CC BY
26
УЧЕНЫЕ ЗАПИС К И ДА Г И
______ ; /Р7 з ;
№ 1
УДК 533.6.011
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА О ВНЕЗАПНОМ ДВИЖЕНИИ КЛИНА И КОНУСА С ДО- И СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЯМИ
Р. Я. Тугазаков
Рассмотрена нестационарная задача о внезапном движении клина и конуса с постоянной скоростью. В случае'¥онк6гб клика' ' ’
найдено аналитическое решение в линеаризованной постановке. Для !Г '! клина и конуса произвольных полууглов раствора задача решена численно методом Лакса — Вендроффа.
1. Теория потенциальных течений идеальной жидкости для определения аэродинамических сил, действующих на тонкие крылья и удлиненные тела, совершающие нестационарное движение в однородном потоке, изложена в монографиях [1] и |2].; В работе [3] решена задача об обтекании движущейся пластины слабой ударной волной методом стационарной аналогии, на который; обратил внимание Л. А. Галин в 1956 г. В данной статье для нахождения картины течения вокруг тонкого клина при его внезапном движении также используется метод стационарной аналогии.
Пусть тонкий клин бесконечного размаха начинает внезапно двигаться с постоянной скоростью У1 в направлении оси х. Потенциал возмущенных скоростей обтекания клина ф удовлетворяет волновому уравнению ■ •.-
д2 9 д3 <и 1 <92 ср
‘ Л--“0 , . . (1)
дх- ду'2 с~ дР
и граничному условию непрогекания на поверхности тела <
где а — полуугол раствора клина; с — скорость звука в невозмущенном газе. При дозвуковой скорости клина Ц <с на кромке его должно быть-выполнено условие
д<-р _ ду
. ■ . . *4-0 . , = —О ' ‘ :
В такой постановке данная нестационарная задача эквивалентна задаче обтекания сверхзвуковым потоком пространственного крыла (клина), изображенного на фиг. І, причем число Мда обтекания равно ]/2. Методы расчета такого крыла известны. Применяя метод источников и стоков, можно рассчитать распределение давлений по
I VL.-VT
Фиг. 1
крылу (клину). Потенциал возмущенных скоростей находится по формуле V : ,
..... .....
т- 1 (Т -■ (2)
Т . « Jj /(x_C)>-(M*-l)[(3;--^ + Z3] ’
где — мрстный угол, равный для клина К, а = const. Область
интегрирования R ограничена кромками крыла и гиперболой, вы' рёзаемой обратййм конусом Маха, построенным в точке Н (см. фиг. 1). Величина‘давлеййя в поле возмущенного газа
' . f ■ ' ' Н , ;• ’м • ’ ’ ’ ' ' ’ '
.. - Р-Р' <?ж
■ ;. ‘ р== ■---- тх ..
• р ; г-. .
1 „2 V,
ttPV/i 1
4 V . ' • . / у \
В случае дозвукового движения клина 1М = -^1<1 j для не-
стационарной задачи получаем
Р~Ш
1Г
+ аГС5ІП ■■■■ A rch
.(3)
- _2а_ ^ кМ
2 : У^Ш+х)*+гЦ\-Ш)
При сверхзвуковой скорости Сдвижения
я , . л і • . М • • ^ t + Мх 1 ...
harcsin-^-;-—■ -f ^ — arCCOS Л---.- —. . . (4)
2 V*-# l'M*^t Vwt+x)*bz2(M2-l) J v
Следует отметить, что величина р в уравнениях (3) и (4) явля-теся функцией только автомодельных переменных х\Ь, г/£. Формулы
(3) и (4) дают распределение величины давления над поверхностью клина и на самой поверхности (г = 0). Однако при г —0 формула (3) имеет логарифмическую особенность в носке клина. Величина давления получается здесь бесконечной. Характер этой особенности, вызванной неточностями линейной теории, изучен в работе [4]. Следуя данной работе, можно раскрыть логарифмическую особенность в носке, учитывая толщину клина а. В этом случае для малой окрестности носка потенциал скоростей ищется по формуле
а==-У| (Т._________________&+мГА*»-- _______ (5)
* * У У(х — С)*-(М*-1)[(^-ч)8 +га] ■
2а 1
Когда показатель числителя —=-тг, величина ? выражается
к 2,
через эллиптические интегралы первого и второго рода. Для произвольного а интеграл берется только численно.
2. Для клина и конуса конечного полуугла раствора задача решается численно методом Лакса — Вендроффа. Это — явная схема второго порядка точности. Она позволяет вести расчет без выделения сильных разрывов в поле течения. Для обеспечения устойчивости счета на разрывах в схему вводится „весовой* коэффициент, сглаживающий сильные разрывы, с сохранением точности второго порядка на гладких решениях. Ударная волна в этом случае „размывается14 на два-три шага.
