Асимптотическая задача о падении ударной волны на пластину, летящую с гиперзвуковой скоростью Текст научной статьи по специальности «Математика»

У Ч Е Н Ы Е 3 А П И С К И П А Г И Том XII 198 1

М 1

УДК 533.6.011.72.011.55

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА О ПАДЕНИИ УДАРНОЙ ВОЛНЫ НА ПЛАСТИНУ, ЛЕТЯЩУЮ С ГИПЕРЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ

В. //. Голубкин

Рассмотрена автомодельная задача о дифракции сильной ударной волны, набегающей под конечным углом на пластину, движущуюся с гиперзвуковой скоростью. Исследован ¡случай, когда волна догоняет пластину. Оказалось, что при некотором специальном выборе характерных параметров можно получить аналитическое решение задачи в виде разложения по малому параметру, определяемому отношением плотностей на ударной волне. Найдены форма дифрагированной ударной волны и распределение ;давления на пластине. Проанализированы особенности поля течения. Проведено сравнение результатов асимптотической теории с численным расчетом.

Взаимодействие ударных волн с движущимися и неподвижными телами является одной из наиболее сложных и важных задач нестационарной аэродинамики. Дифракция ударных волн при наличии малого параметра, связанного с формой тела, рассматривалась в работах [1—3], причем в [3] задача решена в предположении о сильном сжатии газа в ударной волне. В общем случае течения с конечными возмущениями даже для тел простейшей формы (например, клин) решение может быть получено только численным путем [4]. В работе [5] найдены специальные условия, при которых картина дифракции ударной волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью, достаточно проста и легко может быть исследована аналитически. Влияние малых возмущений этих условий рассмотрено в работе [6].

В данной работе характерные параметры задачи выбраны таким образом, что применима теория тонкого сжатого слоя [7] для гииерзвукового течения газа вблизи поверхности движущейся пластины. Сформулирована нелинейная асимптотическая задача, описывающая автомодельное течение в возмущенной области, и получено ее точное решение.

1. Пусть сильная ударная волна, распространяющаяся со скоростью Ь, догоняет движущуюся с гиперзвуковой скоростью пластину и падает на нее под конечным углом ш (рис. 1). Рассмотрим

режим взаимодействия, когда отражение волны является регулярным, и ударная волна присоединена к задней кромке пластины. Область возмущенного течения заключена между пластиной и фронтом сильной, ударной волны, включающим два прямолинейных участка АВ и СО и искривленный дифрагированный участок

\

ВС. Примем в качестве малого параметра $ отношение плотностей на ударной волне АВ

■ ■ • ^ £ _ _£gg. — * ~1 j_____________i 2.:—. (l.i)

Р % + 1 (-/. •; 1) М;. cos3 а

При этом число М спутного потока по нормали к пластине велико ,

Mv cos да > 1,

а показатель адиабаты, близок,к единице

(х~1)«1. (1.2)

Скорость спутного потока за сильной ударной волной, как

9

известно, Vos = —ту D или с учетом (1.2)

V* = D. (1.3)

Термодинамические параметры покоящегося газа выберем так,

что скорость звука в области дифракции

а =* Vv г1;2,

где г»сс= V~c cos w — нормальная к пластине составляющая скорости спутного потока.

Тем самым будет выполнено требование (1.3) о гиперзвуковом характере набегающего на пластину потока газа. При этом отношение плотностей в падающей волне

— г (1 — m) cos2 ш,

1 X — 1

где « = _ — .

При условии (1.2) процесс отражения ударных волн большой интенсивности практически во всем диапазоне углов падения

0<Х-у- является регулярным [2]. Угол отражения равен . ....

m (1 4" cos2 о>)

Sin О) COS СО

(1.4)

В случае, когда угол наклона волны АВ на кромке.» также является величиной порядка О (в) при е 0, течение описывается системой линейных уравнений [8].

