CC BY
38
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том VII 1976
№ 4
УДК 533.6.011
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ С КЛИНОМ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Ю. М. Липницкий, В. Н. Ляхов
С помощью конечно-разностного метода второго порядка точности изучается процесс взаимодействия ударной волны с клином в сверхзвуковом потоке. Представлены результаты систематических расчетов, позволяющие описать картину течения и оценить распределение давления и плотности вдоль поверхности клина. Хорошая сходимость с известными аналитическими решениями говорит о достаточной степени точности полученных результатов.
Задача о набегании плоской ударной волны на движущееся со сверхзвуковой скоростью заостренное тело рассмотрена рядом авторов в линейной постановке [1—7]. В работе [8] указана область существования режимов взаимодействия, когда падающая волна не преломляется на присоединенном скачке и приходит на поверхность клина под прямым углом. Аналогичная задача, но для фронта волны, параллельного поверхности клина, рассмотрена в [9]. Задаче о малых возмущениях решения [8] посвящены работы [10, 11]. Применение численных методов позволило снять некоторые ограничения, присущие аналитическим подходам. Отдельные области течения для случаев регулярного пересечения и отражения падающей волны изучены с помощью метода характеристик в работе [12]. Более общий случай нестационарного взаимодействия ударной волны с движущимся конусом рассмотрен в работе [13] с применением разностного метода второго порядка точности. Авторами настоящей работы рассматривалась аналогичная задача и был сделан вывод о том, что в нестационарном решении структура скачков не успевает сформироваться достаточно четко за время прохождения волной расчетной области. Более целесообразным представляется подход, примененный в работе [14].
1. В настоящей работе, как и в [14], решение строится в автомодельных переменных % = х\ОЬ. ц=у10(, где х, у —декартовы координаты с центром в носке клина (фиг. 1), £ — время, Г) = их + Иф, иг — скорость потока, обтекающего клин до взаимодействия, Иф — скорость фронта волны относительно среды перед волной. Вместо безразмерного времени ^ введем -с = 1п и
Уравнения газовой динамики в новых переменных имеют вид
+ —(В-г)/) + 2/ = 0, (1)
р Р и р1>
р и , А = р«2 -І- р , в = р им
ри рии р^2 + р
Е (£ + р) и (£ + р) V
Здесь р — плотность и р — давление, отнесенные к р! и р! £>2 соответственно. Индекс 1 относится к параметрам невозмущенного потока перед падающей волной аЬ, индекс 2 — к параметрам за волной. Проекции вектора скорости
р и? + к2
и, V на оси х, у отнесены к О, Е = _ ^ +р—^--------------------------------> 7 = ср!су — отношение
удельных теплоемкостей газа.
а I
Определяющими параметрами рассматриваемой задачи являются М1 — число М потока, обтекающего клин до взаимодействия, Рг/Л — перепад давления на фронте падающей волны, полуугол раствора клина р, угол 5 —между падающей волной и поверхностью клина, 7—показатель адиабаты, принятый в настоящих расчетах равным 1,4.
2. Схема взаимодействия изображена на фиг. 1. В автомодельных переменных решение от времени не зависит. Это позволяет сформулировать стационарные граничные условия на контуре 0/7Л. На отрезке а'к значения газодинамических функций определяются по параметрам невозмущенного потока и углу клина р, на отрезке ша' — по параметрам /=/), на границе е/'а — по параметрам / = /2, причем параметры с индексом 2 определяются следующим образом:
«2 = Щ п + «2 * = м2 «2 ;
м2 =
Р21 = (Рп + '*)!(Рп у + !)• а\\ =Ля/Р21>
Ч МФ~1 7 Мф «21
М1 , я21 ®1п (5 + м
М1
п + -— сое (5 + (5) х
а21
где /у = /;//> ц = 2 7/(7+ 1), V = (7— 1)/(7 + 1), = (рл + ч)/ц,
—>■ —►
п, х — единичные векторы вдоль нормального и касательного направлений к фронту падающей волны аЬ.
