Газодинамические характеристики плоского или осесимметричного сопла с прямолинейной образующей сверхзвуковой части Текст научной статьи по специальности «Физика»

______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XX 1989

М 6

УДК 629.7.015.3.036:533.697.4

ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО ИЛИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО СОПЛА С ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ЧАСТИ

В. А. Алексеенко, В. П. Сафонов, С. А. Щербаков

Приведены результаты расчета по модифицированной схеме С. К. Годунова трансзвукового течения идеального газа в конических и плоских соплах. Вычислены зависимости (с последующей аппроксимацией) интегральных и локальных характеристик сопла от угла раскрытия сверхзвуковой части сопла. Результаты численного расчета сопоставляются с аналитическими и известными экспериментальными данными.

Практика широкого применения в ВРД суживающихся — расширяющихся сопл с регулируемым непрерывным контуром накладывает повышенные требования к точности определения их тяговых и расходных характеристик. Как правило, такие сопла имеют плохо обтекаемую трансзвуковым потоком поверхность (излом контура в критическом сечении) и прямолинейную (по конструктивным соображениям) образующую сверхзвуковой расширяющейся части. Вблизи излома контура возникают весьма большие градиенты газодинамических параметров, причем вследствие прямолинейности стенки за изломом выходящей из него веер волн разрежения ограничен скачком уплотнения переменной интенсивности. На стенке реализуется неблагоприятный положительный градиент давления, который в зависимости от толщины пограничного слоя (близкой к нулю в критическом сечении) может вызвать отрыв потока. Если такой отрыв пограничного слоя локален, то величина положительного градиента, как и все распределение давления по поверхности сопла, с хорошей для практики точностью могут быть вычислены по модели невязкого (идеального) газа. Ниже это подтверждено расчетом с использованием модифицированной схемы С. К. Годунова при сравнении с данными натурных испытаний.

Расчетное исследование интегральных характеристик осесимметричных и плоских сопл с прямолинейной образующей сверхзвуковой части проводилось в работах [1, 2] при условии равномерного звукового потока в критическом сечении сопла. Однако такое условие, выполняющееся лишь для сопл с достаточно плавной дозвуковой частью, существенно ограничивает применимость полученных результатов. Это в большой степени сказывается для отмеченных выше регулируемых сопл, в которых распределение давления на стенке за изломом контура качественно отличается от данных с прямолинейной звуковой линией. Неравномерность трансзвукового потока приводит также к значительному изменению интегральных характеристик сопла.

Результаты экспериментальных исследований конических сверхзвуковых сопл с различными радиусами скругления контура в области минимального сечения сопла сопоставлены в работе [3] с результатами расчетных исследований, проведенных по конечно-разностной схеме Годунова на сетках, не адаптированных к излому контура.

В численном исследовании из-за особенности течения вблизи излома контура сопла появляется сложность правильной конечно-разностной аппроксимации решения. Здесь необходимо применять так называемые адаптированные разностные сетки с сеточными линиями, которые отслеживают интенсивный веер волн разрежения и боль-

шие градиенты газодинамических параметров как в радиальном, так и в азимутальном по отношению к излому направлениях. Одной из немногих, как это следует из обзора публикаций, конечно-разностных схем, пригодных для достаточно точного расчета трансзвукового обтекания изломов поверхности, является модифицированная схема С. К. Годунова. Применительно к рассматриваемой в данной работе задаче численного исследования течения в соплах с изломом контура эта схема реализована в работе [4], где и приведены ее основные методические данные. В этой работе также продемонстрировано и существенное искажение звуковой линии, если не применять адаптированные сетки. В данной работе используемая программа усовершенствована с некоторыми уточнениями алгоритма и переведена на язык программирования ПЛ.

1. В дополнение к результатам работы [4] проведем сравненине расчетных и аналитических данных [5].

