CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИЦАГИ Т о м IV 19 7 3
№ 5
УДК 533.6. 011
О НЕКОТОРЫХ ТЕЧЕНИЯХ В ОКРЕСТНОСТИ ЦЕНТРА СОПЛА ЛАВАЛЯ
А. П. Цветков, И. А. Чернов
Путем исследования частных решений уравнения Кармана рассмотрен характер течения в горле несимметричного сопла. Построенные решения позволяют сделать ряд выводов о закономерностях перехода от нерасчетных режимов с местными сверхзвуковыми зонами к течению типа Майера.
Наряду с хорошо известным течением Майера [1, 2], которое является аналитическим в окрестности центра сопла Лаваля, была обнаружена возможность осуществления двух других типов течения с неаналитическим распределением скорости вдоль оси [3, 4].
В настоящей статье результаты работ [3] и [4] обобщены на случай течения в соплах Лаваля, не обладающих продольной осью симметрии, и на основе этого сделаны некоторые предположения о характере перехода от течения Тэйлора (с местными сверхзвуковыми зонами) к течению Майера в плоских соплах Лаваля.
1. Приближенная система трансзвуковых уравнений
dvx dvv dvx dvv
~v*-?T- + -a1 = 0> -*1--irL = 0 W
ox dy ay dx
(vx, Vy — безразмерные компоненты вектора скорости возмущения однородного звукового потока, х, у—декартовы координаты) имеет автомодельные решения вида [4]
vx = \y\ 2("~,) £/(£), *у = М3("-1) V45).
■х\у\ n sign у.
(2)
Представители и и V скоростей к*, удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений
dU dV
иж + г*-ж = Нп-Х) v;
dU dV
(3)
Течению Майера соответствует некоторое частное решение системы (3) при
2 [2]. Двум указанным выше типам течения в соплах отвечают п—3 и 11 [3].
2. Общее решение системы (3) при я = 3 имеет вид [5]
и = - 3 1/3 G2 J-____2 ^~Э 22__L, V =■ 36 G3 ;
• к (£ + *)4 (£+г)6 > (4)
р = G (I + УЪ- Ег - УЪг1* + £*»)/(£ + г)з,
где г— параметр, принимающий все действительные значения; Е, G — постоянные интегрирования. Подробное исследование решения (4) для различных значений Е проведено в работе [6]. Течениям без предельных линий в окрестности
начала координат соответствуют значения постоянной Е из интервала V 2+1^3^
<£<оо. На фиг. 1 представлена функция U(S) для четырех значений £:1/2+КЗ, 6, 30, оо; постоянная G была выбрана так, чтобы одной из звуковых линий соответствовало значение 5, равное единице. Изменению переменной 5 от —оо до -|-оо соответствует верхняя полуплоскость ху, нижней полуплоскости отвечает повторный обход тех же кривых U(Vi и V(6)—это означает симметрию рассматриваемых течений относительно начала координат. При £ = оо реализуется течение в плоском сопле в момент смыкания на его оси местных сверхзвуковых зон (предельное течение Тэйлора), которое рассматривалось в работе [5]. Оно является симметричным как относительно оси х, так и относительно оси у. При
фиксированном Е из интервала ~\/~ 2 + ]/3 <£< оо получается течение, характер которого можно представить, рассмотрев поведение линий vx = const. На фиг. 2 они построены для Е = 6 На фиг. 3 показано течение, соответствующее
Е = У2 + У%, которое изучалось также в работе [7]. В нем звуковые линии перпендикулярны в точке О.
Таким образом, получено семейство течений в соплах Лаваля с различной степенью несимметрии относительно координатных осей. При этом оказывается
возможным непрерывный переход от течения с Е = оо к течению с E=*v 2 +У* при специальной деформации стенок, форма которых находится решением обратной задачи сопла. Последнее безударное течение [ё — У2 + |Аз) обладает новой топологической структурой в окрестности точки О. Дальнейшая деформация такого течения с сохранением его непрерывности оказывается невозможной в классе автомодельных течений из-за появления предельной линии, которую не удается устранить введением ударной волны.
