Ряд Лапласа для потенциала шарового сектора Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСТРОНОМИЯ

УДК 521.14

РЯД ЛАПЛАСА ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА ШАРОВОГО СЕКТОРА*

B. Ш. Шайдулин

C.-Петербургский государственный университет, инженер, shvak@yandex.ru

Введение. Для гравитационного потенциала небесного тела в зависимости от дифференциальных свойств распределения масс выведены точные оценки равномерной (че-бышёвской) нормы (•} общего члена УП ряда Лапласа по сферическим функциям [1]. В частности, для планет земной группы с разрывами плотности справедлива точная оценка (УП} ^ С(К/г)пп-5/2, где К — радиус объемлющей тело сферы. Эта оценка груба для первых п из-за близости планет к шарам, для которых все УП, кроме Уо, равны нулю. В настоящее время построены модели гравитационного поля Земли, например ЕСМ96 [2], СЬ04С [3], ССМ02 [4], ЕСМ2008 [5], вплоть до значений п порядка 103, при которых близость к шару уже не играет роли. Это позволяет выяснить адекватность моделей и при положительном ответе оценить значения констант, описывающих асимптотическое поведение (УП} при п ^ то.

В моделях геопотенциала используются близкие, но не совпадающие значения К. При больших п это приводит к существенным различиям в значениях С. Для Земли К равно расстоянию от ее центра масс до вершины горы Чимборасо [6]. В моделях же используются меньшие величины, близкие к экваториальному радиусу Земли. Насколько существен вклад от Чимборасо в геопотенциал? Аппроксимируя ее кубом с ребром в

3 км, определим ее массу в 10-11 от массы планеты, что лежит уже в пределах точности моделей. В действительности влияние этой массы на высокие гармоники значительно больше благодаря множителю гп под знаком интеграла, определяющего УП. Полезно точнее промоделировать влияние горы на поведение высоких гармоник потенциала, заменяя ее телом, гармонические коэффициенты которого можно вычислить точно. В

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-3290.2010.2), Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 годы)» Федерального агентства по образованию Минобрнауки РФ и РФФИ (грант №2.1.1/504).

© В. Ш. Шайдулин, 2010

качестве такого тела мы выбрали сферический сектор. Заметим, что ряд Лапласа сектора благодаря осевой симметрии содержит лишь зональные гармоники, для которых одинаково просто вычисляется равномерная и среднеквадратическая (евклидова) нормы. Для моделей же геопотенциала вычисление евклидовой нормы значительно легче. Их сравнение выполнено в [7, 8].

В настоящей статье мы определили гармонические коэффициенты произвольного однородного сферического сектора, включая предельный случай бесконечно узкого сектора, а также нашли их асимптотику при п ^ то. В следующей работе мы применим эти результаты к анализу вышеуказанных моделей геопотенциала.

Геометрия масс. Рассмотрим шаровой сектор Т (на рис. 1 представлено сечение Т плоскостью, проходящей через ось симметрии) с радиусом а > 0 и углом полураствора 2а, 0 < а < п/2.

Рис. 1. Сечение шарового сектора плоскостью, проходящей через ось симметрии. Начало координат сов- ^ ^

мещено с вершиной О, ОСЬ 2: — с осью симметрии сек- ^

тора.

Отнесем сферические координаты ш,в,\ к декартовой системе с началом в вершине сектора О и осью г, направленной вдоль оси симметрии внутрь Т. Неравенства

Ъ

<32

(1)

задают Т. Считая сектор Т однородным плотности д, вычислим его массу:

(2)

0

0

0

Центр масс С тела Т расположен на оси симметрии в точке С(0,0, с), где

0

0

0

поскольку г = ю соя в. Отсюда

3 2 с = -асов а.

4

(3)

С ростом а от 0 до п/2 координата с уменьшается от (3/4)а до нуля.

Найдем расстояние К от С до наиболее удаленной от С точки тела Т. Иными словами, К — радиус объемлющей Т сферы 50 с центром в центре масс С. Если ^ лежит на дуге ^о^2 (рис. 1), то

max

{CQ} = CQ2 = 1'2 = у/а2 — 2ас cos 2а + с2.

Если Q лежит на отрезке OQ2, то CQ принимает наибольшее значение или при Q = Q2, или при Q = O. Ясно, что Q0 принадлежит границе T, поэтому

R = max{r2, c}.

