Законы сохранения для осесимметричных трансзвуковых течений Текст научной статьи по специальности «Математика»

порядка и восемью краевыми условиями (4), (9), которые необходимо дополнить двумя условиями трансверсальности (18) и равенством

имеющим место для оптимального управления и° и оптимальной траектории.

Уравнения задачи имеют интегралы

II >- II2 = к>2 + h2 + h2 + = || X (0)||2 = 1,

|| ц ||2 = цо2 + Ц.2 + Иг2 + Из2 = II Ц (0)||2 = const, Я(Х, ц, X, и0) = О,

Ц О К = V = V0 + Vi* i| + V2 ¡2 + v3* i3 = const,

V|2 + v22 + v32 = vv2 = v/2 = const, vv = vect (X. о ц).

В случае круговой орбиты уравнения задачи имеют также первый интеграл (13).

Учет первых интегралов и использование в качестве новых переменных компонент vk, (к = 1,2,3) кватерниона v = X о ц позволяют понизить порядок полученной системы дифференциальных уравнений краевой задачи (без ее усложнения) на 6 единиц и привести ее к уравнениям

dvx/ dt= (с / г2) v2, dv2/ dt~ — (с/г2) V| + (r/c)v3u, dv}/dt = -(r/c)v2u, дополняемым уравнением (11). В случае круговой орбиты уравнение (11) заменяется первым интегралом (13), и размерность краевой задачи понижается еще на единицу.

УДК 533.6.011

И. А. Чернов

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТРАНСЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ

Получены новые законы сохранения и, в частности, для автомодельного течения, описывающего картину дальнего поля при обтекании тела звуковым потоком.

Система трансзвуковых К-Ф-уравнений в осесимметричном случае с использованием цилиндрических координат (х,у) имеет вид

uux=vy+v/y, uy=vx. (1)

Здесь (u,v) - приведенные компоненты скорости возмущения однородного звукового потока. Если ввести вместо v величину, w = yv, то (1) примет вид

yuux = wy, yuy=wx. (2)

Назовем законом сохранения (ЗС) для системы (2) пару функций {^(х,у,и(х,у),у(х,у)),г\(х,у,и(х,у),у(х,у))}, для которых выполняется соотношение

д%!дх = дх\ (3)

вдоль любого решения {и(х,у), у(л%>)} системы (2). Это равенство означает существование функции О(х.у), для которой сЮ = цск-Ъ^у.

Известны (П. Жермен) два закона сохранения: 1) массы и 2) продольной составляющей количества движения:

= уи2 /2,..т|| = и-}.....= уи2 + 2м,3 //,..Л2 = 2ии-}. (4)

Они были найдены [1] как асимптотические трансзвуковые приближения основных законов сохранения, положенных в основу газовой динамики.

Ограничимся поиском новых ЗС вида

{Ци{х,у\у(ху)\ г\(и{х,у)^{х,у))}- (5)

Подставим (5) в (3) и, используя (2), получим

- Ц»уи)их + - ци)иу = 0, (6)

что выполняется с любой функцией и(х,у). Отсюда получим систему, определяющую ЗС:

£*,=угщ*, (7)

Приведение (2) к виду (3) осуществляется умножением 1-го уравнения из (2) на 2-го - на и суммированием.

Система (7) совпадает с годографическими уравнениями, эквивалентными (2), для обратных функций {х = х(и,м/), у=у(и,■*>)}:

хи = уиу„, ух„ = уи .

Данное совпадение допускает такую интерпретацию: любое решение К-Ф-уравнений (1) можно трактовать: 1) как некоторое конкретное течение, 2) как закон сохранения для системы (2). Подобное свойство присуще К-Ф-уравнениям и в случае плоско-параллельных течений [1]. Нахождению ЗС для течения Мейера в плоском сопле посвящена работа [2].

Изученными точными решениями К-Ф-уравнений являются автомодельные вида

и=у2п-2и(О, у=у3"-3Г(0, *=у3"-2У(О, ^=ху". (8)

Годографическое представление их таково

х = у = •и>,2-3т)/27(2), г = иЫт, т =2(и- 1)/(Зи-2). (9)

Известно (Л. И.Седов - задача о сильном взрыве, П. Жермен [1]), что наличие закона сохранения обеспечивает квадратуру для ОДУ, описывающего автомодельные течения, и определяет показатель автомодсльно-сти. Этот факт можно выразить так: с автомодельным ЗС связано некоторое ассоциированное с ним автомодельное течение. В плоском случае по-

235

казатель « закона сохранения и показатель щ ассоциированного с ним автомодельного течения связаны формулой ««,= 1 [1]. В осесимметричном случае эта связь оказывается такой: пщ= 2/3.

Приведем список автомодельных решений, полученных автором [3]. Частично они опубликованы в [4]. Заметим, что решения группируются по два в соответствии со связью ««,=2/3. Каждое из решений представляет некоторый ЗС для системы (1). Эти решения удобно записывать в переменных фазовой плоскости (s,t):

t = U/Ç, r=V/Ç, а = (т + яг)/(Зи-2).

Список точных решений для системы (1)

1.а) и= 1: s = f, l.b) « = 2/3: т = -2/3;

2.a,b) « = 1 ± 3,/2/3: s=t-4/9;

3.а) « = 4/3: s = 2//3 + ?2/8; З.Ь) «=1/2: s = -t + 2t2;

4.a,b) п = 4/3 ± (10)"2/3:

s = (11/81X—1 + 30 + 7i2/36 ± 101/2(2/81(-1+30- Î2/18);

5.а) « = 4: s = 4(16 + 30/25 ± 2(13)l/2(r- 16)(1/3 + г/24)1/2/25;

5.b) «=1/6: Î = (16 + 30/81 ±4(13)"2(/-2/3)(1/3+ Î)i/2/27;

6.а) « = 2: i = (4 + 50/8 ± (-4 + t) ( 1 + t )|/2/8;

6.b) п =1/3: 5 = 2/9 ± (-2 + 30(1 + 6/)1/2/9;

7.а) п = 7/6: s = 1(-Л9 + 1350/729 ± (343/729)(1 - 36i/49)3/2; 7.Ь) и = 4/7: s = -28/9 + 5i ± 28(1 - 3?/2)3/2/9.

Решение б.Ь) определяет ЗС для осесимметричного соплового течения Мейера, решение 7.а) - для дальнего поля при обтекании тела звуковым потоком.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Germain P. Ecoulements Transsoniques Homogenes I I Progress in Aeronautical Sciences. 1964. Vol. 5. P. 143-273.

2. Чернов И. А. Законы сохранения для трансзвуковых течений // Аэродинамика: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1978. Вып. 6(9). С. 10 - 17.

3. Чернов И. А. Автомодельные решения в околозвуковой газовой динамике: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1964. 146 с.

4. Фалькович С, В., Чернов И. А. Обтекание тел вращения звуковым потоком газа // ПММ. 1964. Т. 28, вып. 2. С. 280 - 284.