При наличии условий симметрии для отрезка eg относительно qg и непро-текания на поверхности gh граничные условия полностью определены.
Начальное распределение газодинамических функций во внутренних точках расчетного поля достаточно произвольно.
В уравнениях (1) сохранена производная по х, что обеспечивает гиперболичность системы уравнений во всей рассматриваемой области. Искомое автомодельное решение определяется, таким образом, методом установления по т.
Интегрирование системы уравнений (1) осуществляется с помощью явной девятиточечной разностной схемы второго порядка точности, подробно изложенной в работах [15, 16]. Гашение осцилляций решения вблизи разрывов осуществляется с помощью оператора сглаживания [17], который сохраняет порядок разностной схемы в гладких областях вторым. Выбор постоянного коэффициента в операторе сглаживания не произволен. Коэффициент должен быть достаточно большим, чтобы обеспечивать устойчивость счета, и в то же время достаточно малым, чтобы решение в гладких областях не зависело от него. Использование метода сквозного счета позволяет рассчитать течение с многочисленными разрывами, положение которых заранее не известно. Ударные волны и контактные
разрывы при таком подходе проявляются как области больших градиентов газодинамических функций. Следует подчеркнуть, что в этом случае несущественно. <5удет пересечение или отражение ударных волн регулярным или маховским, а также произойдет ли отсоединение скачка от острия клина.
3. Точность применяемого метода иллюстрируется на фиг. 2 сравнением с решением [8] для М! = 5, Мф = 3,16, р = 27,7°, .9 = 90°. Сплошными линиями а и Ь нанесено распределение давления и плотности, отнесенных к соответствую-
Фиг. 2
щим значениям р2$ и р25 за косым скачком при стационарном обтекании клина потоком с числом М2. Штрихпунктирными линиями а' и Ь' показано точное решение [8]. Вне узких переходных зон расхождение не превышает 1% по давлению и 2—4% по плотности. Аналогичные кривые для давления, приведенные в работе [14] для сравнения с линейным решением [5] при М! = 2,207, Мф = 1,061, 5=74,5°, р = 15,5°, также свидетельствуют о хорошей сходимости аналитического и численного решений.
Для выяснения влияния определяющих параметров на процесс взаимодействия из всего многообразия режимов рассмотрим случаи, когда фронт падающей волны перпендикулярен плоскости симметрии клина, т. е. 5+р = 90°.
Анализ общей структуры течения проводится с помощью линий постоянного давления (сплошные линии на фиг. 3) и линий постоянной плотности (пунктирные), изображенных в качестве примера внутри штрихпунктирного контура на фиг. 1 для М] = 5, Мф = 3, 5 = 60°. Сгущение линий свидетельствует о наличии скачков в поле течения.
Более детальный анализ процесса взаимодействия проводится с помощью кривых распределения газодинамических функций по различным направлениям. В качестве примера на фиг. 4 для М! = 5, Мф = 3 и различных 5 изображены распределения давления и плотности вдоль поверхности клина. Характерная „полка" в окрестности 1 = 0 свидетельствует о присоединении скачка к острию клина и однородности параметров в этой области.
Месту падения преломленной волны на поверхность клина соответствует резкий градиент параметров при 6 = 1,Он- 1,2. Процесс отражения ударной волны от клина аналогичен подробно описанному в [14]. По мере увеличения угла 5 разность между максимальным и минимальным значением давления уменьшается. Анализ распределений давления и плотности в потоке, полученных в многочисленных расчетах, свидетельствует о том, что характерный изгиб линий плотности на фиг. 4, б в районе ? 0,8 и отсутствие такого изгиба на кри-
вых давления обусловлены наличием контактного разрыва в этой области.
