВАХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ МНОГОЧЛЕНА ЛЕЖАНДРА*
К. В. Холшевников1'2, В. Ш. Шайдулин1'3
1 С.-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
2 Институт прикладной астрономии РАН,
Российская Федерация, 191187, Санкт-Петербург, наб. Кутузова, 10
3 Главная астрономическая обсерватория РАН,
Российская Федерация, 196140, Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, 65
Систематически излагаются свойства интегралов
/X
1 Р„,к-1(у) &У
от многочлена Лежандра Р„(х) на основном промежутке —1 х ^ 1. Определена производящая функция
(1 — 2хг + г2)к-1/2 = ^(х,^ + ( —1)к(2к — 1)!! ^ Р„к(х)г„+к,
„ = к
где = 0, а при к > 0 величина Qk — многочлен степени 2к — 1 по каждой из переменных х, г. Выведено дифференциальное уравнение второго порядка, получен аналог формулы Родрига и определена асимптотика при п — оо. Доказано представление
Р„к (х) = (х2 — 1)к /„к (х),
если и только если п ^ к, где /„к —некоторый многочлен, не делящийся на х — 1. Основной результат состоит в получении точной оценки
\Рпк(совв)\< п^к.
Здесь
1/2 = (га+ I)2 - (к2 - I) - . = М1 = 0.674885,
где //,—первый максимум функции \//.//, (/ ) на полуоси / > 0. .//, (/)—функция Бесселя. Приведем таблицу первых Ак и разностей Ак — ^1 к1/6:
к 1 2 3 4 5 6
Ак Ак-^к1/6 0.8250 0.1501 0.8684 0.1109 0.9024 0.0919 0.9305 0.0802 0.9545 0.0720 0.9757 0.0659
Библиогр. 7 назв. Табл. 1.
Ключевые слова: интегралы от многочлена Лежандра, функции Бесселя, асимптотика, оценка, рекуррентность.
Введение. Свойства многочленов Лежандра и их производных изучены практически с исчерпывающей полнотой. Однако в некоторых приложениях (например, при рассмотрении ряда Лапласа по сферическим функциям для ньютоновского потенциала) встречаются повторные интегралы, для которых полином Лежандра служит производной порядка к ^ 1. В настоящей статье мы выводим свойства указанных интегралов как аналогичные свойствам самих многочленов Лежандра, так и не
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 11-02-00232-а) и Программы проведения фундаментальных исследований СПбГУ по приоритетным направлениям (грант 6.37.110.2011).
имеющие соответствующих аналогов. Для полноты картины мы приводим не только нетривиальные, но и простые свойства рассматриваемых функций.
Определение и простейшие свойства. Пусть Р„ — многочлен Лежандра со стандартной нормировкой Р„(1) = 1. Определим рекуррентно последовательные интегралы от Р„:
Р„0(ж) = Р„(ж), Р„к(х) = У Р„,к—1(у) к > 1. (1)
Тем самым многочлены Р„к определены при к ^ 0. Обобщением формулы Родрига
(2п)!!Рп(х) = ; , п>0,
служит ее аналог
ап — к (ж2 _ 1 )п
(2п)!!Р„й(х) =-1 , (2)
Отсюда получаем два следствия. Во-первых, Р„к при п ^ к — многочлен степени п+к, четный при четных п + к и нечетный при нечетных п + к. Во-вторых,
Р„к(ж) = (ж2 - 1)к/„к(ж), п > к, (3)
где /„к — некоторый многочлен. В частности,
(2п)!!Р„„(ж) = (ж2 — 1)™, /„„ = _!_,
(2П-2)!!Р„,п_1(х)=Х(Х2-1)™-1, /„,„-1 = 77гАтт77 • (4)
(2п - 2)!! '
Покажем, что /„к (ж) не делится ни на ж — 1, ни на ж + 1. Вычислим
, ,лЛ у Р„к(ж) Рпк(ж)
/пй(1) = 1Ш1 -ттг = 11П1
+1 (ж2 — 1)к 2к(ж — 1)к '
применяя к раз правило Лопиталя. В результате
1 ( —1)„+к = /п'г("1)= (2 к)\\ ' (5)
Второе из равенств (6) доказывается аналогично первому. Следствием известной формулы [1]
(2п +1)Р„1 = Р„+1 — Р„—1, п > 1,
служит ее аналог
(2п + 1)Р„к = Р„+1,к—1 — Р„—1,к—1 , п > 1, к > 1. (6)
Покажем, что при к > п свойство (4) нарушается. Более того, левая часть (4) не содержит ж2 — 1 множителем.
