CC BY
35
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м V 1974
№ 2
УДК 533.6.011
ЗАДАЧА О МЕСТНОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ЗОНЕ В КЛАССЕ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ
А. П. Цветков, И. А. Чернов
Приводится классификация плоских околозвуковых течений в окрестности точки встречи звуковой линии и бесконечно слабой ударной волны, получены условия существования таких течений. Обсуждается невозможность течения с ударной волной, если на приходящей предельной характеристике нет особенности. Обобщен пример Ф. И. Франкля околозвукового течения с тремя предельными характеристиками и прямолинейной ударной волной на некоторый диапазон значений показателя автомодельности.
При обтекании профиля дозвуковым потоком, скорость которого превышает критическую, образуется местная сверхзвуковая зона МСЗ, ограниченная, как правило, ударной волной [1—6]. Известны результаты численного решения соответствующей задачи [7, 8], однако остается неясным характер течения в области соединения ударной волны и звуковой линии. На фиг. 1 показаны некоторые
Фиг. 1
гипотетические картины обтекания профиля с МСЗ. Принципиальным является вопрос о расположении точки О нулевой интенсивности ударной волны. Гудер-лей [9] отметил следующие возможности: либо эта точка лежит на звуковой линии, как на фиг. 1, в, г, д,е, либо она находится внутри МСЗ, как на фиг. 1,6, г.
Настоящая работа посвящена изучению первой возможности. Ограничиваясь локальным исследованием течения вблизи точки О, можно сделать дополнитель-
ное предположение об автомодельном характере течения. Ниже изучаются течения с одной ударной волной 5. Другой тип течения — с двумя ударными волнами Si и 52, показанный на фиг. 1, е, рассмотрен в работе [10].
В ряде работ [11 —18] приведены различные частные примеры автомодельных течений в МСЗ с ударной волной. Ниже исследуется вся совокупность таких течений. Анализ показывает, что появление одной ударной волны в автомодельном течении возможно лишь в том случае, когда на звуковую линию приходит слабый разрыв — особенность, представляющая собой конечный разрыв первых или бесконечный разрыв вторых производных вектора скорости по координатам. Особенность, приходящая вдоль характеристики на звуковую линию, отражается от нее либо в виде особенности, либо в виде ударной волны. Найдены условия, при которых реализуется каждая из этих возможностей.
Существуют разрывные автомодельные течения с тремя предельными характеристиками в сверхзвуковой части [12]. Отличительной чертой течений является возможность построения прямого скачка, а также левобегущих, т. е. затухающих на звуковой линии, ударных волн (фиг. 1, г), что невозможно в течениях с одной предельной характеристикой.
§ 1. Приближенная система трансзвуковых уравнений
-«^L + i!L = o, ifL-JlL=o (l.l)
дх ду ду дх
(где и, v — безразмерные комноненты вектора скорости возмущения однородного звукового потока, х, у —декартовы координаты) имеет автомодельные решения вида .
и = \У |2л-2/(Е), v = \y |3"-3 g (Е), i = x\y\~nsgny. (1.2)
Для функций / и g получается система обыкновенных дифференциальных уравнений:
Если ввести переменные Гудерлея [9], то эта система становится эквивалентной дифференциальному уравнению первого порядка и квадратуре для определения £:
dt _ 2 ¿2-|-(3 и2 — 5 n)t — (3n — 2) (3 п — 3)s In £<:—(* ^S П 3)
ds (л2 — t)(t — 3 s) ’ J t — 3 s ’ '
где E—произвольная постоянная.
Уравнение (1.3) имеет следующие особые точки:Л(« = 0, t = 0), которая
является изображением оси х физической плоскости, С (s = . 5 и3 (п — 1)
V (3 п—2) (’3 л—3)
образ предельной характеристики, D (s = 1/3, t= 1) — образ оси х с бесконечными скоростями и, v на ней или оси у с и = v = 0. Бесконечно удаленная точка В плоскости s, t изображает ось у физической плоскости. Пересечение интегральной кривой линии t = rfi в точках, отличных от С, означает появление в соответствующем течении предельной линии.
Автомодельные течения допускают ударные волны вида ; = const, при этом выполняются соотношения
Si = 52, ¿1 Ч- ^2 = 2 п2, ii = (1 -4^
где индексами „1“, „2“ обозначены величины до и после ударной волны.
