CC BY
106
ч,і.- .а1.1 .,
Том V
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И 197 4
№ 1
УДК 533.697.4
РАСЧЕТ СВЕРХЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКИХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СОПЛАХ ЗАДАННОЙ ГЕОМЕТРИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ГАЗА НА ВХОДЕ
Р. К. Тагиров, Ю. М. Шихман
На основе метода характеристик и сеточно-характеристического метода разработана методика численного расчета сверхзвукового течения в плоских и осесимметричных соплах заданных форм при произвольных (неизэнтропических и неизэнергетических) условиях во входном сечении сопла. В результате расчетов определяются картина течения в сопле, силы, действующие в поперечном и продольном направлениях, и потери тяги (импульса) на рассеивание и трение. Силы трения определяются с использованием уравнений пограничного слоя в интегральной форме. В качестве примеров приведены результаты расчета течений в сопле заданной формы при различных числах М равномерного потока, а также при различных неравномерных полях полного давления и температуры торможения на входе в сопло.
При исследованиях прямоточных двигателей со сверхзвуковой скоростью потока в камере сгорания необходимо иметь более полные сведения об эффективности рабочего процесса в элементах двигателя, в том числе в реактивном сопле. Существенными эффектами, влияющими на тягово-экономические характеристики таких двигателей, являются значительная неоднородность (неиз-энтропичность и неизэнергетичность) потока и изменение параметров на входе в сопло двигателя в процессе полета. В работах [1] и [2] получены решения вариационных задач, позволяющие определять оптимальные сверхзвуковые сопла при наличии неиз-энтропичностии и неизэнергетичности потока на входе в сопло. Исследование двухслойных течений газа в сверхзвуковых осесимметричных соплах было выполнено в работе [3]. При этом решалась обратная задача: определение поля течения в сопле по заданному распределению скорости газа на оси сопла. В то же время авторам неизвестны работы, в которых бы решалась прямая задача (определение поля течения и характеристик сверхзвукового сопла заданной геометрии)при произвольных условиях на входе.
Сопла гиперзвуковых ПВРД, вероятно, будут иметь нерегулируемую конструкцию, и поля параметров на входе в сопло будут
2—Ученые записки ЦАГИ № 1
17
изменяться в зависимости от условий полета и режима работы двигателя. Попытки квазиодномерного учета неоднородностей потока на входе в сопла Лаваля были выполнены, например, в работе [4]. Некоторые качественные результаты получены в работе [5]. Однако подобные рассмотрения не позволяют определять, достаточно точно многих важных параметров сопла. Поэтому возникает задача расчета сверхзвукового течения в заданном контуре сопла с учетом различных неоднородностей (неизэнерге-тичности и неизэнтропичности) потока на входе в сопло. Решению ее посвящена данная работа. В последнее время разработаны методы расчета сверхзвуковых течений, отличные от метода характеристик, например, [6] и [7]. Однако применяемые в данной работе методы являются более точными и поэтому ее результаты йогут быть использованы для сравнения с результатами, полученными с помощью других методов.
' 1. Рассмотрим стационарные, автомодельные (нет отрыва
потока под влиянием давления внешней среды), сверхзвуковые течения совершенного газа в плоских и осесимметричных соплах заданной геометрии с произвольным распределением параметров на входе. Во входном сечении сверхзвукового сопла считаем заданными распределения статического и полного давлений, полной температуры и угла наклона вектора скорости потока к оси сопла. Необходимо определить внутреннее поле течения в сопле и все его характеристики, включая продольную и поперечную составляющих сил, действующих на стенки сопла. Рассмотрим течение невязкого, нетеплопроводного газа, а влияние вязкостных сил на характеристики сопл учитываем приближенно, путем расчета турбулентного пограничного слоя вдоль стенок сопла. С учетом сделанных допущений уравнения неразрывности, движения и энергии для неизэнтропического и неизэнергетического потока запишем в виде
Ну ” Р“) д(Уч№) __п.
