Замечание о теореме Крепса-Яна Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.982.2

ЗАМЕЧАНИЕ О ТЕОРЕМЕ КРЕПСА-ЯНА

© 2004 г. Д.Б. Рохлин, В.М. Каплицкий

The problem of cones separation in a locally convex topological linear space in the framework of Kreps-Yan theorem is considered. In this work

*

mentioned theorem is proved under the following conditions: the original space E is Lindelöf in the weak topology ^(E, E ) and its dual pos*

sesses some sort of completeness property in the topology c(E , E) . It is shown that no one of these conditions can be removed.

Теорема Крепса-Яна [1, 2] играет существенную роль в математической теории арбитража на рынках ценных бумаг (см., например, [3-5] ). Целью настоящей работы является рассмотрение вопроса об общих условиях, гарантирующих справедливость указанной теоремы (вновь поднятого в недавней работе [5]).

Далее используется стандартная терминология [68]. Рассмотрим (хаусдорфово) локально-выпуклое пространство Е с топологией т . Пусть К - замкнутый выпуклый конус в Е и N = КI (-К) - наибольшее подпространство в К. Элемент % топологиче-

Г'*

ски сопряженного пространства Е назовем строго положительным на К, если (х,%%> 0 для всех х е К \ N. Рассмотрим замкнутый выпуклый конус Н с Е, содержащий (- К) и удовлетворяющий условию НIК = N . Следуя [5], будем говорить, что для пространства (Е,т, К) верна теорема Крепса-Яна, если для любого такого конуса Н существует строго

*

положительный линейный функционал % е Е , сужение которого на Н неположительно: (х, %%< 0,

х е Н .

Сразу отметим, что если N = {0} и конус К локально компактен, то теорема Крепса-Яна верна без каких-либо дополнительных предположений [9]. В общем случае для ее выполнения, очевидно, необходимо, чтобы множество строго положительных функционалов было непустым. Поэтому далее предполагается, что такие функционалы существуют.

Если теорема Крепса-Яна верна для любого замкнутого выпуклого конуса К (на котором существуют непрерывные строго положительные функционалы), то будем говорить, что она верна для пространства (Е,т).

Условие (Ь) Пространство Е (или конус К с Е ) является пространством Линделефа в слабой тополо-

*

гии ст(Е, Е ).

Напомним, что Е называется пространством Линделефа (или финально компактным), если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие [10]. Легко видеть, что если Е является пространством Линделефа, то тем же свойством обладают его замкнутые подмножества в индуцированной топологии. Кроме того, очевидно, что свойство Лин-делефа сохраняется при ослаблении топологии, поэтому условие (Ь) будет выполнено, если Е - пространство Линделефа в любой топологии, согласо-

ванной с двойственностью ^E, E ^ (в частности, в

топологии т ).

Известно, что для метризуемых пространств следующие три свойства эквивалентны: сепарабельность, вторая аксиома счетности и свойство Линделефа. Известно также, что если Е - банахово пространство со

*

слабой топологией ст(Е, Е ), то для выполнения

свойства Линделефа достаточно существования слабо компактного множества А с Е, линейная оболочка которого плотна в Е [11]. При этом говорят, что пространство Е слабо компактно порождено. В частности, этим свойством обладают рефлексивные банаховы пространства со слабой топологией (свойство рефлексивности эквивалентно слабой компактности единичного шара [7]) и банаховы пространства, наделенные * -слабой топологией (как следует из теоремы Банаха-Алаоглу [7]).

*

Обозначим через К сопряженный конус, т.е. множество неотрицательных на К элементов простран*

ства Е . Следующее условие заимствовано из работ [1, 5].

Условие (С) Для любой последовательности

*

%к е К существует такая числовая последовательность ак > 0, что ряд 2ТО=ак%к сходится в тополо-

*

гии а(Е , Е).

