Существование излома оптимальной поверхности при трансзвуковом обтекании Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц^И

Том XXII 1991 MS

УДК 533.6.011.35

СУЩЕСТВОВАНИЕ ИЗЛОМА ОПТИМАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ТРАНСЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ

С. А. Щербаков

С помощью метода множителей Лагранжа исследуется течение в окрестности звукового излома стенки, форма которой оптимизируется по интегралу сил давления. Получено решение трансзвукового уравнения в вариациях и определена асимптотика множителей Лагранжа в рассматриваемом течении с особенностью Вальо — Лаурина. Показано, что на основе решения сопряженной задачи можно проанализировать предполагаемую структуру оптимального решения с изломами, контролируя лишь граничные данные, которые следуют из варьирования обобщенного функционала.

Анализ предполагаемой структуры решения в задаче оптимального профилирования плоских или осесимметричных . тел в ряде случаев указывает на возможность существования изломов обтекаемой поверхности. Если в постановке задачи нет ограничения на кривизну стенки или число Маха в потоке (М::; 1), то на стыке варьируемого и неварьиру-емого участков образующей тела существует излом оптимальной поверхности. Этому случаю соответствует, например, построенное в [1] сопло с внезапным сужением и профилированной сверхзвуковой частью. «Дозвуковая» стенка такого сопла фиксирована, а «сверхзвуковая»— находится из решения вариационной задачи по максимуму тяги. Наличие звукового излома стенки (излома, из которого выходит звуковая линия и пучок волн разрежения) в оптимальном решении следует предположить и при изучении общей задачи варьирования как сверх-так и дозвуковой стенки сопла. Аналогичная ситуация возникает при рассмотрении оптимальных конфигураций во внешнем трансзвуковом потоке, так как в локальной окрестности излома стенки течение автомодельно [2].

^метим, что в основном задачи оптимального профилирования решены для сверхзвуковых режимов обтекания [3—5]. В теории таких вариационных задач рассматриваются гиперболические уравнения, и здесь уже значительную информацию о структуре решения чественный анализ распространения возмущений (по характеристикам), которые обусловлены варьированием начальных или граничных данных. Трансзвуковые задачи оптимального профилирования с уравнениями, которые изменяют свой тип при переходе через (линию параболичности (звуковую линию) являются, по-видимому, наиболее сложными. В области эллиптичности этих уравнений при М <1, включая и сверхзвуковые зоны гиперболичности с М >1, варьирование границ приводит к распространению возмущений по всему потоку и, как следствие этого, к непрерывной зависимости решения уравнений в вариациях от полной системы краевых условий.

Рис. 1

Однако прежде, чем решать так называемую «сопряженную задачу» для вариаций газодинамических величин, целесообразно проанализировать предполагаемую структуру оптимальной поверхности на основе локальных "автомодельных решений, которые существуют вблизи особых точек (стыковки различных участков). Это позволяет существенно ускорить поиск оптимального решения прямыми методами и определить его структуру для правильной постановки граничных условий в сопряженной задаче. Решение этой задачи необходимо для контроля условий оптимальности на выбранной таким образом конфигурации тела. В этой связи исследование окрестности оптимального контура со звуковым изломом становится весьма существенным (см. также [6]). В случае гладкой оптимальной поверхности в предельно дозвуковом потоке [7] анализ автомодельного решения вблизи точек стыковки участков поверхности, соответствующих односторонним экстремумам по числу М и углу наклона стенки, позволил [8] провести исследование обратной вариационной задачи, т. е. выяснить, каким функционалам достаточно общего вида рассматриваемая конфигурация доставляет экстремум. Здесь и далее, следуя [8], под односторонними экстремумами понимаем экстремумы, достигаемые на ограничениях по газодинамическим и геометрическим параметрам.

Газ считаем невязким и нетеплопроводным с однородными полными параметрами изоэнергетического торможения во всем потоке. Газодинамические параметры возьмем в безразмерном виде, используя в качестве масштаба скорости V и плотности р их критические значения V*, р*, а для давления р — р*, VI. В плоском_ или осесимметричном случае введем соответственно декартовую или цилиндрическую систему координат х, у и обозначим хо, уо координаты излома. Линейные размеры отнесем к проекции на ось х всей варьируемой стенки.