дх Т ду
ди + V ди . 1 др
дх ~ду Р Ох
дv + v , 1 др
~дх~ ~ду~ ■ + Т ’ ду _
•т2 к р _ //(ФУ
~2~ 1 к — 1 р 11 чт/>
р/?” =/№)•
. Координаты л: и у считаем отнесенными к высоте входного сечения сопла А в плоском потоке (V = 0), или к радиусу верхней стенки на входе в сопло уй в осесимметричном случае (^ = 1), скорости и, V, т = V «2 + ^ и плотность р —к соответствующим критическим значениям, давление р — к произведению квадрата критической скорости на критическое значение плотности, энтальпия// — к квадрату критической скорости. Так как в общем случае критические параметры на разных линиях тока могут быть различными, то для определенности будем считать, что критические параметры для обезразмеривания берутся на линии тока, которая прилегает к стенке сопла, имеющей меньшее значение ординаты. В дальнейшем эта стенка будет называться нижней. Последнее уравнение в системе характеризует постоянство энтропии вдоль
линии тока, а поперек потока энтропия может изменяться и зависеть от ф. Функцию тока <]> определим уравнением
йф = су4 р (ийу — vdx),
где с — произвольный нормирующий множитель.
В качестве основы методики расчета течения газа в сопле используются метод характеристик [8] и сеточно-характеристический метод [9]. Для повышения точности расчетов была сделана замена переменных Р = \пр [10], в дифференциальном соотношении параметров на характеристиках. Это повышает точность аппроксимации дифференциальных уравнений конечноразностными уравнениями и соответственно точность расчета в связи с тем, что коэффициент А перед дифференциалом с1Р изменяется значительно слабее коэффициента а перед йр,
где М — число М.
Составляющие интеграла сил давления в проекции на оси координат Ол: и Оу определяем для каждой стенки сопла с помощью соотношений
После проведения расчета поля течения невязкого газа рассчитываем турбулентные пограничные слои, нарастающие вдоль стенок •сопла. Предположим, что пограничный слой будет определен параметрами линии тока, прилегающей к стенке сопла. Для расчета пограничного слоя используем метод, предлагаемый в работе [11].
С учетом вытесняющего эффекта пограничного слоя, вызывающего изменение давления на стенке, выражения для определения ■силы, действующей со стороны газа на стенку (например, в проекции на ось координат Ох), имеют вид
где & — показатель адиабаты, 0 — угол наклона вектора скорости газа к оси Ох в струйке, прилегающей к стенке.
Коэффициенты потерь импульса сопла на рассеивание и трение !р и £тр определяем выражениями
где /0 —импульс сопла при одномерном расчетном истечении потока, /—импульс данного сопла без учета трения.
. Параметры одномерного потока на входе в сопло определены осреднением заданного поля неравномерных параметров при сохранении массы, импульса и энергии потока на входе в сопло [12].
2. На основе описанного выше метода составлен алгоритм расчета течения в плоских и осесимметричных соплах с односторонним и двусторонним расширениями, с угловыми точками и без них, с произвольными длинами стенок сопл и их формы, а
У
х
И
также с неоднородными полями параметров во входном сечении сопла. Рассмотрим на примере сопла с двумя угловыми точками общую схему расчета течения, принятую в данной работе.
Все поле течения газа в сопле разбивается на пять основных областей (фиг. 1):
I —область ABC, ограниченная линией АВ на входе в сопло, на которой задаются необходимые параметры (полное и статическое давления, полная температура и т. д.) и двумя начальными характеристиками АС и ВС\
II —область разгонного участка ADBC, ограниченная характеристиками АС, ВС и AA'D, BB’D\
III и IV — области ADE и DBE', ограниченные отрезками контуров верхней и нижней стенок сопла АЕ и BE' и замыкающими характеристиками разгонного участка AD и BD и вертикальной линией х = Xd,
V — область EFF'E', ограниченная вертикальной линией х = хо> отрезками контуров стенок EF и Е'Е' и замыкающей характеристикой FF'.
В общем случае длина стенки сопла хтах не совпадает с точкой пересечения замыкающей характеристики и контура стенки лгпер.
Если *тах > л:Пер, то расчет проводим до точки пересечения замыкающей характеристики с контуром стенки. Если же замыкающая характеристика не попадает на стенку, то расчет проводим до хтах.
Расчет параметров в областях I и II проводим методом характеристик.
Расчет параметров в областях III, IV и V проводим сеточнохарактеристическим методом. При таком методе расчета координаты искомых точек заданы в сечении (прямая или плоскость для осесимметричного течения) х — const. Точки распределяются по высоте этого сечения в общем случае произвольно, но в данной работе — равномерно, by = yt — уг+1 = const. Из точек нового сечения проводим характеристики назад, в направлении, обратном движению газа, до пересечения с сечением, на котором параметры уже известны.