Покажем, что условие (С) выполнено (для любого

*

К), если Е является пространством Фреше [6] в

*

топологии более сильной, чем ст(Е , Е). Пусть указанная топология определяется семейством полунорм р,, которое, не ограничивая общности, можно считать упорядоченным: Р1(%) < к < р, (%) < к и %к -последовательность, указанная в условии (С). Положим ак = 1/(рк (%к )к ), если рк (%к) > 0 и пусть ак -произвольное положительное число в противном случае. Тогда ряд 2ТО=1 ак%к в каждой полунорме р, мажорируется сходящимся числовым рядом

ТО 1 ТО _2

2 ак Р1 (%к) < 2 ак р1 (%к) +2 к к=1 к=1 к=1

и последовательность частичных сумм 2^=1 ак%к фундаментальна в каждой полунорме р,. Следовательно, она сходится в топологии, порожденной се-

*

мейством р,, а значит, и в ст(Е , Е).

В частности, если E - банахово пространство со слабой топологией или топологией нормы, то условие (C) выполнено.

Близкий результат к формулируемой ниже теореме содержится в работе [5]. Однако мы не накладываем “обычного” ограничения N = {о} и используем условие (L) вместо следующего условия работы [5]: для

*

любого семейства ¿a e K существует такое счетное подсемейство (a ) что если (x,Ça}> 0, x e K

для некоторого a , то существует n : (x,¿a ^ > 0 .

Теорема. Пусть выполнены условия (L) и (C), тогда для пространства (Е,т, K) верна теорема Крепса-Яна.

Доказательство Пусть x e K \ N, тогда, согласно

*

второй теореме отделимости [6, 8], существует ¿x e E : sup(y¿x) < (x,#x) .

yeH

Далее поскольку 0 e H и H является конусом, то (y,#x)^ 0 и (x,¿x^ > 0 . Из включения -K с H и

*

первого из этих условий вытекает, что ¿x e K .

Пусть n - строго положительный на K функционал. Введем открытые множества

Ax = {y e Е \y^x) > °} A0 = {y e E : Куп)! < s}

Пусть z e N, y e K \ N , тогда ±z + sy e K \ N

при S > 0 и (± z + ey,n> 0 . Переходя к пределу при

s а 0 , находим (± z,n) > 0 , т.е. (z,n) = 0.

Следовательно, N с A0 и семейство Ax,

x e K \ N вместе с A0 образует открытое открытие

K . Положим для краткости Ak = Ax , ¿k = ¿x и,

используя условие (L), выделим из указанного семейства счетное подпокрытие:

00

U Ak U A0 з K. k=1

Пусть ak > 0 - последовательность, указанная в условии (C), и ряд Z¿=iak£k сходится к ¿ в тополо-

*

гии а(Е , Е). Очевидно, что ¿ |h ¿ 0. Для завершения доказательства остается проверить, что функционал ¿ строго положителен. Если x e Ai IK, i > 1, то

(x,¿>a(x,¿) > 0 согласно определению Ai. Если же x e A0 IK , то либо x e N , либо (x, n)^ 0 и существует Л > 0 : Âx g A0 . В последнем случае Лx e Ai IK для некоторого i > 1 и (x,¿)> 0. Теорема доказана.

Следствие 1. Если банахово пространство Е является пространством Линделефа в слабой топологии, то для него верна теорема Крепса-Яна в топологии нормы.

При этом неважно, является ли Е пространством Линделефа в топологии нормы, т.е. будет ли оно сепарабельным.

Следствие 2. Теорема Крепса-Яна верна для сепарабельных банаховых пространств с топологией нормы и банаховых пространств со * -слабой топологией.

Пример 1. Рассмотрим пространства Lp измеримых функций, определенных на некотором фиксированном вероятностном пространстве и суммируемых с конечной степенью p > 1 относительно соответст-

w W Т со

вующей вероятностной меры, и пространство L , состоящее из почти наверное ограниченных (относительно указанной меры) функций. Подчеркнем, что

условие сепарабельности Lp не накладывается. При 1 < p < œ пространство Lp рефлексивно. Пространство L1 (вообще говоря) не является рефлексивным, но оно слабо компактно порождено, а значит, является пространством Линделефа в слабой топологии.

