Расчет невязких течений в осесимметричных двухконтурных соплах без внешнего потока Текст научной статьи по специальности «Физика»

Т о м X

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

19 79

№ 4

УДК 533.6.011.55

РАСЧЕТ НЕВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДВУХКОНТУРНЫХ СОПЛАХ БЕЗ ВНЕШНЕГО ПОТОКА

А. П. Мазуров, С. В. Ягу дин

Излагается метод расчета стационарных течений идеального газа в осесимметричных двухконтурных соплах с разными параметрами торможения потоков в контурах. В основе метода лежит численное интегрирование нестационарных уравнений газовой динамики, записанных в недивергентной форме. Стационарное решение достигается в процессе установления по времени. Расчет параметров течения во внутренних точках расчетной области проводится при помощи конечно-разностной схемы Маккормака. Для расчета параметров в узлах, расположенных на стенках сопла, используется уравнение радиального равновесия элементарного объема газа. Расчет параметров на границе раздела реактивных струй проводится по формулам произвольного разрыва. Приведены результаты расчетов двух вариантов сопл.

Рассмотрим течение невязкого нетеплопроводного газа в осе-симметричном двухконтурном сопле двухконтурного воздушно-реактивного двигателя (ВРД) с раздельными контурами. Основной характерной чертой течения в двухконтурном сопле в отличие от одноконтурного является наличие двух взаимодействующих потоков газов с различными физическими свойствами. Степень взаимодействия этих потоков зависит от формы проточной части контуров и от отношения параметров торможения потоков в контурах. Сложная структура течения и взаимное влияние потоков друг на друга вызывают определенные трудности при расчете локальных и интегральных характеристик двухконтурных сопл.

В двухконтурном сопле площади поперечных сечений контуров, как правило, имеют одинаковый порядок, и поэтому в численных расчетах необходимо учитывать двумерность течения в каждом контуре. Другим обстоятельством, усложняющим расчет таких течений, является наличие границы раздела двух потоков с разными параметрами торможения, форма которой заранее неизвестна и должна находиться в процессе решения.

В реальных условиях вдоль границы раздела образуется зона смешения, в которой происходит массо- и теплообмен между реак-

тивными струями. Влияние этой зоны смешения на характеристики двухконтурных сопл требует специального исследования. Поскольку в данной работе рассматривается течение идеального газа, эффектами вязкости и теплопередачи будем пренебрегать. Таким образом, граница раздела реактивных струй представляется как линия тангенциального разрыва, вдоль которой осуществляется двухслойное течение газов без перемешивания.

Некоторые особенности двухслойных течений в соплах были исследованы в работе [1] в рамках гидравлической теории. Численные расчеты течений газа в одноконтурных сверхзвуковых соплах со ступенчатым распределением параметров торможения проведены в работе [2]. Расчет двухконтурного сопла с центральным телом выполнен в работе [3] методом установления по разностной схеме Маккормака для случая одинаковых параметров торможения в контурах.

В настоящей работе конечно-разностная схема Маккормака используется для расчетов течения в осесимметричных двухконтурных соплах с различными параметрами торможения потоков. Составленная программа позволяет рассчитывать течения с различными значениями полного давления, температуры торможения, показателя адиабаты и газовой постоянной в контурах. Разностная схема применяется, как и в работе [3], для аппроксимации уравнений газовой динамики, записанных в недивергентной форме. Использование недивергентной формы записи уравнений позволяет значительно сократить время счета до выхода решения на стационарный режим по сравнению с расчетами, в которых используются уравнения газовой динамики, записанные в дивергентной форме. При расчете течений, в которых могут возникать ударные волны, к основным конечно-разностным уравнениям добавляются внепо-рядковые члены, уменьшающие осцилляции газодинамических величин в окрестности ударной волны.

Ниже приводится описание численного метода, включая постановку начальных и граничных условий, и способ нахождения границы реактивных струй. В качестве иллюстрации предлагаемого метода приводятся некоторые результаты расчетов двух вариантов сопл с разными значениями полного давления в контурах.

