Асимптотика равномерной нормы присоединенных функций Лежандра Pkn (случай k ≪ n) Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСИМПТОТИКА РАВНОМЕРНОЙ НОРМЫ

ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА Р* (СЛУЧАЙ к < п)*

К. В. Холшевников1, В. Ш. Шайдулин2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, kvk@astro.spbu.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, shvak@yandex.ru

Введение. Известны [1] точные оценки равномерной (чебышёвской) нормы общего члена ряда Лапласа по сферическим функциям для гравитационного потенциала планеты в зависимости от дифференциальных свойств распределения масс. Однако на практике почти всегда используется среднеквадратичная (евклидова) норма. Представляет интерес перенос оценок с одной нормы на другую.

Обратимся сначала к элементарным сферическим гармоникам. Зависимость от долготы тривиальна. Достаточно рассмотреть присоединенные функции Лежандра Рк. Поскольку евклидова норма Рк известна, задача сводится к нахождению чебышёвской нормы. Основную роль играет нижний индекс. Поэтому главная цель работы — установить асимптотическое поведение при п ^ то. Оно оказывается различным для трех множеств изменения верхнего индекса: к ^ п, к = О(п), п — к ^ п.

В этой статье мы рассмотрим случай к ^ п, точнее, к = 0(па) при а < 2/3. В дальнейшем предполагается разобрать оставшиеся случаи и применить результаты к исследованию статистических свойств моделей гравитационного поля Земли, содержащих гармоники до степени п порядка 102 ^ 103 [2-5].

Нормы присоединенных функций Лежандра. Рассмотрим присоединенную функцию Лежандра

Рп(х) = (1 — х2)к^2--^ , 0 ^ к ^ п, — 1 ^ х ^ 1, (1)

ахк

где Рп — многочлен Лежандра со стандартной нормировкой Рп (1) = 1.

Нас интересуют равномерная и среднеквадратичная нормы Рк, чаще всего употребляемые на практике. Если / — произвольная непрерывная на отрезке [—1,1] функция, то по определению

(/) = тах|/(ж)|, \\f\l2 = ^ I\f(x)\2dx. (2)

Наибольшее значение и интеграл здесь и ниже берутся на основном отрезке [—1,1]. Нормировка в (2) выбрана из условия (с) = ||с|| = |с|.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-1323.2008.2), Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 годы)» Федерального агентства по образованию Минобрнауки РФ и РФФИ (грант №0902-00230).

© К.В.Холшевников, В.Ш.Шайдулин, 2009

Евклидова норма Р^ хорошо известна [6]:

'*' = Мтет (3)

Сравнимое с (3) по простоте выражение для (Рк) вряд ли существует. Ограничимся поиском асимптотического представления (Рк) при п ^ то. В этой статье считаем к/п ^ 0. Порядок (Рк) легко оценить. Гёльдеровские Ьр-нормы возрастают (см. [7, §1.5], [8, гл. 4, §3.3], [9, §2 Добавления]) вместе с показателем р. В частности,

II/II < (/), (4)

причем равенство достигается только в случае постоянства /. Для оценки равномерной нормы сверху воспользуемся неравенством С. Н. Бернштейна (см. [10, §73], [11, §4.1]) для производной от многочлена степени п

(/) (5)

с неопределенным1 коэффициентом Ск. Точная оценка Ск нам неизвестна, но грубую С к = к! получить легко.

Равномерная норма многочлена Лежандра равна единице. Таким образом, из (4), (5) получаем для присоединенных функций Лежандра

I 1 (п + к)\

2п + 1 (п — к)\

Равенство слева достигается только при п = 0, справа — только при п = 0, при к = 0 и при п = к =1. Левая часть (6) имеет порядок пк-1/2, а правая — пк. Покажем, что

ок\

)

(Рк) растет как пк, и найдем константу Иш„п к(Р^).

Асимптотика. Найдем асимптотику (Рк) и АП = (Рп)||Рп|| 1 при п ^ то. Верхний индекс может быть фиксированным или также расти вместе с п. Здесь мы примем

к = 0(пст), а < 2/3. (7)

При к = 0 имеем Р0 = Рп, так что

(Р„°) = 1, А°п = ^2^П. (8)

Наибольшее значение |Рп(х)| достигается при х =1. Разумно предположить, что при малых к наибольшее значение |Р^ (х) | достигается вблизи точки х = 1. Сделаем поэтому замену переменых х = 1 + у и представим производную Р,1к)(1 + у) в виде многочлена Маклорена:

П—к Р(к + т)(1)

Рік)(і + у) = Е " , Ут- (9)

т!

