CC BY
25
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 1982
М 2
УДК 533.6.011.35:629.7.025.73
ТРАНСЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ИЗЛОМА ПРОФИЛЯ СО СВОБОДНОЙ ЛИНИЕЙ ТОКА
В. Н. Даесперов
В работе получено асимптотическое разложение решения системы уравнений Эйлера, описывающее течения в окрестности точки излома профиля со свободной линией тока, когда в ней достигается скорость звука. В качестве главного члена этого разложения берется автомодельное решение уравнения Кармана с показателем автомодельности « = 6/5.
Рассматривается точка излома на поверхности тела, образованная пересечением двух гладких кривых АО и ОВ (рис. 1). Предполагается, что скорость набегающего вдоль АО потока идеального газа дозвуковая и в точке О достигается скорость звука. Известно [1], что в некоторой окрестности звуковой точки все характерные особенности течения описываются уравнением Кармана. Оно допускает класс автомодельных решений с показателем автомодельности п [1]. В случае прямолинейной образующей АО решение уравнения Кармана, удовлетворяющее на ней условию непротекания, можно продолжить различными способами, приемлемыми с физической точки зрения, в область, лежащую за точкой О. Требование о том, чтобы оно переходило в окрестности положительной оси х в решение, описывающее течение Прандтля — Майера, приводит к спектру значений п = == (6/ — 1)/(6/ — 2) (/ = 1, 2, 3, . . .) [2, 3] и значению п — 2. Главное значение спектра п = 5/4 впервые было найдено в работе [2]. Если п — 2, то возмущения из сверхзвуковой части потока достигают угловой точки О вдоль предельной (^-характеристики [4]. В настоящей работе ставится требование, чтобы решение уравнения Кармана в области за угловой точкой описывало в ее окрестности течение со свободной линией тока ОВ (см. рис. 1), на которой скорость постоянна и* равна звуковой. Это требование приводит к
Рис. 1
спектру решений при п — 6//(6/ — 1)(/=1, 2, 3, . . .). Главное решение реализуется при п = 6/5. С использованием его строится решение системы уравнений Эйлера для задачи обтекания точки излома профиля со сходящей с нее свободной линией тока.
Набор „идеальных" решений интересен также с точки зрения теории вязких течений, так как общая проблема единственности решения уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа до сих пор не решена. Описанные выше „идеальные" решения (кроме случая п — 2) имеют благоприятный градиент давления, стремящийся к бесконечности при приближении к угловой точке. Выбор необходимого из ряда возможных невязких решений с бесконечными локальными градиентами давления проводится с помощью разработанной в последнее время асимптотической теории отрывных вязких течений [5 — 7]. Отрыв несжимаемой жидкости от угловой точки контура тела в рамках этой теории был исследован в [8].
1. Рассмотрим сначала обтекание точки излома профиля, когда образующая АО прямолинейна. Введем декартову систему координат (х, у) с началом в точке О, ось х которой совпадает с АО, и систему координат Мизеса (х, Ф). Далее через цх и <7у обозначим проекции вектора скорости на оси х и у соответственно, р-—плотность. В качестве характерных значений всех параметров потока берутся их критические значения. Термодинамические переменные связаны уравнением состояния идеального газа. Набегающий поток считается безвихревым. Ниже все параметры течения и уравнения, их связывающие, предполагаются безразмерными. Они берутся в виде
*>Мх--±-гп — Г).
дх дф ‘ дф ’
д$у дду да
си
здесь у-—отношение удельных теплоемкостей.
Обозначим через *ох и компоненты возмущенных скоростей ъу — ду. Окрестность угловой точки О, в которой
1 ух I ^ Ь \ 4°у \ ^ 1» обозначим через 6. Требуется найти такие
решения системы (1) в области в при ^>0, чтобы:
а) при ф -* 0, х < 0 удовлетворялось условие непротекания
Уу = 0;
б) при Ф 0, д: > 0 скорость потока была равна звуковой
<1+гд* + ®* = 1.
В области О систему уравнений Эйлера (1) и краевые условия „а“ и „6“ можно упростить и в первом приближении представить в виде
_ П V) V Л?Х_ , _ о х_ _ о /оч
и + и дг дх + ^ дх ^ —О, (2)
+ о при Ф 0, х < О, (3)
их 0 при -Ь 0, х > 0. (4)
9
Рис. 2
Система уравнений Кармана (2) обладает классом автомодельных решений
= vy = Ф3"—3So(Е). е = .■■■ ■ •
Т '() Y
Если через 9 обозначить потенциал, скоростей, то ср == *рЗл—2 Для определения функций /о(£), &)(£), фоО) получим обыкновенное дифференциальное уравнение
(ф'о - п2'?) + 5я (л — 1) £Фо — 3 (я — 1) (Зя - 2) ф0 = 0. (5)
Если теперь перейти к фазовым переменным
= ,==|п1М.