Непосредственым интегрированием и индукцией по к легко установить, что Рок(х) = -^-, Р1к(х)= (к+1у(х~к)>
откуда
Теперь с помощью соотношения (7), переписанного в форме
Рп+1,к-1 (1) = (2п +1)Р„Й (1) + Рп_1,*_1(1), индукцией по п устанавливается равенство
= (-1)" - - 2)... (Л - п). (7)
Как обычно, при п = 0 пустое произведение считается единицей. Правая часть (7) отлична от нуля при к > п, так что (ж) не делится на ж — 1.
Нам понадобится явное выражение для Дп(ж) = Рп,п+1(ж). Используя (7), получим
(2п + 1)Д„ = Рп+1,„ — Дп-ь Подставляя сюда значение Рп+1,п(ж) из (5), получим рекуррентность
ж(ж2 — 1)" 1
Д„
(2п +1)(2п)!! 2п +1 '
которая легко решается:
д = V _(-1ГФ2 - 1)"""_ (-1)" р
п ^ (2п+1)(2п- 1)---(2п+1 -2т)(2п-2т)!! (2п+1)!! Поскольку До = ж + 1,
Р",п+1 (ж) = ( — 1)
ж(1-ж2)"-т ж+1
^ (2п + 1)(2п - 1) • • • (2п + 1 - 2то)(2п - 2т)!! + (2п+ 1)!!
(8)
Производящая функция. Семейство многочленов при п ^ к ^ 0 порождается производящей функцией
(1 — 2жг + ¿2)й-1/2 = (ж, г) + ( —1)й(2к — 1)!! £ Р„й(ж)г. (9)
Здесь до = 0, а при к > 0 величина д — многочлен степени 2к — 1 по каждой из переменных ж, г.
При к = 0 представление (9) многочленов Лежандра стандартно. Действуя по индукции, проинтегрируем (9) по ж в пределах от —1 до ж. После элементарных преобразований получим
/X
дк (м) <и+
ж
+ ( —1)к+1(2к + 1)!! £ РП1к+1(х)гп+к+1.
П'<
= к
Мы пришли к равенству (9) с заменой к на к +1 и рекуррентности
Г х
дк+1(х,г) = (1+г)2к+1 + (-1)к+1(2к+1)!!Рк'к+1 (х)г2к+1 — (2к+1)*у дк(М) ¿1, (10)
где Рк'к+1 (х) определен формулой (8). Соотношение (9) доказано. Левая часть (9) сводится к биному при х = 0:
[ + ' ~ + 2!! + 4!! (2^-2)!! +
^ (2к — 1)!!(2т — 1)!! 2&+2т
+ (2к + 2т)!! * ' (П)
т=0 4 '
Отсюда при к ^ 1
п (п л , , - 1 2 , (2к-1)(2к-3) 4 , , (2к — 1)!! 2Й_2
= 1 + —---* + . (12)
Пусть п ^ к. Сравнение (9) и (12) показывает, что
Рпк (0) = 0 при нечетном п — к,
а при четном п - к
Заменяя в (14) по формуле Валлиса отношение двойных факториалов эквивалентной степенной функцией, получим асимптотически (при фиксированном к и п ^ <х)
РпЛ (14)
Дифференциальные уравнения. Функция Рпк (х) при к = 0 является регулярным решением дифференциального уравнения Лежандра
(1 — х2)у'' — 2ху' + п(п + 1)у = 0. (15)
Легко показать, что и в общем случае Рпк (х) будет регулярным решением дифференциального уравнения
(1 — х2)у'' + 2Бк ху' + ЕкпУ = 0 (16)
при некоторых постоянных Б к, Екп. Для к = 0 это справедливо при Во = —1, Еоп = п(п + 1). Дифференцируя (18), убеждаемся, что Рп,к—1(х) удовлетворяет уравнению
(1 — х2)у'' + 2(Бк — 1)ху' + (Екп + 2Бк) у = 0.