Имея в виду теоретическую возможность безударного течения в МСЗ (фиг. 1 ,а), найдем соответствующую асимптотику в точке О, которая в данном случае представляет точку, принадлежащую звуковой линии и соответствующую экстремальному значению функции тока.
Сформулируем задачу I: найти показатель п и соответствующее решение (1.3), не содержащее предельных линий и аналитическое на замкнутом контуре, один раз охватывающем точку О. В самой точке О в решении допускается особенность.
Из условия аналитичности следует, что искомое решение совпадает: I) либо с решением I 4i3 = 9[(3n —2) s — ni]2, описывающим течение типа простой волны,
2) либо с решением yd имеющим в точке С представление в виде степенного ряда
< = „*+ 3(Д-1)(Зя-2) (а_ } + ;
п(п + 1)
3) либо с произвольным частным решением уравнения (1.3) при одном из п = 2,
3, 5, И. Множество решений задачи I приведено в работе [19]. Одним из них является п = 3/2, а — ky, v — kx, k = const, которое описывает течение в окрестности звуковой линии, совпадающей с осью х.
Ниже в §§ 2—5 показана устойчивость этого решения при возмущениях /г и константы, выделяющей частное решение на плоскости s, t.
§ 2. Рассмотрим задачу И, которая отличается от задачи I тем, что на одной из предельных характеристик допускается слабый разрыв. Решение ее дает ответ на вопрос о возможности возникновения (затухания) особенности на звуковой линии. Покажем, что в классе решений (1.2) это невозможно.
Заметим, что не существует безударного течения с одной предельной характеристикой. Наличие второй предельной характеристики, на которой решение является аналитическим, приводит к рассмотрению указанных в § 1 трех возможностей. Возможности 1 и 3 легко просматриваются с учетом результатов [19], поэтому проанализируем возможность 2.
Условие отсутствия предельных линий в течении, соответствующем кривой 7], приводит к неравенству 3/2 <; п < 11/7. Для выяснения вопроса о реализации этого течения на физической плоскости воспользуемся методом годографа. Известно, что функция у (и, V) является решением уравнения Трикоми кКгш + -(- Ууу = 0. Кривой 75 соответствует решение этого уравнения вида [20]
р(Зр-2)„НрАя -!!-/>, 1-1^,
у 6 р - 5 V 2 2 2 6 И 9 V2 /
где р = (3п— 2)1(3 п — 3), У7—символ гипергеометрического ряда.
Осуществляя аналитическое продолжение этого решения в окрестность характеристики V — — 2/3 и3/2 сначала по части, содержащей дозвуковые скорости, затем по чисто сверхзвуковой области (на плоскости 5, Ь это означает подход к особой точке С снизу и сверху соответственно), найдем значения ^ и 62. Отнесем величину Д£ = 5а — $1 к значению £ на той предельной характеристике, где течение описывается аналитическим решением. Соответствующая зависимость от показателя п дается формулой
2(п—2) п + 1 г _п—1 , ч -Л—п
" " 7п — Ь
^1 = 2 3 -3 3 •пп+1
7 п — 5 \ и- 1 )
2 cos
3 \ п — 1
и представлена на фиг. 2 в интервале 3/2 <; п < 11 /7.
§ 3. Рассмотрим вопрос об отражении особенности от звуковой линии без образования ударных волн. Схема такого течения показана на фиг. 3, в. Предельные характеристики (штрих-пунктирные линии) лежат в нижней полуплоскости, две звуковые линии (сплошные) отделяют дозвуковую часть течения от сверхзвуковой. Соответствующее построение возможно при 3/2 < п <^2.
Ограничимся сначала течениями, которые симметричны относительно вертикальной оси у и изображаются на плоскости 5, £ кривой ^ с асимптотическими представлениями « = Ь при t -=> со. Кривая р! подходит к точке С сверху без предельных линий при п > 3/2; на фиг. 3, а она разделяет секторы 15 и 16. Условие отсутствия предельных линий при подходе ¡3] к точке С снизу после „отражения“ от В дает неравенство 3/2 < 2; на фиг. 3, а р, разделяет секторы 13
и 18, затем 14 и 17. Таким образом, при 3/2 <; я < 2 на плоскости 5, і может быть построена непрерывная кривая, изображающая течение типа фиг. 3, в. Вследствие симметрии отраженная особенность равна приходящей по величине и противоположна ей по знаку. Требованию совпадения £ на предельных характеристиках можно удовлетворить за счет выбора различных постоянных £ в (1.3) для каждой из двух областей, на которые разбивается окрестность точки О предельными характеристиками.