Положим b = cos а и вычислим разность

?'2 — сА = аг — 2accos2a = аг ( 1 + — 36

что обращается в нуль в единственной точке ао отрезка [О, п/2]:

Ь° = V 3+12^ ~ °-9376315>

а0 = arccosb0 ^ 2О.34250.

Таким образом,

R

с = | аб2,

Г2

если а ^ а0,

= V а2 — 2 ас cos 2а + с2 = f \/16 + 24Ь2 — 3964, если а ^ ао-

(4)

При а < ао объемлющая сфера 50 проходит через вершину О, причем О — единственная общая точка сферы 50 и поверхности 5 тела Т. При а > ао сфера 50 проходит через ^2, причем 5 и 50 имеют общую окружность 5" : ю = а, в = 2а. В пограничном случае а = а0 общими с 50 являются и коническая точка О повехности 5, и ее ребро 5', см. рис. 2.

Рис. 2. Сечение сектора Т и объемлющей сферы 5о плоскостью, проходящей через ось симметрии. Слева а < ао, в центре а = ао, справа а > ао. Масштаб рисунка выбран из условия одинакового К во всех случаях.

Потенциал шарового сектора. Найдем потенциал V сектора Т в произвольной точке оси симметрии г ниже Т, т. е. при г ^ 0. По определению

а 2а 2п

V = g Iw2dw f Sln^ = f dX. (5)

J J vw2 — 2wz cos в + z2 J

0 0 0

Постоянная тяготения положена равной единице. Первый справа интеграл в (5) равен 2п, а второй элементарен, так что

а

V = —- [ [wg(w, z) — w(w — z)\ dw,

z

где g(w, z) = \/w2 — 2wz cos 2a + z2. Дифференцированием проверяется, что J wg(w, z) dw = — [2w2 — wz cos 2a + (2 — 3 cos2 2a)z2] g(w, z)+

В результате

где

+ -z3 cos 2a sin2 2a In [w — z cos 2a + g(w, z)\.

V =- — [gi(z) + g2(z) + g3(z)\, (6)

z

gi(z) = - \—2a2 + azcos2a — (2 — 3cos2 2a)z2] g(a, z),

6

9^{z) = 2z3 cos 2«sin2 2a {ln[—z(l + cos 2a)] — In [a — z cos 2a + g(a, z)]} ,

a3 a2 2 — 3 cos2 2a 3

q^lz) =--------z---------------z .

3 2 6

Потенциал сектора в барицентрической системе. Ряд Лапласа. Пусть a ^ ao. Перейдем к системе отсчета с началом в центре масс C тела T. Обозначим

через r расстояние от C до переменной точки Q(0,0, z), расположенной ниже вершины

O, т. е. при z ^ 0. Поскольку a ^ ao, объемлющая тело T сфера с центром в C согласно (2) имеет радиус R = с.

Обозначим потенциал в точке Q через V(r). Для z ^ 0, r ^ R он дается формулой (6) при z = R — r. По общей теории V(r) при r ^ R можно разложить в ряд по возрастающим степеням R/r. Предварительно с помощью (3) выразим a через R:

4Д /_ч

а=у?' m

где b = cos a, совершим замену

и = —, —z = r — R = r( 1 — и) =-R (8)

r и

и выразим q через M согласно (2). В результате

81Mb6 г , ч

v(r) = 1oa -----------г—— [9i(z] + g2(z) +gs(z)\. (9)

128rR3(1 — u) sin a

Наша ближайшая цель — найти асимптотику коэффициентов разложения V по степеням и. Выделим главные сингулярности функций gk, считая их функциями комплексной переменной и, зависящей также от вещественного параметра a, 0 < a ^ ao.

Функция g. Положим g(a, z) = rh(u) = (R/u)h(u),

, 2(5Ь2 - 4) 16 + 2462 - 39Ь4 „

к^) = у1 + —зр—м +---------------954-------и2-

В промежутке 0 ^ а ^ ао, 1 ^ Ь ^ Ьо коэффициент при и2 возрастает вместе с а, изменяясь в пределах

1 16 + 24Ь2 - 39Ь4 , ч

--------й?-------(1°»

причем равенство слева достигается только при а = 0, справа — только при а = ао.