Сравнивая с (18), получаем рекуррентности
D — + 1, Efc„ — Ek i„ — .
Первое разностное уравнение (19) решается элементарно, после чего легко решается
и второе:
Dfc — k — 1, Efc„ — n(n +1) — k(k — 1).
Итак, дифференциальное уравнение для Р„й (ж) при п ^ 0, к ^ 0 имеет вид (1 - ж2)у'' + 2(к - 1)жу' + (п + к)(п - к + 1)у = 0.
(18)
В большинстве приложений ограничиваются сужением P„fc (x) на отрезок —1 ^ x ^ 1 и пользуются заменой переменных x — cos в, считая 0 ^ в ^ п. Уравнение (18) принимает форму
у — (2k — 1)ctg ву + (n + k)(n — k + 1)y — 0,
(19)
где точки означают дифференцирование по в.
Ниже нам встретится функция и(в) — ( — 1)k sin-k+1/2 вР„й(cos в). Соответствующее дифференциальное уравнение
Н 1
и + р(в)и = 0, р(в) = С2--5-, С = п+-
sin2 в 2
не содержит члена с первой производной.
Асимптотика. Асимптотика Рп хорошо известна [1]:
H — k2 -
1
(20)
Pn (COS в) —
2
sin в
cos
+
rp(n, fl) n sin в
(21)
где фигурирующие здесь и ниже поправочные члены г^ (п, в) равномерно ограничены при п ^ 1,0 ^ в ^ п. Она немедленно обобщается на случай произвольного фиксированного к ^ 0:
Pnfc (cos в)
[2smk-1/2 в п nk+1/2
+
Гк(п,в) n sinfc+1 в
(22)
При к = 0 формулы (22) и (21) совпадают. При произвольном к справедливость (22) устанавливается индукцией по к с использованием (7).
Равномерные по ж оценки. Известны равномерные по ж оценки многочленов Лежандра и их производных любого порядка [1] на основном отрезке —1 ^ ж ^ 1. В [2, §4.6] фактически приведена такая оценка и для Р„1:
|Pn1 (cos в)| <
2
nn2(n + 3/2)
n ^ 1.
(23)
Для оценки РП2 воспользуемся соотношением (18) при к = 2. Экстремальные на отрезке —1 ^ ж ^ 1 значения многочлены у = Р„2 принимают при у' = Р„1 = 0, так
что
(n + 2)(n — 1) |Pn2(x)| < max 1(1 — x2)Pn(x)| .
4
Отсюда с учетом неравенства [2, §4.6]
)ВЫ> (24)
получаем
\Рп2(х)\ < А 2 , 2. (25)
у п(п + 1/2)(п — 1)2(п + 2)2
Несколько огрубляя оценки, перепишем их в более простом виде:
\РпЛх)\ < Щ, \РЛх)\<Щ1 1. (26)
Второе из соотношений (26) доказано при п ^ 2. Его справедливость при п =1 устанавливается непосредственно.
В неравенствах (26) точны как показатель степени убывания левой части с ростом п, так и константа /тг. Для доказательства следует в (26) положить х = 0 и сравнить с (14).