т=0

1 Заметим, что приведенная в [11, §4.1] оценка, из которой следует Ск = 1, ошибочна при п ^ 3.

Достаточно рассмотреть многочлен Чебышёва / = 4х3 — 3х при п = 3, к = 2.

Производные от многочлена Лежандра на правом конце промежутка ортогональности хорошо известны [1, 6]. Мы приходим к выражению

п—к

Рп (1+ У) = [—У(2 + у)]к/2 £ апктут, (10)

т=0

где

_ (п + к + т)!

пкт 2к+тт\(к-\-т)\(п — к — т)\

Представим коэффициенты (11) в виде

_ _ (п + к)!„ а

&пкт / , ч. ^пктРпкті

(п — к)!

где

п (п + к + т)!(п — к)!

апкт „і і т і/, N.1 Рпкт

2к+тт!(к + т)!’ (п + к)!(п — к — т)!п2т

Определим асимптотику аП^т, ап^т, впкт при п ^ то, к = 0(пТ). Пусть сначала

т = 0(пТ). Применим приведенную в приложении формулу (27). Можно считать (п + к + т)!=Г(х + в), (п — к)!=Г(х + 01) при х = п, в = к + т +1, 01 = —к + 1. Поступая подобным образом и с остальными факториалами, получим

1п/ЗпА:т = [-02 (к + Ш + 1) + (1 — к) — В^{к + 1) — (1 — к — то)] —

2п

_ 6~п2 + т + 1) + Вз(1 — к) — Вз(к + 1) — Вз(1 — к — т)] +

+ 0(п3т-3) + 0(п5<Т-4) = 0(пТ-1) + 0(п3<Т-2), (12)

где В* (в) —многочлены Бернулли. Отсюда

Иш 1п впкт = 0, Иш впкт = 1 (13)

п—п——

равномерно по к, т при к, т ^ СпТ при произвольном фиксированном С.

Изучим поведение впйт в зависимости от т при изменении т от 0 до п — к. Если т = 0, то впко = 1. Образуем отношение

/Зпй,т+1 _ п2 + п - (к + т)(к + т + 1)

Рпкт п2

Если к2 ^ п, то впкт убывает с ростом т, шахт рпкт = @пк0 = 1. Если к2 < п, то впкт сначала возрастает, затем убывает. Наибольшее значение достигается при (к + т)2 = п, точнее, при т = то = [л/й] — к. В любом случае, то = С?(л/п), и при т ^ то справедливы формулы (13).

Пусть теперь т ^ Сп2/3. В дальнейшем мы применим формулу (10) при у = (Э(к2/п2). Не умаляя общности, можно считать к ^ С\па, к + т ^ л/п, |у| ^ С^к2/п2. Найдем отношение последовательных членов суммы (10) и аналогичной суммы при

замене апкт на ^пкш:

апк,т+1Ут+1 _ п2 + п- (к + т)(к + т + 1) апк<т+1ут+1 _ п2

V '

апкт ут 2(т + 1)(к + т + 1) ’ а„кт Ут 2(т + 1)(к + т +1)‘

и получим оценку

< ^ (14)

2га2 2С2ч->/3-2» ’ ' '

что стремится к нулю при п ^ то. Поэтому слагаемыми соответствующих сумм при т ^ Сп2/3 можно пренебречь. Тем более, можно положить @пкт = 1 и получить

&пк,т-\-1У ^пА;,т+12/

апктуШ 5 апктут

где введено обозначение

а? ,--

У=~2^’ а = п^-2у.

Символ ««~» используется для обозначения эквивалентности переменных при п ^ то. Суммирование в (15) можно распространить до бесконечности в силу оценки (14). Итак, мы пришли к ряду, определяющему функцию Бесселя:

<>*>

Замечание. При а = 0(к) ^ у = 0(п 2+2т), ук = 0(п 2+3т) имеем

1 I У\к/2 1 (п + к)\ 2к

2/ -1’ ^куГП ’ (17)

и (16) согласуется с формулой (2) из [12, § 7.8].

