Асимптотика равномерной нормы присоединенных функций Лежандра Pkn (случай n- k ≪ n) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.586

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2009, вып. 3

АСИМПТОТИКА РАВНОМЕРНОЙ НОРМЫ

ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА (СЛУЧАЙ n — k < n)*

К. В. Холшевников1, В. Ш. Шайдулин2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, kvk@astro.spbu.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, shvak@yandex.ru

Введение. В настоящей работе продолжено исследование асимптотического поведения равномерной (чебышёвской) нормы (P¿) присоединенных функций Лежанд-ра при стремлении нижнего индекса к бесконечности. В статье [1] рассмотрен случай к <С п, точнее к = о(п2/3). Установлено, что (Р£) ~ Jknk, где Jk —наибольшее значение функции Бесселя порядка k. Символ используется для обозначения эквивалентности переменных при n ^ ж.

Здесь мы рассмотрим случай s ^ n, где s = n — k. Точнее, считаем далее

s = о(а/п) при п —> оо. (1)

При условии (1) также удалось найти асимптотику (P^-s), оказавшуюся отличной от полученной при малых k.

Нормы присоединенных функций Лежандра. Рассмотрим присоединенную функцию Лежандра

p4x) = (l-x2)^dkPn[X\ О^к^п, (2)

dxk

где Pn — многочлен Лежандра со стандартной нормировкой Pn (1) = 1.

Нас интересуют равномерная и среднеквадратичная (евклидова) нормы Рк, чаще всего употребляемые на практике. Если f — произвольная непрерывная на отрезке [—1,1] функция, то по определению

</)=тах|/(х)|, \\п2 = \ J\f(x)\2dx. (3)

Наибольшее значение и интеграл здесь и ниже берутся на основном отрезке [—1,1]. Нормировка в (3) выбрана из условия (c) = ||c|| = |c|.

Евклидова норма и оценка чебышёвской нормы известны (см. [2, 1]):

J 1 (n + fc)!=||pfe|| ^ /pfc) ^ J2n+1 npfcll (4)

у 2n + 1 (n — k)\ ^ ^ V 2-4o " W

где Skо — символ Кронекера.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-02-00230) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-1323.2008.2).

© К. В. Холшевников, В. Ш. Шайдулин, 2009

Положим к = п — в. Поскольку при в = п задача тривиальна: (Рп) = 1, считаем ниже

в < п. (5)

Неравенства (4) преобразуем к виду

1 (6)

2п +1 в! 11 п 11 " ' п ' ^ V 2в!

Применяя к содержащему п факториалу приведенную в Приложении 2 формулу (45) с учетом условия (1), получим асимптотические оценки

/ 2п\n-V2-V4 , с чп-я/2+1/4

\\П\ <(Рп-в)<Мв1^-) . (7)

Здесь

л/27г/е _ _ /7

^^ V 2

Символ «<<» означает оценку главных членов асимптотики при п ^ то. Покажем, что (РП-Я) растет как (2п/е)п-я/2 и найдем константу

-п+я/2

п—у е /

За основу возьмем разложение Рп(х) по степеням х (см. [2, 3]):

,Х2)(п-«)/^ (_ 1)тЬпятх»-2т

Р"-Я(х) = (1 — х2)(п-я)/2 ^ ( — 1)т6п8тх8-2т, (8)

т=0

= (1 - х2)("-8-2)/2д„8(х). (9)

Здесь

К«+1)/2]

т=0

причем

дп8(х)= (—1)т+1&п8тх8+1-2т, (10)

(2п - 2т)! пят 2п т!(п — т)!(в — 2т)!'

, _ (2п - 2т)![п(в + 2т + 1) - 2тв] пят = 2™т!(п — т)!(в + 1 — 2т)! "

Для нахождения (Р,п-я) следует найти вещественные корни многочлена (10) и выбрать среди них дающий наибольшее значение величине |Р"-Я(х)|. Как известно [2], функция Р"-Я(х) в интервале —1 < х < 1 имеет ровно в корней. Следовательно, Р"-Я(х) на отрезке —1 ^ х ^ 1 имеет ровно в + 2 корня. По теореме Ролля производная (9) имеет при х € ( — 1,1) ровно в + 1 корень. Поэтому все корни многочлена <5пя степени в + 1 вещественны и лежат в интервале ( — 1,1). По симметрии можно ограничиться промежутком [0,1).