Как и для рассмотренного случая к = 2, обращение к (18) показывает, что
\\Рпк\\ < т——гт7-г-г-гтЦ^-зЦ, п^к, (27)
1
(■п + к)(п -к + 1)1
где норма означает максимум модуля при —1 ^ х ^ 1. Отсюда при п ^ к с учетом (26)
„о „ . у/2А(п + 2)!!(п-к-1)!! „ ^ (п + 1)!!(п - к - 1)!!
11пк11 п5/2 (п + к)\\{п — 3)!! ' 11 пк11 < тг3/2 (п + Л)!!(п-2)!! 1 ;
при четном к ^ 2 и нечетном к ^ 1 соответственно.
Пусть к ^ 2 четно. Вне зависимости от четности п имеем
где использовано
2(т+1)/2
2 ' V' л/5Р V 2"
т!! = 2»/2г + 1) , = (30)
при четном и нечетном т соответственно. Применяя формулу Стирлинга, получаем
(31)
где использован символ асимптотически меньше. Это значит, что при больших (по сравнению с к) п правая часть может быть меньше левой на величину порядка п-й-1/2.
Пусть к ^ 1 нечетно. Вне зависимости от четности п имеем \\р || .Г(| + |)Г(^ + 1)у/2А
11^11 < 2й-1пЗ/2Г(п)Гда + 1) ' п>к- М
Применив формулу Стирлинга, придем к той же формуле (31). 60
Итак, асимптотическая оценка (31) доказана. Ее точность устанавливается сравнением с (14). Естествен вопрос, нельзя ли заменить знак асимптотически меньше на меньше, как это выполнено для k =1, 2. Ответ отрицателен. Уже при n = k = 3 левая часть (31) при x = 0, как показывают прямые вычисления, равна 1/48 = 0.0208, а правая — 0.0171. Но при n ^ 4, k = 3 неравенство (31) выполнено строго, а не только асимптотически. Действительно, при k = 3 неравенство (27) принимает вид
(n + 3)(n - 2)|||Р„з||| < |||Pni|||,
что с учетом (23) влечет (31) при n ^ 4, k = 3.
Оценки при фиксированном x. Наличие sin в в знаменателях поправочных членов (22) делает невозможным модификацию оценки (31) добавлением справа множителя sin в в положительной степени. Но за счет увеличения константы этого можно достигнуть. В [3] это сделано для k =1. Здесь мы рассмотрим случай произвольного k.
Пусть n ^ k. Рассмотрим уравнение (20), ограничиваясь по симметрии отрезком 0 < в < п/2.
Функция и является единственным решением (20), непрерывным вместе с первой производной на отрезке 0 ^ в ^ п/2, вещественно-аналитическим при 0 < в ^ п/2 и представимым рядом
и = Е а»^2т' = L (33)
( )!' m=0
Коэффициент 1/(2k)'' получен из условия
и = (-1)k sin-k+1/2 ep„fc (cos в) =sink+1/2 e/„fc (1) + ...
с учетом (4, 6).
По следствию из теоремы Сонина—Пойя [4, §6.2], [5, §19] наибольшее значение M модуля и(в) на отрезке 0 ^ в ^ п/2 достигается в точке впк первого локального максимума:
M = U (впк ). (34)
Сопоставим (20) с уравнением сравнения
Ui + Р1(в)и1 =0 (35)
при
= ,2 = G2-F(I-±)>O.
Легко показать, что р1(в) ^ р(в) при 0 < в ^ п/2, причем p1(n/2) = p(n/2) > 0. За и1(в) примем решение (35), непрерывное вместе с первой производной на отрезке 0 ^ в ^ п/2, вещественно-аналитическое при 0 <в ^ п/2 и представимое при 0 ^ в ^ п/2 в виде
= Щт/+1/2 £ Ьо = 1- (36)
По теореме сравнения Штурма [4, §6.2], [5, §20] м(0пд;) < М1(0пд;), и тем более
М < «,1(<и), (37)
где 0пк —первый локальный максимум функции М1(0).