Остается отыскать наибольшее значение правой части (16) по у € [—1, 0]. Поскольку асимптотические формулы в общем случае дифференцировать нельзя, найдем сначала производную от обеих частей (10):

п-к+1

+у) = -[-у^ + у)}^ 2^2 £ апктУт 7 (18)

т=0

где

= 2*+’"т1(к + т)1(п — к — т + 1)! |"(" + + 2™) -«* + "■№ + ™ - 1)1 ■

Очевидно,

, п2(к + 2т)

апкт ^ ( , 7 , \/ 7 , 1 \@"пкт-

(п + к + т)(п — к — т +1)

Если к = 0(пТ), т = 0(пТ), то а/пкт ~ (к + 2т)апкт. Если же к = 0(пТ), т ^ Сп2/3,

то соответствующими слагаемыми, как было показано раньше, можно пренебречь. По-

этому можно считать

! (п + к)!

апкт ~ (п _ 'anfcm,

так что

а лк/ ^ (п + к)!п2-к ( у\(к-2)/2 Т// ч

5/-<1+*>~-(„ - д,)!о (1 + 1) *“>• (19>

где ^ (а) — производная от Jk (а) по своему аргументу. Наибольшее значение |рп (1 + у) | согласно (19) достигается при а, равном одному из корней ^к. Наибольшее значение Jk модуля функции Бесселя Jk(x) на оси —то < х < то и на луче х ^ 0 для к ^ 1 достигается [13, § 15.31] при х, равном наименьшему положительному корню jk производной J/k:

J к = шах ^ (х)| = шах Jk(x) = Jk(jk).

-^<Ж<^ Ж>0

(20)

При к = 0 следует считать jo = 0, Jo = 1-Согласно [13, § 15.3] ^ = 0(к), так что

1

к2

У = ~2^Я=0[^)=0( Мы построили асимптотику

т-ьЛп + кУ-

(1+1)

к/2

(п — к)!

Акп~ ,7кП-кх (2п+1)

(п + к)\ (п — к)\

(21)

при п ^ то, к = 0(пТ), а < 2/3. В этих условиях выполнены соотношения (17), поэтому справедлива

Теорема 1. При к = 0(пТ), а < 2/3 равномерная норма и отношение равномерной и среднеквадратичной нормы присоединенных функций Лежандра удовлетворяют асимптотическим (при п ^ то) соотношениям

(Рк) ~ ^пк, Акп ~ Jfcv/2^+I.

(22)

Разумеется, 2п +1 в (21), (22) можно заменить на 2п. Мы не делаем этого, поскольку при к = 0 в (21), (22) знак эквивалентности можно заменить на знак равенства, как показывает сравнение с (8).

Асимптотика Jk. При произвольном к следует выяснить асимптотическое поведение Jк. В обширной литературе по бесселевым функциям мы не нашли соответствующей формулы. Но вывести ее нетрудно.

Поведение jk установлено [13, §15.83]:

jk = к + ^к1/3 + 0(к-1/3), ^ = 0.808618.

(23)

Остается воспользоваться формулой Никольсона, приведенной в [13, §8.43, формула

(5)]:

( к \ 1 1 '7к\совг) =3 ['/-1/з(2;1) + '/1/з(^1)] tgzcoszrЬ-^= tgzsmz2+0{k^l),

°°°* (24)

где

к

гг = -tg г, г2 = к! tgz - г - - tg г .

3

1

3

Положим в (24)

jk — к

соэ г = — = 1 — х, х

jk jk

у«к

2/3

1 + 0 ( к-2/3

1

,— і ж Зж2 г = ^[і + - + —+ ...

/—і 3 23 о

, tg,г = У2ж ( 1 +-ж + —ж +

1 о 4 о ,— tgz — г-------tg г =-------ж V 2ж + . . .,

З

=

8/и3

~9~

1 + О (к-2/3

г2 = -1^2 М5/2к-2/3 1 + 0 (V2/3

5 І V

В результате получаем

■1к = .1к(—\= пік-1/3 + 0(к-1).

V СОБ £

(25)

Здесь

Мі =

л/>

З

-і/з

Ч

18М3 9

= 0.674885.