Несколько первых значений в. Для 0 ^ в ^ 4 нетрудно получить точные выра-

жения чебышёвской нормы Р'] Пусть в = 0,

и —в и •

<ЗпоИ = -пВпх, Р"(ж) = Р>„( 1 - Х^) 2 при £>

(2п)! 2™п!

(2п - 1)!!. (11)

Отсюда х = 0 и

(РП) = В

Пусть в = 1. Согласно (5) можно считать п ^ 2,

Яп1(х) = -£п(пх2 - 1), РП—'(х) = Япх(1 - х2)(п—1)/2.

Отсюда ж = 1 /а/п и

пп

(п—1)/2

Пусть в = 2, п ^ 3. Тогда

(12)

(13)

.2) (и — 2)/2

Максимум модуля Р" 2 достигается или в точке хо = 0, или в точке

Ж'

I Ъп - 4 п(2п - 1)

< 1,

причем

Р„п—2(хо)|

В

2(2п - 1) '

РГ2(Ж1)

2(та-1)Дп

п(2п - 1)

2(п — 1)(п — 2) п(2п - 1)

( -2)/2

Сравним значения Р" в точках хо и Ж1. Обозначим

д(п)

Рп—2(Х1)

РП—2(хо)

4(п - 1)

2(п - 1)(п - 2)

п(2п - 1)

( -2)/2

В Приложении 1, п. 1 установлено, что д(п) > 1. Поэтому наибольшее значение Р, принимает в точке Ж1:

п—2 п

(Р"—2) = 2В„

п - 1

1(2 п- 1)

1

5п - 4 ъ{2п — 1)_

( -2)/2

(14)

Пусть в = 3, п ^ 4. Тогда

Я пз(х) = -

В

4 9(п - 1) 2 3 пж----—ж +

2п - 1

рп—а/ \ _ " I 'а__^

п [Х) - 6 Ж г ~ 2п- 1

2п 1

В

Многочлен д„з (х) имеет два положительных корня

19(п — 1) — и 2п(2п - 1) '

Х2

/9(п - 1) 2п(2п — 1)

где и = а/57п2 — 150п + 81.

Легко показать, что 3п — 9 < и < 9(п — 1), и при этом

0 < Х1 < Х2 < 1. Вычислим интересующую нас функцию в точках хг, г = 1, 2:

РТ3(Хг )

Обозначим

Опу/9п-9+ (-1)ги[3п - 9 + (-1 )ги] 12п(2п - \)^2п(2п- 1)

1

9п-9 + (-1)гм 2п(2п - 1)

(п-3)/2

. (15)

51 (п) =

р п рп

3

(х2 )

[РП-3(Х1)]

(9п — 9 + и)(и + 3п — 9)2 /4п2 — 11п +9 — и

(9п — 9 — и) (и — 3п + 9)2 V 4п2 — 11п + 9 +

3

В Приложении 1, п. 2 показано, что 51 (п) > 1. Поэтому

/рп-3\ _ ОпЛ/9п - 9 + м(3п - 9 + и)

\ п 1

12п(2п - 1)у/2п{2п- 1)

1

9п - 9 + и 2п(2п - 1)

(п-3)/2

Перейдем к случаю в = 4, п ^ 5:

^п4(х) = —

Аг 24

2п — 1 (2п — 1)(2п — 3)

3

рп—4 ( \ _ £п ( 4 _ 6 т2 ,__

п 24 у 2п — 1 (2п—1)(2п —3)

где

хо =0, Х1 =

V = 2

17п-8-у п(2п - 1)

х2 =

)(1 — х2)(

¡7п — 8 + V п(2п - 1)

2)(п-4)/2

(п — 2)(11п2 — 40п + 24)

2п — 3

Легко показать, что V < 7п — 8 , (2п — 3)« > 2(4п2 — 17п + 12), и что

0 = хо < х1 < х2 < 1.