Легко получить явное выражение для функции М1(0). Подстановка £ = ^0, М1 = \Ztu2 приводит (35) к уравнению Бесселя
*2^+^ + (*2-А2)«2=0. (38)
Нужное нам решение голоморфно в нуле, поэтому
с
и2 = cJfc(t), U1 = cVtJk(t) = 7—+ ...).
(2k)''
Сравнивая с (36), находим В результате Отсюда с учетом (37)
c = v—k—1/2.
ux = V-k-xl^tJk{t).
Ак=и3(Ъ), (39)
где = %/£•/&(£), —первый локальный максимум функции «з.
Итак, при п ^ к доказана оценка
|Р„й(сО80)| < „ = ^(п+1)2_(^2_ 1) (40)
Отсюда асимптотически при фиксированном k и n ^ ж
Ак
пк+1/2
IPnfcCcos^lS^^sin*-1^. (41)
Точность оценок. Для доказательства точности постоянной в неравенстве (40) определим коэффициенты am, bm рядов (33), (36). Подставим (33) в (20), выразив предварительно sin2 в через cos 2в и применив стандартное разложение косинуса
__o2m+1/)2m
4sin20= y(-l)™-1 , , .
y (2m)!
1
Получим
oo
W 1) s — 1 1
22s + 1
i* + * + ^ + * - = 1 a1»2'+*-s/2+
L i=0
i=0
+ aiв^+к+1/2 = 4ЯЕ^+к+1/2.
i=0
С учетом значения Н приходим к рекуррентности
(4т + 2к — 3)(4т + 2к — 5)
С2
48т(т + к)
ат-1 +
+
С2
4т(т + к) (4т + 2к — 7)(4т + 2к — 9)
12т(т + к)
360т(т + к)
ат-2 + .. . , (42)
причем опущенные в (42) члены суть линейные комбинации ая с меньшими индексами, коэффициенты при которых — линейные функции от С2 . Из (42) следует, что ат являются многочленами от С2 степени т:
ат — ат0С т + ат1С'
Из (42), (43) получаем рекуррентности
2т—2
+....
1
ат0 = —
4т(т + к)
ат-1,0 :
аоо
(43)
(44)
а
т
1
_ 1 (4т + 2/г-3)(4т + 2/г-5)
т1 4т(т + /г) т 1,1 48т(т + к) т 1,0
+ 77^—/ , ,Дт-2,0, а01 = 0. (45) 12т(т + к)
Из (44) вытекает
к'
Дт0 = (-1Г,т ,, ' , • (46)
4тт!(т + к)!
Теперь можно вычислить сумму двух последних слагаемых в (45):
а 1 I Г 1У"-1
т1 4то(то + к) ^ 12 . 4™т!(т + к)! '
Полагая
к!
т к!
ат1 = (,-1) ——г:-—р-гат1,
4тт!(т + к)!
приходим к соотношению
4к2 — 1
ат1 ат—1,1
откуда
ат 1 — ат_1д--—— , ао1 — 0,
4к2 — 1 1 т(4к2 — 1)к!
ат 1 =--—— то, ат1 = (-1)
12 ' " 7 12 • 4тт!(т + к)!
Окончательно,
к!
т к!
ат = (-1)
' 2т _ т(4к2 - 1) 2т_2 12
4тт!(т + к)!
Простое рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (36)
у2
Ьт —7 : гг &т—1 4т(т + к)
(47)
влечет
v2m k|
Ьт = (-1ГЛт u : (48)
4mml(m + k)l Используя ряды (33), (36), вычисляем разность
tk+1/2 ~ b _ a
(49)
^ 1 m=1
Как и выше, t = vö. Согласно (47), (48)
(-1)mkl
v2m+k +1/2 4mm|(m + k)lv k+1/2
2m / л 7 2 1 ^ //-,\ 2m-2
, G\ 2m m(4k2 - 1U G
Сумма в квадратных скобках содержит конечное число слагаемых, и нас интересуют лишь ограниченные значения t ^ tk. Поэтому
lim |u(0) - u1(ö)| =0 (50)
n—
равномерно по t, поскольку v ^ ж, G ^ ж, G/v ^ 1 при n ^ ж. Точность константы Ak доказана.