Численные расчеты выполнены на ЭВМ БЭСМ-6 по программе, составленной на языке ФОРТРАН.

1. Рассмотрим течение невязкого нетеплопроводного газа в осе-симметричном двухконтурном сопле. Оси координат х, г в меридиональной плоскости выберем, как показано на рис.\,а.

Течение газа в двухконтурном сопле разделяется на две области. Область АВСОЕ представляет собой первичный поток в сопле. Область АТвНСВ' представляет собой вторичный поток. В каждой области потоки газов имеют свои, в общем случае, различные значения полного давления, температуры торможения, показателя адиабаты и газовой постоянной. Образующие стенок сопла изображены сплошными линиями Ей, АВ, А' В' и Ей. В случае, когда рассматривается сопло без центрального тела, граница ЕО представляет собой ось симметрии сопла. Граница разделения первичного и вторичного потоков показана двойной пунктирной линией ВС {В'С'). Свободная граница вторичной струи, вытекающей в покоящийся газ, изображена пунктирной линией вИ. В дальнейшем предполагается, что течение в сопле происходит

при сверхкритических перепадах давления, т. е. оба потока газов на выходе из сопла имеют сверхзвуковые скорости.

Основные уравнения газовой динамики, описывающие осесим-метричное течение невязкого нетеплопроводного газа, имеют вид:

Pt + ufx + vfr + p(ttx + vr + -7-) = О,

Щ+иих + Ъиг+уРх~0, ^

Vt+UVx+VVr+J- р, = 0,

здесь и, V — осевой и радиальный компоненты вектора скорости, отнесены к критической скорости первичного потока а41, плотность р отнесена к критической плотности р%и давление р отнесено к *!/>*!, полная энергия единицы объема Е отнесена к ,

Рог-Тог Тг^г

V 1,0 5 6-

0,5

А 1 в

А в

£

6) Рис. 1

XI X

Я

х, г — осевая и радиальная координаты, отнесены к некоторой характерной длине Ь, время t отнесено к ¿/а*,.

Для замыкания системы уравнений (1) используется уравнение состояния совершенного газа:

где *—показатель адиабаты. 58

Уравнения (1) и (2) используются для расчета параметров течения как в первичном, так и во вторичном контурах при следующих граничных условиях:

— на жестких границах ЕЭ, АВ, А' В' и ЕС выполняется условие непротекания, т. е. равенство нулю нормального к границе компонента скорости;

— на границах реактивных струй ВС {В'С') и йН ставится условие равенства статических давлений и нормальных составляющих вектора скорости;

— на левых границах ЕА и А' Е статическое давление удовлетворяет условию = 0;

— на правых границах БС и С'И граничные условия не задаются, так как здесь осуществляется сверхзвуковое течение газа.

Решение задачи находится в новых независимых переменных, полученных в результате отображения физической области течения на внутренность некоторого прямоугольника с разрезом. Применение подобного преобразования позволяет фиксировать расчетную область, граница которой не зависит от формы сопла и реактивных струй, и значительно упрощает расчет параметров в граничных точках.

В настоящей работе для отображения области течения в физической плоскости (х, г) на прямоугольник в расчетной плоскости (Н, т]) используется следующее преобразование переменных:

где г(н1{х, —нижняя граница контура, г(„А) (х, /) —верхняя граница контура; ¿=1 для первого контура сопла, к = 2 — для второго. По линии 71 = 0,5 проходит разрез, соответствующий границе раздела потоков (см. рис. 1, б).

В данном преобразовании используется зависимость от времени границ области течения в физической плоскости (х, г), чтобы фиксировать границу реактивной струи в расчетной плоскости (I, тг)).

Связь между частными производными в старых и новых переменных определяется соотношениями:

(3)

/Э АА

СЛ. 1/5 с/7] 5

« А

д-ц '

(4)

где

А

2 (гв - г„)

дгв _ дгп дх дх

) (2 г;-¿-{-1)]

В =

2 (гв-г„) '

с =

2(гв-гн)

РИФ-тВ^ч-А+ц]

В новых независимых переменных t¡ система (1) принимает вид Р, + + ®РЧ + Р (и5 + Ли,. + Bvn + -Н-] = 0,

+ + в»«, + -у- Pe + -у PT¡ = О, + + + у- РГ1 = о,

Et+u(E + p), + w(E + p\-Cpn + + (£ + />) (и5 + Аил + Bvn + -f) = О,

(5)

где w = Аи 4- Bv + С.