Вычислим интересующую нас функцию в точках хо, хг, г = 1, 2:

рп-4( ) = -^-

" К ' 8(2п — 1)(2п — 3)

(16)

РТ4(хг)

£>„(п - 2)[8п2 - 34п + 24 + (2п - 3)(-1)гг;] Зп2(2п — 1)2(2п — 3)

1

7п — 8 + ( —1)г-у п(2п - 1)

( -4)/2

2

и

и образуем отношения

92 (п) =

РГ4(*1)

Р

Р 7

и —4

(хо)

8(п - 2) [(2п - 3)г; - (8п2 - 34п + 24)] Зп2(2п- 1)

2п2 - 8п + 8 + V

п(2п - 1)

(и-4)/2

93 (п) =

Р„и-4(Х2)

Рпи-4(Х1)

(2п - 3)г; + (8п2 - 34п + 24) /2п2 - 8п + 8 - у\(п 4)/2 (2п - 3)г; - (8п2 - 34п + 24) ^2п2 - 8п + 8 + '

В Приложении 1, пп. 3 и 4 показано, что 92 (п) > 1, 93 (п) > 1, так что

0 < Р7и-4(хо) < |Р„ (Х1)| < Р„и-4(Х2).

Поэтому

(РГ4) =

£>„(п - 2)[8п2 - 34п + 24 + (2п - 3)«] Зп2(2п — 1)2(2п — 3)

1

7п - 8 + V

г(2п - 1) _

( -4)/2

(17)

Асимптотика для нескольких первых значений в. Полученные значения (Р"-я) оказались весьма громоздкими. Найдем асимптотику (Р"-я) и

А и-

(РГЯ)11РГ1-1-

Среднеквадратичная норма и ее асимптотика определены формулами (6), (7), так что

Аи-я =

Аи =

(2п — в)! ' М3 \2п) К п Л

(18)

Величина (Р™ я) согласно (12), (13), (14), (16), (17) пропорциональна Ви. В силу (11), (47),

(19)

Для степенно-показательных множителей используем класические разложения типа

п 2 \ п

11 -- + ---Ь

2 4п

1

1 \(и-1)/2

1/2.

В результате убеждаемся, что справедлива следующая

Теорема 1. При 0 ^ в ^ 4 равномерная норма и отношение равномерной и среднеквадратичной нормы присоединенных функций Лежандра удовлетворяют асимптотическим (при п ^ ж) соотношениям

'2п\ и-з/2

(РГ8)- 7.(^1

\и-в п

(20)

где коэффициенты зависят лишь от в.

~ е

п

а

Величины 73 и ё,3 связаны равенством

д/ С !е8

6а=ъ^, (21) у п

так что достаточно привести значения 78:

/- 2

7о = V 2, 71 = 72 = е

73 = _1( з + + 74 = ^1 + ^/22) е_(15+^2)/4^ (22)

Численные значения 78, ¿8 для первых в представим таблицей.

Значения 73, при 0 ^ « ^ 4

8 0 1 2 3 4

1.4142 0.7358 0.2981 0.1008 0.02982

1.0623 0.9112 0.8608 0.8314 0.8109

Асимптотика. Найдем асимптотику {Р"-8) и А"-8 при п ^ <х и произвольном в, удовлетворяющем условию (1).

Согласно (45) с учетом то = С(в) = о(л/п)

(2п — 2т)! 02п-2Ш+1/2„-пп-т

—--т— ~ / ' е п ,

(п — т)!

поэтому (8), (9) влекут

п |.з/2]

т_о то!(в - 2то)!(4п)т ' К* + 1)/2]

— (1_ж2)("-«)/2 у ^ ж , (23)

п \ е / у 7 ^ т.!(я — 2т)! (4п )т у /

~ (22)" ,1 1 V ' (-«г+,<.+2- + «*•«->-

ах \ е )

\ / т=п

~ ^ ■=■«-**>™ >' ' "'„к.; •(24)

При четном в одним из корней производной от Р" 8 служит х = 0, и в этой точке

Р„ (0)-(-1) ьпя,в/2 - 2П(8/2)!(П_8/2)! - (8/2)!(2е)в/2 [т) ' (25)

Для 0 < х < 1 введем переменную

1 1

У

Апх2 ' 2д/пу

Формулы (23), (24) принимают вид

о / 1 \(™-8)/2 /о„\"-»/2

(-) *.<•.»>. (ад

(п-8-2)/2 , 2п х п-(8-1)/2

^ \1 2(2еуУ+1 Апу) V"

Здесь

т=0

К« + 1)/2]

ж / \ х- 1)т(з + 2т + 1)ут

Ф2 {■%у)= > ---• 29

т!(в + 1 — 2т)!

