Уравнения первого рода в задачах геометрической томографии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968 В.Н. Степанов

Омский государственный технический университет, г. Омск

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА В ЗАДАЧАХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТОМОГРАФИИ

Рассматриваются свойства непрерывности и полной непрерывности линейных интегральных операторов с ядром, зависящим от скалярного произведения и действующих на

пространстве мер и различных пространствах функций на сфере

5п-1 .

Пусть

5п-1 = {х є Яп : | х |= 1}

- единичная сфера в

Яп ;

и,У - точки на

5 п-1 ; <•,•> -

скалярное произведение;

М = М (5 п 1) - банахово пространство знакопеременных мер (зарядов) на М . Рассмотрим линейное уравнение первого рода на /и є М

5п-1

относительно меры

(Аи)(и) =

/ (и) =

I

5 п-1

К (< и,у >) ийу)

(1)

113

Интегральные уравнения вида (1) с ядрами К(< и,У >)

появляются в задачах геометрической томографии. Термин геометрическая томография введен Р. Гарднером [6]. Это

область математики, которая имеет дело с восстановлением компактного множества В в Яп по мерам проекций тела на подпространство и по мерам сечений тела подпространствами

Единственность решения уравнения (1) с ядрами специального вида рассмотрена в [6, 7]. В случае произвольного ядра имеет место

Теорема 1. Если ядро

К ( и,V )

полное, то уравнение (1) имеет не более одного решения в пространстве М.

Для доказательства используются моменты меры ц по системе сферических функций

{Ук (и. Несколько другой метод доказательства этой теоремы предложен позже в [8].

В задачах геометрической томографии интерес представляет исследование образа интегрального оператора в зависимости от принадлежности его ядра различным функциональным пространствам.

Пусть

Л(Х ,У ) , о- (X ,У )

- банаховы пространство линейных непрерывных и вполне

непрерывных операторов из банахова пространства X в банахово пространство У ; Са (Т) - пространство вещественных аналитических функций на компакте Т с Яп .

Теорема 2.

п01.

Если

К(0 еС[-1,1], то

Лео (М ,С(Б п-1)) .

п0 2.

Если

К(0 еС[-1,1], то Л ео(М, Ьр (Бп-1;ц)),

1 < р < сю .

0 о

п 3.

Если

К (Г )еЬр [-1,1],

1 < р < ю , то Л е о(М, Ьр (Б п-1;ц)), 1< р < ю.

Если

К (г) еСк [-1,1],

1< к < ю ,

то Лео (М,Ск (Б п-1)). п0 5.

Если

К (г) еС 1-1,1], то ЛеЛ(М ,Сю (Бп-1)).

п0 6.

Если

К (г) еСа[-1,1], то ЛеЛ(М, Са (Бп-1)).

Таким образом, во всех случаях образ интегрального оператора настолько гладкий, насколько гладко его ядро.

В случае, когда мера Ц абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на уравнение (1) принимает вид

Б п-1 ,

(Л)(и) =

/ (и) =

I

Б”-1

К(< u,v >) IV (V

(2)

Интегральные преобразования, определенные формулой (2), также тесно связаны с задачами геометрической томографии. Приведем примеры [6,7].

1. Сферическое преобразование Радона (Я2)(и)

№)(и) =

I

Бп-1

8(< u,v >)2, где

8(< u,v >)

- дельта-функция и, следовательно, интегрирование выполняется по боль-

шой подсфере, ортогональной вектору и е Б п 1 . Если (п -1)IV = рп 1 , где р радиальная

114

функция звездного тела В, то (Я2)(и) есть объем пересечения тела В с подпространством о1

оп-1

ортогональным вектору и ео .

2. Полусферическое преобразование (И2)(и)

(И)(и) =

I

Б п-1

Х(< u,v >)г(v)dv , где

Х(< u,v >)

- функция Хевисайда. Если функция

1 оо

равна произведению главных радиусов кривизны гладкой выпуклой поверхности дВ в точке с нормалью V , то (Иг)(и) представляет площадь «освещенной» части тела В.

3. Косинус преобразование (С2)(и)

С)(и) = 1

Б

I |< и^ >| 2(у)^ .

2 п-1

Если функция

1 оо

равна произведению главных радиусов кривизны гладкой выпуклой поверхности дВ в точке с нормалью V , то (С1)(и) равна (п-1)-мерному объему проекции

выпуклого тела В на подпространство и1.

Анализ образа интегрального оператора (2) приводит к следующему результату.

Теорема 3.

п01.

Если

К(г )еД[-1,1] , то

2 2

ЛеЛ(Ь (Бп-1),Ь (Бп-1)) .

п0 2.

Если

К (г )еС[-1,1], то

1

Л ео(Ь (Бп-1),С(Бп-1)) .

п0 3.

Если

К(г )еЬр[-1,1],

1 < р < ю , то

ч

Лео(Ь (Бп-1), Ь (Бп-1)) , где

р

ч = и р -1

г > 1

- любое. п0 4.

