CC BY
21
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 19 8 1
УДК 533.6.013.2.011.5.029.7.025.73
ДИФРАКЦИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ НА ПЛАСТИНЕ, ДВИЖУЩЕЙСЯ С БОЛЬШОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ
СКОРОСТЬЮ
А. И. Щедрин
Асимптотическим методом исследована картина дифракции ударной волны на движущейся с большой сверхзвуковой скоростью полубесконечной пластине. Получены формулы для расчета основных характеристик дифракционного обтекания пластины, например, распределения давления, нормальной силы, формы дифрагированной ударной волны. Эти формулы применимы для оценок влияния дифракции ударной волны на тонких несущих поверхностях в достаточно широком диапазоне изменения начальных параметров течения.
В работе [1] рассмотрена задача о падении под малым углом сильной ударной волны на движущуюся с гиперзвуковой скоростью полубесконечную пластину. Автомодельная картина дифракции на верхней стороне пластины исследовалась в предположении, что число М пластины М оо, угол падения <р -»■ 0, число М удар-
Мф
ной волны Мф-^оо, так что щ; = со = const, Мф — О,^1), В области
течения за дифрагированной ударной волной решение представлено в виде асимптотического разложения по малому параметру <р. Основное течение описывается решением задачи о нормальном падении сильной ударной волны (Мф = оо) на плоскую стенку. Для возмущения давления сформулирована линейная граничная задача, которая рассмотрена при дополнительном предположении, что показатель адиабаты * -> 1.
В настоящей статье постановка линейной задачи для возмущения давления обобщается на случай конечных значений интенсивности падающей ударной волны, когда Мф = 0 (1). Построено решение в аналитическом виде и проведен расчет распределения давления и формы дифрагированной ударной волны в сверхзвуковом и гиперзвуковом диапазоне скоростей ударной волны. При этом показано, что эти формулы имеют особенности в предельном течении Мф=со, х-=1. В связи с этим проведено дополнительное ^исследование дифракционной картины обтекания в первом приближении теории тонкого сжатого слоя при Мф оо, х -> 1,
2 1
—-j — Кф = 0 (1). Построенное равномерно пригодное асимпто-
тическое разложение для давления является обобщением результатов работы [1], где полагалось /Сф = 0 (УИф —оо).
1. Исходная постановка задачи подробно изложена в работе [1]. Дифрагированная ударная волна состоит из двух плоских участков О'В', О" В", составляющих с плоскостью пластины углы и <р3 соответственно, а также искривленного участка В' В", за которым лежит центральная область дифракции 4. Эта область примыкает к участку поверхности пластины Л'А", отсекаемому дугами окружностей Маха А' В' и А" В".
Мф
Задача решается в первом приближении при ср -> О, Ь — ^ 0.
Параметры 9 и 8 могут иметь разный порядок малости, что соответствует разным по порядку малости значениям углов ф2 и ?з-Далее полагается, что 8-ср-1 — а0 — const. Следуя работе [1], компоненты скоростей и, v вдоль координат С, ?) соответственно, давление р, плотность р в области течения за дифрагированной волной при <р -»0 и форму ударной волны rjs(Q представим в виде
и = уДи.^ (С0, ^1о) + О (f2), v = ‘рДг/Ш (С0) 7]0) + О (ср2),
Р = Pi Л2 Рт [1 + х<?/?(1> (;0, %)] + О (®2),
Р = Pi Р(0) [1 + ?Р(1) (Со, %)] + О (<?2),
ris=a(0)[rA + rfHy]+o(rt
здесь Д — скорость фронта падающей ударной волны; ~pt — плотность газа за этим фронтом; С = а<°>£0; ^ = а(0Ц0;
pi0) =*-1 [1 + (х _ 1) В] (1 + ^ V- Р«” = (l + (г- ву';
^0)s = а(0) (1 + (к — 1) 5)■“'\ В = ~ (1 - Мф2), а(0) = (х/»(0) р«» -i р.
В областях однородных течений 2 и 3 функции возмущений определяются в виде
®у>=*р>=о,
rf»-rf’-0. =-* — (I - 3-f±a)C..
В центральной эллиптической области дифракции 0 <; т)0 -< т(д0^ , Со 4- 1 в переменных т, [х, где С0 — sinp.-sech т, Yj0 = tht, 0<Ч.<40) ,
----Y ■< р- -< у- , = arcth т]о°5, для функции возмущения давления р4] задача формулируется следующим образом:
п _ „ (0).
+ ^ = 0, 0<х<^; (1)
= 0, т = 0; (2)
C>[A2 <?TS
dp?
d'z
рР = 0, ы = —; (3)
л„<1) ^ л/1)
з1п2[х—-------{- А0 (соэ 2{л 4- В0) ——=0, т = ,с5);
(Эт 0(1
в = (х~^1)5 .
\ 4 А ^ 2 ) т1о<°> 4-(3-х)В ’
йу.
яь4°) 4!>
-г — т(°)
С«о, ^ ■ ^5 .
(5)
" _ зШ|л (х 4- 1) В сЬ
~ Т
2. Используя метод разделения переменных, решение задачи (1)—(5) представим в виде
/?4 =
Ьп
2 л-
Т СН (2”—^жгСоз(2д — 1)р.,
1 сЬ(2л—1)4°>
(6)
„=1 — V— •/ 5
где А, Ьп — некоторые постоянные.
