CC BY
58
МАТЕМАТИКА
УДК 517.586
ОБ ОЦЕНКЕ ПРОИЗВОДНОЙ ОТ МНОГОЧЛЕНА ЛЕЖАНДРА*
1, К. В. Холшевников2, В. Ш. Шайдулин3
1. Главная астрономическая обсерватория РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор
2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
3. С.-Петербургский государственный университет, инженер, [email protected]
В. А. Антонов
Введение. Известны десятки асимптотических формул и оценок функций
(1 - Ж )aPn (x)
на основном промежутке — 1 ^ x ^ 1. Здесь Pn — многочлен Лежандра со стандартной нормировкой Pn(1) = 1. Ниже считаем x = cos в, 0 ^ в ^ п. Значительная часть оценок содержит неулучшаемые константы. Так, асимптотической формуле (см. [1], [2, §3.9.1])
Pn (cos в) =
2
f-sin в
cos
»+5>-ї
+ о[-
п
соответствует оценка
IV sin 9Pn (cos t
<
п(п + 1/2)
(1)
(2)
Точность константы \/2/т1 и даже слагаемого 1/2 в знаменателе (2) доказана в [3, §4.6]. Из (1) немедленно вытекает
Pn-1 (cOS в) - Pn+1 (cOS<
8sine
+ o[-
n
(3)
* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-3290.2010.2), Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 годы)» Федерального агентства по образованию Минобрнауки РФ и РФФИ (проект №2.1.1/504).
© В.А.Антонов, К.В.Холшевников, В.Ш.Шайдулин, 2010
2
пп
Левая часть (3) с точностью до постоянного множителя совпадает (см. [1]) с sin2 edPn(cos e)/dx, так что
• 3/2 adPn(cosO) Í2n
31П / Н------------- = л / -
dx
+ о[ -
n
Если бы асимптотика в (4) была равномерной по в, то из (4) следовало бы
М < А а/ п + а
при А = \j2fn и подходящем а. Для краткости мы положили
(4)
(5)
М= шах \и(в)\, и (в) = sin3/2 g^”(cos^) _
ü^e^ dx
Однако асимптотика (4) неравномерна [1, 2], так что А может и превосходить \f2jn. В [3, §4.6] доказано неравенство (5) при А = 2/л/й, а = 1/2.
Цель настоящей работы — найти точную константу A в оценке (5). По симметрии ограничимся отрезком 0 ^ в ^ п/2. При n = 0 тождественно и = 0. При n =1
M = п(в\) = 1,
п/2.
При n = 2
21/2 . 37/4 /3"
и = 3 sin3/2 в cos в, М = и(6\) = —~^]~а— = 1-293495, = arcsin W-<—.
Считаем ниже n ^ 2, если не оговорено противное.
Оценка п(в). Из дифференциального уравнения для полиномов Лежандра без труда выводится уравнение
' + р(в)п = 0,
(6)
где
р(в) = V2 —
4 sin2 в ’
1 5 V = n Н— > — ,
2 2’
штрихи означают производные по в.
Уравнение (6) с точностью до обозначений имеет вид (32) (см. Приложение 2) при £ = п/2 (значение в = п/2 допускается), р0 = —3/4, р(£) = V2 — 3/4 > 0, а = 3/2. Функция и является единственным решением (6), непрерывным вместе с первой производной на отрезке 0 ^ в ^ п/2, вещественно-аналитическим при 0 < в ^ п/2 и представимым рядом
ao = 1.
к=0
Пользуясь соотношением (33) приложения 2, получим
M = п(в1),
(7)
(8)
где в\—первый локальный максимум функции и. Заметим, что агсзш(\/3/2г/) < в\ < п/2.
п
3
п
Ниже понадобятся сведения о величинах ак. Запишем (6) в виде
4 sin2 в(и" + V и) — 3и = 0.
Выражая sin2 в через cos 2в и применяя стандартное разложение косинуса, найдем
^ o2m+l/)2m
4 sin2 в = V(-1)“-1
m=1
(2m)!