Эти результаты можно приближенно перенести на течение в плоском сопле с фиксированной формой стенки и й = const (фиг. 4), степень несимметрии которого характеризуется переменной величиной jc0. С использованием решения (4) была рассчитана линия тока для двоякосимметричного течения (£х = оо, 0^2), проходящая через точку jc0 = 0, з»0 = А = 0,5 (фиг. 5). Для течений, соответствующих £ = У2 + УЗ иЕ = 6, находилась линия тока с ymin = А = 0,5, при этом постоянная О подбиралась из условия, чтобы кривизны всех линий тока в экстремальной точке совпадали. Это условие выражается формулой
№ = (£2 _ 3) О* (£2 + д-у4 o^-i (5)
Полученные линии тока сравниваются на фиг. 5. Степень несимметрии х0 однозначно выражается через постоянную Е по формуле х0=Оу$Е~3, где О определяется формулой (5). Она представлена на фиг. 6.
3. В работе [5] была указана связь частного решения (4), соответствующего £=со, с решением, которое описывает второй асимптотический тип течения в соплах Лаваля для /1 = 3 [3, 4]. Эти решения совпадают во входной части сопла, но различны в выхлопной части. Здесь была использована возможность склейки автомодельных решений вдоль предельных характеристик: решение (4) при Е — оо было склеено с решением (4) при £ = 0. Возможность неоднозначного продолжения за предельные характеристики была истолкована как переход от предельного течения Тэйлора к течению типа течения Майера со сверхзвуковой скоростью на выходе. Аналогичную процедуру можно проделать с каждым из рассмотренных в п. 2 течений, так чтобы на выходе из сопла получались сверхзвуковые скорости. Условие непрерывной склейки вдоль исходящих из центра сопла характеристик дает связь постоянной Еь соответствующей течению во входной части сопла, со значением £2, соответствующим течению в выхлопной части. Эта связь выражается формулой £] £2 = 2— 1^3 2 -}- Уз<£,<со) .
Фиг,. 1 E-V2+1J
.Т^т>
їх.
/З
Фиг. 4
В каждом из построенных таким образом течений вдоль исходящих из центра сопла характеристик распространяется особенность в виде конечного разрыва третьих производных вектора скорости по координатам. Течение
с Е = ~\^2-\- У3 характерно тем, что в нем дозвуковая часть занимает лишь один квадрант плоскости ху.
4. Рассмотрим решение системы уравнений (3) в случае п = 11 [5]:
-20.
£/=(11 0)2 (1 + 228 г5 + 494 г10 — 228 г15 + г20) (£ 4- г)'
— О)3 (1 — 522 г5 — 10005 г^-10005 г» 4- 522 г25 + г™) (Е + г)-30;
3
5 = а (Е - 11 г — 66 ЕгЬ + 66 г* — 11 ЕгЮ *іі) (Е + г)
-и
(6)
При £1 = (— У5 + 1 + У10 — 2 1/5 )/2 получаем течение во входной части сопла Лаваля (область 1), реализующего второй асимптотический тип течения, найденный в работе [3]. Это течение склеивается через ударную волну с
течением, соответствующим £2 = (У5 4- 1 - V10 4- 2Уб) 12 и дающим сверхзвуковую скорость на выходе из сопла (область 2) [5]. Ударной волне соответствуют следующие значения параметра г в области 1: г± — 0,094198915, г2 = — 2,0201412. Ударная волна симметрична относительно оси х, ее форма дается уравнением х = 53,142341 б | у |11.