Если

К(г)еС1 [-1,1], 1< I < ю , то 1

Л ео(Ь (Бп-1), С1 (Бп-1)) .

п0 5.

Если

К (г )еС ю[-1,1], то Л еЛ(Ь1(Б

п-1

),Сю (Б

п-1 )) . п0 6.

Если

К (г)еС а [-1,1] , то Л еЛ(Ь1(Б

п-1

),С

а(Бп-1

)) . п0 7.

Если

К(г )е^1[-1,1] , то АеЛ(Ссо (£п-1),С” (Бп-1)) . п0 8.

Если

К(г )е!1[-1,1] , то

1

АеА(С°(Б п-1),С (Б п-1)) . п0 9. Если ЩеЬ [-1,1] , то А ео-(С (Бп-1), С(Бп-1)) .

Некоторые из утверждений, приведенных в теоремах 2 и 3 для уравнений (1) и (2), имеются в монографиях [4,5]. Другие утверждения этих теорем получены с использованием специфики ядра, зависящего от скалярного произведения,

При исследовании вопросов, связанных с единственностью, разрешимостью, обращением уравнения (2) важную роль играет вычисление собственных значений оператора и исследование их асимптотического поведения. Собственные функции и собственные значения уравнения (2) даются хорошо известной формулой Функа-Гекке [3]. Так, если ядро К(< Ы,У >) =|< Ы,У >|, то собственными функциями уравнения (2) являются сферические

гармоники четных порядков, т.е.

^ (и) ,

к = 0,1, 2,.... Соответствующие собственные значения

^2к

вычисляются с использованием рекуррентной формулы для многочленов Геген-бауэра и формулы Родрига [3] и равны:

115

__п-1

п 2 (2к)!

^2к = (-1)к+1

> 2к -1 7 1/-.7 1ЛТ-Г 7 . п + 1 I

- . 2 -1 к!(2к - 1)Г к +

Собственными функциями ядра

I )

К(< и, V >) = х(< и, V >) , где Х( 0 функция Хевисайда, являются сферические гармоники нечетных порядков У2к+1(и) , ветствующие собственные значения Я2к+1 равны:

к = 0,1, 2,..., а соот-

к

Я2к+1 = (-1)

___ п-1

---------------------- п 2

г

(2к)! п -1 ^ .

22к к! Г| к +

I 2 )

Для ядра

К(< и .у >) = х(< и у >) и п = 3

собственные значения уравнения (2) ранее

были вычислены в [1,2], что позволило получить формулу обращения для полусферического

преобразования в замкнутой форме. В случае произвольного ядра ское поведение собственных значений дается следующей теоремой

К(< и у >) асимптотиче-Теорема 4. п°1. Если ядро

К^) е Ь [-1,1] , то при к ^ да Я

// -п/2+1 \

= о(к ).

0 о

п 2.

Если ядро

1

К^) еС2/[-1,1],1 < I< да, то при к^да

к

к

Я = о(к ■2"'п/2+1) .

0

п 3.

Если ядро

к

К (?) е С да[-1,1], то при к ^да Я = о(к-да ) . п0 4.

Если ядро

К (?) аналитическая на отрезке [-1,1] функция, то при к ^ да Я

= о(в~пк )

с некоторой положительной постоянной

п .

Пусть теперь в уравнении (ЛЦ)(и) =

/(и)

правая часть / (и)

гладкая функция. Что

можно сказать о гладкости решения этого уравнения? Один из результатов содержится в следующей теореме.

Теорема 5. Если в уравнении (1) с ядром

К (I) е ¿,[-1,1]

/(и)

аналитическая на Б

п-1

функция, то мера Ц абсолютно непрерывна и ее плотность функция. г ( и )

аналитическая на

Бп-1

Библиографический список

1. Аниконов, Ю. Е. Формула обращения одного интегрального уравнения первого рода и ее приложения / Ю. Е. Аниконов, В. Н. Степанов // Методы решения некорректных задач и их приложения : сб. науч. тр.- Новосибирск : ВЦ СО РАН СССР, 1982. - С. 171 - 174.

2. Аниконов, Ю. Е. Геометрия выпуклых поверхностей и обратные задачи теории рассеяния / Ю. Е. Аниконов, В. Н. Степанов // Сиб. матем. журн. - 1994. - Т. 35, № 5. - С. 955 -973.

3. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - М. : Наука, 1974. - Т. 2. - 296 с.

4. Интегральные уравнения / П. П. Забрейко, А. И. Кошелев, М. А. Красносельский [и др.]. - М. : Наука, 1968. - 448 с.

5. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. - М. : Наука, 1977. - 742 с.

116

6. Gardner, R. J. Geometric tomography / R. J. Gardner . - New York : Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1995. - 424 p.

7. Schneider, R. Convex bodies : The Brunn-Minkowski Theory / R. Schneider -Cambridge Univ. Press. Cambridge. - New York,1993. - 490 p.

8. Schneide, R. The use of spherical harmonics in convex geometry / R. Schneider // Summer school on «Fourier analytic and probabilistic methods in geometric functional analysis and convexity», Kent State University, August 13-20, 2008.