На фиг. 5 представлена зависимость давления от £ для Мх = 2, 5 = 75° и различных Мф. Подъем давления в районе £ = 0,8-4-0,9 при увеличении Мф объясняется торможением потока области 3 (см. фиг. 1) в районе прихода контактного разрыва на поверхность клина. Это согласуется с результатами работы [14]. Аналогичное повышение давления следует ожидать при маховском
S лиф % лиф
Є миф
^ 0‘t SL'O 0S‘0 SZ'O
0
SLO'O
os і‘a U
пересечении ударных волн, когда пересекаются два контактных разрыва. В случае равных интенсивностей пересекающихся волн процесс взаимодействия в идеальном газе эквивалентен отражению волны от твердой поверхности. Поэтому все качественные особенности процесса отражения, полученные в [14], следует учитывать при маховском пересечении ударных волн.
ЛИТЕРАТУРА
1. Smyrl J. F. The impact of a shockwave on a thin two-dimensional aerofoil moving at supersonic speed. J. FI. Mech., vol. 15, pt. 2, 1964.
2. Ингер Г. P. Косое падение взрывной волны на тонкое тело, летящее с гиперзвуковой скоростью. „Ракетная техника и космонав-. тика", 1966, № 3.
3. Miles J. W. A note on shock-shock diffraction. J. FI. Mech., vol. 22, pt. 1, 1965.
4. Blankenship V. D. Shock-shock interaction an a slender supersonic cone. J. FI. Mech., vol. 22, 1965.
5. T e p-M инасянц С. М. Дифракция плоской волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью. ПММ, т. 35, вып. 2, 1971.
6. П е к у р о в с к и й Л. Е., Те р-М инасянц С. М. Дифракция
плоской волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью при нерегулярном ударном взаимодействии. ПММ, т. 38, вып. 3,1974.
7. Ting L., Gunz burger М. Q. Diffraction of shock waves by
a moving thin wing. J. FI. Mech., vol. 42, 1970.
8. Голубинский А. И. Набегание ударной волны на клин,
движущийся со сверхзвуковой скоростью. ПММ, т. 28, вып. 4, 1964.
9. А р у т ю н я н Г. М. Границы применимости одного точного решения задачи взаимодействия ударной волны с клином, движущимся со сверхзвуковой скоростью. „Изв. АН СССР. МЖГ“, 1970, №6.
10. Бежанов К. А. Дифракция ударной волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью. ПММ, т. 33, вып. 4, 1969.
11. Колган В. П. К задаче о дифракции ударной волны с клином, движущимся со сверхзвуковой скоростью. „Изв. АН СССР. МЖГ\ 1971, № 6.
12. Т у г а з а к о в Р. Я. Взаимодействие ударной волны с клином, движущимся со сверхзвуковой скоростью. „Ученые записки ЦАГИ\ т. 2, № 2, 1971.
13. Тугазаков Р. Я. Систематические расчеты обтекания движущихся конусов при падении на них ударной волны. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 3, 1974.
14. Липницкий Ю. М., Ляхов В. Н. Численное решение задачи дифракции ударной волны на клине. „Изв. АН СССР. МЖГ“, 1974, № 6.
15. Каширский А. В., Коровин Ю. В., Чудов Л. А. Явный разностный метод для расчета двумерных нестационарных задач о движении продуктов детонации. В сб. „Вычислительные методы и программы", вып. 19. М., Изд. МГУ, 1972.
16. Б а л а к и н В. Б., Буланов В. В. Численное решение задачи о взаимодействии ударной волны с цилиндром в сверхзвуковом потоке. „Инженерно-физический журнал', т. 21, № 6, 1971.
17. Ляхов В. Н. Сглаживание и искусственная вязкость при расчете двумерных нестационарных течений с разрывами. В сб. „Численные методы механики сплошной средыт. 5, № 3. Изд. ВЦ СО АН СССР, 1974.
Рукопись поступила 27\П 1975 г.