Окрестность области течения д вблизи звукового излома а стенки показана на рис. 1. Здесь весь поток переходит через скорость звука, пересекая звуковую (штриховую) линию М = 1, так что слева от нее течение дозвуковое, а справа — сверхзвуковое. Из излома а выходит пучок волн разрежения (характеристик с+), который ограничен замыкающей характеристикой аЬ. Часть характеристик пучка (сплошные линии), отражаясь от звуковой линии, попадает на сверхзвуковую стенку ас. Дозвуковому участку образующей тела соответствует отрезок еа.

1. В задаче профилирования обтекаемого тела требуется найти оптимальную поверхность, на которой при обтекании потоком газа достигает экстремального значения функционал

Х = S(p - Ре) yVy'dx.

(!)

Здесь v = 0 в, плоском случае и v = 1 в осесимметричном случае, штрих означает. производную по х на образующей тела, константа ре — противодавление. Во всей области течения Q, фрагмент q которой показан на рис. I. выполняются уравнения неразрывности и потенциальности потока

Li = (cyVpv)x + (syVpv)y = о,

(2)

L2 == (си)у— (sv)x = о,

где s == sin tt, с = cos tt, tt — угол наклона вектора скорости v к оси х.

В общем случае на образующей тела имеем условие непротекания и условия для участков одностороннего экстремума по v и tt

L == (су' — s)v = о, (3)

L" == v° — v — w2 = о,

(4)

Ltt = tt - tt° + ы2 = о.

в последних уравнениях w(x), w (х) — произвольные функции, а и°, — заданные в постановке задачи константы. Исследование оптимальности поверхности с показанным на рис. 1 участком еас проведем методом множителей Лагранжа [3\. с этой целью введем множители — функции л(х, у), ",(х, у), ""О (х), J.t(x), (х) и составим, учитывая (1) — (4), обобщенный функционал

X° = X + S J (AX, + ""L2) + 5 + de. (5)

о

Участки одностороннего экстремума, вне которых = О и у." == о, пока не указываем.

При любом допустимом варьировании, т. е. когда выполняются уравнения (2) — (4), функционалы х° и х совпадают. Поэтому, варьируя (5), получаем

6Х=5 + + $(Х6х+ У6у + У6и + +

О о

1

+ 5 (""°бш2 + ""»бю2) йх 4- [(у\р-ре) + Ьу - 51>""°бх] ; + ..., (6)

. о

у0 == уУрр2(сЛх + эЛу) — СЦу + SJ.tr,

е° == уУри (sЛх — сЛу) + V (с""* + sJ.ty), х = ""их + уУриЛвх + s (си""°)' + (7)

У == + уУриМу - с (си""°)' - уУр',

у == - "" + с""" — syvpu, е == - уУрvЛ - + с""°.

В • (6) 6° — вариация при фиксированных х, у; нижними индексами «—», «+» обозначены параметры до и после излома стенки в точке а; не • выпнсаны слагаемые, получающиеся в результате варьирования части

Q

границы öQ, которая не совпадает с образующей тела; в (7) введено обозначение ß = -у М2 — 1.

При варьировании '1.° в (5) применена формула Грина, которая связывает интеграл по площади Q с интегралом по границе öQ. Поскольку в общем случае эта формула справедлива для непрерывных на öQ функций, то требуется специальное выделение окрестности излома а, в котором 'газодинамические параметры имеют разрыв. С этой целью введем новые координаты х, у и независимые переменные 'У, £; у, 1 по формулам

х = (х — хо) cost)o_ + (у — уо) sin 1 = xy-, у = (хо — х) sin + (у — уо) cos £ = ху-п.

Здесь n = 5/4 — показатель автомодельности решения [2]. В этих переменных звуковой линии соответствует постоянное значение £ = £., а замыкающей характеристике аЬ — 1 = t+ = tg (t)o+ + сх+), где сх — угол Маха. Вырежем в области Q подобласть q,

криволинейным треугольником, образованным линиями £., /+ и прямым отрезком у = е, Тогда на границе öq

непрерывны, и варьирование с использованием формулы Грина в области

Q/q

е

бх. = Н (/,уШ — /211) б°и + (/, Vl1 — /2У'руЛ) 60t)o] dy +

о

í*

+ 5 [(ü1160t)o + yvpß2M°u) s — (yvpuM°it + l16°ü) Я e"d£ +

о

+ H (S.yvPß2^ — S211) ßOv + (£,«11 — £2У'руЛ) ßot)o] dy, (8)

e

где s = sin (it — с = cos (it — it_), Ii = I+s — c, /2 = /+с + s,

£i = nl.y"-1- — С, £2 = n£.-i/n-' + £ = £+ соответствует точке пересечения отрезка у = e С характеристикой /+.

