Дифракция сильной ударной волны на пластине, движущейся с гиперзвуковой скоростью Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том X 19 7 9

№ 2

УДК 533.6.013.2.011.5.0.29.7.025.73

ДИФРАКЦИЯ СИЛЬНОЙ УДАРНОЙ волны НА ПЛАСТИНЕ, ДВИЖУЩЕЙСЯ С ГИПЕРЗВУКОВОЙ

СКОРОСТЬЮ

А. И. Щедрин

Рассматривается задача о падении сильной ударной волны на полубесконечную пластину, движущуюся в покоящемся идеальном газе с гиперзвуковой скоростью.

В предположении о том, что число М движущейся пластины М со, число М движущейся навстречу пластине, ударной волны Мф оэ, угол падения ударной волны у -* 0 и показатель адиабаты у. -» 1 так, что параметр ®0= Мф (М®)-1 *= О (1), получено асимптотическое выражение для давления в области дифракции.

Исследование процесса дифракции ударных волн на движущихся телах занимает важное место среди проблем современной аэродинамики. Особый интерес в изучении этого явления представляют случаи взаимодействия ударных волн большой интенсивности с летательными аппаратами, движущимися с гиперзвуковыми скоростями. Основой для аналитического рассмотрения гиперзву-ковых течений идеального газа является использование приближенных асимптотических методов. К ним относятся метод малых возмущений для гиперзвуковых скоростей и метод ударного слоя. Гиперзвуковая теория малых возмущений рассматривается как результат упрощения полной нелинейной теории сверхзвуковых течений при двух предположениях: значение числа М набегающего потока Моз велико и отклонение вектора скорости частиц газа 6 мало, причем параметр К=М.х-0 остается величиной порядка единицы при стремлении Мсо к бесконечности и 6 к нулю. В предельном случае К -> оо гиперзвуковая теория малых возмущений дает результат для течений с бесконечно сильными ударными волнами. В основу асимптотической теории ударного слоя, помимо предположения о бесконечно большой интенсивности ударной волны, положено предположение о сильном уплотнении газа за ударной

волной. Этот предельный случай характеризуется тем, что одновременно осуществляются предельные переходы: К-> оо и показатель адиабаты х-*1.

В настоящей работе рассмотрена задача о дифракции сильной ударной волны на полубесконечной пластине, движущейся с гипер-звуковой скоростью. В рамках гиперзвуковой теории малых возмущений сформулирована краевая задача для давления в области дифракции, которая в принципе может быть решена, поскольку аналогичные краевые задачи сформулированы и решены в работах [1—4]. Однако такое решение, как и решения, полученные в [1—4], оказываются не пригодными при формальном предельном переходе у. -* 1. Это обстоятельство, как показано в работе [5], связано с тем, что формальный предельный переход при у. -> 1 в этих решениях приводит к вырождению характеристических поверхностей, свойственных используемой приближенной гиперзвуковой теории малых возмущений, и, как следствие этого, появлению ряда особенностей в поле течения (например, наличие разрывов газодинамических функций). В работе на основе анализа приближенных уравнений, полученных в рамках теории малых возмущений, эти особенности устраняются при рассмотрении выявленных областей неоднородности решения путем построения дополнитель-

7. — 1

ных асимптотических разложении по малому параметру е=^—р-р,

стремящегося к 0 при х 1. Последующее применение метода асимптотического сращивания позволяет построить непрерывное решение во всей исследуемой области течения.

