CC BY
33
2016 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1. Том 3(61). Вып. 3
АСТРОНОМИЯ
УДК 521.14
0 ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЬНЫХ ТЕЛ*
Э.Д. Кузнецов1, К. В. Холшевников2'3, В. Ш. Шайдулин2'4
1 Уральский федеральный университет,
Российская Федерация, 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
2 Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
3 Институт прикладной астрономии РАН,
Российская Федерация, 191187, Санкт-Петербург, наб. Кутузова, 10
4 Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН,
Российская Федерация, 196140, Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, 65-1
Наиболее употребительным представлением гравитационного потенциала компактного тела T во внешнем пространстве в сферических координатах т,в,\ служит ряд Лапласа по сферическим функциям Yn(e,X). Для тел нерегулярной структуры известна оценка чебышёвской нормы (максимум модуля функции на сфере): {Yn) ^ Cn-5/2, C = const, n ^ 1. В работе получено явное выражение Yn(0,X) для нескольких модельных тел. Во всех случаях (за исключением одного) справедлива указанная оценка {Yn) при точном показателе 5/2. В одном случае, где тело T касается объемлющей T сферы, (Yn) убывают значительно быстрее. Именно, (Yn) ^ Cn-5/2pn, C = const, n ^ 1. Величина p < 1 равна расстоянию от начала координат до ребра поверхности T, выраженному в радиусах объемлющей сферы. Точность показателя 5/2 в общем случае подтверждена также на примерах тел, более или менее напоминающих реальные небесные тела. Библиогр. 16 назв. Ил. 6.
Введение. Будем рассматривать гравитационный потенциал V компактного тела Т во внешнем пространстве в сферических координатах г, в, А. Для представления этого потенциала в [1-5] предлагается ряд Лапласа
Здесь М — масса Т, К — масштабный множитель, Уп — безразмерная сферическая функция; постоянная тяготения принята равной единице. В общем случае сфери-
* Работа выполнена при финансовой поддержке Постановления № 211 Правительства Российской Федерации (контракт № 02.A03.21.0006), РФФИ (грант 14-02-00804) и Программы проведения фундаментальных исследований СПбГУ по приоритетным направлениям (грант 6.37.341.2015).
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016
Ключевые слова: гравитационный потенциал, ряд Лапласа, скорость сходимости.
ческая функция зависит от 2п +1 параметров (коэффициентов Стокса). Разработаны и применяются на практике эффективные методы определения коэффициентов Стокса по спутниковым измерениям [6-8]. В случае осевой симметрии выполняется Уп(в,А) = Уп(в) = спРп(сов в), и остается лишь один параметр сп. Как обычно, Рп обозначает многочлен Лежандра со стандартной нормировкой Рп(1) = 1. Формула (1) принимает вид
М ^ ГЕ\
п+1
рп(^в). (2)
п=0 V г /
Как принято в теоретических исследованиях, за Д примем радиус объемлющей сферы, содержащей Т внутри себя и имеющей с Т хотя бы одну общую точку.
Скорость сходимости ряда (1) существенно зависит от гладкости распределения масс в теле Т. Чем выше гладкость, тем быстрее сходится ряд, как это имеет место в теории приближения функций отрезками рядов [9-11]. Правда, в нашем случае понятие гладкости определяется довольно сложно [12]. Так, плотность может испытывать разрывы даже при пересечении поверхностей равной плотности, лишь бы сами они были достаточно гладкими. В то же время наличие ребер поверхности дТ даже однородного тела Т катастрофически снижает гладкость распределения масс, поскольку теряет гладкость дТ, которую можно рассматривать как поверхность равной плотности.