При данном п из найденного интервала (3/2, 2) существует класс несимметричных течений такого же типа, которые на плоскости годографа описываются общим решением гипергеометрического уравнения:
у = РЛ?Р ~ 2> (А. цз — —р, 1-®^
6/1-5 И ] \ 2 2 6 2 6 4 и?
—*('+-«-)(т-—І+» ■-£)•(ЗЛ)
где в! — произвольная постоянная.
Условие отсутствия предельных линий в области между предельными характеристиками v=±2|Зu3,2 приводит к неравенству
г2(4--^)гз (4-)sin ”(р+4
" 6 " ^ 2 где Г обозначает гамма-функцию. 108
Аналитическое продолжение решения (3.1) в окрестность предельной характеристики к = — 2/3 н3/2 по области и> 0 дает
, р—1
1 _ 5 р 11 _ , 9 V*
+
2 fU- 1
2 3
£
2
1
9 и2 4 н3
, (3.2)
где
*1 =
4 р+-
Ж
2 sin ж 1/7 4- -g
Г|4|Г |-^ + -7ГІГ
4|Г
+ б)
В области к>2/3 и3^, и> 0, в окрестности предельной характеристики решение у представляется в виде, аналогичном (3.1), где вместо в] записано е2. Аналитически, продолжая это решение в окрестность характеристики V—— 2/3-и3/2, получим решение, аналогичное (3.2) с коэффициентами къ и при регулярной и нерегулярной частях. Условие непрерывности на предельной характеристике V — — 2/3 и3/2 эквивалентно равенству кх=Иъ и дает связь между е: и г2:
г hr+-
6 + 2 )Г (‘ + 2
2 +І
с Г 1р +
sin я ^2 р -f- -g-
+
2 cos тс ho + -g
(3.3)
Симметричным относительно оси у течениям соответствует решение вида (3.1) с
„ г(-Г-'’Нт-
Подставляя это значение ej в (3.3), получим
Р '
г 7Г + Р
Ч = <4 Ctg ТС -f -
Интегральные кривые на плоскости s, t (фиг. 3,а), соответствующие рассмотренным в этом параграфе безударным течениям, покрывают область, обозначенную цифрами 13—18. Этими же цифрами показаны соответствующие области
О
0,01
002
Фиг. 4
0,02
001
о
@ 0,5 V —А /* 0/ 4 0,5 Д
=ж~^_ 17 = 1,55 -05
Щ
0,01
о
на физической плоскости (фиг. 3, в). Последним среди возможных безударных течений является то, которое изображается кривой у1, верхняя от точки С часть которой обозначена на фиг. 3,а через 7^
Численные расчеты удобно проводить, интегрируя систему для функции / и g (1.2). Начальные условия задавались при ? = 0, т. е. на оси у плоскости течения. Значение /о полагалось равным — 0,5, тогда величина ¿-0, характеризующая наклон вектора скорости, есть параметр семейства течений при данном п. Значение ^0 = 0 соответствует симметричным относительно оси у течениям. На фиг. 4
показана функция/(£) в случае я=1,55 для трех значений g0 = 0; 0,01; 0,02. Значение g0 0,02 является крайним допустимым начальным условием. В § 5 будет показано, что дальнейшее увеличение g0 приводит к образованию ударной волны вместо отраженного слабого разрыва.
§ 4. Сформулируем задачу III. Найти автомодельное течение, не содержащее предельных линий, аналитическое на замкнутом контуре, охватывающем точку О, с одной ударной волной.
Докажем соответствующую теорему несуществования, рассматривая решения, аналитические на предельной характеристике (см. § 1). Заметим, что в решении 1 (простая волна между предельными характеристиками) существует предельная линия, которую невозможно устранить введением скачка, оставаясь на этом решении.
Интегральная кривая только при 7/5<п<3/2 может рассматриваться как возможное решение задачи III. После .отражения* от точки В кривая при п, удовлетворяющих указанному неравенству, пересекает линию t= л2 в точках, отличных от С. Попытаемся устранить предельные линии введением ударной волны. Легко построить скачок на плоскости s, t, удовлетворив первым двум условиям (1.4), однако условию совпадения % по обе стороны скачка удовлетворить не удается. Результаты соответствующего расчета показаны на фиг. 2 в интервале 7/5< л<;3/2. Аналогичные расчеты проводились в работе [16].
Используя результаты работы [19], нетрудно убедиться, что при л = 2, 3,
5, 11 решения задачи III также не существует.