1. Пусть полубесконечная пластина движется в покоящемся идеальном газе со сверхзвуковой скоростью и = Ма^-. (аж — скорость звука в покоящемся газе). Навстречу пластине со сверхзвуковой скоростью £) = МФаос подходит фронт плоской ударной волны под углом <р к плоскости пластины. Картина обтекания, возникающая на верхней стороне пластины в некоторый момент времени ^>0 изображена на рис. 1. Плоская ударная волна О'и отражается в регулярном режиме от поверхности пластины в точке О'. При этом отраженная ударная волна О'В' составляет угол <р2 с плоскостью пластины. При взаимодействии отраженной ударной волны О'В' с присоединенным к носику пластины плоским скачком уплотнения О" В", составляющим угол с плоскостью пластины, образуется область дифракции А’ В' В" А". Границей области дифракции А' В' В" А" (область 4) является участок искривленной ударной волны В' В”, участок пластины А' А", отсекаемый характеристическими поверхностями А' В' и А" В". К области 4 примыкают области однородных потоков 1, 2, 3, в которых параметры

течения газа описываются кусочно-постоянными решениями. Из-за отсутствия характерных размеров задача является автомодельной. Рассмотрение будем проводить в прямоугольной системе автомодельных координат С == , т) = ~ . Начало координат поместим

в точку О, лежащую на середине отрезка А' А". Считается, что фронт падающей ударной волны О'И движется в положительном направлении оси С.

Введем безразмерные газодинамические параметры по формулам

где п, V — размерные величины компонент вектора скорости частиц газа соответственно в направлении С, т(; р — давление, р — плотность, р, — плотность газа в области 1. В дальнейшем, для определенности, нижними индексами будем обозначать параметры газа в соответствующих областях течения, кроме области^, для которой индекс будет опущен. В автомодельных переменных С, у уравнения неразрывности, количества движения и энергии для частиц газа имеют вид

На поверхности пластины при у — 0 условие непротекания за* пишем в виде

На скачках уплотнения, формы которых задаются уравнением т) — (С) = 0, выполняются условия ударного перехода

(1.1)

(1.2)

и=и

(1.3)

% + 1'1 + (М1 ~ ?)

В автомодельных переменных С, *1 области однородных течений 2, 3 являются конически сверхзвуковыми областями, а область неоднородного течения 4 является конически дозвуковой- Уравнения характеристических поверхностей А' В' и А" В", разделяющих конически сверхзвуковую и конически дозвуковую области, имеют соответственно вид

С = И,+ У а\— ч*“. С = и3 — у"а*

т2 о

*з — Г

(1.4)

Параметры газа в областях 1, 2, 3 постоянны и находятся с помощью обычных газодинамических соотношений для наклонных скачков уплотнения. Для определения этих параметров имеем выражения вида

vt => cos f (1 - Pen), = — [v, (tg <p3 — tg <*g + a} — a*].

* + l Pi =------------------------------r>0

2*

1

Uo = — [vt (tg f 2 + tg <p3) + as — a2], Vo = 0,

p2:

Pi

_ lg (?2 + в|)

2 2 fsin2 (?2 + fli) _ *2 —

x+ 1 °° [ sin2(tp — 0,) 4x

tg ъ

Гг — 1 , sin2 (<? ~ У

U + 1 Sin2 (tfs + 0,)

-1

7. -b \J

■—у 1/

-l

tge'~tg?T±wk-'

Ря =

rsin2G1 sin2 (tfs + 0) *2- 1 /о-1 7'

[sin2 0 sin2 (tp — 0,) 4x \Po° * +

tg (<Рз+в)_

tgfs

[i

— 1 , sin2 0 sin2 (<f — I

-f- 1 sln20] Sin2 (<f3 -t-

!il /р-l _ iniy

fl) V 00 7. + 1 /

g Sin tp COS у (1 Pop)

^ 1+5 Sin3 cp (] — p ) ’

M„

(1.5)

Уравнение для форм плоских скачков уплотнения О' й, О' В' и О"В" запишем в виде

, <g 61

‘gr + ^-('gT2- *g?3)

a sin 9 1 -f- tg 9 tg 6, 2

^2» — координаты абсцисс точек В' и В" соответственно.