Особые точки Н как функции комплексной переменной и определяются ее корнями

ЗЬ2 /------

“‘-2 = 1в + 24Ь=-39М(4 “ 5Ь *

Их модули совпадают и равны:

3Ь2

|г*11 = |г*21 = , = ,

л/16 + 24Ь2 - 3964

что согласно (10) с ростом а от 0 до ао убывает от 3 до 1.

Итак, при 0 ^ а < ао функция Н(и) голоморофна в круге радиуса |их| > 1.

Функция 01 представима в форме

16Д3Н(и) 1 — и

91 = + —!,4(“); здесь и ниже д&(и) при к ^ 4 представляют функции, голоморфные в круге радиуса, большего единицы.

Функция дз представима в форме

64R3

9з =

Таким образом

9з= + {I - и)дъ{и).

16Д3 ,2м 1 — и

91 + 93= 8166Ц \Аи ~ 36 Ки)\ Н------~96^'

Функция 4и — 3Ь2Н(и) голоморфна в круге радиуса, большего единицы. При и =1 она обращается в нуль. Следовательно, она равна (1 — и)д7(и), так что

1 — и , ч

91+ дз =--------д8(и).

и

Функция д2 представима в форме

2Д3Ь2(2Ь2 — 1) вт2 а(1 — и)3

92 =-------------------з-------------х

и3

х {1п(1 — и) — 1п[3Ь2(2Ь2 — 1)(1 — и) + 4и + 3Ь2Н(и)] + д9(и)} . Выражение в квадратной скобке может обратиться в нуль лишь при

9Ь4Н2(и) = (3Ь2(2Ь2 — 1)(1 — и) + 4и)2 , что совпадает с уравнением

36Ь6(1 — Ь2)(1 — и)2 = 0.

Однако при и =1 нужная нам ветвь Н обращается в +4/3Ь2, так что и = 1 не является особой точкой логарифма выражения в квадратной скобке, и справедливо

2Д3Ь2(2Ь2 — 1)вт2 а(1 — и)3 ...

92 =--------------------------------- {1п(1 - и) + д10(и)} .

В итоге, согласно (9)

81Mb8(2b2 — 1)(1 — u)2

V(r) ------------ln(l-u) + -^gn(u). (И)

Функция (9) или, что то же, (11) раскладывается в ряд Лорана по возрастающим степеням u, начиная с u-3. В силу гармоничности внешнего потенциала коэффициенты

при отрицательных степенях u исчезают:

M ° R

V(r) = — и=~, со = 1, С!=0. (12)

Г n=0 Г

По общей теории [1, § 4.10] вне объемлющей сферы потенциал представляется рядом Лапласа

°° R”

V(r,e)=Mj2cn(a)^TTPn( cosd) (13)

n=0

с фигурирующими в (12) коэффициентами cn.

Для контроля мы проверили равенства

c-3 = c-2 = c-i = ci =0, C0 = 1

с помощью системы компьютерной алгебры Maxima.

Найти компактное выражение для cn(a) для произвольного a не удается. Но асимптотику мы фактически уже установили. С точностью до постоянного множителя она совпадает с асимптотикой коэффициентов ряда Маклорена функции

3 ° 2( —1)”

-(1-и)2\п(1-и) =и--и2+ У'(-1)пёпип - - 1 ’

2 ’ ” (n — 2)(n — 1)n '

Таким образом,

( —1)”81b8(2b2 — 1)

C"(a)-----------32^-----------• (14)

149

Бесконечно узкий шаровой сектор. Формулы значительно упрощаются для бесконечно узкого сектора. Перейдем к пределу при а ^ 0, д ^ то так, чтобы сохранялась масса М. В пределе получим стержень с линейной плотностью

3М

(15)

Поскольку в (9) содержится неопределенность при а ^ 0, найдем потенциал стержня с плотностью (15) непосредственно:

3М Г г/2 Лг'

У=^Г ------------- , 2^0.