то уравнение второго порядка для функции /0 сведется к уравнению первого порядка
d4T — 6F— 5nW + 6^2 -f 7 Fff + ¥2
a?/7 ~ (ns-fjy ’ ^
Уравнение (6) имеет четыре особые точки А (0, 0), В{0, 1), С[п2, —/г(/г + 1)] и D[n2y —6п(п—1)] в конечной части плоскости (F, W) и три особые точки, лежащие в бесконечности—-В, <5, Q. Поведение интегральных кривых уравнения (6) и расположение особых точек на плоскости (F, ЧР1), отображенной сначала на полусферу, а затем на круг, показано на рис. 2 при п = 6/5.
2—„Ученые записки" № 2 17
Точка Л является узлом при всех п и на физической плоскости соответствует оси х. В ее окрестности интегральные кривые ведут себя как
/2 \ I 3 13/2 :
(4г+<г]=ч^/;'+'г1 +•••• <7>
Точка В является седлом. Достижение точки В по кривой с отрицательным наклоном соответствует переходу к течению Прандт-ля — Майера. Точки С и О лежат на предельной линии Е = п?. Нижняя из них всегда будет седлом, верхняя — узлом. Они соответствуют предельным характеристикам, выходящим из точки О. Особая точка 6 является седлом. На физической плоскости она соответствует оси у, на которой достигается скорость звука. Ускорение потока при этом бесконечно. Особая точка Е является аналитическим узлом. В ее окрестности интегральные кривые бесконечно дифференцируемые. На физической плоскости она соответствует оси у. Точка С2 является узлом, одной из осей которого является предельная линия. При приближении к точке <3 ускорение потока стремится к бесконечности. При ф -+■ 0, х < 0, т. е. при 5 ->—оо, асимптотическое поведение решения уравнения (5), удовлетворяющего граничному условию (3), имеет вид
/
Ф0 = А0 (- 03~2/Л-(ая-^УСЯ~1) Д2(_ 5)3—4/я 4__ (8)
Решение (8) назовем симметрическим и обозначим через Кх' Оно соответствует условию СА —0. При х > 0, т. е. при
5 --»• + оо, асимптотическое поведение решения (5), удовлетворяющего (4), будет следующим:
Ф„ В„ + 4- ~3) +. . .. (9)
Решению (9) в (7) соответствует значение Сл = со. Назовем его антисимметрическим и обозначим через К2. При п — 4/3 кривая становится прямой 4? =—3/2/7 и попадает в точку О. При всех п£( 1, 4/3) кривая /С1(Е< 0) проходит через точку Е. При п > 4/3 она попадает либо в точку (2, либо в точки С или О. На основании теоремы Брио и Буке в работе [9] было доказано, что существует единственная интегральная кривая /С1(/г<0) при я = 2, проходящая аналитически через эти особенности и точку Е. При 2, пройдя точки О и Еу кривая К\ достигает точки С. Далее, можно с разрывом второй производной попасть в точку А по кривой К2(Р>0), но скорость V будет при этом положительной.
Таким образом, задача (2) —(4) свелась к задаче отыскания таких значений я£(1, 4/3), при которых симметрическая кривая К1(Е<0)у выходящая из точки <4, достигала бы сначала точки Еу в ней переходила бы аналитическим образом в кривую /С2(Г< 0) и по ней обратно возвращалась в точку А. При таком движении вертикальный компонент скорости всюду отрицателен.
Разрешимость такой задачи удобнее всего исследовать в плоскости годографа. Уравнения (2) можно обратить и в результате для функции тока ф == (1 -Ь т)13ф получить уравнение Трикоми [1].
Требуется найти такие его решения Ф>0 в области « = (1+^)1/3Х X ъх < 0, у = ъу<0, чтобы удовлетворялись условия
Ф = 0 при =а 0, (10)
Ф = 0 при м = 0. (11)
Решение этой задачи будем искать в виде
~ ^^У* ^)* ^ 1Р*» 1 — 6(п-1) '
Функция Z^JІ С) удовлетворяет высшему гипергеометрическому уравнению. Одно из его линейно-независимых решений, удовлетворяющее граничному условию (10), имеет вид
ь = о? V (- 4- в»)'"'* Г (-/ + -у + ±, ±; с»), о;жо. (13)
Аналитическим продолжением решения (13) в окрестность
и = 0, ^ < 0 будет
+ —У ч---------2“» —^ т*’ ^)] ’
_ Г (3/2) Г ( 1/3) _ Г (3/2) г (1/3) .