2. В расчетной плоскости (?, t¡) вводится прямоугольная сетка с узловыми точками, лежащими на пересечении линий \ = const, 7¡ = const. Размеры ячеек составляют в продольном направлении и Дтг)Л в поперечном направлении. В общем случае поперечные размеры ячеек Ar¡t в первом контуре и Дт]2 во втором контуре различны. Вдоль разреза ЛС(Л'С') вводится двойной ряд узлов. Во внутренних узлах расчетной сетки система уравнений (5) аппроксимируется при помощи явной конечно-разностной схемы Маккор-мака [4], в которой пространственные производные заменяются разностями вперед в предикторе и разностями назад в корректоре. Производные по времени аппроксимируются разностями вперед. Шаблон узловых точек, используемых в разностной схеме, показан на рис. 1, б крестиками.

Стационарное решение уравнений (5) достигается в процессе установления по времени при tоо. Начальные значения газодинамических параметров и форма границы раздела потоков задаются по одномерной теории в предположении о линейном распределении радиального компонента вектора скорости по сечению контуров. При задании начальных данных используются свои значения параметров торможения потоков в каждом контуре.

Граничное условие на стенках сопла представляет собой условие непротекания, которое можно записать в виде v = ulgbw, где ~ угол наклона образующей стенок сопла. Используя это соотношение между компонентами и и v вектора скорости и комбинируя два уравнения импульсов, можно получить уравнение радиального равновесия элементарного объема газа, примыкающего к жестким границам сопла:

% = 2 (г. - rH) (sin 6да cos Р"2 ■ (6)

Уравнение (6), записанное в конечных разностях, использовалось для расчета давления в граничных точках расчетной сетки. Значения скорости, плотности и энергии в этих точках находились из условия постоянства полной энтальпии и энтропии на стенке сопла.

В случае, когда нижней границей первичного потока является ось симметрии сопла, уравнение (1) имеет особенность типа 0/0 в члене vjr при г = 0. Эта особенность легко раскрывается по правилу Лопиталя, а именно v/r = dv/dr при г = 0. Остальные параметры течения удовлетворяют условию симметрии:

ди dp др дЕ п л

= = -г- = т- =0 приг = 0. дг дг дг дг 1

Принимая во внимание эти соотношения, уравнения движения струй на оси симметрии в преобразованной системе координат можно записать в виде

и( + ии. + -уР1 = 0, ру

Et-^-u(E + p)i+(E+p)(uí + 2Bvn) = 0. •и = 0.

Численное интегрирование уравнений (7) проводится также, как и уравнений (5), по разностной схеме Маккормака.

Расчет границы раздела двух потоков проводится при помощи соотношений для распада произвольного разрыва [5]. Представим границу раздела потоков двойной линией и возьмем на ней двойную точку <3, как показано на рис. 2. По обе стороны границы в этой точке должно выполняться равенство статических

Рис. 2

давлений. Проведем через точку линию, перпендикулярную к KN и возьмем на ней две точки и лежащие по разные стороны от С? на расстояниях /, и /2 соответственно. В точке

параметры течения имеют значения Ух, р,, рг; в точке С?2 — У2, рРг-Обозначим через р давление в точке ф, а через Уп — скорость перемещения границы вдоль линии Q1 Q2. Через Уп1 и 1/я2 обозначим нормальные составляющие вектора скорости в точках С?, и <32 соответственно. В этих обозначениях уравнение газодинамического разрыва имеет вид

М+(Уп-У„,) + М-(Уп-Уп1) = Р1-р2, (8)

где М+ — поток массы через единицу площади, переносимый волной, движущейся вверх от границы; М~ — поток массы через единицу площади, переносимый волной, движущейся вниз от границы.