Рассмотрим прямоугольную систему координат л:, у (см. фиг. 1). Пусть поверхность тела проходит по диагоналям ячеек. Толщина клина (конуса) регулируется отношением координатных шагов Ду к Ах. Уравнения движения в пространстве х, у, Ь имеют вид
. (6)
где компонентами вектора но является плотность р, проекции момента на оси координат и энергия Е, отнесенная к единице объема:
Чг)
здесь т = ри, п = рг/, и, г» —компоненты скорости на оси х, у. Вектор в определяется следующим образом:
« = — у-(»-*-*).
где « = (0, 0, 0, р).
В осесимметричном случае (V = 1) расстояние от оси симметрии отсчитывается по оси у. Величина давления р может быть выражена через известные величины и показатель адиабаты 7:
Компоненты векторов / и g в (6) определяются следующим образом:
т; }
■ /М-
Зш2 /д. 1 п?
+ й-')|£-тт
тп
Р
ь-т
/и (т2 ге2) •
■{тЕ
л;
тп
~г;
1 /те2
11 і /:---
2 Р ' и Ч 2 Р
і^„(т-*+„ї) + і^..
/ Г
(9)
Рассмотрим разностную схему для решения уравнений газовой динамики (6). Пусть ф момент £ имеется девять точек с известными в цих газодинамическими параметрами (см. фиг. 1, крестики). Нахождение рещедия в следующий момент и = £ + А/ осуществляется в два этапа, во-первых; ищутся параметры газа в четырех средних точках (обозначены точками) по формулам:
, V + АО - \ {шк^_ 1+, + ,+. + .
'+; м^'4-'4+/*4- '4 _/*4' -4)+
“Ь 777“ ^Ь11 ;4.1 — ^4-1 / 1 £ь 1 г+1 _ 1 ; 1 )
2ДУ\ Ь+Т1+Т 2Г' ~2 "2"’ 2~ к~2'1~т)
_|« /^- | ^ _1_ 5 і і -4- 5 і і 4- ^ 1
4 ІИ^'+т Л+т^“2 *-чр|+7
1 2’ ' 2
(10)
... 1 . ., 1 ...................
где к = 1± — , 1=/±— ■
Окончательный результат в центральной точке (г, /) ищется в виде
1-Р,
гг»/, у (/ + Д£) = ргг»/. у(*) +
(Щ»І + 1, /+1 + ‘И»/-1,/ + 1 + 'И»і+1, у-1 + И»/-1, І—1)+-
где ft+u и — центральные разности от / и g в момент t1 —
^=t -\-&t и Sk, i (t -f- Д t) = — V' /S i . i ] .
4 ^ [ '±7- J±2 )
Расчеты по формулам (10) проводятся с большим запасом устойчивости. Окончательная формула (11) обеспечивает второй порядок точности на гладких решениях. Коэффициент р, введенный в схему, сглаживает решение на ударной волне, т. е.
р Pi = const—на сильном разрыве, 0<р, <1;
1 — на гладком решении.
Величина (Jj выбирается в зависимости от начальных условий задачи. Наблюдение за сильными разрывами осуществляется по
Фиг. 2
величине плотности. Перед вычислением параметров расчетной точки по формулам (10) и (11) производится анализ градиента плотности по осям х, у, ив зависимости от его величины выбирается коэффициент р. Если в поле течения встречается относительно слабый разрыв, то р, равно единице (или очень близко к ней) и схема сохраняет второй порядок точности. Это относится к контактным поверхностям, на которых разрыв плотности почти всегда значительно меньше, чем в ударной волне.
3. Рассмотренные задачи относятся к классу автомодельных, поэтому результаты расчетов приведены для какого-то времени с учетом, что в последующие моменты времени картины течений подобны. На фиг. 2—5 даны результаты расчета газодинамических параметров по формулам (3) и (4) и численной схеме (10) и (11).
Линеаризованная теория дает следующую картину распределения возмущения давления р (см. фиг. 2). При сверхзвуковом движении клина имеются области 1, 2 и 4, где параметры газа описываются кусочно-постоянными решениями. Область/ — это область
р-СЩІІ
К-К р* 2,428 t
невозмущенного газа. Для области 2 справедлива формула Акке-рета. В области 4 течение такое же, как перед движущимся поршнем с постоянной скоростью а. Величина давления в области 3 описывается формулой (3). Видно, что точки В и С являются особыми: в них сходятся изобары с различными значениями давления.
В Случае дозвукового движения особенность в ноете клина раскрывается с учетом формулы (5). В обоих случаях на фиг. 2 по линейной теории минимальная величина давления получается в точке Е, соответствующей первоначальному положению носка клина.