Обозначая проекции перемещения на соответствующие координатные оси через б у, б£ и 6/, выразим вариации в фиксированной точке границы öq

бОу = 6v — «у6у — v,6£ = 6v — Vy6y.

Согласно приведенным решениям в [2, 91, иу— у-1/2, y-'/4 на линии £ = const, Vy ity у-|/3 на характеристике и 1. Поэ-

тому в (8) первый, второй, третий интегралы имеют при ограниченных (см. ниже) множителях Л соответствующие оценки e2/;,-J е3/4, 81/2 и lim бХе = О.

Таким образом, варьирование функционала (5) не вносит дополнительного слагаемого в выражение (6) из-за нефиксированного положения звукового излома стенки.

Правую часть (6) можно проверить подстановкой подынтегральных функций (5) в формулы [3]. Из (6) имеем условие трансверсальности:

Хбх + Убу + V6v + e6it = 0. (9)

Условие (9) выполняется, если приравнять нулю коэффициенты перед произвольными вариациями бх, бу, би, б^ Тогда из (7) получаем систему уравнений, которая линейно зависима. Это отражает произвол в выборе вариаций оптимальной стенки. Для того чтобы получить

линейно независимую систему уравнений, следует зафиксировать направление, в. котором перемещаются точки образующей при варьировании. Выбирая направление по нормали к стенке и обозначая приращение бп, имеем, бх. = — s6n, бу = сбп и из (7)

N = ""utJ-' — (Ури)'Л ^ (и""°)' . + cyvpuu'. (10)

Здесь штрихом обозначена производная вдоль образующей тела. Равенство (10) заменяет Х и У в (7), поэтому вместо первых двух слагаемых в (9) войдет N6«. При получении (10) ■ использовались уравнения (2) в локальной системе координат /, п

U" = yVputJ-" = — (yVpu)^. (11)

В рассматриваемой точке , области течения (слева направо) ось l направлена по у, а ось п — перпендикулярно вверх. В этой системе координат ■ уравнения V° = О и 6° = О из (7) преобразовываются к виду

= ""„, у"роХп = ""/. (12)

Сопряженная задача для множителей Лагранжа состоит из уравнений (12) с краевыми условиями (начальными данными) на стенке, которые следуют из (9), (10). Если на еас нет участков одностороннего экстремума, т. е. """ == О и ""tI == О, то из равенств , V = 0, 0 = 0 и N = 0 получаем

"" = — syVpu, ""„ = — yvpfJ2(cu)',

(13)

Л = — си + ' Ло, Лп = — (syVpu)'j(yVpv),

где Ло = const. Учитывая (11), убеждаемся, что функции (13) удовлетворяют уравнениям (12) (см. также [3, 10]). Множитель = = yVp(eu — Ло), поэтому из условия равенства нулю последнего слагаемого в (6) находим

Ло = [(р — Ре + ' pu2)c]:t/[pv]:t.

■Подчеркнем, что при варьировании образующей ■ еас точки участков еа_ и а+с перемещаются, как уже отмечалось, по ■ нормалям, а точка а излома «растягивается» в недостающие отрезки стенки так, чтобы обеспечить ее непрерывность и сохранить (с точностью до линейных членов) величину угла между касательными слева и справа.

Если дозвуковая стенка совпадает с участком односторонннего экстремума по tt, т. е. еа_ — отрезок прямой, наклоненной к оси х под углом tJ- = tJ-_ = tJ-°, то условия (13) для."" и Л? _сохранятся, а Л и ""„ на стенке зависят от ""tI

у*ри(Л + си)' = c(""tI)' , и= c""tI — ^риЛ,

""« = yvcp P2(J1 — и').

V у'ри /

(14)

На еа функция ш(/) = О и бш2 > О, поэтому в зависимости от того имеет Х. максимум или минимум множитель ""* в (6) должен быть отрицательным или положительным.

Если сверхзвуковая стенка совпадает с участком одностороннего экстремума по и, т. е. а+с — свободная линия тока, на которой V = и+ = = и0, то для сопряженной задачи получаем на этой линии граничные условия

д'"" + р-2 ""„ = О, с""" = "" + у^, у>Л + ""0 = О, = (с""и)' - (у^'ри.

Множитель так же как и должен быть положительным, если 6х > О (минимум), и отрицательным, если 6х < О (максимум).