Для приложений одним из наиболее интересных классов тел служит класс Т компактных тел с ограниченной интегрируемой плотностью д(г, в, А), имеющей равномерно ограниченную вариацию вдоль любой окружности с центром в начале координат. Все реальные небесные тела принадлежат этому классу. Для тел Т € Т известна оценка [12]
<Гп) < ^ . (3)
Через С здесь и ниже обозначены различные постоянные, зависящие от свойств плотности д, {■) —чебышёвская норма (максимум модуля функции на сфере). Мы считаем п ^ 1, так как Уо тождественно равно единице.
Заметим, что впервые подобная оценка (с делителем п2 вместо п5/2) получена М. С. Яров-Яровым [13].
В осесимметричном случае имеем
{Уп) = \Сп \ • (4)
Оценка (3) точна в следующем смысле. Существует тело Т € Т такое, что при некотором С справедливо неравенство (3), но при любом фиксированном а > 5/2 выполняется
вир па {Уп) = ж. (5)
Несколько подтверждающих примеров приведено в [12]. В настоящей статье мы расширим список примеров, по-прежнему ограничиваясь однородными телами вращения, для которых справедливо (4). В этих модельных примерах (для первых четырех коэффициенты Стокса сп взяты из [12]) тела слабо напоминают реальные планеты и спутники. Однако затем из них как из элементов мы строим более реалистичные фигуры.
1. Полушар в системе отсчета с началом в центре шара. Для четных положительных п имеем cn = 0. Для нечетных п справедливо
Применяя формулу Валлиса, получим
№
2. Шаровой сектор в системе отсчета с началом в вершине сектора.
Обозначим угол полураствора сектора через а. Тогда будем иметь
_3
Сп = Y~\-Т7—ГЧ\Рп i(COSQ0-
(1 — cos а)(п + 3)
Здесь Pnk определены в Приложении вместе с асимптотикой (16), из которой вытекает
—Зл/^/тгл/вТña Сп ^ Тл-г^и cos
(1 — cos a)n5/2
1\ п
п-\— аН--
2 4
(7)
Из последовательности косинусов при любом а можно выделить последовательность, отделенную от нуля, что доказывает точность оценок (3).
Замечание. Формула (6) вытекает из (7) и приводится в силу ее простоты.
3. Цилиндр в системе отсчета с началом в его центре и осью г, направленной по оси симметрии. Обозначим а радиус основания, 26 высоту цилиндра (см. рис.1; А2А3 = а, ОА2 = 6, ОА3 = К = у/а2 + б2, АА2ОА3 = а). Тогда для нечетных п будем иметь сп = 0, а для четных п —
2ДЗ ,ь
--Гп+2,1 I '
а2Ь(п + 1) "+2'1 V Я
Учитывая обозначение через а угла А2ОА3, представим последнюю формулу в виде
2
п / -1 \ • 2
(n +1) sm а cos а С учетом асимптотики (16) получим
n5/2 sin3/2 a cos а
Pn+2,i(cos а).
5\ п
п+- а+-
4. Конус в системе отсчета с началом в его вершине. Обозначим через а угол полураствора конуса. Тогда будем иметь
6
с™ = ~7-^ . 2 рп+1,1 (cosа),
(n + 3) sin2 а
откуда следует
6
■ cos
3\ п
П+- а+-
n n5/2 sin3/2 а
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3 (61). 2016. Вып. 3 491
n
Q
Ai A3
A2
b а/
O a
B2 /s
Bi B3
Рис. 1. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось симметрии г.
Рис. 2. Сечение шарового сегмента плоскостью, проходящей через ось симметрии г.
z
z
x
x
5. Шаровой сегмент в различных системах отсчета. Рассмотрим шаровой сегмент T с радиусом a и углом полураствора а, 0 < а ^ п/2. Изучим ряд Лапласа T в системах координат с осью z по оси симметрии, но с различными положениями начала отсчета.