Рассмотрим падение -ударной волны на пластину, летящую со скоростью

-г1 2 с).

Такой режим дифракции характеризуется углом

® = О (г1'2) (1.5)

и существенно нелинеен.

В дальнейшем будет показано, что данная теория наряду с (1.4) приводит к однозначной связи угла отражения ш, с параметром Е = г~1;2^ш. Непротиворечивый случай соответствует определенному значению угла падения

,1/2

arccos

т

Оказывается, что при таком значении ш отношение плотностей в отраженной волне СО также равно г (1.1). Таким образом, малый параметр г является единой мерой отношения плотностей на фронте ударной волны АВСИ, и. при заданных значениях $ и т имеется однопарамегрическое семейство течений, для которых параметр о является критерием подобия.

2. Пусть ударная волна начинает взаимодействовать с пластиной в момент времени ¿ = 0. Перейдем в систему координат Оху, которая движется в горизонтальном направлении со скоростью г1оо1§и и имеет начало (относительно задней кромки пластины) в точке е.112Юсс Ьа. Будем искать асимптотическое решение задачи о дифракции ударной волны при г ^ 0; о == О (1), т — О (1). Оценки порядков величин газодинамических функций за ударной волной АВ позволяют записать следующие асимптотические разложения общего типа [9] для составляющих вектора скорости, давления и плотности в возмущенной области:

и = £1/2 и (?, гь £) + ...,

........ . = (I, •/], $) 4-. . . ,

р = /)сс -■)- роо 'Уос [ \ -\- гр (I, г\, г) + •

Р = Ро=(£-, + - • •), где безразмерные автомодельные переменные

(

(2,1)

■х ___________________________________ У

"=^-- <2'2)

Подставляя (2.1), (2.2) в известные уравнения автомодельного нестационарного движения газа, а также в условия на ударной волне и на поверхности пластины, для главных (нетривиальных) членов разложений (2.1) будем иметь

£££ “Ь == 0} ]

(и — ;) щ + (V — Г|) мт — 0, (2.3)

(и — ;)'»; + (^ -- ч) V.Гі = — рГ: ]

непосредственно за фронтом ударной волны при ^ = ^(5, г),

= — 1 — %3 + ъ - Ц, |

р, = 1 - \2 +2 (т^ - ю . і

на поверхности пластины при щ = 0:

V = 0. (2.5)

(2.4)

Итак, сформулирована нелинейная краевая задача, описывающая поле нестационарного автомодельного течения при £ = 0(1). Отметим, что в [10, 12] в аналогичной постановке решалась задача о стационарном коническом течении, однако отличие от упомянутых работ состоит в том, что рассматриваемая область возмущенного течения вследствие (1.4), (1.5) не является симметричной относительно линии « = 0, и при решении задачи нельзя пользоваться условием симметрии ударной волны. Границы возмущенной области в продольном направлении

В зоне течения за отраженной ударной волной СО 1 = 0(г~12), и— О (в112), так что формально следовало бы ввести соответствующую область и новые асимптотические разложения вместо (2.1). Однако в этом нет необходимости, поскольку, как показывает анализ, отмеченное различие порядков не приводит к сингулярностям, и решение для равномерного потока в этой области совпадает с предельной формой решения (2.3) —(2.5). Поэтому в дальнейшем во всей возмущенной области АВСОА решается задача (2.3) — (2.5). Чтобы иметь возможность вычислить газодинамические функции с точностью первого приближения по формулам (2.1), будем считать, что е<1, но не бесконечно малб и, следовательно, величина £>1, но конечна.

3. Общее решение задачи (2.3) — (2.5) можно получить [10, 11], используя в качестве независимых переменных величины X, ф, где функция 6(1, у]) постоянна вдоль траекторий движения частиц газа

Для определения формы ударной волны имеем следующие уравнения [11 [:

а) если функция у на поверхности пластины переменна (фда=

б) если = const, т. е. поверхность пластины совпадает с траекторией частицы газа — то

Форма траектории частицы газа с некоторым значением ф дается выражением

а распределение давления по поверхности пластины имеет вид

= — о, lD = £ = е~1/2 ctg м.