Свойства последовательности Ak. Согласно вышеизложенному
Ak=u3(tk), и3(х) = y/xJk(x), (51)
где tk — наименьший положительный корень целой функции
Ui(x) = 2\/хи'3(х) = Jk{x) + 2xJ'k(x). (52)
По теореме Диксона [7, § 15.23] корни J'(x) и U4(x) чередуются. Очевидно, tk > j, где j — зависящий от k первый положительный корень J' (x).
Положим tk = j + т. Разлагая U4(tk) в ряд Маклорена по т, получаем
оо с Т s
£- (1 + 2S)4s\j)+2J4s+1\J) =0. (53)
в!
Дифференциальное уравнение Бесселя (38) позволяет выразить производную любого порядка Л3'(ж) в виде линейной комбинации Л (ж) и Л(ж):
ж8 Лз)(ж) = К Л (ж) + ЬяжЛ (ж), (54)
где многочлены К3(ж), Ь3(ж), зависящие также от к, определяются рекуррентно:
К8+1 = -вК8 + (к2 - ж2)£я + жК8, + 1 = К 8 - вЬд + жЬ8, Ко = 1, ¿0 = 0.
Первая производная исчезает при ж = а, и (54) влечет
Л'а ) = адл а)- (55)
bm am
Уравнение (53) принимает вид
00 s
]Г [(1 + 2s)Ka(j) + 2Ks+1(j)} = 0.
s=0 j S'
С точностью до второй степени т (эта точность даже избыточна)
j 2j2
Воспользуемся асимптотическим представлением [7, § 15.83]
j = k + мк1/3 + rik-1/3, м = 0.808618. (57)
Здесь и ниже rs — ограниченные функции натурального аргумента к. Подставляя (57) в (56), приходим к уравнению
1 - (4мк1/3 + Г2к-1/3) т - (2 - Мк-2/3 + Г3к-4/3) т2 + ... =0,
откуда
т= — к-^+чк-1. 4м
В результате для tk приходим к тому же представлению (57) с заменой Г1 на Г5 =
П + 1/(4м).
Для определения Ak достаточно обратиться к формуле Никольсона—Ватсона [7, §8.43, формула (5)]. Для ее применения следует представить аргумент tk функции Бесселя в виде tk = к/ cos в. С учетом (57)
cos/3 = 1— Мк~2/3 + г6к-4/3, /3 = v^k-V3 (1 + trk-2/3) , tg/3 - fJ - i tg3 fj = -i/35 + ... = -i(2M)5/2k-5/3 (l + r8k-2/3) .
В результате формула Никольсона—Ватсона показывает, что
Jk (tk )= М1к-1/3 + rg к-1. (58)
Здесь где
Окончательно,
Mi = ^ [Л/з(0 + J-i/зСО] = 0.674885, £ = 5(2 м)3/2 = 0.685550.
Ай = М1к1/6 + гюк—1. (59)
Прямое вычисление при фиксированном к не представляет трудностей.
Мы вычислили эти величины вплоть до к = 100. Константы , как и должно быть, возрастают и превосходят фигурирующую в асимптотической формуле (31) постоянную \/2/и. Разность А^ — /лк1/6 положительна и стремится к нулю, хотя и медленно. Сходимость улучшится более чем на десятичный порядок при сдвиге аргумента в
формуле (59) на 3.449, что равносильно частичному учету влияния поправочного члена в (59).