На фиг. 3 представлены поля изобар, полученые численным методом, при внезапном движении клина с полууглом раствора 20° и числами М —0,5 и 1. Поле изобар и изоликник при сверхзвуковом движении (М = 2) представлены на фиг.* 4. Разделяющими границами областей 1—4 являются ударные волны и предельные характеристики АВ и СО. Пунктирными кривыми нанесены теоретические границы области 3. В данном нелинейном решении точки В и С не являются особыми, как на фиг. 2, хотя и несут разрыв величины энтропии. В точке Е имеется минимум давления и плотности. Величина энтропии вдоль участка Ей постоянна и совпадает со значением ее в области 4. Вдоль искривленной волны ВС величина давления падает к центральной части. На фиг. 4 в сечении К — К дается эпюра давления от невозмущенного потока в области/ до поверхности тела. Ударная волна практически размывается на два шага. Пунктирной прямой здесь показано теоретическое положение, вычисленное по соотношениям косого скачка. Теоретические значения величин давления, плотности и энтропии в областях 1,2 и 4 и результаты численного счета сведены в таблицу.
г
: Из оценки результатов таблицы видно, что ошибка в расчетах
не превышает 0,5%: В области 4, где не сказывается влияние носка клина, результаты значительно точнее.
На фиг. 5 Представлены поля постоянного давления при внезапном движении конуса со сверхзвуковой и звуковой скоростями. В области носка конуса для сверхзвуковой скорости устанавливается коническое течение газа. В области 4 течение газа переменное. Величины давления и плотности здесь возрастают до предельных значений, получаемых при внезапном движении плоского поршня, т. е. при увеличении координаты у члены, пропорциональные 1 /у, в уравнениях осесимметричного движения становятся малыми по сравнению с остальными членами и движение газа в пределе описывается уравнениями плоского движения.
Область Рт Рр Рт . Рр «р
1 '1 1 1 1 1 1
2 2,843 2,829 2,042 2,036 1,0454 1,0455
4 . 2.428 2,428 1,847 1,843 1,0318 1,0320
Примечание. Индекс ..т* соответствует точным значениям параметров, найденным по формуле косого скачка, индекс „р“ — значениям параметров, полученным в результате данного расчета.
В точке Е величина давления имеет минимальное значение. Энтропия имеет лучевой характер. Линии постоянной энтропии нанесены штрих-пунктирными кривыми. В случае движения конуса (и клина) со звуковой скоростью в области носка тела образуется сильная волна сжатия, которая увеличивает давление от значения в невозмущенном потоке до значения в области 4. В данном случае в окрестности точки С вдоль ударной волны существует сильный градиент изменения газодинамических параметров.
4. В плоском случае можно сравнить результаты линейной и полной теорий. Для движения с дозвуковой скоростью (М = 0,5, см. фиг. 2 и 3). величина безразмерного давления р)рх в носке клина, вычисленная но формуле (5) при. а = 22°,5, равна 1,254. Расчеты по численной схемел(Ю) и (11) для клина с полууглом раствора 20° дают величину 1,242. Результаты находятся в хорошем соответствии, хотя в первом случае угол больше. В случае сверхзвукового движения (см. фиг. 2 и, 4) следует отметить, что особенности в точках В и С характерны только при решении линеаризованных уравнений газовой динамики. Кроме.того, из сравнения полей изобар для клина и конуса (см. фиг. 4 и 5) можно предположить, что при решении линеаризованной задачи о внезапном движении конуса точки В и С не будут особыми. Аналогичная разница для конического и плоского течений газа получена в работе [5], где рассмотрена задача о дифракции плоской волны на тонком клине и конусе. .
, Анализируя результаты расчетов, можно оценить нестационарные нагрузки, действующие на тела единичной длины. Если при внезапном движении клина сила, действующая на тело единичной длины, со временем растет, то на конусе она уменьшается. Объясняется это тем, что в плоском случае величина давления в области меньше, чем в носке. Для осесимметричного движения в носке конуса давление меньше, чем в области 4.
Следовательно, максимальная величина давления на поверхности тела в плоском случае достигается в установившемся режиме обіекания. Для конуса эта величина достигает максимума в начальный момент движения, а затем уменьшается. На фиг. 4 видно, что для клина приращение величины силы, действующей на тело единичной длины, составляет 14,5%. Для конуса (см. фиг. 5) происходит уменьшение этой силы со временем на 7%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бисплингхофф Р. Д., Эшли X., X а л ф м э н Р. Л. Аэро-
упругосхь. М»,Цзд. инортр, кцит., ■ 1958. . •., >
2. М а й ‘Йж. У. Потенциальная теория неустановйвши&ся'
сверхзвуковых т'ёЧ^кМ. $4 Ф^звадл-из, 1963>. . 5 . \
.3. Го Л/Х .6 и рс к н р , А. И. Цб обтекании движущейся пластидки перемещающейся •уд^а'рИой волной. ,Инженерный журнал*; т. I, вып. 2, 1961.
4. В а н Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости. М., „Мир" 1967.
5. Л у д л о ф.ф Г. Ф. Аэродинамика взрывных волн. Проблемы -механики. М., Изд. иностр. лит., 1955.
Рукопись поступила 221111 1972 г