(и — Е) -f [v — 7)) = О, Ф [£, \ (£)] == I.

_______ ______ 'w .

" (% + S)2 J ~ (К-£)3 ’

- % №• (&)] *= Е;

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Pw (fy — Ps (E) + \

5—„Ученые записки ЦАГИ“ № 1

65

4. В процессе решения задачи оказалось, что требование непрерывности формы ударной волны приводит к условию, что в пределах некоторой внутренней части пластины Функция (£) может быть переменной, а на остальной части она посто-

янна. Уравнение (3.3) при i](=0 имеет следующие решения:

■п' — const; |

, . (4.1)

% = ±1— 1

Присоединенная к носку пластины и отраженная ударные волны будут на некотором протяжении прямолинейными, что соответствует решению (4.1):

7)7= 7'“ (о + I) при а s , (4-2)

т)+ = Г+ (Е - £) при !0+< I < 2, (4-3)

где

Т=-lT(3-VJTZ4), (4,4)

7+ = -L (Е - 1/^=4). (4.5)

Формула (4.4) показывает, что ударная волна присоединена к кромке пластины, если параметр а >2.

Так как Е>1, то, обозначая х = E~I = e1/2-tgw, формулу (4.5) можно упростить

Г+=Т + . . ..

Это соотношение вместе с (1.4) приводит к равенству (1.5).

В сечениях |f = + l + Т'± происходит искривление ударных

волн (4.2), (4,3) и их гладкий переход в волны параболической

формы, которые описываются решением (4.1)

2

[_(|+1)2 + (1_7±)3+1]. (4.б)

Наклон ударной волны параболической формы на отрезках Е* ■<£ < ^(Е? = ?о:+ Д*) значительно уменьшается по величине, что необходимо для обеспечения непрерывности фронта дифрагированной ударной волны. Длины этих отрезков Д± заранее неизвестны и определяются в процессе решения. Далее в диапазонах ударная волна включает вторичные

прямолинейные участки, гладко стыкующиеся с волнами параболической формы

= (+ Д± + т-) I + 4-(д±)8 - Л± (г± + ’) + (т±)' + 1 ■ (4-7)

Итак, над большей частью пластины, соответствующей траектории движения частиц газа, форма ударной волны найдена в явном виде и является гладкой. Как видно из уравнения (3.3), траектории частиц газа в областях, ограниченных этой волной, являются прямолинейными. Форма ударной волны*при ■<кС находится в результате совместного решения уравнений (3.1), (3.2). Траектории частиц газа, прошедших через параболические участки ударных волн, оканчиваются на отрезках Й" < Е <!*“,

причем Т~, 12 ■ Г А . Из уравнения (3.2) находим,

что на этих отрезках

'¿w («) — ’ “11 ■ (4.8)

Используя формулу (3.4), нетрудно показать, что вблизи пластины траектории имеют вид парабол

*1 ii=4-^±1'-w2* <4'9)

а поверхность пластины в силу равенства (4.8) является их огибающей. Для определения оставшейся части ударной волны обыкно-

венное дифференциальное уравнение (3.1) решалось численным методом Рунге — Кутта на ряде отрезков, причем для нахождения границ каждого последующего отрезка и значений функции <bw в пределах него использовалась в соответствии с уравнением (3.2) функция 7„, определенная на предыдущем отрезке. Интегрирование осуществлялось во встречном направлении от точек i = i~ и ; = «*. Одновременно методом пристрелки находились неизвестные величины Л±. Критерием пристрелки служили условия непрерывности и гладкости ударной волны

\+ id) ж ъ (d), V (d) = rh- (d), (4.10)

где d — координата вертикальной траектории частицы.