Полное исследование решения (6) было проведено в работе [6]. Оказалось возможным построить течение, несимметричное относительно продольной оси сопла и аналитическое в области 1. В центре сопла в нем зарождаются ударные волны, которые распространяются вниз по потоку. Для Ех = 0,5 получились следующие уравнения ударных волн
х= 157,84081 О (-у)11 (у <0); л: = 3,1361024 (у > 0).
В работе [5] было показано, что наряду с течением, изученным авторами работ [3] и [4], возможно построение предельного течения Тейлора с сомкнувшимися на оси симметрии сопла местными сверхзвуковыми зонами, в которых присутствуют скачки уплотнения. Возможны также несимметричные относительно оси х течения такого вида.
5. Полученные выше результаты показывают, что при п = 3 и 11 существуют семейства близких по своим свойствам течений, которые изменяются непрерывно с изменением £ в некотором диапазоне (кроме течений, соответствующих граничным точкам интервала по £). В этом смысле приведенные результаты согласуются с результатами работы [8], где для доказательства устойчивости использовался численный метод установления.
Однако тот факт, что каждое из полученных решений допускает продолжение— одно с выходом на дозвуковые скорости, другое — на сверхзвуковые, является характерным признаком их абсолютной неустойчивости.
6. Попытаемся представить некоторые детали течения при запуске плоского сопла Лаваля с учетом результатов, полученных в работе [5], и данных, приведенных в п. 2—4 настоящей статьи.
Пусть газ вытекает из большого резервуара через сопло при внешнем давлении р. Считаем, что форма стенок сопла симметрична относительно продольной оси или близка к таковой. При некотором давлении р1 на стенках сопла скорость потока достигнет скорости звука, дальнейшее понижение внешнего давления приведет к увеличению размеров местных сверхзвуковых зон. Эти зоны содержат ударные волны. При некотором давлении р2 происходит смыкание зон в одной точке. Смыкание местных сверхзвуковых зон может быть либо безударным, как показано на фиг. 2, либо с ударными волнами, как это описано в конце п. 4. Оставаясь в классе автомодельных решений, можно точно указать формы сопл, в которых будет реализован тот или другой тип течения. Дальнейшее понижение давления в некоторых пределах не влияет, по-видимому, на структуру течения в центре сопла. Затем при р = р3 происходит выход на сверхзвуковые скорости, причем в первом случае возникает слабый разрыв на исходящих из центра сопла характеристиках, а во втором—ударная волна, но более слабая, чем та, которая была в местных сверхзвуковых зонах.
Авторы благодарят С. В. Фальковича за полезные советы во время проведения работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. М е у е г Th. Ober zweidimensionale Bewegungsvorgange in einem Gas, das mit Oberschallgeschwindigkeit Stromt. Forschungshefte, 1908, Ht. 62.
2. Фалькович С. В. К теории сопла Лаваля. ПММ, т. 10, вып. 4, 1946.
3. Л и ф ш и ц Ю. Б., Рыжов О. С. О причинах образования ударных волн в соплах Лаваля. .Доклады АН СССР", т. 154, № 5, 1964.
4. Рыжов О. С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. М., Изд. ВЦ АН СССР, 1965.
5. Ф а л ь к о в и ч С. В., Чернов И. А. Алгебраические автомодельные решения уравнений околозвукового плоского течения газа. ПММ, т. 30, вып. 5, 1966.
6. Ц в е т к о в А. П., Чернов И. А. Автомодельные околозвуковые течения, аналитические на предельной характеристике. В сб. .Аэродинамика", вып. 1, Саратов, Изд. Сарат. гос. ун-та, 1972.
7. Баранцев Р. Г. Лекции по трансзвуковой газодинамике. Л., Изд. Ленинград, гос. ун-та, 1965.
8. Л и ф ш и ц Ю. Б. О некоторых течениях в соплах Лаваля. Тезисы докладов V Всесоюзного совещания по аналитическим методам газовой динамики. Июнь, 1972. М. Изд. Института прикл. матем. АН СССР, 1972.
Рукопись поступила 12\Х11 1972 г.