т=0 4 '

Суммы в двух последних формулах сводятся к обобщенным гипергеометрическим многочленам

= (30)

в!

где

т!

т=0

причем одно из чисел а, в является целым неположительным. Если в = 0, то согласно (12), (19), (18)

/2 п\п

при 70 = а/2, ¿о = \/4/7г в согласии с (20)-(22).

Пусть в ^ 1. Обозначим через положительные корни уравнения

Ф2(в,у) = 0,

а через —корень, для которого |Фз(в, уя)| ^ |Фз(в, )| при всех Здесь Фз(в,у) — правая часть (26). Пусть

Ф4 (в) = |Ф1(в,уя)|.

Ниже мы убедимся, что (в + 2)-2 < у^- < в/4, так что соответствующие значения х^-имеют границы

1 в + 2 2 у/пуТ] 2 л/п

По условию (1) правая часть (32) меньше единицы, поэтому все х^- лежат в нужном интервале (0, 1). При фиксированном в

/ 1 \ (п-я)/2

п—то у 4пуг

Несложно показать, что при в = о(^/п)

1 в +2 , о < х3э = ^ < . (32)

1 \ (п-8)/2 1-— ] _ е-1/(8У,).

4пуя

В результате

( 2п\ "-я/2

где

|Ф3(8,Ув)|~7в( —) , (33)

7« = ^2(2еу8)-8/2е-1/(8^)ф4(5).

Таким образом, справедлива

Теорема 2. При условии (1) равномерная норма и отношение равномерной и среднеквадратичной нормы присоединенных функций Лежандра удовлетворяют асимптотическим (при п ^ ж) соотношениям (20), где 7Я = 7Я при нечетном в, а при четном

7*=таХ{^ (а/2)!(1)'/2 }; (34)

коэффициент 68 дается формулой (21).

Оценим границы промежутка, содержащего все вещественные корни многочлена Ф2. Очевидно, все они положительны. Образуем модуль г отношения последующего члена суммы (29) к предыдущему

(в + 2т + 3)(в + 1 - 2т)(в - 2т)

-г = -;-ГТ-;-V =

(в + 2т+1)(т + 1)

(в + 1 - 2т)(в - 2т) 2(в + 1 - 2т)(в - 2т) (т+1) + (в + 2т+1)(т + 1)

что убывает с ростом т.

Предположим, что у ^ 1/(в + 2)2. Тогда

в(в + 3)

г < г т=о = « « + 3)у < -г—4 < 1-

(в + 2)2

Таким образом, конечный ряд (29) имеет лейбницевский тип, так что Ф2(в, у) > 0. Определим теперь, при каких у значение г будет не меньше единицы. Достаточно, чтобы это было выполнено для отношения последнего члена суммы к предыдущему. Пусть в четно:

12(2в +1) в(2в - 1)

Если в нечетно, то

в(2в - 1) ^ У ^ 12(2в + 1)'

4у в

— > 1 У > 7.

в 4

При у ^ в/4 сумма (29) имеет лейбницевский тип, если поменять порядок суммирования на обратный. Поэтому Ф2(в,у) = 0. Итак, все вещественные корни многочлена Ф2(в, у) лежат в интервале (в + 2)-2 < у < в/4.

Для в = 1, 2,..., 30 были проведены численные расчеты. Оказалось, что многочлен Ф2(в, у) степени в = [(в + 1)/2] имеет в положительных корней (в + 2)-2 < уЯ1 < уЯ2 < ... < уЯ5 < в/4, причем уа = уя1, 7Я = 7Я. Напомним, что наименьшее из чисел у^-отвечает наибольшему из xsj.

На рисунке представлены результаты расчетов. Значения уа убывают, соответственно критическое значение х возрастает вместе с в при фиксированном п. Значения 68 хорошо ложатся на кривую

бя =

со

(в + С1)с '

(35)

где постоянные оцениваются по методу наименьших квадратов

с0 = 0.9233 ± 0.0008, с1 = 0.2086 ± 0.0040, с = 0.0897 ± 0.0003. (36)

Естественно высказать гипотезу, что таково поведение уа, 68 при произвольных в, и что

7я = 7«.

Приложение 1: вспомогательные оценки.