Выражение (6) удовлетворяет уравнению Лапласа (1) и граничным условиям (2), (3). Подставив (6) в граничное условие (4), по-лу^м следующие рекуррентные формулы:
Ьх = сЬ т^0), Ь2 (1 + с2) — й, (1 4- сл — 2В0) = 0,
Ьь {1 4- ск) + 2В0 Ьк-1 4~ Ь/с-2 (1 — £4-2) = 0, & = 3, 4, 5, ... .
Л0сй = Ш(2& — 1)т
(0)
(7)
Коэффициент А, определяемый из условия (5), равен А = = С0(7Г2 Ьп ) • Сходимость решения (6) для любых %, не равных
я= 1
единице, следует из результатов работы [2], в которой при построении решения соответствующей краевой задачи использовались аналогичные ряды.
Коэффициент нормальной силы С* на участке О' О" определяется как сумма соответствующих коэффициентов на участках О' А', А'А" и О" А". Выполнив интегрирование для функции распределения давления, получим формулу
где
С* = С^(1-?2Сл,
11— 1
п>\
= 2В(1
3 —х \2
■——в
2
3 —х
В
')(
В) 1 + (х — 1) В
р{1)(0, 0).
4В 1
3 — X
В
4Ва(0>
Зависимость величины Си от угла падения ® при различных значениях параметров а0 и Мф представлена на рис. 1.
Из условий на ударной волне, принимая во внимание (6), получим выражение для формы дифрагированной ударной волны:
^05.,
°о "Ь 1
1 -
1 СЮ
В
4-
О0 — 1 7С \
^ГТ -Г С08|*5
сое (2&— сое (26— 3) V
П — 1
п=2 к ~2
2к — 1
АГ
зш — Ь1 с0.
Л
На рис. 2 представлены графики функции (С0) при различных значениях параметров о0 и Л1ф. Симметричному обтеканию соответствует случай а0 = 1.
3. Рассмотрим задачу (1) —(5) в случае предельного течения
у _ 1
Мф -»• оо, х-»1. При этом величина е = ^ (2 + Кф) является ма-
лым параметром.
Сразу заметим, что попытка получить предельное выражение для давления путем формального разложения решения (6) в ряд по малому параметру е -* 0 приводит к расходящемуся выражению. Действительно, если в рекуррентных соотношениях (7) положить в = 0, то коэффициенты Ьп выразятся в виде Ьп = (— 1)"+1 и ряд
оо
2 Ьп, определяющий величину А, расходится. Следовательно, «=1
ряд (6) является неравномерно сходящимся по параметру е>0 и при г = 0 имеет особенность.
Построение равномерно пригодного асимптотического разло- 1 жения решения задачи (1) —(5) при х -> 1 и /Сф = 0 подробно изложено в работе [1]. Используя методику и результаты работы [1], выражение для функции возмущения давления при г -> 0 и произвольном Кф можно записать в виде
(,) = 0, |С0|>(1-Т)о)1/2,
3/2
К+ 1)[1
(5, + 32)
у (-1Г
£* 2т-
т—1
т — 1
5,=
2т — 1
- £ -2т -Г ехР [ 2~- ^о1 ‘
т=1 * 1
ехр
г~
I '•о
А 2 + /сф
я 4 + Кф
(2/я—1) [*01 <зт ([х0, д0'„
2Ч1/2 •По) ,
ф<,
т0)соз — (2/га — 1)т0,
эй! ~ (2/га — 1)т0)
п 2 2,
Qm = t*0 — *0 +
4(J-0
; (2m — 1) 1 n2 (2m — l)2
+
= {2e-i[(l-^)1/2-C0signC0]}
1/2
2 + Кф 5-1/2 ^o-
(8)
Из этой формулы вытекает простое соотношение1 для давле-
я на оси С0 = 0
Рт — ■— £3/2 {о0 1).
На рис. 3 показано распределение величины рМ по поверхно-и пластины при различных значениях х, рассчитанное по асимпто-ической формуле (8). При значениях х, близких к единице, дав-ение в основной части центральной области дифракции, с точно-~ью до экспоненциально малых ленов, постоянно и быстро из-еняется только в малой окре-ности линий параболичности. роведено сравнение с результатами, полученными по формуле (6) для х=1,4. Удовлетворительное согласование указывает на применимость более простой асимптотической формулы (8) в широком диапазоне изменения начальных параметров задачи. 1
,со
-0,2
-й.Ч
0.5
,П)
*о+1 -0,02
Z
- -—^vk
. rfr
5V /Iх /7 1 ^ / / / / /
- -
/ /
— (p-flo. (8) т-ла. I 8) ;x=i,10 ] m = 5 \h.~ w: m=lOl
1- м.
- формула. (8) х = 1.01. т=5 Y 3,1 в; з-
п. = 10
1 -Мф-1,58; 2- мр=г.гь] з-м<р*з,т Ч-Мр-Э 5-М<р* ~
Рис. 3
ЛИТЕРАТУРА
1. Щедрин А. И. Дифракция сильной ударной волны на пластине, движущейся с гиперзвуковой скоростью. „Ученые записки ЦАГИ“, т.чХ, № 2, 1979 г.
2. Malmuth N. D. On hypersonic flow over a delta wing with very supersonic leading edges. AFOSR, N 65—0757, 1965.
Рукопись поступила 3jX 1979 г*