Итак, доказана

Теорема 2. Наибольшее значение функции Бесселя при к ^ то имеет асимптотику

Зк ~ тк~з. (26)

Таблица 1. Значения .//,, , ./^

А: 3 к ^к Ч к ^к ■^к ч

0 1 - 0.6749 10 0.3027 0.3133 0.3035

1 0.5819 0.6749 0.5357 20 0.2433 0.2486 0.2446

2 0.4865 0.5357 0.4679 30 0.2136 0.2172 0.2148

3 0.4344 0.4679 0.4252 40 0.1947 0.1973 0.1957

4 0.3997 0.4252 0.3947 50 0.1810 0.1832 0.1820

5 0.3741 0.3947 0.3714 60 0.1706 0.1724 0.1714

6 0.3541 0.3714 0.3528 70 0.1622 0.1638 0.1630

7 0.3379 0.3528 0.3374 80 0.1553 0.1566 0.1560

8 0.3244 0.3374 0.3245 90 0.1494 0.1506 0.1500

9 0.3128 0.3245 0.3133 100 0.1443 0.1454 0.1449

Для небольших значений к числа •/& вычисляются непосредственно. В таблице 1 и на рисунке 1 для 0 ^ /г ^ 100 представлены значения Лк, Ук = ц\к^^ 1 = /лх(/с-Ь 1) — 1/3.

Как видим, согласие точных и асимптотических значений удовлетворительно даже для небольших значений к, причем ,1к значительно ближе к .1к, чем ,1к.

Приложение: формула Стирлинга. При фиксированном вещественном в и х > |в| справедливо обобщенное представление Стирлинга [14, § 1.1]

1пГ(ж + 0)

X + в — 1пж — Ж + -1п27Г + В(0, ж),

где для В справедливо асимптотическое разложение

(_1)т+1Вт+1(в)

Р(0,х) х ]Т

т(т + 1)хт

(27)

(28)

і

Рис. 1. Графики Jk (дискретен), Jk (сплошная линия) и J (штриховая линия).

Здесь Bfc (0) —многочлены Бернулли [14, §1.5.1] степени k. В частности,

Вт(0) = ( —l)m-Bm(l) = Вт, Вт( 1/2) = ^2т-1 —

где Bm —числа Бернулли. Напомним, что Во = 1, Bi = -1/2; остальные Bm с нечетным индексом равны нулю; B2m = ( — 1)m-i|B2m| = 0 при m ^ 1. Отсюда вытекает, что все Bm(1/2) с нечетными индексами равны нулю. Приведем первые многочлены Бернулли:

1 1 3 1 Во(0) = 1, В1{д)=д--, В2(0) = в2 - в + -, В3(в)=в3--в2 + -в. (29)

Авторы благодарны профессору В. В. Жуку за полезное обсуждение и ценные замечания.

Литература

1. Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холщевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988. 270 с.

2. Lemoine F. G., Kenyon S. C., Factor J. K. et al. The Development of the Joint NASA GSFC and NIMA Geopotential Model EGM96. NASA Goddard Space Flight Center, Greenbelt, Maryland, 20771 USA, July 1998.

3. Forste C., Schmidt R., Stubenvoll R. et al. The GeoForschungsZentrum Potsdam/Groupe de Recherche de Geodesie Spatiale. Satellite-only and combined gravity field models: EIGEN-GL04S1 and EIGEN-GL04C // Journal of Geodesy. Vol. 82, N 6. 2008.

4. Tapley B., Ries J., Bettadpur S. et al. GGM02 — An improved Earth gravity field model from GRACE // Journal of Geodesy. Vol. 79, N 8. 2005.

5. Pavlis N. K., Holmes S. A., Kenyon S. C., Schmidt D., Trimmer R. A Preliminary Gravitational Model to Degree 2160. International Association of Geodesy Symposia: Gravity, Geoid and Space Missions. 2006.

6. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952. 476 с.

7. Харди Г. Х., Рогозинский В. В. Ряды Фурье. М.: ФМ, 1959. 156 с.

8. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

9. Жук В. В. Лекции по теории аппроксимации. СПб.: ВВМ, 2008. 396 с.

10. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.; Л.: ГИТТЛ, 1947. 324 с.

11. Корнейчук Н.П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наукова думка, 1992. 304 с.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Справочная математическая библиотека. Высшие трансцендентные функции; функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: ФМ, 1966. 296 с.

13. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. 797 с.

14. Magnus W., Oberhettinger F., Soni R. P. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics. Springer, 1966. 508 p.

Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.