1. Пусть при п ^ 3

9(п) =

4(п - 1)

2(п - 1)(п - 2)

г(2п - 1)

( -2)/2

Оценим 9(п) снизу. Логарифмируя и дифференцируя, получим

, ^ , 4(п - 1) п - 2 2(п - 1)(п - 2) 1п д(п) = 1п —-- Н--1п ——-—-—-—-,

УК ' п 2 п(2п- 1) '

2(п - 1)(п - 2)

2

d 1п 9(п) ¿п

5п - 4

(п - 1)(2п - 1)

+ 1п

п(2п - 1) '

2

1п 9(п) - 10п2 + 16п - 7

¿п2

+

5п2 - 8п + 2

5п3 - 6п2 + 2

(п - 1)2(2п - 1)2 п(п - 1)(п - 2)(2п - 1) п(п - 1)2(п - 2)(2п - 1)2

Последняя дробь положительна при п ^ 3, поэтому производная от 1п 9(п) возрастает и остается меньшей своего предельного значения

сПпд(п) Ит й\пд{п) = р

¿п

¿п

п—>оо

Поэтому ln g(n) убывает и остается большим предельного значения

5

Inд(п) > lim Inд(п) = 1п4 — — = 0.136 . .., д(п) > 1.

n—4

2. Рассмотрим при n ^ 4 функцию

gi(n, u) = hi(n, u)h-2(n, u),

где

(9n - 9 + u)(u + 3n - 9)2 /4n2 - 11n + 9 -

h\{n,u) = --—-, h,2(n,u)

n —3

(9п — 9 — и)(и — 3п + 9)2' ' ' \4п2 — 11п + 9 + '

Оценим 51 снизу при и = а/57 п2 — 150п + 81. Выгоднее считать и независимой переменной в промежутке

7п — 9 < и < Ь(п — &1), Ь= а/57 = 7.549..., 61 = 25/19 = 1.315... (37)

Для оценки Л-2 воспользуемся неравенством

о

(1 -х)у > е-^+^У, 0 < х < у> 0 (38)

5

при

2 и

у = п — 3.

4п2 — 11 п + 9 + и При фиксированном п величина х возрастает вместе с и, так что

2Ь(п — Ь1) Ь

х <_-_-_ < _

4п2 - (11 - Ъ)п — {ЪЪ\ — 9) 2п ' что меньше 3/5 при п ^ 7. Далее,

+ ж2)у < Ь(2п + Ь)(п-3) < Ь(п + 1) ^ > е_ь(п+1)/(2п)

4п2 2п

При п ^ 63 получаем

/¿2(п, и) > е-32Ь/63 = (46.285 .. .)-1.

Обратимся к hi. Вычислим производную

dhi (n, u) 6(u + 3n - 9)

du (9n - 9 - u)2(u - 3n + 9)3

при

h3(n, u)

h3(n, u) = u2(5n - 9) - 27(n - 1)(n - 3)(7n - 9) Подставляя 7n - 9 вместо u, получим

h3(n, u) > 8n2(7n - 9) > 0.

Поэтому

, , , , , , (8n - 9)(5n - 9)2

4n3

u

Последняя величина возрастает вместе с п, так что при п ^ 63 выполнено /^(п, и) > 46.341, откуда

91(п,и) > 1. (39)

Справедливость (39) при 4 ^ п ^ 62 устанавливается прямыми вычислениями. 3. Рассмотрим при п ^ 5 функцию

92(п, V) = /-4(п, v)h5(n, V),

где

/4 (п, V) :

8(п - 2) [(2п - 3)v - (8п2 - 34п + 24)]

3п2(2п - 1)

, /5 (п, V):

2п2 - 8п + 8 + V

п(2п - 1)

( -4)/2

Оценим 92 снизу при

V = 2

(п - 2)(11п2 - 40п + 24)

2п - 3

Считаем V независимой переменной, изменяющейся в промежутке

62 (п - 63) < V < 62 (п - 64),

23

Ь2 = "\/22 = 4.69041..., Ь3 = — = 2.09090

Неравенство снизу верно при п ^ 25, сверху — при п ^ 5. Для оценки /5 воспользуемся неравенством (38) при

7п — 8 — V 7п — 8 — Ь2(п — Ьз) 7 — 62

(40)

91

Ь4 = — = 2.06818...

