CC BY
34
УДК 517.58 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 2
К. В. Холшевников
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА*
Введение. Свойства многочленов Лежандра
1 Яп
Рп(х) = -7—-[(ж2 - 1)п1
изучены детально — см., например, [1-7]. Отметим только важные для дальнейшего.
1. На концах основного промежутка [—1, 1] модуль полинома обращается в единицу, оставаясь меньше единицы в интервале ( — 1, 1).
2. Коэффициенты
(2п — 2к)\
Рпк 2пк\(п — к)\(п — 2к)\ [ >
стандартного представления
\п/2\
Рп(х) =( — 1)кРиихп-2к (2)
к=0
являются рациональными числами. 3. Коэффициенты рпк быстро растут вместе с п:
/ \ 1/п
Иш ( тах рпк) = Иш (рп)1/п = Ч-
п—\ к 1 п—
Здесь и ниже
|п/2\
Рп = Рпк ' 9 = 1 + ^2 = 2.414213 ... , с = д-2 = 3 - 2д/2 = 0.171572 ...
к=0
4. Справедливо рекуррентное соотношение
2п + 1 п
Рп+ = -—хРп(х)--— Рп_1(ж). (3)
п+1 п+1
Первое и третье свойства приводят к быстрой потере точности при вычислении значений Рп(х) по формуле (2). Применение (3) и подобных рекуррентных соотношений существенно замедляет эту потерю. Рациональность коэффициентов в равенствах (2, 3) позволяет обратить в нуль вычислительную ошибку при рациональном х. Достаточно прибегнуть к рациональной арифметике.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-02-17408), Программы Университеты России (грант УР.02.01.301) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-1078.2003.2). © К. В. Холшевников, 2006
В этой статье мы покажем, что коэффициенты рпь являются целыми числами, деленными на некоторую степень двух, и дадим явное выражение этой степени в функции от п, к. Тем самым аккуратное использование формулы (2) или (3) приводит к точному вычислительному результату не только в рациональной арифметике, но и в арифметике г-ичных дробей, если г — четное число (в частности, для наиболее распространенных двоичных, восьмеричных и десятичных дробей). Кроме того, мы уточним третье свойство.
Рост коэффициентов. Мерой потенциальной потери точности выберем сумму рп коэффициентов рпи. Согласно (2) величина рп равна г-пРп(г), где г — мнимая единица. Воспользуемся стандартным представлением Рп(х) вне разреза [—1, 1] вещественной оси [2, §8.3]:
ЕП i п-2m (2т _ 1)!!
(-1) ЯтЯп-тЯ , Ще Зт =
=0
(2т)!!
(4)
Теорема 1. Справедливы соотношения
lim =
H
--q' <Pn <
H
Здесь
H
а/пТТ 1п \/п + 1/4 1 л/2 + У2
qn .
= 0.521243... .
(5)
(6)
Доказательство. Равенство (5) есть частный случай формулы Лапласа—Гейне [2, §8.21]. Разумеется, оно вытекает из (6). Однако вывод последних соотношений опирается на (5).
Неравенства (6) для п = 0,1, 2, 3 проверяются непосредственно. Пусть п ^ 4. Перепишем (4) в виде
Рп = ЯпЧ
lAn , где An = ¿(-1)
m m
^nm^
(7)
Здесь anm = GmOn-m/Qn• В частности, an0 = ann = 1. Представим разность An+1 - An в форме
где
An+i - An = ^(-1)m-16.
mi-1i, cm
(8)
m=1
1
(2n+l)(2n-l)
— (—с)п , если т =1,
если 2 < т ^ п.
К, (2п+1)(п—т+1) пт >
Докажем, что правая часть (8) представляет собой сумму лейбницевского типа. При 2 ^ т ^ п — 1 отношение модулей последовательных членов (8) равно
bn,m+1 (2m + 1)(n - т +1)
"С = -—---—-С ^ ОС < 1.
m(2n - 2т - 1)
n
q
b
nm
m
nm
При т =1
Ьп2 3пс
Ьп1 ^ (2п — 3)[1 — (2п +1)(2п — 1)сп] ' что убывает с ростом п, так что
Ъ„2 12с
ЪП1 ° ^ 5(1 — 63с4) '
Итак, Ьптст убывают с ростом т, сумма (8) положительна, так что последовательность Ап возрастает. Ее предел согласно [2, §8.3] равен (1 + с)-1/2. Поэтому
А„ < 1
а/Н-с'
Введем вспомогательную переменную
х„ = 7
и рассмотрим отношение
' хп+1 \2 16п3 + 36п2 + 24п +5
хп 1 16п3 + 36п2 + 24п + 4
> 1.
Следовательно, последовательность хп возрастает и хп < Ншп^«, х„ = 2/л/й", где в конце использована формула Валлиса.