£*11 ---- “ ” 1 /Л\ тГ> • т с, ,ЛЧ * £>12
Г (— / + 1/2) Г О' —|— 2/3) ’ Г(_у + 5/6)Г(/+ 1},
(14)
здесь через Г (а) обозначена гамма-функция, а через Г (а, р, х)~ высшая гипергеометрическая функция. Отсюда следует, что решение (14) будет удовлетворять граничному условию (11), если£12 = = 0. Вспоминая, что я£( 1, 4/3), получим
>=./ + -§-, « = /-0,1,2,....
Таким образом, получился спектр значений п, при которых решения уравнения Трикоми удовлетворяют граничным условиям (10), (11). Обозначим их через ф,. В силу линейности задачи ее
решением будет также любая линейная комбинация фш — X! Ф/ •
1—0
Главный член в сумме Фщ соответствует значению /==0, п = 6/5. В области О течение всюду дозвуковое, поэтому якобиан отображения в области годографа и < 0, г><0 всюду отличен от нуля.
Обратимся теперь к решению с п = 6/5 и найдем связь между постоянными Л0 и Д) в разложениях решения (8) — (9). В плоскости годографа решение при /1 = 6/5 имеет вид
а
Г „.2
(*)
Используя теперь (8) — (9), сразу получим
Форма свободной линии тока дается уравнением
у = 4 рт в0 х™ х>0, Р = (1 н- т)-1;
Интересно отметить, что уравнение свободной линии тока (16) получается таким же, как и в случае обтекания точки излома несжимаемой жидкостью [8, 10].
2. Рассмотрим теперь решение уравнения Трикоми, представленное в виде
¥ =Ф» + ь©*’ + §,- + ФП; (17)
здесь — малый параметр, ^ дается формулой (13) и при ^ = 0, й<0 обращается в нуль. Функция Ф/а) определяется с помощью второго линейно-независимого решения гипергеометрического уравнения для 2Г(/, ч):
ур{—;, -У+4-, 4
. г~~і і
’ " 1
При 'У = 0 функция ф{а)^гО. Решение (17) взаимно однозначно отображается на физическую плоскость и дает решение системы уравнений Кармана. Структура функций $5) позволяет утверждать, что при достаточно малом существует некоторая область Е(и, ъу еу), принадлежащая сегменту и<0, ^<0, в которой I ф0| |Ф/1 * Решение системы уравнеийй Кармана (2), соответст-
вующее решению (17), будем искать в виде
Г./»
рі
Фр,(5)|- (18)
Члены в разложении (18), объединенные в первую сумму, соответствуют решению (17) с Они являются малыми добав-
ками к основному решению Ф8/5Ф0(!)- Так как отображение плоскости годографа на физическую плоскость взаимно однозначно, то существует область О^. с О, в которой члены в разложении (18),
связанные с ф/ .являются малыми добавками к основному решению. Функция ФР/(5) является решением однородного дифференциального уравнения
(-1-м;) - [4-(2р, - -у-) 5 + Фо] ®;,+р,(р, - о ф„,=о.
(19)
В отличие от Фр. функции Ф^ и ФР1 удовлетворяют неоднородным уравнениям (19) и являются их частными решениями. При
*!> -> 0, *<0, т. е. при £ -*■—ос, асимптотическое поведение компонентов скоростей %)х И будет иметь вид
% = АЦ (- г) • (- 5)«^ 4 -
Р) = - "Г Р/ (- р*)6 " +
+ 4- (Ро -1) л^> (-рЛ)'і‘<р"2Ч +..
©у. р. = ву
•§■ Р) [р> - 4) * (^’"2,4> +
<20)
Положим теперь в решении (17) постоянную £)/а) = 0. На физической плоскости это соответствует тому, что <р будет определять симметрическое решение. Найдем теперь по решению (17) поведение ъх в окрестности образующей АО, которая совпадает при £)/а) = 0 с отрицательной частью оси х. Используя формулы перехода от плоскости годографа к физической, в окрестности АО получим
(“ «)■
4*>)
1/3
(—л;)1'3
4Ї/3 3/—7/6
ЗУ + 1/2 ф<*>)Ж/2
(— х)*-1/2 + •
Сравнение с (20) позволяет определить связь между показателем р; в (18) и значением параметра у в (17). Второе линейнонезависимое антисимметрическое решение уравнения (19), связанное с постоянной А^ в (20), соответствует в плоскости годографа В результате получаем
Рі
(2У + 1).