Вблизи излома контура сопла потенциальное стационарное течение описывается аналитическим решением [5]. Согласно этому решению около стенки в минимальном сечении сопла, с которым совместим ось у, для отличий осевой и вертикальной компонент скорости от их значений в точке излома выполняются равенства (т) =1—у):

Значения в точке излома контура вычисляются из решения Прандтля-Мейера. Здесь и ниже скорость V отнесена к своему критическому значению, за единицу линейного масштаба выбран радиус или полувысота критического сечения. Постоянные коэффициенты в выражениях (1) зависят от показателя адиабаты Пуассона х, угла наклона образующей дозвуковой части сопла слева от излома и с точностью до выписанной асимптотики одинаковы как в плоском (т=0), так и в осесимметричном (у=1) случаях. Для %=1,4 и ф-=—я/2 вычисление этих коэффициентов дает С1 = 2,096 с о, Сг=—4,773 Со, где с0 — масштабный множитель. При с0 = 0,9 это аналитическое решение показано на рис. 1 пунктирной линией. Сплошной и штриховой линией, обозначенной цифрой 1, показаны профили Аи(г|) и Ли (г)) соответственно, которые получены численным методом с использованием модифицированной схемы С. К- Годунова при решении задачи трансзвукового течения в осесимметричном сопле с внезапным сужением (значками отмечены значения в центрах граней ячеек, совмещенных с критическим сечением сопла). Видно, что построенные профили компонент скорости хорошо согласуются вблизи излома, что указывает на высокую точность получаемых численным расчетом с использованием модифицированной схемы С. К. Годунова результатов даже при максимальной неравномерности трансзвукового течения в критическом сечении сопла. Дополнительно на рис. 1 построены зависимости Ды(г|) для меньших (по модулю) углов ■0™. Здесь цифре 2 соответствует значение |д~|=54,5°, цифре 3 —

&-“| = 30°. Изменение знака у производной (А и)' при &—= Ут arctg , где

+ 1) / (х—1) максимальная скорость, согласуется с исследованием в плоскости годографа скорости. Представленные на рис. 1 данные также позволяют оценить размер окрестности излома контура, где выполняется решение [5].

От искривленной звуковой линии на прямолинейную образующую сверхзвуковой части сопла приходят волны сжатия, которые формируют, как уже отмечалось, течение с повышением давления р. Эти волны сжатия ограничивает выходящая из центра сопла (точки пересечения звуковой линии с осью симметрии х) характеристика первого семейства. Ниже по потоку от этой характеристики на стенку попадают волны разрежения, которые отражаются от оси (или плоскости) симметрии течения. Таким образом, первый максимум р(х) на стенке сверхзвуковой части сопла существует в точке пересечения с выходящей из центра с+-характеристикой. Величина этого максимума определяется при v = 0 аналитически из условия сохранения инварианта Ри-мана /+ вдоль характеристики. На отмеченной характеристике /+=0 и для значений числа Маха М0 и давления ро в точке максимума имеем

Здесь и ниже #+ — угол наклона образующей сверхзвуковой части к оси сопла, давление отнесено к критическому скоростному напору (произведению х на критическое давление /’,).

Известно [6, 7], что на выходящей из центра сопла с+-характеристике равны нулю производные от газодинамических параметров. Это означает излом распределения

Д и = с, т)2/3 + 0 (•»]), Д V = с2 1)2/3 + 0 (т)).

(1)

Ут агс18 [V М§- 1/Ут ] - агс18 VМ* - 1 = »+,

X

(2)

-в,5 --0,1

№

о г в

Ли

\___________________I________________I________________I [

-1 0 1 ? 3 х

Рис. I

Рис. 2

р(х) в точке указанного максимума (0+—>-0). При пересечении рассматриваемой характеристики с выходящим из точки излома контура скачком уплотнения Д/+~ (Ар)3, где Д означает приращение в скачке. Поэтому формулы (2) верны лишь с точностью до величин второго порядка малости, т. е. в изоэнтропическом приближении. В осесимметричном случае У+ зависит от у, и поэтому в первое уравнение (2) дополнительно войдет интеграл по ординате, который может быть вычислен только после расчета газодинамических параметров вдоль характеристики.