4 44

п(2п - 1)

п(2п - 1)

<

п4

2(п - 2) 5 '

у=

Далее,

2 (7 - б2)(2п + 3 - 62) 7 - 62

Ж + Ж < -77-- <

4(п - 2)2 2(п - 4)

/5(п, V) > е-(7-Ь2)/4 = (1.78139 .. .)-1. Обратимся к /4. Подставляя 62 (п - 63) вместо V, получим

/4(п, V) >

8(п - 2) [(262 - 8)п2 + (34 - 26263 - 362)п + (36263 - 24)]

3п2(2п - 1)

>

>

16(Ь2 -4)(та-2) 3(2п — 1)

(41)

Правая часть (41) возрастает вместе с п, поэтому /^(п, V) > 1.78531... при п ^ 50,

92 (п, V) > 1. (42)

Справедливость (42) при 5 ^ п ^ 49 устанавливается прямыми вычислениями. 4. Рассмотрим при п ^ 5 функцию

93(п, V) = /б(п, v)h7(n, V),

3

где

, , , (2п — 3> + (8п2 — 34п + 24) , (2п2 — 8п + 8 — V N (п 4)/2

= —---—-———— , кг(п,ь)=1

(2п — 3)« — (8п2 — 34п + 24)' 7 V2n2 — 8п + 8 +

Считаем V изменяющейся в промежутке (40) при п ^ 25. Для оценки Л-7 воспользуемся неравенством (38) при

2« 262(п — Ь4) п — 4 <77-^-7Б-гт:-7ГТ-£7, У =

2п2 — 8п + 8 + V 2п2 — (8 — 62)п — (6264 — 8)

Легко показать, что

Ь2 3 . 2. 62(п + 1) , 2ч Ь2(п + 1) X < — < - , х + х2 < ^ > (х + х2)у < 2\^ ] .

п 5 у 7 п(п — 4) у ' 2п

При п ^ 37 получаем

< ^7(п, V) > е-19Ь2/37 = (11.118 .. .)-1.

Обратимся к убывающей функции от V:

(262 + 8)п2 - (25254 + 362 + 34)п + (36264 + 24) 6 > (2Ь2-8)п2 + (34 - 2Ь2Ь4-ЗЬ2)п +(ЗЬ2Ь4 - 24) ' ^ '

Легко показать, что правая часть (43) возрастает вместе с п, так что ^б(п, V) > 11.149 ... при п ^ 37.

Таким образом, при п ^ 37

(п, V) > 1. (44)

Справедливость (44) при 5 ^ п ^ 36 устанавливается прямыми вычислениями.

Приложение 2: некоторые формулы для гамма-функции. При фиксированном вещественном в и х > |в| справедливо обобщенное представление Стирлинга [5, §1.1]

1пГ(ж + 0)= ( х + в- - ) \пх - х + - \п2тт + Р(в,х), (45)

22 где для Р справедливо асимптотическое разложение

Р(в х) х V (~1)т+1Бт+1(^ (46)

у ' ' т(т + 1)хт ' у '

т=1

Здесь Вк(в) — многочлены Бернулли [4, гл.2, §7], [5, §1.5.1] степени к. В частности,

1 1 3 1

во(0) = 1, в1{в) = е--, в2(в) = в2 - в +в3(в) = в3--в2 + -в.

Поскольку

— ОпГ(п 4- П Г9-п _ ПИ — _

2п~1г{п) ура

Г(2п) 2п

(2п)\\ = 2пТ(п + 1), (2п - 1)!! = -^-Ц = -=Г(п + 1/2),

то для двойных факториалов получаем

(2n)H ~ \plwn (—\1, (47)

\ e ) \ e / (2n)!! л/nn

Литература

1. Холшевников К. В., Шайдулин В. Ш. Асимптотика равномерной нормы присоединенных функций Лежандра P^ (случай k -С n) // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Вып. 2. 2009. С. 8591.

2. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952. 476 с.

3. Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988. 270 с.

4. Жук В. В. Лекции по теории аппроксимации. СПб.: ВВМ, 2008. 396 с.

5. Magnus W., Oberhettinger F., Soni R. P. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics, Third Edition. Berlin; Heidelberg; New York; Springer, 1966. 508 p.

Статья поступила в редакцию 19 марта 2009 г.