5.1. Система отсчета с началом в центре соответствующего шара. На рис. 2 представлено сечение T плоскостью, проходящей через ось симметрии (OA\ = OA2 = OA3 = a, LA\OA2 = а; OB2 = a cos а); при фиксированном w = OB\ = OB3 угол в меняется от 0 до в*, cos в* = (a/w)cosа. Постоянные Стокса вычислены в [14]:
3
= -ч ■ 4/ /OApn+i,2(cosa). (8)
2(2 + cos а) sin4 (а/2)
Используя (16), найдем асимптотику
6 / ^3(а/2)
1 ■ cos
(2 + cos а)п5/2 у п sin5 (а/2)
3\ 3п п+-\а+-
5.2. Система отсчета с началом, сдвинутым вверх. Пусть начало координат сдвинуто вверх на расстояние b > 0 (см. рис. 3; 00\ = 6, Д = 0\А\ = \/а? — 2об cos а + Ь2). Объемлющая сфера Si проходит через точки Ai,A-s. Величину cn не удается выразить явно через n, а, a, b. Однако в [14] формулы (3) и (5) для T доказаны, чего достаточно для наших целей.
5.3. Система отсчета с началом, сдвинутым вниз. Пусть начало координат сдвинуто вниз на расстояние b > 0 (см. рис.4). В этом случае 020 = 6, До = 02А\ = \/ а? + 2ab cos а + Ь2, Д = a+b, R > До. Объемлющая сфера проходит через точку A2; проходящая через Ai, A3 окружность с центром в O2 представляет сечение границы области сходимости ряда Лапласа S*.
n
г
А
Рис. 3. Сечение шарового сегмента в системе отсчета Ох.
Рис. 4. Сечение шарового сегмента в системе отсчета О2.
В [14] получена оценка, существенно более сильная по сравнению с (3):
{Уи) <
С
'Ш1
(9)
где обозначено
Р :
а/ а? + 2аЪ соэ а + Ь2 а + Ь
< 1.
Границей сходимости ряда Лапласа £ * служит сфера с центром 02, проходящая через точки А1, А3. Заметим, что на рисунках изображены сечения сегмента и сфер. В пространстве точкам А1, А3 отвечает ребро сегмента, так что сфера и сегмент имеют общую окружность.
6. Сегментированный шар. Выше исследованы тела, слабо напоминающие реальные планеты и спутники. Построим более реалистичные фигуры из сегментов одинакового радиуса а. В этом пункте используется система отсчета с началом в центре порождающего шара.
Пусть Т — отражение Т относительно плоскости экватора, южный сегмент. Гравитационный потенциал Т1 в точке с декартовыми координатами х, у, г совпадает с потенциалом Т\ в точке х, у, —2. Поэтому коэффициенты Стокса си для Т1 совпадают с таковыми для Т, помноженными на ( —1)и. Вместо (8) получаем для Т1 при п ^ 2
Мси = 2( — 1)ипа3дРи+1,2(соз а).
(10)
Здесь мы учитываем, что при объединении тел, расположенных внутри шара г ^ Д, складываются гармоники МУи, а не Уи.
Пусть Т2 — объединение северных сегментов с параметрами а^, д^ и южных сегментов с параметрами , , г = 1,...,К, г' = 1,...,К'. Одно из чисел К, К' может равняться нулю, и тогда соответствующая сумма в выражении для си (см. ниже)
г
х
х
и
Рис. 5. Сечение тела Т2 при К = 3, К' = 0.
считается равной нулю. Не умаляя общности, считаем последовательности а и возрастающими. На рис. 5 изображено тело Т2 при К = 3, К' = 0.
Поскольку сегменты вложены друг в друга, фактически в северном полушарии имеется один сегмент с углом полураствора а к, а в южном — с углом а'к,. Плотность в северном полушарии при движении к экватору принимает последовательно значения д\ + ••• + дк, д2 + • • • + дк, дк. Аналогична ситуация в южном полушарии при движении к экватору. Поэтому некоторые значения д^, дмогут быть отрицательными при сохранении положительной плотности тела Т2. Заметим, что Т2 — неоднородный шар, если справедливо ак = а'к, = п/2.