2. В главных членах искомое решение задачи (12), (13) вблизи звукового излома одинаково, как в плоском так и в осесимметричном случае, аналогично решениям [2, 9]. Поэтому рассмотрим только плоский случай.

Поскольку решение достаточно получить для одного из множителей, то, дифференцируя первое уравнение (12) по п, а второе — по I, исключаем смешанную производную л.,«, и в трансзвуковом приближении (с точностью до членов первого порядка по т ('1'} — 'I'}-) и т (и — 1)) осуществим переход в (12), (13) в плоскость годографа скорости

Здесь т J1, -о = const, граничные данные (17) заданы на стенке, образ которой в плоскости годографа определяется функцией т = т.(т|) (штрих означает производную по аргументу). Эти данные совместны лишь на полукубической параболе т| = (_i)2 — образе характеристик с±, если решение т (т, т|)1= т + -о. В этом случае вся область течения рис. 1 вниз по потоку от характеристики аЬ сжимается при отображении в полукубическую параболу, т. е. вблизи оптимальной стенки реализуется сверхзвуковое течение типа простой волны.

В дозвуковой области течения характеристик нет, поэтому задача (16) (17) имеет лишь простое решение т0(т, 1]) = т + -о. В силу аналитического продолжения это решение (точнее, решение (13) ) необходимо существует во всей области Q до- и трансзвукового течения. Условия (17) совместны на любой линии т.(т|), однако для доказательства оптимальности рассматриваемой конфигурации необходимо согласовать решение с граничными данными на оставшейся части dQ. Это позволяет исследовать предполагаемую структуру оптимального решения, не решая сложную краевую задачу для J1 и л., а лишь анализируя граничные условия, которые следуют из варьирования обобщенного функционала (5).

Если слева к излому а примыкает участок одностороннего эктре-мума по 'I'}, то на нем вместо (17) имеет место условие т(О, 1]) =-о-Выясним, существует ли отличное от тО решение уравнения (16) при этом условии и течении типа простой волны справа. В плоскости переменных т, i| окрестность звукового излома показана на рис. 2. Здесь

[8, 11J .

тлч — — -jp тл = 0,

т = т,(г|) + -о, -irn'1 + т|тх = 1],

(16) (17)

t м

е а

ггттттптттттт

о

Рис, 2

дозвуковой стенке соответствует отрицательная ось точка излома а «растягивается» в полукубическую параболу а_а+ с уравнением 31: = 2т]З/2, а область Ьас на рис. 1 сжимается в другую полукубическую параболу Ьа+с с уравнением Зт2 + 2^3 = 4^+, где — значение ^ в точке а+ На а+Ь из (17) имеем граничное условие m = т + То.

Введем автомодельную переменную £ = 1 — (4/9) ^3/т2 и представим искомое решение в виде m = 1:2*А(£) + 'т° = {(1:,^) + т°, где k = const— показатель автомодельности. Функция f так же как и m удовлетворяет уравнению (16), но имеет однородные условия на участках границы еа- и а+Ь. После подстановки в (16) получаем гипергеометрическое уравнение

(1 — £)^" + [7/6 — 2/г —(3/2 — 2k)h' — — 1/2)h = О. (18)

Плоскость годографа т, ^ двузначна по £ так: что одному значению £ соответствуют две симметрично расположенные относительно оси ^ линии. причем на выходящих из начала координат характеристиках £ = О. на положительной и отрицательной оси соответственно, £ = — 00, + 00, на звуковой линии (положительной оси 1:) £ = 1. Если рассмотреть еще характеристические переменные е± = т ± (2/3) ^2, то ç- = £ = О на а_а+ hç+ = 2т+' = (4/3) на а+Ь. Поэтому однородные граничные данные для функции f имеют вид '

Л( + оо) = 0, Дб-, 2т+) = 0. (19)

Искомое решение задачи (18), (19) ищем в виде суммы частных решений, каждое из которых при определенном (своем) k имеет в сверхзвуковой области' вид

h(£) = F (—k, 1/2 -k; 7/6 — 2k; £), О < £ < 1. (20)

Другие линейно независимые частные решения уравнеиия (18) не рассматриваем, поскольку они на линии | = О равны нулю и имеют особенность из-за сомножителя с нецелым показателем степени. В дозвуковую область (£^ 1) решение (20) продолжаем аналитически с помощью формул

-+B,£kF(—k, k — 1/6; 1/2; £-') + B^-^ F(l/2 — k, k + 1/3; 3/2;

£-') ;

в- ^+1/6)] .