Приведем таблицу значений ¿к, Ак, к1/6, + 3.449)1/6, Ак — к1/6, Ак — ^(к + 3.449)1/6 для к = 1,..., 12:
k 1 2 3 4 5 6
tk 2.1659 3.3108 4.4241 5.5192 6.6022 7.6764
Ak 0.8250 0.8684 0.9024 0.9305 0.9545 0.9757
ink1/6 0.6749 0.7575 0.8105 0.8503 0.8825 0.9097
jtti (k + 3.449)1/6 0.8655 0.8953 0.9208 0.9431 0.9632 0.9813
Ak-ßlkV6 0.1501 0.1109 0.0919 0.0802 0.0720 0.0659
Ak — + 3.449)1/6 -0.0405 -0.0268 -0.0184 -0.0127 -0.0086 -0.0056
k 7 8 9 10 11 12
tk 8.7438 9.8059 10.8636 11.9176 12.9685 14.0166
Ak 0.9946 1.0117 1.0274 1.0419 1.0555 1.0681
/life1/6 0.9334 0.9544 0.9734 0.9906 1.0065 1.0212
jtti (k + 3.449)1/6 0.9979 1.0132 1.0274 1.0407 1.0533 1.0651
Ak-ßikV6 0.0612 0.0573 0.0541 0.0513 0.0490 0.0469
Ak — + 3.449)1/6 -0.0033 -0.0015 0.0000 0.0012 0.0022 0.0030
Заметим, что разность Ак — М1(к + 3.449)1/6 монотонно уменьшается, начиная с к = 52.
Литература
1. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952. 476 с.
2. Антонов В. А., Тимошкова Е.И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988. 270 с.
3. Антонов В. А., Холшевников К. В., Шайдулин В. Ш. Об оценке производой многочлена Ле-жандра // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 4. С. 3—9.
4. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992. 240 с.
5. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: УРСС, 2003. 352 с.
6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. СПб.: Лань, 2009. 800 с.
7. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. 797 с.
Статья поступила в редакцию 24 октября 2013 г.
Сведения об авторах
Холшевников Константин Владиславович —доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: [email protected]
Шайдулин Вахит Шамильевич — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник; e-mail: [email protected]
ON PROPERTIES OF THE INTEGRALS OF LEGENDRE POLYNOMIAL
Konstantin V. Kholshevnikov1'2, Vakhit Sh. Shaidulin1,3
1 St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7/9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected], [email protected]
2 Institute of Applied Astronomy RAS, Kutuzova nab., 10, St.Petersburg, 191187, Russian Federation; [email protected]
3 Pulkovo Observatory, Pulkovskoe chaussee, 65, St.Petersburg, 196140, Russian Federation; [email protected], [email protected]
Properties of the integrals of Legendre polynomial Pn(x)
Pno(x) = Pn(x), Pnk(x) = J Pn,k-l(y) dy
on the main segment — 1 < x < 1 are exposed. One defines the generating function
(1 — 2xz + z2)k-1/2 = Qk(x,z) + ( —1)k(2k — 1)!! £ Pnk(x)zn+k,
n = k
where Qk is a polynomial of degree 2k — 1 with respect to each variable x, z if k > 0, and Qo = 0. A second-order differential equation is determined, an analogue of Rodrigues formula is obtained, and asymptotics when n ^ <x is deduced. The representation
Pnk(x) = (x2 — 1)k fnk(x)
is valid if and only if n > k; fnk being a certain polynomial not divisible by x — 1. As the main result we obtain exact estimate
|Pnfc(cos0)| < sin*-1/2 0, n>k.
v k+1/2 Here
1/2 = (n+ I)2 " (fc2 " l) " I?) . Ak = Vt^Jk(tk) Ml = 0.674885,
and Jfc(i), tfc are the Bessel function, and the first maximum of y/ijk{t) on the semi-axis t > 0, respectively. Below, we give a table of the values of tk, Ak, ^ik1/6, (k + 3.449)1/6, Akk1/6, and Ak"^i(k + 3.449)1/6 at k = 1,..., 12. Note that the difference Ak(k+3.449)1/6 monotonically decreases beginning with k = 52. Refs 7. Tables 1.
Keywords: integrals of Legendre polynomial, Bessel functions, asymptotics, estimate, recurrence.