2. На рис. 2 приведены зависимости р(х) на стенке плоского сопла с прямолинейным образующими при х=1,33; #”=—29° и отношении площадей минимального и входного сечений сопла 0=^*/^'о = О,5 для различных значений А+ (цифры у кривых). В случае 0+=0 распределение давления получено расчетом по модифицированной схеме С. К. Годунова на двух вложенных одна в другую разностных сетках (штрих-пунктирная и штриховая линии), с тем, чтобы проанализировать сходимость результатов (линейная зависимость от относительного шага сетки Л приведена в правом верхнем углу рис. 2) к наиболее точному (сплошная линия) с меньшей схемной вязкостью решению. Точность оценивается по величине ро из соотношения (2), которая отмечена светлым кружком. Значение давления в точке излома (при х=0), как уже отмечалось, может быть найдено из решения Прандтля — Майера. Здесь р изменятся от р* =х~1 до значения р+, которое вычисляется по аналогичным (2) формулам, если 0+ увеличить на |'8г~|. Видно, что по мере измельчения разностной сетки первый при х>0 максимум р(х) все более увеличивается, причем на участке образующей до этого максимума распределение р(х) практически линейно. Сравнение с вычисленным по формуле (2) значением показывает, что при наибольшей переменной интенсивности замыкающего веер волн разрежения скачка уплотнения, которая соответствует д+=0, изоэн-тропическое приближение не вносит погрешность при определении р0 на образующей сверхзвуковой части сопла. Здесь также принимаем, что рассматриваемая волновая структура вблизи выходящей из центра сопла с+-характеристики качественно не изменяется при уменьшении ■&+.

При фиксированном значении по мере снижения 0+ уменьшается выходящий из точки излома контура веер волн разрежения, и, следовательно, ограничивающий этот веер, скачок уплотнения перемещается по направлению к звуковой линии. Для ■§+= 12°; 6° и 0 вычисление расстояния от центра сопла до точки пересечения ударной волны с осью х соответственно дает х.и =2,54; 1.68; 0,84.

Аналогичное численное исследование проведено для конических (г=1) сопл (рис. 3). Здесь для х=1,33, д~=—35°, ст=0,436 и #+=0,5° распределения давления (штриховая линия) сравнивается с экспериментальными данными (отмечены значками А, О) Г. Н. Лаврухина и Ю. И. Цыбизова. Остальные сплошные кривые получены для #-=—29°, 0=0,5, х=1,33 при различных ■()+ (цифры справа). Для #+=9°, 6°, 3°, и 0 величина л:* =2,08; 1,64; 1,27 и 0,82. Сопоставление распределений давления на образующей сверхзвуковой части сопла, которые получены расчетом и в эксперименте, указывает на слабое влияние эффектов вязкости газа при определении тяговых характеристик исследуемых сопл с плохо обтекаемым контуром. Получены значения коэффициента расхода ц = 0,9207 и коэффициента тяги =0,981 (тяга отнесена к идеальной тяге сопла при яср = 2,396).

3. В работах [8, 9] показано, что удельный импульс суживающегося сопла с крутыми обводами стенок, т. е. с неравномерными параметрами в выходном сечении, на

Рис. 3

всех режимах истечения больше удельного импульса, определенного по одномерным соотношениям. Сравним эти параметры на сверхкритических режимах у суживающихся— расширяющихся осесимметричных сопл (0-=—29°, х=1,33, а=0,5), имеющих в+=3°—18°.

На рис. 4 построена зависимость отношения удельного импульса / к удельному импульсу, определенному по одномерным соотношениям /о, ОТ X (/о находится при условии, что в минимальном сечении сопла параметры имеют критические значения).

Когда х близко к нулю, отношение ///о приближается к значениям, характерным для суживающегося сопла. С увеличением длины отношение ///о падает. Восстановление давления вдоль стенки за минимальным сечением сопла приводит к быстрому росту интеграла сил давления по расширяющейся части сопла, а, следовательно, к замедлению отношений ///о• В результате этого имеется минимум построенной зависимости. При дальнейшем увеличении длины отношение ///о медленно возрастает, что объясняется восстановлением давления на стенке до значений, превышающих расчетные одномерные значения.

Для примера, на рис. 4 штриховой линией проведена аналогичная зависимость для плоского сопла (0“=—29°, ■&+=18°, х=1,33, сг=0,5), которая показывает, что при \’ = 0 влияние двумерных эффектов проявляется слабее.

При расчетном или экспериментальном исследовании суживающихся—расширяющихся сопл в качестве одного из определяющих параметров принимают расчетную степень понижения давления в сопле ли, которая определяется из условия

*0Я(У®)=1, д(У° )=рР,/Г1,

(3)

где л, д — известные газодинамические функции,. и площади выходного и минимального сечений сопла соответственно. Полученные в результате расчета по модифицированной схеме С. К. Годунова зависимости коэффициента А/ потерь импульса в процентах (отнесенного к расчетному при V —V0 импульсу) от я° аппроксимируем следующими соотношениями, из которых первые два соответствуют осесимметричным, а последние — плоским соплам:

Д 7= [_ 50,1613 (»+ —0,4046 )2 - 23,6898] (К° — 1,1716 »+

+ 24,5554 (&+ + 0.127)2 + 0,0398 ,

Д 7= [37,621 (»+ — 0,3842)2 — 12,8547] ( 1/0—1,4169 &+ - 1,2208): + 25,6059 (»+ + 0,0704)2 — 0,1358 ,

Д 7= ( 47,4737 »+ — 47,3857) ( 0,8799 »+ — 1,2499)2 +

+ 13,4959 (»+ + 0,2512)2 — 0,6135 .

