CC BY
52
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том VI
197 5
№ 1
УДК 533.6.011.72
ДИФРАКЦИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ НА ДВИЖУЩЕМСЯ КЛИНЕ
Рассмотрена задача о дифракции падающей ударной волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью. Численным методом Лакса — Вендроффа рассчитаны поле течения газа и конфигурация ударных волн при правильном и „маховском“ отражениях на поверхности клина. Определено влияние интенсивности падающей ударной волны на коэффициенты подъемной силы и момента.
1. Вопросы, связанные с взаимодействием двумерных нестационарных ударных волн, относятся к числу сложных проблем газовой динамики. Вследствие больших математических трудностей аналитическое решение задач подобного типа оказывается возможным только в линейной постановке. В работе [1] рассмотрена задача о падении ударной волны на клин, движущийся со сверхзвуковой скоростью. Однако в указанной работе не исследован случай „маховского* отражения ударных волн от тела и не рассчитаны параметры газа в дозвуковой области поля течения, когда уравнения движения записаны в автомодельных переменных. Здесь нельзя использовать метод характеристик, применяемый для расчета сверхзвуковых автомодельных течений газа. Для исследования поведения газа в области дозвуковых течений необходимо выбирать другие численные методы. В данном случае наиболее удобен для машинного счета метод конечных разностей. Его применение к задачам с ударными волнами осложняется необходимостью рассчитывать подвижные линии разрыва, движение которых заранее неизвестно. Для устранения этих затруднений в ряде работ [2—5] был предложен метод сквозного счета. Разностная схема строится таким образом, что позволяет вести вычисления, не обращая внимания на разрывы. В настоящей работе для расчетов используется модифицированная разностная схема Лакса — Вендроффа,. описанная в [6].
2. Пусть клин с конечным полууглом раствора движется с постоянной сверхзвуковой скоростью. К носку клина примыкает присоединенный головной скачок. В какой-то момент времени на клин падает ударная волна под определенным углом к направлению его движения. Выпишем уравнения в эйлеровых координатах для плоскопараллельного нестационарного течения газа. Обозначим х, у— декартовы координаты; < — время; и, V — составляющие скорости газа по осям х, у; р — давление и р — плотность газа. Газ считаем идеальным с показателем адиабаты 7. Уравнение в дивергентной форме, обеспечивающей выполнение законов сохранения, имеет вид
Р. Я• Тугазаков
где W, /, g — векторы с компонентами:
W =
Р
т
п
е
/=
т ~ - п ~
р -Ь тп пи
. g = р + пи
nv
(е+р)и _ . (е 4- р) V .
где
рИ,
pv,
Р (м2 -f- t/2) ' 2
Т — 1
Граничные условия для исходной системы (1) имеют вид
— и sin 9 -j- v cos 0 = 0,
где 0 — полуугол раствора клина с осью х.
Начальные условия задачи определяются следующим образом:
р = 1, т — ти п = 0, е=в\ для у>0;
р = р,, т — т2, л=0, е = для л: < 0, у>0;
р = 1, т — тъ п = 0, е = для л: > 0, у>0,
(3)
(4)
(5) (6>
где ти /и2, еи е2, р! — заданные величины.
Условия (5) описывают задачу о внезапном движении клина с постоянной скоростью, а условия (6) — падение ударной волны на движущийся клин. Аппроксимируем уравнение (1) явной двухшаговой разностной схемой, представленной в работе [6], но в отличие от [6] коэффициент |3, введенный в схему для сглаживания решения на ударных волнах, в данном случае выберем в виде
на сильном разрыве |3 = i _j_ ’
на гладком решении р = 1;
(7)
здесь Д№— максимальное приращение искомой функции среди заданных ее значений « девяти точках.
Если мало, то схема сохраняет точность второго порядка везде, когда, соблюдается условие
^-^<т1п(Дх, Ду). (8)
Это следует из того, что разностные соотношения аппроксимируют одно из уравнений движения (1) следующим образом:
Wf\- fx Jrgy = 4
Ах2
At
+ W.
УУ
Дуз
At
+ О (АР) + О (Д*2) + О (Ду*), (9)
т. е. уравнения движения газа [левая часть уравнения (9)] удовлетворяются на гладком решении с точностью до членов третьего порядка. Если на разрывном решении р удовлетворяет условию (8), то первый член в правой части уравнения (9) также имеет порядка 0(Дх2). Такой выбор р позволяет автоматически вводить в разностную схему .вязкость* в зависимости от интенсивности ударных волн. Это необходимо делать, так как в данной задаче имеется несколько ударных разрывов различной интенсивности. Устойчивость разностной схемы определяется условием Куранта-Фридрихса-Леви.
3. По описанной методике решена задача о взаимодействии ударной волны с клином, движущимся со сверхзвуковой скоростью. На фиг. 1 изображена картина дифракции, получающаяся при лобовом столкновении падающей волны йР и клина, движущегося вдоль оси х при числе М=4. Стрелки на фигуре указывают направления движения волн. Перепад давления в падающей волне равен двум, полуугол раствора клина — 18,3°. Все газодинамические параметры, приведенные на фигуре, отнесены к характерным величинам в невозмущенном газе.