а3 J г' — 2

о

Интеграл элементарен

г/2 Лг' 1

-г + гг' + г \п(г’ — г),

так что

г' — г 2

3М / 2 2. а — г

V = —г- ( а + 2аг + 1г 1п-------------------

2а3 V —г

(16)

Перейдем к системе с началом в центре масс, полагая г = Д — г, где Д = 3а/4, а = 4Д/3. Обозначая потенциал через V(г), найдем

а2 + 2а(Д — г) + 2(г — Д)2 1п

а + г — Д г — Д

Выразив а через Д, получим окончательно

V (г)

81М

64Д3

20 2 4 2

—Д Кг + г

9 3

1-*

г

1п

1 + д/(3г) 1 — Д/г

(17)

При г = Д потенциал имеет особенность. В общем случае в точках одномерного гравитирующего тела потенциал терпит разрыв [1]. В данном случае V (г) непрерывен в точке О вместе с первой производной. Причина — быстрое стремление к нулю плотности 9 при г ^ 0.

Разложение (17) по степеням и = Д/г сводится к известному разложению логарифма:

,„1±^ = £

1и

п=0

3”+!(п + 1)

(1 — и)2 1 + и/3 4 20 ^

• 1п----------— —~ — — ~\~ / і

1-й 3 и2 9 и ^

п=0

ап — 2

3п+3 + ( —1)п(8п2 + 36п + 37)

3”+3(п +1)(п + 2)(п + 3) '

При подстановке в (17) стоящие вне знака суммы слагаемые сокращаются, и мы получаем разложения (12) и (13) при

= (—1)

^З^3 + (—1)"(8п2 + 36п + 37) 32-3"-1(п+1)(п + 2)(п + 3) '

(18)

2

г

3

а

2

п

п

С

п

В согласии с общей теорией со = 1, ci = 0. Остальные сп положительны. Асимптотически

(1!.)

что совпадает с (14) при а = 0, b =1.

Отметим, что показатель степени в оценках (14), (19) равен 3, а не 5/2, как в теоретической оценке коэффициентов сп сверху [1]. Возможно, это связано с тем, что между объемлющей сферой So радиуса R и сферой Se радиуса R(1 — е) содержиться масса порядка е3М, а не еМ, как было в примере из [1].

Литература

1. Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988, 270 с.

2. Lemoine F. G., Kenyon S. C., Factor J. K., Trimmer R. G., Pavlis N. K., Chinn D. S., Cox C.M., Klosko S.M., Luthcke S.B., Torrence M.H., Wang Y.M., Williamson R. G., Pavlis E. C., Rapp R.H., Olson T. R. The Development of the Joint NASA GSFC and NIMA Geopotential Model EGM96 // NASA Goddard Space Flight Center, Greenbelt, Maryland, 20771 USA, July 1998.

3. Forste C., Schmidt R., Stubenvoll R., Flechtner F., Meyer U., Konig R., Neumayer H., Bian-cale R., Lemoine J.-M., Bruinsma S., Loyer S., Barthelmes F., Esselborn S. The GeoForschungsZen-trum Potsdam/Groupe de Recherche de Geodesie Spatiale. Satellite-only and combined gravity field models: EIGEN-GL04S1 and EIGEN-GL04C // Journal of Geodesy, Vol.82, N6, 2008.

4. Tapley B., Ries J., Bettadpur S., Chambers D., Cheng M., Condi F., Gunter B., Kang Z., Nagel P., Pastor R., Pekker T., Poole S., Wang F. GGM02-An improved Earth gravity field model from GRACE// Journal of Geodesy, Vol. 79, N 8, 2005.

5. Pavlis N.K., Holmes S. A., Kenyon S. C., Factor J.K. An Earth Gravitational Model to Degree 2160: EGM2008, presented at the 2008 General Assembly of the European Geosciences Union, Vienna, Austria, April 13-18, 2008.

6. Farr, T. G., et al. The Shuttle Radar Topography Mission // Rev. Geophys., Vol. 45, N2, 2007.

7. Холшевников К. В., Шайдулин В. Ш. Асимптотика равномерной нормы присоединенных функций Лежандра (случай k С n) // Вестник СПбГУ. Сер. 1. Вып. 2. 2009. С. 86-93.

8. Холшевников К. В., Шайдулин В. Ш. Асимптотика равномерной нормы присоединенных функций Лежандра (случай n — k С n) // Вестник СПбГУ. Сер. 1. Вып. 3. 2009. С. 97-109.

Статья поступила в редакцию 14 января 2010 г.