Выражения для М~ и М+ имеют следующий вид:

где <р (со, /) =

/I

+ 1

X— 1 2

М+= / Р2Р2'^(Р/Р2, *2), при о) ^ 1,

при 0) <[ 1.

(0 +

_ й.(*-1)/2х

На стационарном режиме течения величина нормальной скорости границы V,! равна нулю, поэтому уравнение (8) приводится к более простому виду

М+Уп2 + М-Уп1 = р2^р1. (9)

Подставим в это уравнение выражения для нормальных составляющих вектора скорости

1/л1= I/, 810(0,-6), уп2= у2 вШ (82 - 6),

где 6 — угол наклона границы потоков в точке С}, а Уи У2 и 6,, 62 — модули скорости и углы наклона вектора скорости в точках и соответственно. Разности углов 0! — 9 и б2 — б на каждом временном слое малы, поэтому с точностью до членов порядка Ат)? и Дт)2 можно записать

Уп2~у2( 8,-8).

Подставляя эти выражения в (9), получим формулу для расчета угла наклона границы потоков в точке (2-

е== Р\ Р2 + (м- у1 е,+ м+ у2 е2> (Ю

М~ У1 + М+ V2

Входящая в эту формулу величина давления р в точке (3 интерполируется линейно по значениям давления в точках и С?,.

Граница разделения потоков находится интегрированием:

1—1

П •= Г1 + 2 °'5 6* + 6*+1) (И)

к = 1

Аналогичная процедура используется для расчета свободной границы реактивной струи вторичного контура, вытекающей в покоящийся газ с давлением рн. Только в этом случае в формулах распада разрыва рассматривается одна волна, бегущая от границы внутрь потока.

Параметры течения в узлах расчетной сетки, расположенных во входных сечениях контуров, определяются по формулам одномерной газовой динамики в предположении, что расход газа на входе каждого контура в момент времени ¿п+1 — (п -+-1) М равен расходу газа в критических сечениях контуров в момент времени = пМ.

На правой границе расчетной области параметры течения вычисляются при помощи линейной экстраполяции по соседним точкам слева.

3. Изложенный метод был применен для расчетов полей течения невязкого нетеплопроводного газа в осесимметричных двух-контурных соплах различной формы с одинаковыми и с разными полными давлениями в контурах. Оба варианта расчетов выполнены при одинаковых значениях температуры торможения, газовой постоянной и показателя адиабаты (х=1,4) в контурах.

Двухконгурное сопло с центральным телом было образовано дугами двух сопрягающихся окружностей с радиусами /?ф = 0,15 и /?с = 0,99 и конической поверхностью с углом наклона образующей к оси, равным 10°. Образующая верхней границы первого контура и нижней границы второго контура представляла собой

прямолинейный отрезок, отстоящий на расстоянии 0,8 от оси симметрии сопла. Угол сужения верхней образующей второго контура равнялся 10°. Отношение площади входа к площади критического сечения составляло 3,28 в первом контуре и 1,86 во втором контуре. Расчеты сопла выполнены на сетке, содержащей 41 X Ю узлов в каждом контуре. Стационарное решение достигалось после выполнения 500 итераций, время счета на ЭВМ БЭСМ-6 составляло 15 мин.

Расчет этого сопла был также выполнен при помощи конечно-разностного метода Годунова [5], разработанного в работе [6] применительно к расчетам течений в осесимметричных соплах.

На рис. 3 показаны линии постоянных чисел М и границы реактивных струй, вытекающих из сопла при одинаковых относительных давлениях в контурах р01 = —= 2,0 и /?02 = —=2,0-

Рис. 3

Сплошными линиями нанесены кривые М = const, полученные в расчете по методу Маккормака, пунктирными линиями показаны результаты, полученные по методу Годунова. В большей части течения результаты расчетов хорошо согласуются. Некоторое расхождение наблюдается на входе первого контура и в области над центральным телом, где поток сначала ускоряется, а затем резко тормозится.

В расчетах определялись интегральные характеристики сопл без учета влияния пограничного слоя и неравномерности газодинамических параметров на входе сопла.