В результате столкновения получается сложная картина течения газа. Имеется ряд областей, отделенных друг от друга ударными разрывами. Область ОРН— область невозмущенного газа; PH— часть невозмущенного головного скачка на клине; область НРК.Е — описывается параметрами газа на клине до падения волны О/7; РКЕ — преломленная волна О/’’ после взаимодействия с головным скачком АРН. Так как угол падения РЕ на поверхность клина больше
б— Ученые записки ЦАГИ № 1
81
предельного, то в данном случае реализуется „маховское" отражение. Видны „маховская ножка” КЕ и отраженная волна КД■ В точке К реализуется .тройная конфигурация* волн со слабым контактным разрывом. В области ДЕК наблюдается слабая контактная поверхность из точки /■', которая после взаимодействия с ударной волной ДК практически исчезает в расчетах. В носовой части клина образуется область, ограниченная новым головным скачком АВ. Величина наклона его определяется новым числом М набегающего потока. В данном случае угол скачка несколько уменьшается. Перечисленные выше области описываются кусочно-постоянными решениями, нахождение которых достаточно просто без общего решения задачи. Наряду с ними имеется область ВДКЕ(р, в которой решение описывается общими уравнениями газовой
динамики и исследование его возможно лишь численными методами. Границами данной области являются ударные волны ВД, ДК, КЕ, поверхность клина СЕ и предельная характеристика ВС, разделяющая сверхзвуковую зону течения АВС и дозвуковую ВДКЕС. На фиг. 1 в области ВДКЕС изображены линии постоянного давления. _
На фиг. 2 представлена картина взаимодействия летящего клина с ударной волной, падающей под углом 55,5° к оси х. Интенсивность падающей волны
<31Д1Рй равна 1,5, полуугол клина — 20°, число М = 4. Дифракционные картины на верхней и на нижней поверхностях клина различны. Если в точке Р угол между падающей волной Рй и головным скачком PH меньше критического и в точке Р реализуется правильное взаимодействие, то угол между бі Дг и Е\НХ больше предельного и имеются две тройные конфигурации волн ВХ Д\, ДіСі\, Д\Е\ и Р\ЕЪ ЕХД\, Е^Нх- Между ними общая „маховская ножка* ДіЕ1. Интенсивности контактных разрывов, исходящих из точек Дх и Ей малы. Если угол скачка АВ несколько увеличивается, то угол скачка АВХ уменьшается. В точке Е реализуется правильное отражение от поверхности тела, т. е. область ВДЕС не вся дозвуковая (в автомодельных переменных). В то же время область В1Д)Е1Г1С1 полностью дозвуковая. Этот факт проявляется в распределении величины давления в окрестности точек Е и Рг.
На фиг. 3 приведено распределение величины безразмерного давления вдоль поверхностей клина. Значение первоначального давления на клине /> = 5,18.
Решение за „маховской“ конфигурацией волн подстраивается таким образом, чтобы не было перерасширения газа (нижняя кривая). Для правильного отражения в точке отражения течение локально сверхзвуковое и не „чувствует* потока за собой. Величина давления вдоль верхней поверхности клина меняется значительно сильнее, чем при „маховской* конфигурации. (Для удобства на фиг. 3 величины АЕ и АРХ приведены к одной длине).
Изменение коэффициентов момента, подъемной силы и безразмерного времени в зависимости от интенсивности падающей волны показано на фиг. 4. Начальные параметры задачи те же, что для фиг. 3. Коэффициенты момента и подъемной силы отнесены к первоначальному набегающему скоростному потоку
Мг Ру
Юг — ] г Су — | ,
~2 р«212 ~2 Р«2 1
где I — длина клина, Мг—момент относительно носка клина, Ру — компонент силы на ось у. Эти величины вычислены для единичной длины клина. Безразмерное время Т определено как отношение физического времени, за которое волна пройдет единичную длину клина, ко времени, за которое возмущения распространятся на единичную длину с невозмущенной скоростью звука. Физически Т означает тот момент, когда на единичное тело подействовали соответствующие силы.
Анализ фиг. 4 показывает, что увеличение интенсивности падающей волны в два раза (при одинаковых остальных параметрах) вызывает рост коэффициентов момента и подъемной силы в 4—5 раз. И этот рост осуществляется быстрее по времени на 15%.
Для получения полной картины дифракции в численных расчетах использовалось около 10 000 точек. Это занимало вместе с обработкой результатов около 4 часов счета на БЭСМ-6 для каждого варианта. Большие размеры расчетного поля вызваны тем, что падающая ударная волна быстро по времени проходит вдоль движущегося навстречу клина. Для получения более точной картины дифракции необходима большая длина тела. Сравнение расчетных величин давления и плотности с теоретическими результатами для областей с кусочно-постоянными решениями дает точность порядка 1%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тугазаков Р. Я. Взаимодействие ударной волны с клином, движущимся со сверхзвуковой скоростью. «Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 2, 1971.
2. Годунов С. К. Разностный метод расчета ударных волн. „Успехи матем. наук", вып. 1, № 12, 1957.
3. Lax P. D. and Wendroff В. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy. Comm. Pure and Appl. Math., vol. 17, 1964.
4. M о r e 11 i A. Time Different Comput. Method for Blunt Body Flows. AIAA Journal, vol. 4, N 12, 1966.
5. Ephraim L. Rubin and Samuel Z. Burstein. Difference methods for the inviscid and viscous equations of a compressible gas. J. of Comp. Physics, 2, 1967.
6. Тугазаков P. Я. Нестационарная задача о внезапном движении клина и конуса с до- и сверхзвуковой скоростями. .Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 1, 1973.
Рукопись поступила 9IXI 1971 г. Переработанный вариант поступил 15jl 1974 г.