По аддитивности потенциала гармонические коэффициенты Т2 при п ^ 2 равны
2я"о
к к'
\и
giPn+1,2(cos а) + (-1)" Е e'i'Pn+1,2(cos a'i,)
i'=1
(11)
Рассмотрим некоторые частные случаи описанной конструкции. Пусть T3 представляет собой T2 при симметрии северного и южного полушарий, т.е. справедливо K = K', а = ai', gi = gi'. Тогда обе суммы в (11) одинаковы. Поэтому для нечетных n будем иметь cn = 0, а для четных n ^ 2 —
Апа? к
Сп = —ГТ- Е вгРп+1,2(cos a.i). (12)
i=0
Пусть T4 — бочкообразное однородное тело плотности g, получающееся вырезанием из шара северного сегмента полураствора a и южного полураствора а' (рис. 6).
Тело T4 получается добавлением к шару плотности g тела T2 при K = K' = 1 и gi = gi = —g. Если один из сегментов отсутствует, вместо бочки получаем купол. Поскольку все гармоники шара (за исключением нулевой) исчезают, приходим при n ^ 2 к равенствам
2па3 g
Си = ~j,'f- [Рп+ i,2(cosa) + (-l)"Pn+1,2(cosa')] • (13)
Если бочка симметрична, т. е. имеем a = a', нечетные гармоники исчезают, а четные равны
Апа3 g
сп =--jj—Pn+1,2 (cos а). (14)
c
n
Рис. 6. Тело Т4 (справа) и его сечение (слева).
Заключение. Мы исследовали скорость сходимости ряда Лапласа нескольких модельных тел: полушар, шаровой сектор, цилиндр, конус, шаровой сегмент, сегментированный шар. Во всех случаях (за одним исключением) скорость убывания {Уп) описывается неулучшаемой оценкой (3). Важную роль здесь играет фигура Б — пересечение границы дТ тела Т и объемлющей сферы £.
В примерах 1, 2, 5.1 фигура Б состоит из части сферы £ положительной площади; граница Б представляет собой ребро поверхности дТ. К этому же классу тел можно отнести и сегментированный шар, ребрами которого можно считать границы сегментов с разной плотностью.
В примерах 3, 4, 5.2 фигура Б состоит из кривых, лежащих на сфере £ и представляющих собой ребра поверхности дТ.
Исключением служит пример 5.3, в котором {Уп) убывают существенно быстрее согласно (9). В этом случае Б — это одна точка, в которой дТ касается £, и в окрестности которой поверхность дТ аналитична. Интересно, что область сходимости ряда (1) — лежащая внутри £ сфера £*, радиус которой равен расстоянию до ребра поверхности дТ. Таким образом, и здесь сфера сходимости £ * определяется ребром поверхности дТ, как и в предыдущих случаях.
Остался неисследованным случай, когда Б состоит из конечного числа точек Аи, в окрестности которых дТ лежит внутри конуса с вершиной Аи с осью, проходящей через начало отсчета и углом полураствора, меньшим п/2.
Модельные тела — полушар, шаровой сектор, цилиндр, конус, шаровой сегмент — слабо напоминают реальные планеты и спутники. Сегментированный шар является более реалистичной фигурой для представления гравитационного потенциала небесных тел.
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Производящие функции. На произведении отрезка —1 ^ х ^ 1 и круга \г\ < 1 справедливы разложения
(1 — 2хг + г2)-1/2 = ^ Ри(х)ги,
и=0
то
(1 — 2хг + г2)1/2 = 1 — хг — ^ Рп1 (х)ги+1,
и=1
(1 - 2xz + z2f2 = 1 - 3xz + hx2 + l)z2 + f 3 - z3 + 3 ¿P„2(x)z"+2. (15)
^ ' n=2
Здесь Pn0 = Pn — многочлен Лежандра, Pnk — последовательные интегралы
Pnk (x)
Pn,k-i(y) dy-
i-i
2. Асимптотика Pnk определяется выражением
Pnk (cos в)
fJsin^e
П nk+i/<2
+
Tk (n, в)
n sin
k+i
(16)
где Tk (n, в) ограничены при 0 ^ в ^ n, n ^ 2. Формулы (15), (16) содержатся в [15, 16].