Из соотношений (1.4) и (1.6) вытекает, что величины С2 и С3 удовлетворяют уравнениям

С2 = и2 + [я|— tg2 <р2 (Г— С2)3]1/2,

'8 = “з — [аз — tg2 ?з (*+ С3)2Г.

Следует заметить, что при произвольном выборе начальных

параметров задачи М, МФ, ? картина обтекания пластины в области

возмущения, вообще говоря, не симметрична. Очевидно, что при условии равенства интенсивностей скачков уплотнения О В' и О' В" и углов их наклона к плоскости пластины обтекание будет симметричным. В этом случае решение задачи зависит от двух начальных параметров. Действительно, выполняя условие симметрии течения, из соотношений (1.5) следует, что параметр

3 =_____

1 -1Й2?(1 — Рсс)

2. Рассмотрим картину дифракции в рамках гиперзвуковой теории малых возмущений, полагая, что

М —>■ ос, Мф -у оо, <р -*■ 0. (2.1)

Для определенности положим, что предельный переход (2.1) осуществляется таким образом, что

о, = -±-0(1). (2.2)

М-?

При этих предположениях область течения 4 мала по сравнению с областями однородных потоков 2 и 3. Этот факт следует из рассмотрения соотношений между линейными размерами областей 2, 3 и 4.

Итак, согласно условиям (2.1) и (2.2), в областях течений 1, 2, 3 описываемых формулами (1.5), соответствующими асимптотическими представлениями газодинамических параметров являются выражения

И' = *1ГГ^-(зо - П11 4-

+ о(Л>)], Л = ^=Д|, + 0(Л>)|.

«2 = ? («о + 1) [ 1 + О (А2)], Ъ = ? [1 + 0 (Д2)],

(*А -г I)3 X 4* 1

Рг = 2^~Р + °(дз)1- Рг = —~г (1 + 0 (А2)],

(X 4- 1)- X — 1

“з = -9 (1 +5о)[1 + О(Д2)], ?3 = ?2а0±=1 [ 1+ О (Д2)],

Vл ~Г * г % “Г * ' '. ’

Рз== I1 + °(Д2)]' Рз — —~~т [1 + 0 (А3)],

('л 4- I)3 х— I

где Д2 = у3 + Мф2.

(2.3)

Асимптотическими разложениями параметров в области 4 являются следующие выражения:

и = ®и(1> (С0, т»10) Н-, V = (С0, ----»

/7 = />(°)[1+?р(1>(С0, ■%)]-{-, о = р(°)[ 1 + '?р(1)(С0, ТГ)0)]Н-

40.=^ + ?№)+•••,

2 (Зх — I)

(2.4)

где

С = в<«» С0> ч==а«°Ч, /><0) =

(х + 1)-

0<°> =

а<°>

Тв? = 2

-£

2 (x-i)(3x-l)

(X + I)2

1/2

(а<°>)

\-i

Подставляя разложения (2.4) в уравнения (1.1), (1.2) и (1.3), получим линейную систему уравнений для возмущений параметров течения и соответствующие граничные условия:

д“{1) , ^ а<о) (г „ dp<l) ) —0

дСо + Лю V0 д:0 + ^ дщ ) — и>

г ди^ , _ я<°> dp*1'____р.

-0 ~WZ -Г Чо "лт: г- и>

. dv<"

4 ае0

(3% ^о-ХГ-

,(0)

асо

О,

'о (/>0) - •"•Р(1>) + Чо (/>(1) - *р(1)) = 0. г><»(С0, 0) = 0,

(2.5)

(2.6)

и<!>=

М1):

"А + 1

, 4% 3% — 1

оЮ>|^>

х(х— I)

'0

_ о, р(1) = - ——- а<°> frAD - С„

41 йГСо Г 's xfx — п \ ^ 0

<«о «о-'

(2.7)

На предельных характеристиках А'В', А" В", уравнения которых Со+ ■')<>= 1, с учетом разложений (2.3), имеем условия непрерывности параметров

«(1)[±(1-Чо2)1/2. Чо] = ±т^(*е + 1), $1/2> Чо] = 0,

(* + !)*

р<‘>1±( 1-^Р, ri0]=pO)[+(l -4g)W, 4,1=0.