Отсюда при к ^ 1 выводим рекуррентность
ак —
+
(4к - 1)(4к - 3)
4к(к +1) 48к(к +1)
ак-1 +
(4/г — 5) (4/с — 7) _12к(к+1) 360к(к + 1)
ай-2 + • •• , (9)
где опущенные члены суть линейные комбинации а8 с меньшими индексами, коэффициенты при которых — линейные функции от V2. Из (9) следует, что ак являются многочленами от V2 степени к:
ак — akov2k + akiv2k 2 +----------
(10)
Из (9, 10) получаем рекуррентности
1
ак0 —
4к(к + 1)
ак-1,0 , аоо — 1,
(11)
1 (4к - 1)(4к - 3) 1
а-к 1 — , N Qfc-ід Н-----лп, /, , , N-----Qfc-i,o + , N afc-2,0 , aoi — 0. (12)
4к(к + 1) Из (11) вытекает
48к(к +1) ^1,0 ' 12к(к +1)
(-1)к
ак0 —
4кк\(к + 1)! '
Теперь можно вычислить сумму двух последних слагаемых в (12):
(13)
1 , (-1) ак 1 — 7ТТІ—: 7\ак — 1Л ~т
к1
4к(к +1)
4к+1к!(к +1)!
Полагая
приходим к соотношению
ак1 —
(-1)к 1
4к к!(к + 1)! 1
откуда
Окончательно,
ак — ak-1 - ^ > ао — 0,
! /г ( —I)*-1/?
afc~_4’ °'к1 “ 4fe+1/c!(/c + 1)! '
_ i-1)* (,2k к 2к-2 ,
afc - 4*jfe!(ife + l)! Г “ 4 + • • '
Сопоставим (6) с уравнением сравнения
// + p1(9)u1 — 0
(14)
(15) 5
2
к
при
Рі(в) = - -ш ’ 1У1 = л/Iу2 - /3= л/п2 + п--/,
3 3 1 3
/3=-------^ = 0.446036, 7 =------^ = 0.196036.
4 п2 2 п2
Ясно, что (15) также имеет вид (32) при £ = п/2, ро = —3/4, р1(£) = V2 — 3/п2 > 0, а = 3/2. За и1(в) примем решение (15), непрерывное вместе с первой производной на отрезке 0 ^ в ^ п/2, вещественно-аналитическое при 0 < в ^ п/2 и представимое при 0 ^ в ^ п/2 в виде
= 6о = 1 (16)
к=0
Простое рекуррентное соотношение
VI
Ък = ~Щк + 1)Ък-1
влечет
V
2к
1
Ък ^ ^ 4:кк\(к + 1)! ' ^
Согласно приложению 1
рі(в) ^ р(в) при 0 ^ в ^ п/2 ,
причем равенство достигается лишь при в = п/2. Поэтому по теореме сравнения Штурма (см. [4, §6.2], [5, §20])
м(ві) <мі(ві)^ (18)
Замечание. В формулировке теоремы сравнения фигурирует непрерывность р и рі в нуле. Но в доказательстве используется лишь непрерывность разности р — рі, имеющей место в нашем случае.
Легко получить явное выражение для функции и\{в). Подстановка і = V\в, и\ = \Z2tu2 приводит (15) к уравнению Бесселя
і2 Ц-2 + Ри 2 + (і2 — 1)м2 = 0, (19)
где точки символизируют производные по Р. Нужное нам решение голоморфно в нуле, поэтому
и2 = С.]1 (і), щ = а/2Їс7і(і) = + •••)•
Сравнив с (16), найдем
_ п(п + 1)_ _з/2
с_—Ті-1 '
В результате
Г т г \ п(п + 1)
и 1 = г/2уі-/і(і), ^2 = ------^Г2—•
V1
Отсюда с учетом (8, 18)
М = и{ві) <иі{ві) =V‘2^/tJl{t)\ < г/2 тах аЛ|7і(і)|,
так что
М < Аи2 при А= тах л/£|^1(£)|. (20)
0<<^>
Элементарно доказывается, что при п ^ 1
”2 < ^п + ^ . (21)
Заметим, что для достаточно больших п слагаемое 2/3 в (21) можно заменить на 1/2+е при сколь угодно малом е. Однако
г/2> \!п+\ при п ^ 1.
Итак, соотношение (5) установлено при а = 2/3 и указанном в (20) значении А. Осталось вычислить константу А. Функция и^(Ь) = л/^М^) отличается от и\(в) лишь линейными преобразованиями зависимой и независимой переменной, что позволяет без труда вывести дифференциальное уравнение
3
йз +Рз(^)и3 = 0, р3(г) = 1-_. (22)
Уравнение (22) с точностью до обозначений имеет вид (32) при £ = то, ро = —3/4, Р1(£) = 1, <7 = 3/2. Поэтому наибольшее значение |мз(^)| положительно и достигается в точке первого максимума £ = ¿1, причем > л/3/2. Вычислительные трудности отсутствуют, и мы получаем
¿1 = 2.165871, А = \ZtiJiiti) = 0.825031.