Литература
1. Дубошин Г.Н. Теория притяжения. М.: Физматлит, 1961. 288 с.
2. Каула У. Спутниковая геодезия. М.: Мир, 1970. 172 с.
3. Бурша М. Основы космической геодезии. Часть 2. М.: Недра, 1975. 280 с.
4. Грушинский Н.П. Теория фигуры Земли. М.: Наука, 1976. 512 с.
5. Кондратьев Б. П. Теория потенциала и фигуры равновесия. М.; Ижевск: Изд. ИКИ, 2003.
6. Vatrt V. Truncation error due to geopotential model EGM96 // Studia Geoph. et Geod. 1999. Vol. 43. P. 223-227.
7. Pavlis N. K., Holmes S. A., Kenyon S. C., Factor J. K. An Earth Gravitational Model to Degree 2160: EGM2008, presented at the 2008 General Assembly of the European Geosciences Union. Vienna, Austria, April 13-18, 2008.
8. Петровская М. С., Вершков А. Н. Построение моделей гравитационного поля на основе спутниковых измерений производных от потенциала тяготения // Космические исследования. 2014. Т. 52, № 2. С. 176-184.
9. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.; Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. 688 с.
10. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952. 476 с.
11. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: ФМ, 1962. 500 с.
12. Антонов В. А., Тимошкова Е.И., Холшевников К. В. Bвeдeниe в тeopию ньютoнoвcкoгo пoтeнциaлa. М.: Наука, 1988. 270 с.
13. Яров-Яровой М. С. О силовой функции притяжения планеты и ее спутника. С. 259-277 // Проблемы движения искусственных небесных тел. М.: Изд АН СССР, 1963, 295 с.
14. Холшевников К. В., Шайдулин В. Ш. О гравитационном потенциале шарового сегмента // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2015. Т. 2(60). Вып. 1. C. 157163.
15. Антонов В. А., Холшевников К. В., Шайдулин В. Ш. Об оценке производной многочлена Лежандра // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2010. Вып. 4. С. 3-9.
16. Холшевников К. В., Шайдулин В. Ш. О свойствах интегралов от многочлена Лежандра // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2014. Т. 1(59). Вып. 1. C. 55-67.
Статья поступила в редколлегию 14 октября 2015 г.
x
cos
в
Сведения об авторах
Кузнецов Эдуард Дмитриевич —доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой, eduard.kuznetsov@urfu.ru
Константин Владиславович Холшевников —доктор физико-математических наук, профессор, kvk@astro.spbu.ru
Вахит Шамильевич Шайдулин — кандидат физико-математических наук, доцент, shvak@yandex.ru
ON THE REPRESENTATION OF THE GRAVITATIONAL POTENTIAL OF SEVERAL MODEL BODIES
Eduard D. Kuznetsov1, Konstantin V. Kholshevnikov2,3, Vakhit Sh. Shaidulin2,4
1 Ural Federal University, ul. Mira, 19, Ekaterinburg, 620002, Russian Federation; eduard.kuznetsov@urfu.ru
2 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; kvk@astro.spbu.ru
3 Institute of Applied Astronomy RAS, nab. Kutuzova, 10, St. Petersburg, 191187, Russian Federation; kvk@astro.spbu.ru, shvak@yandex.ru
4 Main (Pulkovo) Observatory RAS, Pulkovskoe chaussee, 65/1, St. Petersburg, 196140, Russian Federation; shvak@yandex.ru
Laplace series with respect to spherical functions Yn (в,Х) represents now a most popular form of the gravitational potential representation for a compact body T in the outer space in spherical coordinates т,в,\. There exists a well-known estimate (Y„) ^ Cn-5/2, C = const, n ^ 1 of the Chebyshevian norm (maximum of the modulus) for bodies of irregular structure. In the present paper an explicit representation of Yn(0,X) for several model bodies is obtained. The indicated estimate {Yn) is valid under the exact exponent 5/2 for all cases except one. If the segment touches the enveloping sphere, then {Yn) decreases much faster. Namely, {Y„) ^ Cn-5/2pn, C = const, n ^ 1. The quantity p < 1 equals to the distance from the origin of coordinates to the edge of the segment expressed in radii of the enveloping sphere. The exactness of exponent 5/2 is valid in common case by examples of bodies which more or less reminiscent of real celestial bodies. Refs 16. Figs 6.