(2.8)

После преобразования по формулам С0 = sin usech-c, */^0 = th т конически дозвуковая область С20 + т(*<;1 в новой координатной плоскости принимает прямоугольную форму. Из полученных соотношений (2.5) — (2.8), предварительно сделав переход к новым переменным [1, ■z, следует, что в этой области функция возмущения давления /?(!)(!а, т) должна удовлетворять уравнению Лапласа

дв , д'2 р11^.

:0

(2.9)

и следующим граничным условиям:

дрМ _

д1

О при х = 0,

Р

(1)

т •,)-0'

*/ 2

(«О'

1)-' |

--71/2

/г((х)

д ^ 8*(х-1)а<°>

в1п ц др (Зх — 1)(х+ 1)

(Зх—1)з

2я(0>

с№ х<°»

вш {X сое 2т, (х -[■ 1)

при х = х<°),

(2.10)

Решение краевой задачи (2.9) —(2.10) в принципе можно получить, используя методы работ [1—4]. Однако, как указывалось во введении с ссылкой на работу [5], эти решения не являются равномерно пригодными при *-* 1. Представляет интерес, используя уравнения (2.9) —(2.10), построить равномерно пригодное асимптотическое

X 1 1

решение при е =----->0, когда /-> 1. Следует заметить, что не-

х + 1

равномерная пригодность вышеупомянутых решений, появляющаяся при х -* 1, связана с существованием узких областей вблизи линий параболичности ^4-^=1. В этих областях необходимо построить равномерно пригодные асимптотические разложения искомого решения. Для построения равномерно пригодного решения во всей области течения применяется метод сращиваемых асимптотических разложений.

3. Рассмотрим течение в области 4 при в -» 0. В переменных

|х = [х*, х = х<?>х*, —^ _л. ( о <1 х* <; 1 функция /?(’) = е3/2Х

2 2

X Р* ОЛ х*). выражающая возмущение давления, является решением следующей краевой задачи. Внутри прямоугольника—, 0<т*<;1 функция р* {р*, х*) должна удовлетворять уравнению

2е

дъ р* . д^р*

дх*2

и граничным условиям:

— = 0 при х* = 0,

дт* и

др*

дг*

П/2

р* = 0 при }** = + — ,

др* А ——--------— = 0 при х =

2 дц* К

др*

1,

СОБес^-^-1— = 4 ]/ 2(а0 4- 1) при X* = 1.

ди*

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

—71/2

Тогда, при s->0 в первом приближении решение уравнения (3.1) имеет вид

Р* = С1 (Ц*) + t* С2 ({!*).

Из граничных условий (3.2) и (3.4) следует, что С2(и*)=0, Ct = = const. Травиальное решение Ct = 0 приводит к наличию изломов на скачке уплотнения В' В" и поэтому отбрасывается. Но тогда из

условия (3.3) следует, что на линиях ц* = + — имеет место ступенчатый разрыв функции р*. Это обстоятельство, возникающее из-за потери производной в уравнении (3.1), указывает на существование областей неравномерной пригодности решения в окрестности линий

параболичности р* = +-j-j-. Рассмотрим течение в малой окрестности линий [).* = + . Введем „внутренние" переменные и.**, т**,

которые имеют порядок единицы в рассматриваемой „внутренней" области течения = —----------г0=2г. Пусть функция

р** (,!**, т**) является решением „внутренней11 задачи, которая ставится следующим образом: во „внутренней" области при а**>0

функция р** должна удовлетворять уравнению Лапласа

0г р"

д*р**

= 0, а при р-**<0, т. е. в конически сверхзвуковой области течения, волновому уравнению. Граничные условия для функции р** имеют вид:

—— = 0 при "**

dz**

= 0,

Решение для „внутренней" области должно удовлетворять условиям асимптотического сращивания с „внешними" решениями при р.**-^00 и при [А** -»—оо. Нетрудно убедиться, что эти условия эквивалентны условиям р**-+С1 при р.** -> оо и р** = 0 при Используя метод работы [5], „композитное" разложение для возмущения давления в области дифракции запишем в виде

рт = _ 3з/2 2 у 2 (1 + о0) [1 - 8тг~3(/* + /*)],

-,/2]х

±-(2т-1)х*,

|)^,/2]х

/1 = х«* /** =

т—1

(-о_____

■ 2т — 1

ехр

(2т — 1)

(2 т

I)-1 + —

2

,-1/2

-------I u* И £,

sin

т~\

(-1)

2т

т—1

ехр

X (2 (2т- 1)-2-Ь тг (2т

V

Г —1/2 _L '0 I

+ т

1

[cos — (2т — 1)х*.

2

(3.6)

Заметим, что картина течения в области 4 в рамках рассмотренного приближения симметрична относительно оси ц* = 0. При этом картина течения во всей возмущенной области течения О'А'А"О"В"В’,

воооще говоря, несимметрична. Если з0 = (1), то при о -*■ 0 продольный размер области 4 в <р раз меньше продольных размеров областей 2 и 3, а отношение продольных размеров областей 2 и 3 равно з0[1+О(Д,)1. Симметрия картины течения в области О'А' А" О' В"В' относительно оси |*®=0 имеет место при 30=1.

В полученном решении допускаются предельные переходы при з0-»О или з0->оо, причем последний при условии з0э->0. В этих предельных случаях несимметричность обтекания проявляется в большей степени, поскольку значения углов о, и ?з стано-

------- настоящая работа.

----о— раВота. [В]

1 — распределение возмущения давления на пластине в области дифракции 4\ 2 — возмущение давления на оси 11=0 при различных х

р ис 9

вятся по порядку величин разные. При этом

область течения 4, сохраняя свойство симметрии, смещается либо к точке О’ при з0 -*■ 0, либо к точке О" при з0 -»сю.

На рис. 2 показано распределение давления рт по поверхности пластины при различных значениях •/, рассчитанное по формуле (3.6). При значениях •/. очень близких к единице давление в основной части области дифракции с точностью до экспоненциально малых членов постоянно и изменяется только в малой окрестности линий параболичности. Из формулы (3.6) вытекает простое выражение для давления на оси симметрии /?(’> = — 2 ]/ 2 (з0 -4- 1) е3;2.

В заключение отметим, что рассмотренная дифракционная картина течения в плоскости t — const подобна картине течения в плоскости 2 = const в случае обтекания гииерзвуковым потоком наветренной стороны скользящего плоского треугольного крыла под малым углом атаки.

ЛИТЕРАТУРА

J. Ting L., Ludloff Н. F. Aerodynamics of blast. „J. Aeronaut.

Sci.“, vol. 19, N 5, 1952.

2. Тер-Минасянц С. М. Задача о дифракции плоской волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью. ДАН СССР, т. 155,

№ 4, 1964.

3. Бежанов К. А. Дифракция ударной волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью. ПММ, т. 33, вып. 4, 1969.

4. К о л г а н В. П. К задаче о дифракции ударной волны на клипе, движущемся со сверхзвуковой скоростью. „Изв. АН СССР, МЖГ*,

1971, № 6.

5. Г о л у б и н с к и й А. И., Щ е д р и н А. И. Об обтекании треугольного крыла гиперзвуковым потоком газа. Сб. „Аэродинамика".

М., ,Наука", 1976.

6. Malmuth N. D. Hypersonic flow over a delta wing of moderate aspect ratio. „А1АА J“, vol. 4, N 3, 1966.

Рукопись поступила 26jl 1978 г.

4—.Ученые записки' .Ns 2