Действительно единичный шар Bp пространства Lp , p > 1, является слабо компактным. Тем более он компактен в индуцированной топологии <j(l},Lœ), которая (на B1p ) слабее слабой топологии Lp . Далее поскольку линейной оболочкой B1p является плотное в

1 p 1 L по норме [7] пространство L, то L слабо компактно порождено.

Таким образом, теорема Крепса-Яна верна в пространствах Lp , p < œ с топологией нормы. Однако

для пространства Lœ это утверждение, вообще говоря, неверно, и здесь приходиться рассматривать более слабую топологию,: например, * -слабую.

Пример 2. Пусть ^Ek, E* ^, к = 1,... œ - последовательность дуальных пар банаховых пространств Ек и их сопряженных. Рассмотрим пространство œ * *

F = U Ек и обозначим через iк : Ек a F естествен-к=1

*

ные вложения. Пусть каждое Ек наделено *-слабой

топологией с(Е*, Ек ). Введем на F индуктивную топологию т относительно семейства {E*k,a(E*k, Ек ), iк ): к = 1,...œj, т.е. сильнейшую локально выпуклую топологию относительно которой все вложения ik непрерывны [6]. Множество A с F будет принадлежать т тогда и

**

только тогда, когда AI Ек &а(Ек, Ек ) для всех к.

*

Пространства F такого типа, где Ек - весовые пространства L1, рассматривались в работе [12].

Покажем, что для пространства F верна теорема

*

Крепса-Яна. Поскольку каждое Ек является пространством Линделефа, то из определений легко следует, что (F,т) также является пространством Линделефа. Остается проверить условие (C). Заметим, что

* œ *

F = I Ек , а топология cr(F , F) слабее топологии,

к=1

порождаемой на Е семейством норм пространств

*

Ек . Относительно последней топологии Е является пространством Фреше, что гарантирует выполнение условия (С).

Обсудим, наконец, вопрос о том, насколько точными являются условия теоремы Крепса -Яна. Прежде всего отметим, что в [12] построен контрпример, показывающий, что условие - К с Н не может быть снято даже если при этом считать Н подпространством. Из приводимых ниже контрпримеров, (идеи которых заимствованы из работ Шахермайера [13, 4]) следует, что ни одно из условий (С), (Ь) также не может быть снято.

В данных контрпримерах Е = / то - пространство ограниченных последовательностей и К =

/то ) / к\то »то к ^ г\ 1

= /+ = к = (а ) к=1 е / : а > ш - положительный

ортант в /то. Кроме того, через ег- обозначаются единичные орты, а через е, - координатные функционалы: элементы алгебраически сопряженного простран-

то

ства Е' вида (х, е') = а1. Элемент п = 2 2е, е Е'

г=1

определяет строго положительный функционал на 1+ТО. В топологиях, рассматриваемых в приводимых ниже примерах, данный функционал непрерывен. Через х+, х_ обозначим положительную и отрицательную части элемента х векторной решетки /то [7]. Контрпример 1. Пусть т - топология нормы на /то:

Ито= \ак\.

к=1,..то

Обозначим через М линейную оболочку множества {хк = ек - ек+1 }=1 и определим Н как замыкание алгебраической разности М - /+3. В силу симмет-

рии для элементов М имеем

+

х то х

. Следо-

вательно, элементы М - 1+то удовлетворяют неравен-Отсюда вытекает, что если

" " а 0, то |Ы| то стре-

х+ — х

то

ству

Ук е М -/++ , у е /+ и мится к нулю вместе с

У к ■

Ук

т.е. у = 0 . Иначе гово-

ря, н п /то ={о}.

Допустим теперь, что теорема Крепса-Яна верна и £ - непрерывный строго положительный на /+ функционал, неположительный на Н . Поскольку М вложено в Ни является подпространством, то £ является

аннулятором М и (Хк, £ = {ек, £ - {ек+1,£ = 0 . т.е. {ек ,£) = Г> 0 не зависит от к . Однако значение

£ на элементе 1 -£¿=1 ек е /+то \ {о}, где 1 = ТГО=\ек ,

должно быть положительным при любом п > 1. Поп

лучаем противоречие (1,£)> 2 {ек,£) = пу.