В2 == -М7Г6-Г +1/6)1 .

Из этого выражения видно, что для выполнения . граничного условия

(19) при £. = + 00 необходимо выбрать к = 1/3 + п, п = О, 1,2.....

При таких к получаем ряд, который аппроксимирует искомое решение

т(1:, л) = 26ЛШ- (21)

к

Коэффициенты определяются с помощью второго условия (19) и равны нулю, так как это условие однородно. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно переписать (21) в независимых переменных е-, е+, приравнять = 21:+ и разложить в степенной ряд по учитывая, что эта переменная близка к нулю.

Таким образом, задача (18), (19) имеет тривиальное решение, поэтому и в' случае, когда слева от излома а расположен

участок одностороннего экстремума по '6, функции (13) определяют решение уравнений (12) с граничными данными для "" и из (13). Из (14) тогда имеем .. const, и = c .. ® + yvpv(cv — А.о). Последнее слагаемое в (6) равно нулю, если

[(р - ре + pv:l) С] + yS(С)_ = Ло[р^]

Рассмотрим случай, когда дозвуковая стенка еа нефиксированна, а оптимальная поверхность с изломом определяется по действующему интегралу (1), на ее сверхзвуковом участке. Приведенные выше рассуждения и выкладки во многом повторяются, однако задача (18), (19) для неизвестного множителя Лагранжа т(т, содержит уже неоднородное второе условие. Здесь на а+Ь функция f равна константе т_ =1= Эта константа равна коэффициенту указанного выше степенного ряда по g- (все остальные коэффициенты равны нулю). Поэтому, сравнивая коэффициенты, находим, например, с точностью до линейного члена g-

Ь 173 - 7Гт+2/3т_ , 64/3=-л-т+8/3т_.

Аналогично вычисляются все коэффициенты в (21), если учитывать члены более высокого порядка g-, т. е. рассматривать все более расширенную окрестность точки звукового излома стенки. Согласно [2] линия_ £ = const в физической плоскости имеет уравнение х g 5/4, где х и у определены в п. 1. При стремлении вдоль этой линии к излому главным членом ряда (21) становится функция Ь ,/3f Поэтому, учитывая приведенные в п. 1. асимптотики для газодинамических параметров, получаем на произвольной линии £ при т +0

.. т 2/з Л g '/2 х 2/5.

Первые две асимптотики здесь также показывают, как изменяется множитель Лагранжа непосредственно в самом изломе стенки при трансзвуковом расширении потока в пучке волн разрежения. На прямолинейной дозвуковой стенке множитель =1= cortst и имеет асимптотику

Полученное решение показывает непрерывность газодинамических параметров в окрестности звукового излома, что подтверждает, в частности, разработанный в [1] численный метод профилирования сопла, в котором не предполагалось возникновение ударной волны, ограничмпаю-щей пучок волн разрежения.

Наконец, если справа к излому а примыкает участок одностороннего экстремума по и, то подстановка .. из (13) в (15) показывает, что и в этом случае нефиксированного излома функции (13), удовлетворяя граничным условиям (для любого и°), являются решением уравнения (12). Так же как , и с участком одностороннего экстремума по '6 слева доказывается единственность решения ш°(т, и, следовательно, (13). Отличие здесь заключается в том, что второе однородное условие (19) ставится на выходящей из точки а+ прямой = при т ^ т+. Из (15) получаем = О, Л = — и°с + 1.о и = — yVpX где рО = р(иО). В этом случае б х = а константа А.о аналогично определяется из равенства нуля последнего слагаемого в (6), как и без участка одностороннего экстремума.

3. Выше отмечалось, что локальное решение задачи (12), (13) позволяет проанализировать предполагаемую структуру оптимального решения, исследуя лишь граничные условия сопряженной задачи. Проиллюстрируем это на примере выбора оптимальной конфигурации головной части плоского тела, обтекаемого трансзвуковым потоком с отошедшей ударной волной, рис. 3. Здесь в силу симметрии течения ■