§ 5. Рассмотрим задачу IV, которая отличается от задачи III дополнительным условием: требуется, чтобы в течении была только одна предельная характеристика, на которой допускается слабый разрыв. Область течения можно считать составленной из двух частей: области 1 от предельной характеристики до ударной волны по части, включающей дозвуковое течение, и области 2—по чисто сверхзвуковой части. При каждом я из интервала 7/5<[и<С2 существует ■бесконечное семейство решений задачи IV, непрерывно зависящее от одного параметра, определяющего кривую на плоскости s, t (например g0, как в § 3).
Рассмотрим фиг. 3, которая соответствует случаю 3/2 < я <[5/3. На фиг. 3, б, в, г показаны различные типы течений в МСЗ, построенные на основании решений (1.2). Течениям типа фиг. 3, б отвечает множество интегральных кривых, расположенных в секторах 1—6. Пунктиром обозначена линия возможных состояний до и после ударной волны. Если используется часть этой линии, лежащая ниже оси абсцисс, то скорость за ударной волной дозвуковая; если часть, лежащая выше — то сверхзвуковая, с последующим торможением до дозвуковых скоростей. Таким образом, в секторе 5 возможна звуковая линия. Она может совпадать с осью Ох (на плоскости s, t ей соответствует интегральная кривая, обозначенная а15 проходящая в направлении через узел А, со степенным разложением s =——-—Кривая а, и сепаратрисса седла D—кривая Sj —
являются границами области на плоскости s, t, соответствующей течениям типа фиг. 3, б. С приближением используемой интегральной кривой к *8t ударная волна приближается к оси л: и в пределе совпадает с ней (при этом ударной волне соответствует скачок из А* в А и скорость на оси х бесконечна).
Множество интегральных кривых в секторах 7—12 соответствует течениям типа фиг. 3, г. Скорость за скачком всегда сверхзвуковая, дозвуковая часть течения занимает лишь один квадрант. Эти течения непрерывно переходят в безударные течения типа фиг. 3, в, рассмотренные в § 3.
Исследование значений я из интервала (7/5, 3/2) показывает возможность построения в этом случае течений только типа фиг. 3, б. Использование кривой 7! отличается тем, что слабый разрыв на приходящей предельной характеристике является конечным разрывом первых производных вектора скорости по координатам [16], все другие течения характеризуются бесконечным разрывом вторых производных.
Если 5/3 < я <2, то остаются течения со слабыми разрывами типа фиг. 3, в, и с ударными волнами типа фиг. 3, г.
Для количественного изучения рассматриваемых течений использовалось интегрирование системы для функций / и g от начальной точки ё = 0, / (0)=—0,5, S (0) = So б [iimin> ¿'maxi ПРИ фиксированном значении л. Множество допустимых в задачах II и IV значений п и g0 представлено на фиг. 5, где также показаны начальные значения, соответствующие кривым о,, ß]t 5,. Между предельной характеристикой и скачком уплотнения в МСЗ, соответствующей задаче IV, возможно течение, характеризующееся прямолинейностью одного семейства
характеристик (простая волна); соответствующие начальные значения показаны на фиг. 5 штрих-пунктирной линией. Впервые такие течения в МСЗ изучались в работе [17].
Часть плоскости на фиг. 5, примыкающая к оси абсцисс при 1,5<!и<2 и ограниченная кривыми 71( соответствует безударным течениям, рассмотренным в § 3.
На фиг. 6 показан результат расчета семейства функций /(£) при л =1,45 для некоторых значений £0. Для всего множества разрывных течений в задаче
IV характерно, что £¿<0, т. е. ударная волна является правобегущей, как на фиг. 1, в. Найденный в работе [15] интервал 7/5 « <15/3 оказался расширенным
за счет рассмотрения течений типа фиг. 3, г. В работе [18] высказано предположение, что особый интерес представляют те из рассматриваемых течений, которые описываются алгебраическими функциями (в указанном интервале есть два таких значения и =11/7 и п — 29/19). В работе [20] Жермен допускает возможность существования течений с одной предельной характеристикой и одной
ударной волной, т. е. решений задачи IV, отличных от рассмотренных в этом параграфе (см. фиг. 37 в работе [20]). Такие течения допустимы, если ограничиться анализом на плоскости 5, t, однако при этом удовлетворить третьему условию (1.4) не удается.