В свою очередь величина d была определена из условия выполнения равенств (4.10) с наперед заданной степенью точности. Существование излома ударной волны в сечениях £ = 5* (см. далее п. 6) приводит к появлению более слабых изломов в начале каждого отрезка интегрирования. Поэтому в диапазоне <Хг <?<С каждый отрезок состоит из двух частей, на одной из которых 0^, = const (т. е. ударная волна плоская), а на другой части переменна и траектории частиц подходят к ней по касательной.

В качестве расчетного примера был взят случай падения сильной ударной волны, которая обеспечивает величину в ==0,01 при /я = 0,1635. Угол падения волны со = 32°, отношение плотностей р0/о00 = 0,006. Значение параметра 2= 16. На рис. 2, а показана картина области дифракции: ударная волна и траектории частиц.

Рис. 2

Видно, что в пределах отрезка ?Г наклон волны меняет

знак, так что максимальный отход волны достигается при 5=1. Зависимость длин Д± от параметра а представлена на рис. 3.

5. Вследствие прямолинейности траекторий частей в диапазонах £,*0^2 давление постоянно в вертикальном

направлении. Поэтому pw (?) = ps (?) и может быть вычислено

с использованием формул (4.2), (4.3), (4.6), (4.7).

Например, при

аТ~ при —

Pw == — 2 (£ -f- 1) ~f- 7 (а — 2) при ZÖ< 2 < lä, (5-1)

аГ“—2Д“ при ;Г< 5 <

Вблизи начала координат давление на поверхности пластины достигает минимальной величины pmm.

Для указанных выше значений параметров эпюра давления

показана на рис. 2,6, зависимость рт¡п(о) представлена на рис. 3.

На рис. 4 сплошная линия

0,6

ил

0,2

Pmin Pmiri

Ч; , ;

и 4 + '"-

показывает отношение давлении

Рдв/Рс

О 2 4- 6 &

Рис. 3

10

0,5

1 1,1 1,2 1,3 1/ь х

----асимптотическая теория

—о—численный расчет

Рис. 4

"-9

за прямолинейными участками ударной волны АВ и СО при различных значениях показателя адиабаты •/.. Для сравнения штриховой линией нанесены результаты численных расчетов Р. Я. Туга-закова, которые выполнены по методике работы [4]. Видно, что при ■/. -> I результаты предлагаемого асимптотического метода удовлетворительно согласуются с расчетными данными, соответствующими достаточно интенсивным ударным волнам.

В исследованном диапазоне параметров взаимодействие ударной волны с пластиной сопровождается появлением области повышенного давления вблизи ее хвостовой части, что может привести к увеличению продольного момента и к изменению точки приложения результирующей нагрузки на пластину.

6. Остановимся вкратце на особенностях, которые возникают во внутренней части поля течения. Без потери общности рассмотрим область \ < й. Траектории частиц газа, прошедших через присоединенную к кромке пластины прямолинейную ударную волну, собираются на пластине в точке £ = '5~ (рис. 2, а). Наклон предельной левой траектории равен

!. (6.1)

В то же время справа от сечения £ = траектории согласно формуле (4.9) подходят к пластине по касательной (наклон \ = 0).

Следовательно, на поверхности пластины и вдоль вертикали £=S* имеет место излом траекторий частиц, обусловленный действием на них сосредоточенных сил, которые разворачивают вдоль пластины струю газа большой плотности. Ударная волна здесь также будет иметь точку излома, из которой распространяется линия тангенциального разрыва. По известному перепаду наклонов траекторий (6.1) однозначно определяется наклон волны после излома:

% = 4 iL + Т~ + V(L-T-f- 4), где L = 1-----— — Д-.