Применение сеточно-характеристического метода в данной работе обусловлено стремлением к уменьшению времени счета при сохранении точности вычислений на желаемом уровне, экономии памяти ЭЦВМ [9]. Кроме того, что очень важно, наличие даже слабых скачков уплотнения в соплах из-за влияния стенок или неравномерности параметров на входе в сопло делает затруднительным использование обычного метода характеристик для расчета поля течения в таких соплах. Комбинация же обычного метода характеристик (области I и II) и сеточно-характеристического метода (области III, IV и V) позволяет без осложнений провести расчет сопл со скачками умеренной интенсивности.
При расчете параметров газа в областях III и IV надо задать количество расчетных точек «ш и «iv в сечении х = const соответственно. Тогда количество расчетных точек в сечении х = const
в основной, V области, определяется как щ = йш + «iv—1- Это важный расчетный параметр, характеризующий точность расчета течения во всем сопле.
Для определения погрешности вычислений по расходу Дф и по импульсу Д/ уравнения расхода и - импульса интегрируем по замкнутым контурам, соответствующим границам выделенных областей течения.
3. По описанному алгоритму были составлены программы для расчетов на ЭЦВМ и выполнены расчеты течения в плоских и осесимметричных соплах. Ниже приведены результаты расчетов течения в соплах заданной геометрии при различных числах М равномерного потока, а также при различных полях полного давления и температуры торможения на входе в сопло.
Так как в настоящее время для прямоточных двигателей со сверхзвуковой скоростью потока в камере сгорания больший интерес по ряду причин представляют плоские сопла, то именно для них даны примеры расчета.
Исследованы течения в плоском сопле, имеющем одну угловую точку и равномерный поток во входном сечении М0 = 1,85, k =1,2. Тангенс угла наклона верхней стенки в этом сечении равнялся 0,6045. Контур сопла был получен с помощью обычного метода характеристик при наличии 200 точек вдоль характеристик разгонного участка (см. фиг. 2).
Методические расчеты, приведенные для определения влияния количества расчетных точек на погрешность вычислений, показали, что разработанная методика позволяет получать приемлемые погрешности при довольно малом количестве расчетных точек. Так, например, для указанного выше сопла М0=1,85 при щ = 9 и 39 величины погрешностей по расходу составляют соответственно
0.45 и 0,1%, а распределение параметров в поле течения хорошо согласуется с параметрами, полученными при помощи метода характеристик с 200 расчетными точками на характеристиках. Дальнейшее увеличение количества точек, хотя и повышает точность вычислений, приводит к значительному увеличению времени счета. При проведении расчетов течений с неоднородными параметрами потребное количество расчетных точек несколько возрастает, однако 20—40 точек в сечении л: = const V области достаточно для выполнения расчетов с приемлемой точностью.
Были проведены расчеты течения внутри заданного сопла при изменении условий в его входном сечении для 1,2 и трех значений М0=1,2; 1,85 и 2,4, причем в каждом случае поток на входе в сопло считался равномерным. Полученные изменения линий тока и замыкающей характеристики для рассмотренных значений М0 показаны на фиг. 2. Кривые, обозначенные номерами
1, 2 и 3, изображают линии тока, на которых функция тока ф равна 0,75; 0,5 и 0,25 соответственно. Здесь и во всех рассмотренных ниже примерах функция тока ф изменяется по соплу от нуля, на нижней стенке, до единицы, на верхней стенке. Погрешности вычислений, определенные по уравнению расхода Дф при изменении числа М0 на входе в сопло от 1,2 до 2,4 изменялись в пределах от 1-10~3 до 3,5-10_3. Видно, что при изменении М0 на входе картина течения в сопле значительно изменяется.
Изменение проекций интегралов внутренних сил давления Rx и Ry, действующих на стенки сопла, показано на фиг. 3. Интересным является то, что при изменении чисел М0 в довольно широком
диапазоне при длине сопла х — 37 значение /?у сохраняется примерно постоянным. Соответствующие изменения коэффициента потерь импульса сопла на рассеивание £р приведены на фиг. 4. Видно, что при отклонении числа М0 от 1,85, для которого-
был рассчитан контур сопла, коэффициент потерь импульса на рассеивание изменяется неоднозначно. Так, при М0 = 1,2 и х < 30 потери на рассеивание меньше, чем при М0=1,85, а при М0 = 2,4 потери на рассеивание больше, чем при М0=1,85 по всей длине сопла. Однако при полной длине л:=^87 в достаточно широком диапазоне изменения чисел М0 потока на входе потери импульса сопла на рассеивание очень малы.