Д 7= [64,1968 (»+ — 0.304)2— 18,2166] (V» - 1,0281 »+ — 1.172)2 17,2529 (»+ + 0.0854)2 — 0,1444 .

,3059)2 +

(4)

J

Здесь первая и третья формулы относят-Ц ся к соплам с параметрами 0“=—29°, 0=0,5,.

х = 1,33 и соответственно (х=0,9338; 0,9461, вто -рая и четвертая — соответствуют д“=—10,1°, а=0,8, х=1,25, ц=0,9803; 0,99044. Применение аппроксимационных формул (4) ограничено снизу соотношениями (3) при .Р1 = /''* и сверху зависимостями для скорости У°=1,41 + + 1,7189 0+ У°= 1,36+1,7189 0+, У°=1,33 +

+ 1,3367 0+, Vе = 1,28+1,3367 0+, которые соответствуют по порядку формулам (4), охватывающим практически весь диапазон параметров для сопл ВРД. При одинаковых значениях У° или я° отличие А/, полученных в результате двумерного расчета и по аппрокси-мационным формулам, составляет не более

0,003. _

Функции Л/(я°) построены на рис. 5 для конических сопл с х=1,33, 0=—29°, сг=0,5-Здесь сплошные линии — расчетные зависимости по модифицированной схеме С. К. Годунова, штриховые линии •— по соотношениям (4).

Исследования показали, что форма суживающейся части сопла оказывает значительное влияние на локальные (распределение ста-ческого давления вдоль стенки сопла) и ин-

тегральные (коэффициент импульса) характеристики сопла. Так, коэффициенты импульса осесимметричного сопла с прямолинейными об-рис 5 разующими суживающейся и расширяющейся

части и со скруглением контура в области минимального сечения могут отличаться на 0,5-— 1,0% (в зависимости от угла конусности расширяющейся части сопла). Восстановление давления на стенке за критическим сечением у плоского сопла с прямолинейными образующими суживающейся и расширяющейся частей больше, чем у осесимметричного с такими же углами образующих. Из двух таких сопл, имеющих одинаковое расчетное значение степени понижения давления, коэффифциент импульса плоского сопла больше, чем осесимметичного. Этот результат согласуется с выводом работы [2].

1

12

1Г

ЛИТЕРАТУРА

1. Па в люков Е. В. Номограммы для определения тяги в сверхзвуковых соплах. — Труды ЦАГИ, 1973, вып. 1535.

2. Я г у д и н С. В. Влияние несимметрии плоского сверхзвукового течения на характеристики плоского сопла в статических условиях.— Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. 14, № 5.

3. Идиятулина Ф. Л., Лаврухин Г. Н., Михайлов Б. Н., Тагиров Р. К., Я г у д и н С. В., Расчетные и эспериментальные исследования влияния радиуса кривизны контура в области критического сечения на характеристики сверхзвуковых сопл. — Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. 11, № 4.

4. Крайко А. Н., Тилляева Н. И., Щербаков С. А. Метод расчета течений идеального газа в плоских и осесимметричных соплах с изломами контура. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1986, т. 26, № 11.

5. V a g 1 i o-L а и г i n R. Transonic rotational flow over a convex corner. — J. Fluid Mech., 1960, vol. 9, [N 1.

6. Фалькович С. В. К теории сопла Лаваля. — ПММ, 1946, т. 10, вып. 4.

7. Р ы ж о в О. С. О течениях в окрестности поверхности перехода в соплах Лаваля. — ПММ, 1958, т. 22. вып. 4,

8. К р а й к о А. Н., Соколов В. Е. Об удельном импульсе потока в минимальном сечении сопла Лаваля и в выходном сечении сужающегося сопла. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, № 1.

9. Щ е р б а к о в С. А. О тяге сужающегося сопла. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1983, № 6.

Рукопись поступила 20JX 1983 г.-