Л"

Можно сделать общий вывод о том, что наличие прямолинейного участка ударной волны приводит к появлению во внутренней части поля течения излома траекторий и фронта дифрагированной волны в особых сечениях % = const (штрихпунктирные линии на рис. 2, а). Так, вторичная прямолинейная зона обусловливает изломы в особом сечении ; = Аналогично обстоит дело в начале каждого отрезка интегрирования при определении формы волны. Однако эти изломы гораздо слабее, чем излом в сечении

Вблизи особых сечений давление р имеет вид 3-функции, поэтому исходные асимптотические разложения здесь не применимы. Для построения равномерно пригодного решения нужно рассмотреть структуру потока в окрестности особого сечения. Строгий асимптотический анализ порядков величин показывает, что нужно

г ГС —«

ввести внутреннюю переменную С = —- и разложение для дав-

ления

Р = Роэ + ?оо vU{\ + gV2P(l], С) -f-e/7(Tj, C)-f . . .].

Давление Р, вызывающее плавный поворот траекторий в пределах внутренней области, удовлетворяет уравнению

Ur, (£"”» Т])

А: + Prr, = 2R 4 *

и условиям

ЧЧ — Ч и -г *

Р -+ 0 при С -* + со,

Р = О при Т, = Т|ДГ),

Рч — 0 при 7) = О,

J>(с, Tj)de — /(ч),

— оо

где функции и, / определяются из внешнего решения.

Найдя Р(С, т]), легко получить выражения для скоростей, которые подобно Р сращиваются с внешним решением при С-*-+оо.

Таким образом, возможность построения равномерно пригодного решения, лишенного каких-либо особенностей, позволяет понять природу особых сечений. В исходной области автомодельного течения с размерами порядка О (г1/2) вдоль пластины и O(s) по нормали к ней имеются зоны с размерами в обоих направлениях порядка О (є), в пределах которых происходит быстрое не-

прерывное изменение некоторых функций. При переходе к переменным (2.2) размеры этих зон становятся соответственно 0(е|/2) и 0(1), т. е. они превращаются при з -*• 0 в вертикальные линии — особые сечения.

В заключение автор благодарит А. И. Голубинского за плодотворные дискуссии, стимулировавшие изучение данной проблемы, и Р. Я- Тугазакова, предоставившего результаты численных расчетов для сравнения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тер-Минасянц С. М. Задача о дифракции плоской волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью. ДАН СССР, т. 155, № 4, 1964."

2. Арутюнян Г. М., Карчевс к ий Л. В. Отраженные ударные волны. М., „Машиностроение", 1973.

3. Богатко В. И., Колтон Г. А. О нерегулярном отражении сильной ударной волны от тонкого клина. „Изв. АН СССР, МЖГ“,

1974, № 5.

4. Т у г а з а к о в Р. Я. Взаимодействие ударной волны с клином, движущимся со сверхзвуковой скоростью. „Ученые записки ЦАГ'И*, т. 2, № 2, 1971.

5. Г о л у б и н с к и й А. И. Набегание ударной волны на клин, движущийся со сверхзвуковой скоростью. ПММ, т. 28, № 4, 1964.

6. К о л г ан В. П. К задаче о дифракции ударной волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью. „Изв. АН СССР, МЖГ'\ 1971, № 6.

7. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., Физматгиз, 1959.

8. Ш е д р и н А. И. О дифракции сильной ударной волны на пластине, движущейся с гиперзвуковой скоростью. „Ученые записки НАГИ, т. 10, № 2, 1979.

9. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике.

М., .Мир“, 1972.

1Ü. Messiter A. F. Lift of slender della wings according to Newtonian theory. „A1AA“, J„ vol. 1, N 4, 1963.

11. Голуб и некий А. И. Обтекание гиперзвуковым потоком треугольных крыльев определенного класса, установленных под углом атаки, с присоединенным скачком уплотнения. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1968, № 5.

12. Голубкин В. Н. Обтекание плоского треугольного крыла гиперзвуковым потоком газа. „Ученые записки ИАГИ“, т. 7, № 6,

1976,

Рукопись поступила 14 VIII 1979 г.