В целях иллюстрации были проведены расчеты турбулентного пограничного слоя для одного варианта, когда во входном сечении было число М0= 1,85. Для каждой стенки принималась относительная температура стенки Тш/То= 1, число Прандтля Рг = 0,7, число Рейнольдса Ие = 108, в качестве характерного размера была принята длина, равная 37. Начальные толщины вытеснения для каждой стенки были взяты одинаковыми, &о = 0,014. Изменение коэффициента потерь импульса сопла на трение £тр показано на фиг. 4. На этой же фигуре для случая М0=1,85 даны суммарные потери импульса
сопла = &тр + Пр. Видно, что внутренние потери рассматриваемого сопла достигают минимума приблизительно при хя^бО.
Расчеты при неравномерности полей полного давления р* во входном сечении рассматриваемого сопла проведены для двух полей р*. Остальные независимые параметры во входном сечении (р, Т*, й и другие) будем считать постоянными. Число М в начальной точке нижней стенки М0(ф = 0) было принято равным 1,85 и й= 1,2. На
Фиг. 5
Г
г35
(Г -*
* > Р 3 и
У 4 Г ✓ \ ( г* к
А V / 1 X
А {
К / ►
■ Ь ***
*£т- / ! <Р V
20 50 | \ 80 \
70
15
фиг. 5 представлены распределения чисел М по верхней Мв=М(л:в) и нижней М„ = М(л;„) стенкам сопла (линиями и символами). В правом нижнем углу фиг. 5 показаны также распределения отношений полных давлений р = р*/р1-о на входе в сопло (линиями) и на замыкающей характеристике (символами). В дальнейшем показанные на фигуре поля полных давлений характеризуются максимальными значениями р*тах = (р* /р^=о)тзк = 1, 2 и 3. Расчеты проводились с различным количеством расчетных точек щ. Сплошные линии соединяют ТОЧКИ, полученные при ртах=1, 2 и числе расчетных точек «V == 9 (светлые кружочки) и Яу = 19 (крестики), а штриховые—при /7шах = 3 и числе расчетных точек щ = 19 (темные кружочки) и Пу = 39 (треугольники). Для сравнения приведены распределения чисел М на стенке при равномерном потоке с М0=1,85 во входном сечении (штрих-пунктирная линия). На фигуре показано, что поля полных давлений на входе в сопло иь на замыкающей характеристике хорошо согласуются друг с другом (такое же хорошее согласование может быть отмечено и для распределений энтропийной функции 5(ф) = 1п/7 — &1пр. Изменение количества расчетных точек «у в диапазоне 9 — 39 практически не влияет на точность вычислений распределения параметров газа (в частности, чисел М) вдоль стенок рассмотренного сопла, так как результаты, полученные с разными «у, хорошо согласуются. Изменения интегралов сил давления на стенки и /?у и коэффициента потерь импульса сопла на рассеивание при рассматриваемых неравномерностях полного давления на входе иллюстрируются фиг. 6 (обозначения кривых такие же, как на фиг. 5).
Интересно рассмотреть изменение характеристик сопла, если вместо потока с неравномерными полями на входе иметь поток с осредненными параметрами. Как уже отмечалось выше, осреднение параметров неоднородного потока проводилось с сохранением
9 миф
3- OS 09 оь ог 0
массы, энергии и импульса. Для сравнения было выбрано рассмотренное выше сопло, имеющее на входе неравномерное поле полных давлений /7тах = 3 И Т* = Const.
Для полученного значения среднего числа Моср — 2,415 и £ = 1,2 были выполнены расчеты течения. Результаты расчетов показали, что распределения чисел М вдоль верхней Мв = М (хд) и нижней Мн = М(х„) стенок для осредненного течения (штриховые линии на фиг. 7) отличаются от соответствующих распределений для течения с неравномерным полем полного давления (сплошные линии на фиг. 7). Однако интегралы сил давления и коэффициенты потерь импульса сопла на рассеивание практически совпали.