Перейдем к оценке снизу. Введем вспомогательную переменную
Уп = 9пЛ„\/п+ 1
и составим разность
^ 1 т=0
Здесь
где
п — т +1
_ ( 2(п + 1)2 — (2п +1) [1 + (—с)п+1] Ап , если т = 0, пт 1 2(п + 1)(п — т +1) — (2п — 2т + 1)Ап , если 1 ^ т ^ п
при Л„ = у/(п+ 1 )(п + 2).
Докажем, что правая часть (9) представляет собой сумму лейбницевского типа. Легко показать, что
2Ап = 2п + 3 — вп , (10)
причем вп убывает с ростом п и 1/(4п + 6) < 9п < 1/(4п + 5). Достаточно вп = (2п + 3) — 2Ап домножить и разделить на соответствующую сумму. Преобразуем гпт с учетом (10):
¡1 — (2п +1)(2п + 3)(—с)п+1 + (2п +1)[1 + (—с)п+1 ]0п , если т = 0,
/ пт> — л
I 2т +1 + (2п — 2т + 1)вп , если 1 ^ т ^ п — 1.
а
^пт
пт
Образуем отношение znm = rnm+i/rnm:
3 + (2n - 1)0n
__pf ffTT Til = U
1 - (2n + l)(2n + 3)(—c)™+1 + (2n + 1)[1 + (-c)™+1]0„ ' 2то + 3+(2п-2то-1)6>„
2то + 1 + (2п-2то + 1)6>„ ' Производная от znm по 0n отрицательна, поэтому
3
если 1 < m < n — 1.
< 4, если m = 0,
■ I - I fit —I— I I I fit —I— Л I I -r- I n 1
z<
1 - (2n+ l)(2n + 3)(-c)™+1
2т + 3
-, если 1 < то < п — 1.
. 2т +1
Оценим отношение модулей последовательных членов суммы (9). При 1 ^ т ^ п — 1
Еп,т+1 (2т +1)(п — т +1)с (2т + 3)(п — т + 1)
с = --——---тггпт < --——---—с < 5с < 1.
Епт (т +1)(2п — 2т — 1) (т + 1)(2п — 2т — 1)
При т = 0
Еп1 (п + 1)с 20
~Б~С = -ггп0 < Vе <
Кпо 2п — 1 7
Таким образом, сумма (9) положительна, последовательность уп убывает, уп > Уп = Н. Теорема доказана.
В качестве иллюстрации составим таблицу:
п 10 100 200 300 500 1000
Рп 1.05 103 9.72 1036 1.306 107Б 2.023 10113 5.629 10189 9.726 Ю380
Рп 1.09 10е1 9.86 10зь 1.322 10Yb 2.046 10113 5.692 10189 9.832 1038и
Рп 1.11 103 9.87 1036 1.323 107Б 2.047 10113 5.694 10189 9.834 Ю380
Здесь p— и p+ —левая и правая часть неравенств (6).
Таким образом, вычисление Pn(x) по формуле типа (2) может привести к потере 2 значащих цифр при n = 10, 111 значащих цифр при n = 300, 378 значащих цифр при n = 1000. Современные модели внешнего гравитационного поля Земли [8-11] в виде ряда Лапласа по сферическим функциям, например, уже используют многочлены и присоединенные функции Лежандра порядка выше трехсотого. Это необходимо для адекватного представления многочисленных спутниковых и наземных измерений, выполненных высокоточными приборами различных типов, ввиду медленной сходимости ряда Лапласа [12]. К сожалению, в публикациях [8-11] не описаны подробно методы преодоления вычислительных трудностей, связанных с потерей точности. Покажем, что проблема снимается переходом к арифметике r-ичных дробей, если r — четное число (в частности, для наиболее распространенных двоичных, восьмеричных и десятичных дробей).
Двоичное представление pnk. На множестве N натуральных чисел рассмотрим целочисленные функции a(n) —наибольшее из целых неотрицательных m таких, что n! делится на 2m, и fi(n) —число единиц в двоичном представлении n. Расширим область определения, полагая а(0) = в(0) = 0.
Лемма.
a(n) = n — в (n). (11)
В частности, для натуральных п
в(п) ^ 1, а(п) ^ п — 1, в(п — 1) ^ 1с^2 п, а(п — 1) ^ п — 1 — 1с^2 п, (12)
причем равенства достигаются тогда и только тогда, когда п есть степень двух.
Доказательство. Для п = 0,1, 2 равенство (11) проверяется непосредственно. Для произвольного натурального п воспользуемся двоичным представлением, эквивалентным записи
п = 2п +2п2 + ... + 2п ,
где п1 > п2 > ... > п ^ 0, ] = в(п) ^ 1. Если о = 1, то а(п) = а(2п1). При о > 1 представим п! в форме
п! = NN ■■■Щ ,
где N = (2п1)!, а при в > 1
N = Ц(Ма + г), Ма =2п1 + 2п2 + ... + 2п-1 . (13)
Г=1
Разложения г и Ма + г на простые множители содержат одинаковое количество двоек. Согласно (13) этим же свойством обладает и пара (2п)!, Ща. В результате при о ^ 1
а(п) = а(2п1 )+а(2п2) + ... + а(2п). (14)
Аналогично, представление
2т
т
(2т+1)! = (2т)^(2т + г)
Г = 1
приводит к соотношению
а(2т+1) = 2а(2т) + 1. (15)
С учетом а(1) = 0, а(2) = 1, из (15) по индукции следует а(2т) = 2т — 1, что равносильно
а(п) = п — 1, (16)
если п есть степень двух, то есть о = 1. Из (14), (16) вытекает
а(п) = 2п1 +2п2 + ... + 2п — о = п — в (п),
что доказывает равенство (11). Неравенства (12) теперь очевидны.