§ 6. Сформулируем задачу V: найти автомодельное течение, не содержащее предельных линий, с тремя предельными характеристиками, на которых допускаются слабые разрывы, и с одной ударной волной.
Чтобы представить множество решений задачи V, начнем с одного обобщения результатов работы [12], которое получается, если в дополнение к условиям задачи V потребовать, чтобы скачок был прямым. Ударный фронт в этом случае совпадает с отрицательной полуосью у (см. фиг. 1 в работе [12]). Окрестность точки О теперь составлена из четырех областей, границами которых являются три характеристики и ударная волна. Решение для области 1, примыкающей к дозвуковой стороне ударной волны, запишем в виде
р-1
р _ 1 1 _ р 1
2 3 2 2 2 «а_±из
(6.1)
В области 1 не должно быть предельных линий, что приводит к неравенству
(6.2>
Решение в области 2, по другую сторону предельной характеристики
V = 2/3-и3/2, возьмем в форме
1 \ / 1
р-г
У ' 3А6'-5 и и) I2 - 2
. р 1 р 1 9 f2 \"1 „
X^(-f- —-3-, т> Р + Т' (6-3>
Условие отсутствия предельных линий в области 2 дает два неравенства:
1 <р<5/3, которое включает в себя ограничение (6.2), и второе — для е3, совпадающее с (3.2), если заменить ej на е3. Решение в области 4, примыкающей к сверхзвуковой стороне ударной волны, представим в виде
_ М Лиг- „ / J_ Р_ А £_ J_
У-(^9Н] F ( 2 2 ’ 6 ~ 2 ’ 2 ’ 4 и3 у '
В области 3, расположенной между областями 2 и 4, решение непрерывно склеено с (6.4)
2Г(т+1 Гпг+т
6J \ 2 / [Р&Р-2) t 4 \ 2 /_!_ р_ _5_ р_
2V1 6р — 5 9 м (2 2 ’ 6 2
11 91/2 \ / 1 Л / 4 \P-s-/ 4
2 г> * — 4 из J -г 6 Д 9
s, P(JL JL £ _L , ,
X F( 2 3 - 2’ 6 + Л 1 4 a3
где е4 — произвольный коэффициент. Из условия непрерывности этого решения на характеристике V = — 2/З-и3''2, разделяющей области 2 и 3, получим связь между
И е3:
При р = 5/3 (и = 3/2) решение однозначно определено всюду (е3 = 0) и совпадает с рассмотренным в работе [12]. При других р в областях 2 и 3 решение зависит от одного параметра. На фиг. 7 показана функция/(£), соответствующая
Фиг. 7
прямому скачку в задаче V при п = 1,55, множество интегральных кривых в областях 2 и 3 заштриховано.
В работе [14] показано, что при п = 3/2 решение задачи V не является единственным. Решение [12] было изменено в областях 1 и 4 за счет введения параметра е5, при этом ударная волна получилась криволинейной. Можно изменить решение [12] и в области 3, вводя второй параметр ев. В области 2 решение менять нельзя, поскольку при этом появятся предельные линии. Таким образом, при п = 3/2 решение задачи V является двухпараметрическим. При п >3/2 возможно введение третьего параметра е7 в области 2. Отметим, что при 3/2<л<2 существуют течения с ударными волнами, вогнутыми как вверх, так и вниз по потоку.
Приведем один элементарный пример типа [12], построенный для п = 2 с использованием общего интеграла, найденного в работе [21]. Функция /(£) равна: для области 1 £ < 0, /=—4 (— £)1/2; £ > 0, / = 4 £1/2; для областей 2 и 3 £<1, /=8-4|; е>2, /= 8 + 4 £; для области 4 / = 4,033 + 2,84 5 + 3,83 у"? + 0,71. Ударная волна описывается уравнением х = 0,48 у%, л:>0, у < 0. Угол между ударной волной и звуковой линией, как и в работе [12], равен тс/2. На предельной характеристике, разделяющей области 2 и 3, описывается течение аналитическим решением.
Построение множества решений задачи V является более сложной проблемой, чем рассмотренная в § 5, ввиду большого числа параметров (и, е5, ев,, е7). Представляет интерес вопрос о существовании такого течения, в котором на приходящих предельных характеристиках особенность отсутствует, а вдоль исходящей распространяется. Это означало бы, что в точке О одновременно зарождаются ударная волна в комбинации со слабым разрывом. При этом необходима рассмотреть решения с показателями п = 2, 3, 5, 11. Изучение соответствующих решений показывает, что упомянутое выше течение невозможно. Любопытно сопоставить этот результат с возможностью одновременного зарождения на звуковой линии либо двух слабых разрывов, либо двух ударных волн [22].