Вычисленные значения коэффициентов расхода сопла с центральным телом составили = 0,993 в первом контуре и ¡j.2 = 0,985 во втором. При расчете сопла методом Годунова значения коэффициентов расхода (с корректировкой погрешностей метода, связанных с несохранением полных параметров торможения при гладких течениях) составили: ¡а, = 0,998 и р.2 = 0,983.

Картина течения при разных перепадах давления в контурах показана на рис. 4. Здесь изображены линии М = const, полученные в расчете при />Oi = 3,0 и рт = 2,0. В этом примере более высоко-

Рис. 5

напорная струя первого контура поджимает вторичный поток, что

к уменьшению коэффициента расхода второго контура до величины ц2 = = 0,967. В то же время коэффициент расхода первого контура практически не изменился — р.( = 0,994. Повышение полного давления в первом контуре привело также к возникновению более обширной зоны перерасширения потока над центральным телом по сравнению с предыдущим примером.

На рис. 5 и 6 приведены результаты расчетов сопла, внутренний контур которого представлял собой сужающийся насадок с углом сужения 11° и отношением площади входа к площади критического сечения, равным 1,78. Образующая верхней границы внешнего контура имела угол наклона в сужающейся части 16,7° и угол на-

в свою очередь приводит

0,6 0,8 1,0 1,2 Ц рог1рв,

И

ом

0,91 030

б)

0,86

Иг

\

0,6 0,6 1,0 1,2 1,1 рп/рц,

Рис . 6

клона в расширяющейся части 8,5°, радиус скругления в области критического сечения сопла составлял 0,31. Отношение площади критического сечения первого контура к площади критического сечения второго контура равнялось 1,35. Расчеты сопла проведены на сетке, содержащей 25)<7 узлов в первом контуре и 25X9 узлов во втором контуре. Для получения стационарного решения требовалось 500 итераций, время счета одного варианта на ЭВМ БЭСМ-б составляло 7 мин.

Пример расчета сопла при перепадах давления в контурах /701 = 7,9 и /?02 = 10,6 показан на рис. 5. Сплошными линиями изображены кривые М = const в первом контуре, штриховыми — во втором. Штрихпунктирными линиями обозначены границы реактивных струй. Расчеты этого сопла были также выполнены при других значениях перепадов давления в контурах.

На рис. 6 приведены интегральные характеристики сопла, рассчитанные в диапазоне отношений полных давлений в контурах p02¡p01 = 0,75 -т-1,5. При этом относительное полное давление во втором контуре оставалось постоянным рог = 10,6. Расчеты показали, что потери тяги в сопле зависят от отношения полных давлений в контурах и достигают максимального значения А/? = 0,015 при Pü-JPqv— 1,1—1,2 (см. рис. 6, а). Коэффициенты расхода в контурах также зависят от отношения полных давлений, причем с увеличением отношения рог/рог коэффициент расхода первого контура резко уменьшается, в то время как коэффициент расхода второго контура jx2 изменяется незначительно (см. рис. 6, б). В рассмотренном диапазоне отношений полных давлений изменение достигает примерно 10%, а ц2 достигает 1,5%.

Приведенные результаты показывают, что в двухконтурном сопле, в котором разделение контуров происходит лишь до критического сечения, изменение перепадов давления в контурах может сильно влиять на расходные характеристики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зимонт В. Л. О величине импульса сопла при неравномерных газодинамических параметрах потока. Известия высших учебных заведений, сер. .Авиационная техника", № 2, 1970.

2. П и р у м о в У. Г. Исследование двухслойных течений в сверхзвуковых осесимметричных соплах. .Изв. АН СССР, МЖГ", 1970, № 4.

3. Parthasarathy К., Bozzola R. The computation of steady exhaust nozzle flows by a time-dependent method. „А1АА Paper", N 76-151, 1976.

4. Mac Cormack R. W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering. ,AIAA Paper", N 69-354, 1969.

5. Годунов С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", т. 1, № 6, 1961.

6. Иванов М. Я,, Край ко А. Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. ,Изв. АН СССР, МЖГ", 1969, № 5.

Рукопись поступила ó¡IV 1978 г.

5— «Ученые записки» № 4