к=1

В данном примере выполнено условие (С), поскольку пространство (/то ,т) является банаховым.

Отсюда и из доказанной теоремы вытекает, что /то с топологией нормы не является пространством Линде-лефа. Этот факт следует также из несепарабельности

/то. Кроме того, в силу следствия 1 /то не является пространством Линделефа даже в слабой топологии. Контрпример 2. Рассмотрим подпространство Е

алгебраически сопряженного к /то пространства Е',

натянутое на векторы (е,)^ и определенный выше

вектор п. На пространстве /то введем Е -слабую (и хаусдорфову) топологию: т = а(/то, Е). Через

М с /то обозначим линейную оболочку векторов (е2г - е2г-1 )г°=1 и пусть Н - замыкание М - /+то .

Покажем сначала, что Н П /+то = {о}. Пусть 0 ф х е /+то и ха е М - /+то - направленность, сходящаяся к х. Элемент ха допускает представление

00 / ч

^ а ( \ »то

ха = У а - ^а, У а = 2 с1 (,е2; - е2;-1), 2а е 1+ ,

;=1

где при каждом а лишь конечное число элементов последовательности са отлично от нуля. Выберем / так, чтобы хотя бы одно из чисел {х, е2,_1), (х, е2^ было отлично от нуля. Оценки

{ха, е2/-0 — ( Уа, е2 -) = -сГ ,

{ха, е2 г) — {У а, е2г ) = с1

показывают, что {ха , е2 г ) — са — - ха , е’2,-1) .

Получаем противоречие, поскольку пределами направленностей {ха, е2г-^, (ха,е2г) являются неотрицательные числа (х, е2г-^, (х, е2^ , не равные одновременно нулю.

Предположим теперь, что теорема Крепса-Яна верна и £ - указанный в ней функционал. Топологически сопряженное к (/то ,а(/то, Е)) пространство отождествляется с Е , поэтому £ допускает представление £ = ап + С , где £ принадлежит линейной

оболочке (е, )то=1 и а > 0 в силу строгой положительности £ . Выбрав к достаточно большим, обеспечим выполнение равенств {в2к-1,^) = 0, {е2к ,£) = 0. Поскольку £ является аннулятором М , то полагая, х = е2к - е2к-1 е М, получаем противоречие:

(х, £) = а{ х, п) = а (2 -2к - 2 -2к+1) Ф 0.

В данном примере выполнено условие (Ь), поскольку топология а(/то, Е) слабее топологии сг(/то,I1) (совпадающей со *-слабой), относительно

которой /то является пространством Линделефа. Согласно доказанной теореме, отсюда вытекает, что условие (С) не выполнено.

оо

оо

7. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный

Литература анализ. М., 1977.

8. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый

1. Kreps D.M. //J. Math. Econ. 1981. Vol. 8. P. 15-35. анализ и его приложения. М., 2000.

2. Yan J.A. //Lect. Notes Math. 1980. Vol. 784. P. 220- 9. Klee V.L.IIProc. Amer. Math. Soc. 1955. Vol. 6. №2.

222. P. 313-318.

3. Schachermayer W.// Lect. Notes Math. 2003. Vol. 10. Келли Дж. Л. Общая топология. М., 1968.

1816. P. 153-172. 11. Talagrand MIIAnn. of Math. 1979. Vol. 110. P. 407-

4. Schachermayer W.//Positivity. 2002. Vol. 6. P.359- 438.

368. 12. Schachermayer W.II Math. Finance. 1994. Vol. 4. №

5. Jouini E., Napp C., Schachermayer W. Arbitrage and 1. P. 25-55.

state price deflators in a general intertermporal frame- 13. Schachermayer W.II Insurance: Math. and Econ. 1992.

work. 2001, Preprint, 18 p. Vol. 11. P. 249-257.

6. Шефер Х. Топологические векторные пространст-

ва. М., 1971.

Ростовский государственный университет_________________________________________________________8 декабря 2003 г.