P-решения трансзвуковых уравнений аэродинамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ние: звуковая свободная струя натекает на край заслонки, за которой имеется субкритическое давление.

В особой точке М2(-9, 0)(узел): г = -9, а3=1/(9р\ а0 =с{р2п +с2р, й>4 =0, со| = а0 решение имеет два автомодельных решения (и = 3/2 при сх = 0; п - 6/5 при с2 = 0 ) и описывает течение, когда в звуковую свободную границу струи параллельно ей помещён профиль.

Точки М3 (0, -12)(узел) и М4(0, -36)(седло) приводят к решению [1]

автора (а3 постоянна; <э4 = 9а3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Севастьянов Г.Д. Основы теории околозвуковых течений газа. Саратов :Изд-во Сарат. ун-та, 1987.

2. Севастьянов Г.Д. Структура элементарных околозвуковых решений // Аэродинамика. Саратов :Изд-во Сарат. ун-та, 1997. Вып. 14(17). С. 109-117.

УДК 533.6.011

И. А. Чернов

Р-РЕШЕНИЯ ТРАНСЗВУКОВЫХ УРАВНЕНИЙ АЭРОДИНАМИКИ

Построены новые частные решения трансзвуковых уравнений газовой динамики двумерных течений, которые представляются в параметрической форме: как искомые, так и независимые переменные записываются в виде полиномов по параметру с коэффициентами, зависящими от второго параметра. Для коэффициентов получаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые приводятся к нормальному виду.

Трансзвуковая система уравнений в плоском случае имеет вид

иих-^=0, uy—vx=0. (1)

Здесь и, V приведённые компоненты скорости, х, у- декартовы координаты.

Обсуждаемый метод заключается в представлении и, V, х, у в виде полиномов [1]

а,3,у,5

(м, V, х, у)= X (4*;(4 (*))•''■ (2)

1=0

Подстановка (2) в (1) даёт систему ОДУ. Интересны такие (а, /3,у, 8 ), которые приводят к совместным системам.

Система (1) допускает класс автомодельных решений вида

u = y^Mc\ v = y3(n~Ma £ = (3)

где n - показатель автомодельности.

Будем рассматривать решения (2) с

а = 2т, Р - Зт, у = к + т, S = к

и обозначать их символом р[т, к, t£ ). Такие решения являются некоторым обобщением автомодельных с

п = 1 + т/к.

Третий аргумент в Р означает, что в полиномах (2) используются степени с шагом по t£.

В качестве примера рассмотрим Р(\, р, t). Сначала положим р = 0. Представим соответствующее решение в виде, удобном для обобщения

Î2 2 u = u0 +Uxt + U2t , У = У0+У^ + ?

* = *0 +Xlt + t\ У = Уо-

В результате подстановки в (1) получим систему ОДУ

"о =з(м2"12 -v,} и\=Ъи\щ, и2 = -9,

v0 =3m,(m2v, -и0), v, =2«2V, -6и2и0 -3Ui,

х0 = 3 и2иххх, х, = 2и| х,, = -Зх,.

Решение р-то порядка записывается с теми же (и, v), но с полиномиальными (х, у) в виде

Р +1 /7 + 1

*=Х ФУ, y = Zy,(sY ■ i=0 ¡ = 0

Оказалось, что для написания соответствующей системы ОДУ следует воспользоваться следующим рекуррентным правилом перехода от решения (p-lj-ro к решению р-го порядка: вычесть из правой части уравнения для хр_[величину Зри2ихур, записать в правую часть уравнения с ур_1 дополнительное слагаемое 3 ри2ихур, добавить в уравнение с хр величину 3(р +1) и2 иххр+х - 5рщур, добавить два новых ОДУ:

хР+1 = 2(р + 1)и| хр+] —Зри 2ур,

Ур=2Ри2Ур-3(Р + 1)хр-Ц-Каждое из рассмотренных выше решений ассоциировано со своим автомодельным подклассом, в котором участвуют старшие коэффициенты из полиномов для и, v, х, у и которые образуют нелинейное ядро (самостоятельную подсистему) всей системы ОДУ. Если положить коэффициент ук (s) равном единице, так что

u~u2m{s)t2m, V~v3m(.>3"\ x~xkn{sY\ у~ук,

то хкп играет роль £ = х/уп - независимого инварианта автомодельных решений. Полезно использовать опыт изучения автомодельных решений, в частности, их изображение на фазовой плоскости (5, Т) [2, 3]

г -2 с 1 ( т\ ат Т>")

Т = и2тхкп, и3тхкп+пТ\ ^ =

Р = 2Т2 +(3я — 5)пТ — (3и-2)(3и — Изучая конкретное Р - решение, полезно следить за соответствующей кривой на плоскости (5, 7). Эта методика продемонстрирована в [4] для р(1,1, г2) ассоциированного с п = 2 при описании течений в соплах Лаваля с параболической ударной волной.

Занимаясь построением аналитических решений указанных выше систем ОДУ, можно использовать в качестве отправной точки известные автомодельные решения, в том числе и тривиальные. В частности, таковыми являются решения, изображаемые особыми точками на плоскости (5, 7), например, точками С и Д координаты которых определяются как

з N

V

-3^5- Г"2

£>(5 = 2/3, Г = 1).

Использование точки С в качестве исходного автомодельного решения означает следующий выбор для старших коэффициентов в соответствующем Р - решении (а - произвольная постоянная)

хкп = а> и2т =("«)2. ^Зи=|(иа)3.

В силу этих равенств подсистема ОДУ для хкп, и2т, у3|л оказывается удовлетворённой и необходимо решить укороченную систему ОДУ. Её решение будем называть С - решением и обозначать символом с[т, к, г6} с теми же аргументами, что и в соответствующем Р - решении. Заметим, что переход отРкС - решению связан с уменьшением порядка системы на 2, то есть с потерей двух постоянных.

Если в качестве базового автомодельного решения использовать особую точку й в плоскости (5, 7), то получим (а - произвольная постоянная)

хкп=а, и2т = а2, у3т = Гзл-|^3.

Соответствующий подкласс может быть обозначен как о(т, к, Физическое свойство, которое его характеризует, это — выход на течение Пран-

дтля-Майера с поведением и ~

/ \ 2 С \

X V — X

кУ, т у

з

при у —» 0.

Отметим ещё одну возможность, реализуемую при выборе частного решения нелинейного ядра: использовать автомодельное решение, названное

в [3] интегралом Жермена и существующее при любом показателе автомодельное™ (z - параметр)

Xk„=az(z-l\ u2m=(azf, v3ra=|(az)3.

Соответствующий подкласс может быть обозначен как G(m,k,t£). В [5] обсуждался вопрос о решении системы (1), которое описывает пример обтекания конечного тела звуковым на бесконечности потоком газа (профиль Гудерлея и его осесимметричный аналог). Отметим, используя введённую здесь символику, что речь шла о свойствах подкласса G(l, 1, t2) решений, которые существуют не только в плоском, но и в осесимметричном случае. Дополнительные подробности можно найти в [6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Севастьянов Г.Д. Примеры околозвуковых течений идеального газа со скачком уплотнения // МЖГ. 1969. №1. С. 49 - 52.

2. Guderley К., Yoshihara Н. On Axial - Symmetric Transonic Flow Pattern //Quart. Appl. Math. 1951. Vol. 8, №4. P. 78 - 92.

3. Чернов И.А. Автомодельные решения в околозвуковой газовой динамике // Трансзвуковые течения газа. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1964. С. 63 - 100.

4. Капункин Б.А., Чернов И.А., Шеховцева Е.Ю. Параболические ударные волны в соплах Лаваля // Аэродинамика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. С. 65 - 88.

5. Chernov LA. Parametric representation of exact solutions of the transonic equations // International Workshop on Advances in Analytical Methods in Aerodynamics :Programm and abstracts. Poland, Miedzyzdroje, July, 1993. P. 51 -54.

6. Чернов И.А. Полиномо-параметрические решения трансзвуковых уравнений // Аэродинамика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. С. 91 - 102.