Теорема 2. Коэффициенты рпк многочленов Лежандра имеют вид
Рпк = 2п-р(к)-р(п-2к)Рпк ' (17)
где рпк — нечетные целые.
Доказательство достаточно провести для п € N. Перепишем (1) в виде
_ (2п — 2к\ (п\
^пк = ( п ){к).
Поскольку биномиальные коэффициенты — целые числа, рпи равно нечетному числу, деленному на степень двойки. Степень эта равна
п + а(к) + а(п — к) + а(п — 2к) — а(2п — 2к),
что по лемме совпадает с
п — в(к) — в(п — к) — в(п — 2к) + в(2п — 2к).
Умножение на 2 не меняет числа единиц в двоичном представлении числа, так что в(п — к) = в(2п — 2к), что и доказывает (17).
При к = 0 показатель степени в (17) равен п — в(п). То же при к = п/2 для четных п. При к = (п — 1)/2 для нечетных п показатель равен
n - ß ((n - 1)/2) - ß(1) = n - ß(n - 1) - ß(1) = n - ß(n). Поэтому для крайних коэффициентов
Рпк = 2n}ß(n)Pnk, если к = 0, к=[п/2\. (18)
Для остальных к также справедливо представление (18) с целыми (возможно, четными) рпк. В самом деле, неравенство в(а + Ь) ^ в(а) + в(Ь) очевидно, откуда
в(п) < в(2к) + в(п — 2к) = в(к) + в(п — 2к). (19)
В заключение выражаю искреннюю благодарность профессору В. М. Рябову и доценту Э.Д.Кузнецову за ценные замечания и доброжелательную критику.
Summary
K. V. Kholshevnikov. On a property of coefficients of Legendre polynomials.
It is demonstrated that the coefficient pnk by (—1)kxn-2k of the Legendre polynomial Pn(x) (with the standard normalization) is equal to an odd natural number devided by a power of two. A simple explicit expression for this power as a function of n, k is found. An exact bilateral estimation of the sum pnk over the index k is also obtained.
Литература
1. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М., 1952. 476 с.
2. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М., 1962. 500 с.
3. Самокиш Б. А. О поведении коэффициентов многочленов, приближающих регулярную на отрезке функцию // Методы вычислений. 1963. Вып. 1. С. 58-65.
4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М., 1965. 296 с.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М., 1966. 296 с.
6. Лнтанав В. А., Холшевников К. В. Оценка полиномов Якоби в комплексной области // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1979. Вып. 2 (№7). С. 10-13.
7. Годунов С. К., Михайлова Т. Ю. Представления группы вращений и сферические функции. Новосибирск, 1998. 197 с.
8. Галазин В. Ф., Каплан Б. Л., Лебедев М. Г., Максимов В. Г., Петров Н. В., Сидорова-Бирюкова Т. Л. Система геодезических параметров земли «Параметры Земли 1990 года» (ПЗ-90) / Ред. Хвостова В. В. М., 1998. 120 с.
9. Biancale R., Balmino G., Lemoine J.-M., Marty J.-C., Moynot B., Barlier F., Exertier P., Laurain O., Gegout P., Schwintzer P., Reigber Ch., Bode A., Gruber Th., König R., Massmann F.-H., Raimondo J. C., Schmidt R., Zhu S. Y. A New Global Earth's Gravity Field Model from Satellite Orbit Perturbations: GRIM5-S1 // Geophysical Research Letters. 2000. Vol. 27, P. 3611-3614.
10. Lemoine F. G. et al. The Development of the Joint NASA GSFC and the National Imagery and Mapping Agency (NIMA) geopotential Model EGM96 // NASA/TP-1998-206861. Nasa, Goddard Space Flight Center, Greenbelt, Maryland 20771, July 1998. 56 p.
11. Visser P. N. A. M., van den IJssel J., Koop R., Klees R. Exploring gravity field determination from orbit perturbations of the European Gravity Mission GOCE // Journal of Geodesy. 2001. Vol. 75, P. 89-98.
12. AHmoHoe В. А., TuMomKoea E. И., Холшевников К. В. Bвeдeниe в тeopию HbKiTOHoBcKo-ro пoтeнциaлa. М., 1988. 270 с.
Статья поступила в редакцию 2 июня 2005 г.