Рис. 3

Рис. 4

относительно оси х показана только верхняя его часть; контур головной части тела oahb содержит излом в точке а, из которой выходит звуковая линия аg'и пучок волн разрежения. Головная ударная волна fge имеет интенсивность прямого скачка в точке / с монотонным ослаблением ее до точки е, соответствующей параметрам набегающего потока. Если число Маха в набегающем потоке М« или скорость ие лишь на: немного превосходит единицу, то изменением завихренности за ударной волной как величиной третьего порядка малости можно пренебречь, и поэтому справедливы уравнения (2). Рассматривая ударную волну как часть границы дф, из условия равенства нулю коэффициента перед произвольной вариацией угла ее наклона к оси х получаем на fge

Решение (13) не удовлетворяет этому равенству, поэтому согласно проведенному выше исследованию отрезок оа необходимо рассматривать как участок одностороннего экстремума либо по углу '6, если есть ограничение (4), либо по х в силу габаритного ограничения. В последнем случае оптимальный контур содержит вертикальный отрезок оа (см. также [5]). На участке одностороннего экстремума остается лишь одно граничное условие (13) для ц, второе же для ц заменяется на неравенство и рассматривается как условие оптимальности, которое проверяется после решения сопряженной задачи.

При разделении зависимых. переменных равенство (22) для ц преобразовывается в граничное условие, выставляемое на ударной поляре fge в плоскости годографа скорости, которая показана на рис. 4. Это условие является линейной функцией относительно ц, .. и ц,г На остальной части границы дозвуковой области течения и на эпициклоиде а_а°а+ согласно проведенному выше анализу ставится условие Дирихле, которое вместе с условием на дозвуковом участке поляры определяет единственное решение в трансзвуковой области /оа_а°^. По этому решению проверяется условие оптимальности на оа_ и находится граничное условие на эпициклоиде ga° для решения задачи Гурса в области ga°a+h. После решения задачи Гурса определяется значение ц на эпициклоиде gh, которое вместе с условием на сверхзвуковом участке ударной поляры позволяет определить единственное решение в криволинейном треугольнике ghe.

В силу аналитического продолжения функции (13) не являются решением указанной краевой задачи вблизи профилированного участка стенки оНЬ, поэтому здесь реализуется течение типа простой волны сжатия так, что область а+Ме сжимается в эпициклоиду в плоскости годографа. Только в этом случае граничные условия на контуре ahb и приходящей

(22)

в точку Ь характеристике не переопределяют сопряженную задачу для множителей Лагранжа. Отметим, что решение этой краевой задачи подтверждает и корректность ее постановки, и оптимальность показанного на рис. 3 контура головной части, которая примыкает к полубесконечному телу с образующей, удовлетворяющей уравнению ^ = (т^)2. т) = (ti)2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крайко А.Н.Тилляева Н.И.Щ

интегральных характеристик и формы профилированных контуров сопел Лаваля с «плавным» и с «внезапным» сужением.—Изв. АН СССР МЖГ., 1986, № 4.

2. V а g 1 i о - L а u г i п g R. Transonic ^аЫопа! flow оуег а convex согпег.— J. Fluid Mech.

3. Теория оптимальных аэродинамических форм./Под ред. А. Миеле.—

М.:

4. Шм ы г л е в с к и й Ю. Д. Некоторые вариационные задачи газовой динамики.— М.:

5. К райк о А.Н.Вариационные задачи газовойдинамики.— М.: 1979. '

6. райк о А, Н. Вариационные задачи газовой динамики, постановки, методы решения, соотношения точных и приближенных подходов.— В кн.: Проблемы современной механики. Ч. 1.—М.

7. Ще р б а к о в С.А.Расчет головнойили кормовой части плоского тела, обтекаемого' дозвуковым потоком с максимально возможным критическим числом Маха.— Ученые записки ЦАГИ, 1988, т. 19, № 4,

8. Ще р б а к о в С. А. Решение вариационной задачи профилирования головной или кормовой части плоского тела при обтекании с максимальным критическим числом Маха.— VI Всесоюзный съезд по теор. и прикл. механ.:

9. Е с и н А. И., Ч е р и о в И. А. О построении равномерно пригодного решения в окрестности звукового излома образующей тела вращения.— В KIt.: Аэродинамика, Вып. 4(7). Саратов: Саратовск. гос. ун-т, 1975.

10. Б о р и с о в В. М. Ши п и л и н А. В. О соплах максимальной тяги с произвольными изопериметрическими условиями.— Прикл. матем. и механ. 1964, т. 28, вып. 1. , ,

11. Н и к о л ь с к ий А. А. Уравнения в вариациях плоских адиабатических газовых течений./Сб, теор. работ по аэродинамике.—М.'.

1957,

Рукопись поступила /0//V 1990 г,