Авторы благодарят С. В. Фальковича за постановку задачи и полезные обсуждения.
8 — Ученые записки ЦАГИ № 2
113
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский А. А..Таганов Г. И. Движение газа в местной сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потенциального течения. ПММ, т. 10, вып. 4, 1946.
2. Франкль Ф. И. К образованию скачков уплотнения в дозвуковых течениях с местными сверхзвуковыми скоростями. ПММ, т. 11, вып. 1, 1947.
3. В u s е m a n n A. The non-existance of transóme potential flow. Proc. of sympos. in Appl. Mathem., vol. A, Fluid Dynara. N. Y. Toronto, L. Me. Graw-Hill., 1953.
4. Гудерлей К. Г. О необходимости существования скачков уплотнения в смешанных потоках. В сб. „Проблемы механики“, нод редакцией Р. Мизеса и Т. Кармана, вып. 1,М., изд. иностр. лит., 1955.
5. Morawetz С. S. Оп the non-existance of continuous transóme flow past profils. Part. I, II, III, Comra. on Puré andjAppl. Mathem., vol. 9, No 1, 1956; vol. 10, No 1, 1957; vol. 11, No 1, 1958.
6. Manwell A. R. On locally supersonic plañe flows with a weak shock wave. Journ. of Mathem. and Mech., vol. 16, No 6, 1966.
7. Murman E. М., Colé J. D. Calculation of plañe steady transonic flows. AIAA Paper, No 70, 1970.
8. Лифшиц Ю. Б. К теории трансзвуковых течений около профиля. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 5, 1973.
9. Г у д е р л е й К. Г. Теория околозвуковых течений. М., изд. иностр. лит., 1960.
10. Ferrari С., Trie от i F. G. Aerodinámica transonica. Rome,
1962.
11. Франкль ф. И. Пример околозвукового течения газа с областью сверхзвуковых скоростей, ограниченной вниз по течению скачком уплотнения, оканчивающимся внутри течения. ПММ, т. 19, вып. 4, 1955.
12. Ф р а н к л ь Ф. И. Новый пример плоскопараллельного околозвукового течения с прямым скачком уплотнения, оканчивающимся внутри течения. Изв. вузов СССР,— „Математика“, № 2, 1959.
13. Бийбосунов И. Пример околозвукового течения газа с областью сверхзвуковых скоростей, ограниченной вниз по течению искривленным скачком уплотнения, оканчивающимся внутри течения. ПММ, т. 22, вып. 3, 1958.
14. Бийбосунов И. Пример плоскопараллельного околозвукового течения газа с искривленным скачком уплотнения. ДАН СССР, т. 126, № 5, 1959.
15. Q е г m a i п Р., Gillon G. Ecoulements transsonigues au voisinage d’un point de rencontre d’une onde de choc et d’une liqne sonigue. Publ. ONERA, No 102, 1961.
16. Лифшиц Ю. Б. О течении в окрестности точки встречи звуковой линии со скачком уплотнения. Инж. журн., т. 5, № 1, 1965.
17. Лифшиц Ю. Б., Рыжов О. С. О некоторых точных решениях трансзвуковых течений газа. Журн. выч. матем. и матем. физ., т. 4, № 5, 1964.
18. Ф а л ь к о в и ч С. В. Затухание ударной волны на звуковой линии. Тезисы докл. 5-го Всесоюз. совещ. по анал. методам газ. динамики. М., Изд. ИПМ АН СССР, 1972.
19. Цветков А. П., Чернов И. А. Автомодельные околозвуковые течения, аналитические на предельной характеристике. В сб. .Аэродинамика“ под редакцией С. В. Фальковича, вып. 14, изд. Саратов. ун-та, 1972.
20. Germain Р. Ecoulements transsonigues homogénes. В сб. Prog-
iess in Aeronautical Sciences, vol. 5, Ред. Küchemann D., Sterne L. M. G. Pergamon Press, Oxford, 1961. ,
21. Фалькович С. В. К теории сопла Лаваля. ПММ, т. 10, вып. 4, 1946.
22. Лифшиц Ю. Б., Рыжов О. С. Об асимптотическом типе плоскопараллельного течения в окрестности центра сопла Лаваля. ДАН СССР, т. 154, № 2, 1964.
Рукопись поступила 15¡II 1973