Keywords: gravitational potential, Laplace series, rate of convergence.
References
1. Duboshin G.N., Theory of attraction (Fizmatlit, Moscow, 1961) [in Russian].
2. Kaula W., Theory of satellite geodesy (Waltham, Toronto, London, Blaisdell Publ. Co., 1966).
3. Bursa M., Zdklady kosmickd geoddsie 2 (Praha, 1970).
4. Grushinskiy N. P., Theory of the Earth figure (Nauka, Moscow, 1976) [in Russian].
5. Kondratyev B.P., Potential theory and figures of equilibrium (SRI Publ. H., Moscow, Izhevsk, 2003) [in Russian].
6. Vatrt V., "Truncation error due to geopotential model EGM96", Studia Geoph. et Geod. 43, 223— 227 (1999).
7. Pavlis N.K., Holmes S. A., Kenyon S. C., Factor J.K., An Earth Gravitational Model to Degree 2160: EGM2008, presented at the 2008 General Assembly of the European Geosciences Union (Vienna, Austria, April 13-18, 2008).
8. Petrovskaya M.S., Vershkov A.N., "The Construction of Gravitational Field Models on the Basis of Satellite Measurements of Gravitational Potential Derivatives", Cosmic Research 52(2), 166-174 (2014).
9. Natanson I. P., Constructive function theory, I, II (New York, Frederick Ungar Publishing Co., 1964-1965).
10. Hobson E. W., The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics (Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1931).
11. Szego G., Orthogonal polynomials 23 (AMS Colloquium publ., 1975).
12. Antonov V.A., Timoshkova E. I., Kholshevnikov K. V., Introduction to the Theory of Newtonian Potential (Nauka, Moscow, 1988) [in Russian].
13. Yarov-Yarovoi M. S., "On the force-function of the attraction of a planet and its satellite", Problems of Motion of Artificial Celestial Bodies. Acad. Sci. (USSR Press, Moscow, 1963) [in Russian].
14. Kholshevnikov K. V., Shaidulin V. Sh., "On the gravitational potential of a spherical segment", Vestnik St. Petersburg University: Mathematics 48(1), 49-54 (2015).
15. Antonov V. A., Kholshevnikov K. V., Shaidulin V. Sh., "Estimating the derivative of the Legendre polynomial", Vestnik St. Petersburg University: Mathematics 43(4), 191-197 (2010).
16. Kholshevnikov K. V., Shaidulin V. Sh., "On properties of integrals of the Legendre polynomial", Vestnik St. Petersburg University: Mathematics 47(1), 28-38 (2014).
Для цитирования: Кузнецов Э. Д., Холшевников К. В., Шайдулин В. Ш. О представлении гравитационного потенциала некоторых модельных тел // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3(61). Вып. 3. С. 489-497. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.317
For citation: Kuznetsov E. D., Kholshevnikov K. V., Shaidulin V. Sh. On the representation of the gravitational potential of several model bodies. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2016, vol. 3(61), issue 3, pp. 489-497. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.317