Результаты расчетов, выполненных нри наличии неравномерных полей полного давления р*тах = 3 и полной температуры Т* = = Г*/Гф=0 (Гшах = 2) на входе в сопло, показали, что поля полного давления, полной температуры (и энтропийной функции) на'входе в сопло (нижние кривые на фиг. 8) и на замыкающей характеристике(крестики)удовлетво-рительно согласуются. Распределения чисел М по верхней и нижней стенкам, проекции интегралов сил давления Rx и Ry, а также коэффициентыпотерь импульсасоп-ла на рассеивание, полученные при/w= 3 и Ттах = 2, совпали с соответствующими величинами, полученными при ртах=3 и постоянной температуре торможения на входе. Полученный результат является естественным, так как анализ системы уравнений, описывающих движение невязкого и нетеплопроводного совершенного газа, показывает, [13] и [14], что при неизменных полях статического и полного давления на входе в сопло изменение поля полной температуры не ФИГ g
изменяет динамических характеристик
потока — давлений, чисел М и импульса потока, а приводит лишь к изменению расходных характеристик потока — общего расхода
и функции <1>. При этом такие параметры потока как плотность,
скорость и температура также изменяются при деформации поля полной температуры во входном сечении сопла. На фиг. 8 в качестве примера иллюстрируются зависимости модуля скорости газа w на замыкающей характеристике от относительной ординаты у = ~(У—У-)/(У+ —У-), гДе .У — ордината точки на замыкающей характеристике, а индексы „ + “ и „ — “ соответствуют верхней и нижней стенкам сопла при различных полях температуры торможения во входном сечении (Т* — const — штриховая линия и 7’шах = 2—сплошная линия) И одинаковых ПОЛЯХ ПОЛНОГО давления />тах = 3. Видно, что при введении неравномерного поля температуры торможения поле скоростей w из почти равномерного трансформируется в неравномерное, причем отношение максимальной величины модуля скорости к минимальной достигает величины, равной 1,49.
Авторы благодарят А. Н. Крайко и В. М. Хайлова за полезные советы и внимание к работе.
1. Шмыглевский Ю. Д. Некоторые вариационные задачи газовой динамики. Труды ВЦ АН СССР. М., 1963.
2. К рай ко А. Н. Вариационные задачи сверхзвуковых течений газа с произвольными термодинамическими свойствами. Труды ВЦ АН СССР. М., 1963.
3. П и р у м о в У. Г. Исследование двухслойных течений газа в сверхзвуковых осесимметричных соплах. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 4.
4. 3 и м о н т В. Л. О величине импульса сопла при неравномерных газодинамических параметрах потока. Изв. вузов, Авиационная техника, 1970, № 2.
5. 3 и м о н т В. Л. Некоторые неравенства, справедливые при неравномерных течениях в сверхзвуковых соплах. „Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 2, 1972.
6. Иванов М. Я., Крайко А. Н„ М и х а й л о в Н. В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. „Журн. вычислит, матем. и матем. физ“, 1972, 12, № 2.
7. Б е р л я н д А. Т., Фрост В. А. Метод расчета плоских сверхзвуковых течений с автоматическим выделением разрывов и ступенчатой аппроксимацией волн разрежения. „Численные методы механики сплошных сред", ВЦ СО АН СССР. т. 3, № 3, 1972.
8. К а ц к о в а О. Н. Расчет равновесных течений газа в сверхзвуковых соплах. ВЦ АН СССР. М., 1964.
9. Верещака Л. П., Крайко А. Н., Стернин Л. Е. Сеточно-характеристический метод расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых двухфазных течений. Сб. „Лопаточные машины и струйные аппараты". М., „Машиностроение”, J972.
10. Годунов С. К. Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Лекции для студентов НГУ. Новосибирск, 1962.
11. Авдуевский В. С. Метод расчета пространственного турбулентного пограничного слоя в сжимаемом газе. Изв АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1962, № 4.
12. С е д о в Л. И., Ч е р н ы й Г. Г. Об осреднении неравномерных потоков газа в каналах. В сб. „Теоретическая гидромеханика". М., Оборонгиз, № 12, вып. 4, 1954.
13. Т а г а н о в Г. И. Выравнивающее действие сетки в потоках жидкостей и газов. Труды ЦАГИ, вып. 604, 1947.
14. Munk М., Prim С. On the canonical form of the equations of steady motion of a perfect gas. Appl. Phys., v. 19, No 10, 1948.
Рукопись поступила 4\III 1973