(21)
Аналитическое продолжение решения (17) в окрестность « = 0, ^<0 позволяет исследовать поведение линейно-независимых решений уравнения (19) в зависимости от значения параметра рОно имеет вид
4 = Ф0 + V» \{ВП йТ + В22 £>5“»] (- СГ Р(- /• + 4-, -/ + -§- , 4-; ■с) +
+И*,г12 + о}‘,)в,,]/г(-у, -/+4-, с)}>
где Вп и Вп даются формулами {И), а
„ Г (I/2) Г (1/3) „ . .. Г (1/2) Г (— 1/2) /от
#21 — 7 рг 7 рГ , #22 “ 7 рр • ^
г(-у+-т)г(/+т) г<-Лг('+т)
При ф->0, я>0, т. е. при |-^4-оо, асимптотическое поведение решения Фр (Е) уравнения (19) аналогично (20)
фр. (?) = в{р. ет ^+4“} (/>г 1} + — ' (23>
Решение уравнения (19) при 5^- — оо и А^ = 0 назовем симметрическим слева, а при 5 -► + оо и 5^=0 — симметрическим справа. Если же £ -»• — оо и — О, то решение назовем антисим-метрическим слева, а при £-*-Н-оо и Вр] — 0—антисимметрическим
справа. Будем говорить, что решение уравнения (19) принадлежит классу (5 -► 5), если симметрическое решение слева переходит в симметрическое решение справа. Точно также определяются классы (5 А), (А 5) и (А ->• Л). Решение принадлежит классу (5
-*5 4-Л), если симметрическое решение слева переходит в линейную комбинацию симметрического и антисимметрического решений справа. Аналогично понимаются классы (5 4-Л->-Л),
(Л-5 +Л).
Обратимся теперь к формуле (22) и рассмотрим случай, когда &\$) В\ъ 4* 0\а) Вгх — 0. На физической плоскости это соответствует Фр. £ (5 4- А -*■ А). Последнее равенство будет выполняться, если
5,2 = 0, £>(/” = 0, &Р ф О, либо 5„ = 0, =0, й^фО. Эти урав-
нения и соотношение (21) вместе дают
/>,. = -§-(3/+ 4), —§-(2/4-1), (/=0,1,2,...), Ф,уС(5-А); (24)
1
Р^Щг’ = (/ = 0,1,2,...), ФР£(А~А). (25)
Далее положим в (22) равным нулю коэффициент
Ви + В,а ОТ' = 0. (26)
На физической плоскости это соответствует случаю + ^ 5)- Равенство (26) будет выполняться, еслиЯц—0,
= 0, О^фО, фО, либо В„ = 0, ор =0, В{рфО. Отсюда
и из (21) получаем
/»,= -!-(/+1), />,= -^М(/ = 0, 1, 2, ...),
^.= 4-(2/ + 1), Л=-§-(2/-1)(/=0,1,2, ...), Ф,уе(А-5).
(27)
Функции Фр.(1), принадлежащие спектру (24), являются собственными решениями задачи (2) — (4). Связь между постоянными Ар} и В(р] задается формулой
Таким образом, в этом пункте статьи изучено поведение фундаментальных решений уравнения (19) в зависимости от значений параметра рПолученные соотношения будут использованы ниже при рассмотрении краевой задачи „а“ и „б“ для системы уравнений Эйлера (1).
3. Ее решение в области С/ будем искать в виде разложений
= Г’5/о (Е) + £' “7* (5), гг, = .р &,({) + £ Ч,Р*~' (У- (28)
Л = 1 А—1 •
Они так же, как и решение (18) краевой задачи (2) — (4), содержат две группы членов. Первая группа, возникающая благодаря нелинейности задачи, состоит из членов с показателями Ръ — **8/5 +2/5 Л (£—1,2,3...); вторая —из собственных решений задачи (2) — (4), каждое из которых дает произвольную постоянную в разложениях (28).