С найденными значениями а, А неравенство (5) выполнено при всех п ^ 0. Константа А получилась несколько превосходящей фигурирующую в асимптотической формуле (4) постоянную \/2рк\
[2 А
А = 0.825031, \ - = 0.797884, -^= = 1.034023.
V 7Г уГЩ
Точность константы А. Докажем, что постоянная А точна. Используя ряды (7), (16), вычислим разность
2у3/‘2 а—' V2
^1 к=1 1
Как и выше, в = t/v1. Согласно (14), (17)
Ьк—ак
( —1)к 1 Г.2к /..2 а\к к, ,2к-2 , 1 ( —1)к ^
4кк!(к +1)! Поэтому
Ьк — ак _ ( —1)к 17
4к(к — 1)!(к + 1)!
[V2к-2 +
Иш Л__________1 ^___I__________ (24)
у—юо V 2к-2 Ак {к — 1)\(к-\-1)\
Сопоставляя (23) и (24) при в = tl/vl, получаем
Ііт
. М г1
иі I — - и —
Vl \^і
0^
(25)
Тем более это равенство справедливо при замене u(tl/vl) на М, поскольку выражение в квадратной скобке уменьшится, оставаясь положительным согласно (18).
Точность константы А доказана.
Заключение. Приведем в явном виде оценку (5)
(1 — х2)3/4
йРп (х)
йх
<А\/п+^
п >■ 0,
и оценки
|Рп-і(х) — Р„+і(х)| <
2А
'-і
Рп(у) йу
л/п -\-1/3
-3/2
(1 — х2 )і/4,
< А(п+-
(1 — х2)
2 ) і/4
(26)
(27)
(28)
полученные с учетом стандартных соотношений (см. [1])
Рп-і(х) Рп+і(х)
2п+ 1
п(п + 1)
(1 — х )
2 йРп(х)
йх
1 — х2 йРп (х) п(п + 1) йх
При выводе (27) использовано неравенство
2п +1
<
2
г/3/2 у/п+1/3 ’
При п = 2 и п = 3 неравенство (27) проверяется непосредственно. При п =1, х = 0 неравенство (27) неверно.
При выводе (28) использовано очевидное неравенство
3/2
Авторы выражают глубокую благодарность доценту Л.Я.Адриановой за полезное обсуждение работы и ценные замечания.
Приложение 1. Функция
/(х)
• 9 9
ЯІП х х2
(29)
и все ее производные неотрицательны в промежутке [0, п) и положительны в интервале (0,п). Для доказательства достаточно продифференцировать известное разложение котангенса (см. [6]):
п=0
22п+2(2п + 1) (2п + 2)!
Вп+іх2п = т + т'-ж2 + ..., \х\ <
3 15
где Вп —числа Бернулли. 8
V—>-оо
X
1
1
В частности,
14 п
- ^ /(ж) ^ 1---тг = 0.594715 при 0 ^ х ^ — . (31)
3 п2 2
Приложение 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
У" + p(x)y = 0, 0 <x <£, (32)
где £ — положительное число или +то; p — вещественно-аналитическая возрастающая в интервале (0, £) функция; существуют пределы
lim x2p(x) = po, lim p(x) = p(£),
x^+0 0
причем po —отрицательное, p(£) —положительное число.
По теореме Фукса [7, теорема 6.7.1] уравнение (32) имеет однопараматрическое семейство непрерывных вместе с первой производной на [0, £) решений вида
у = Cz(x),
где z — вещественно-аналитическая на (0, £) функция от x, причем
lim х az(x) = 1, а = \ + \ \ - р0 > I.
x^+0 2 V 4
Очевидны следующие свойства решения z(x) уравнения (32): z(0) = 0, z'(0) = 0, z" ~ —poxa-2 при x ^ +0; справа от нуля функция z(x) положительна и возрастает вплоть до некоторого xi > x, где x — единственный на (0, £) корень уравнения p(x) = 0; если xi = £, то
sup |z(x)| = max z(x) = z(x1); (33)
0^x<£
если xi < £, то в точке xi наблюдается локальный максимум z(x). Заметим, что при конечном £ функции p(x) и z(x) непрерывно продолжимы в точку £, а при £ = ж всегда xi < ж.
Если xi < £, то соотношение (33) справедливо по следствию из теоремы Сонина— Пойя [4, §6.2], [5, § 19] для промежутка [xi,£).
Литература
1. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952. 476 с.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1965. 296 с.
3. Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988, 270 с.
4. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992. 240 с.
5. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: УРСС, 2003. 352 с.
6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. СПб.: Лань, 2009. 800 с.
7. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991. 330 с.
Статья поступила в редакцию 7 сентября 2010 г.