Подставляя (28) в систему (1), получим уравнения для определения функции /А и gk. Они имеют вид
-4 !/«/*] + (/’*-!)£*—г5-Ж-[(л-т)л—
Правые части Рки Рк2 зависят от функций /0, gь и предыдущих приближений. Для удобства исследования введем функцию Ф и в ее разложении возьмем следующие члены:
ф „ ф8,5 ф0 (5) + фВДб Ф1 (Ё) + ъ ф + ^14/5 Хз ф +- (29)
Функция потенциала (18) для системы уравнений Кармана начинает отличаться от разложения (29) со второго приближения. Для определения Ф^!) получаются уравнение и краевые условия
Симметрическое решение слева однородного уравнения (30) принадлежит классу (5^5 + А). Если не положить его равным нулю, то невозможно удовлетворить второму граничному условию, которое должно выполняться на свободной линии тока ОВ. Поэтому в качестве решения уравнения (30) берется его частное решение. Оно имеет следующее асимптотическое поведение:
tfi + О [(— £)-5/3], £ °°»
^ + 0(?-5/2), £-+оо;
здесь аи Ьх — постоянные, зависящие от А0.
Функции второго приближения х2у Л» ё2 находятся из уравнений
(ж «2 -ф;) й - (-1-5 +ф;) й+ж * -
— Р21
^ ® f 1 . X422 Хс~аГ“Г
lim ф7;5 g2 = 0, Urn ft [2^Хг + Wfbfx -f ё1\ = I
'ji^-0, дг<0 <L-vO, .*>0 j
Симметрическое слева решение однородного уравнения (31) принадлежит классу (S S). Асимптотическое поведение Ха (£)♦ удовлетворяющее первому граничному условию, дается формулой
/л —•
Чтобы удовлетворить второму граничному условию, необходимо ПОЛОЖИТЬ Вг):$ — — В^(40).
Для отыскания х3, /з» £з будем иметь
(-1-52 -®;)й - (-§-6 +ф;)й+¥х.■- рз.-[4
^32 _ р ^ _ <*Хз „ __ 14 б , £*Хв , п . ■
^ *32» /з— ^ 1 £з — “5— Хз 5 5 £ Ц|32>
Иш ф9 5 g3 = 0, 11т ф8''5 [2р/3 + р2 (/2 + 2/0/г) + 2^0 ^1 = 0.
^->0, *<0 ф-*0, .*>0
Симметрическое слева решение Хз принадлежит классу (5->Д) и является собственным решением задачи (1), „а“ и „б“. Выпишем его асимптотическое поведение
Уравнение свободной линии тока, вычисленное по найденным приближениям, имеет вид
у=>--f Р1'2 в, л| р5» [в$5 + 4- So] ^ + ■ ■ ■ ■
4. Рассмотрим случай обтекания точки излома, когда образующая АО задается уравнением у = f{x). Считается, что в области G функция f{x) раскладывается в ряд Тейлора
00
+ ^2<0.
ft=0
Чтобы удовлетворить условию непротекания на АО, необходимо в разложение (29) ввести члены yf>l^pl{\) с показателями Рг = (6/5)/5 (^ = 1, 2, ...). Функции 1(.р1 с такими показателями принадлежат спектру (25), a £ (Л Л). Это означает, что симметрическое слева решение нужно положить равным нулю.
В заключение автор благодарит С). С. Рыжова за обсуждение статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гу дер лей К. Г. Теория околозвуковых течений. М., Изд. иностр. лит.. I960.
2. Vaglio-Laurin R. Transonic rotational flow over a convex corner. „J. Fluid Mech.*, vol. 9, N 1, 1960.
3. Есин А. И., Чернов И. А. К вопросу о локальном течении вблизи выпуклого угла. Аэродинамика. Межвузовский научный сборник, вып. 6(9). Изд. Саратовского ун-та, 1978.
4. Диесперов В. Н. Трансзвуковое течение разрежения в окрестности выпуклого угла. ПМ.М, т. 45, вып. 4, 1981.
5. Нейлаид В. Я., Сычев В. В. Асимптотические решения уравнений Навье— Стокса в областях с большими локальными возмущениями. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1966, № 4.
6. Н е й л а н д В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, № 4.
7. Сычев В. В. О ламинарном отрыве. „Изв. АН СССР, МЖГ*,
1972, № 3.
8. Рубан А. И. О ламинарном отрыве от точки излома твердой поверхности. „Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 2, 1974.
9. Лифшиц Ю. Б., Рыжов О. С. Об асимнтотическом типе плоскопараллельного течения в окрестности центра сопла Лаваля.
ДАН СССР, т. 154, № 2, 1964.
10. Akkerberg R. С. Boundary-layer separation at a free stream line. Part L Two-dimensional flow. „J. Fluid Mech,1*, vol. 46, pt. 2., 1970.
Рукопись поступила 26jfX 1980 г.
