О некоторых решениях уравнения Кармана, описывающих обтекание точек излома профиля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том XV

19 84

№ 2

УлК 533.6.011.35

О НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЯ КАРМАНА, ОПИСЫВАЮЩИХ ОБТЕКАНИЕ ТОЧЕК ИЗЛОМА

ПРОФИЛЯ

В работе построено решение уравнения Кармана при обтекании точки излома профиля со свободной линией тока, когда дозвуковая образующая задается по произвольному степенному закону. Изучен также случай, когда кривизна дозвуковой образующей точки излома обусловливается толщиной вытеснения пограничного слоя при его взаимодействии с внешним потенциальным течением Вальо— Лаурина.

Рассматривается обтекание точки излома профиля, образованной пересечением двух гладких кривых АО и ОЭ (рис. 1, 2) потоком идеального газа. Предполагается, что в ней достигается скорость звука. Если кривая АО является отрезком прямой, то существует два автомодельных решения уравнения Кармана, описывающих течение в окрестности точки излома. Они реализуются при значениях показателя автомодельности п — 5/4 [течение Вальо — Лаурина (рис. 1)] [1] и п — 6/5 [течение со свободной линией тока

В. Н. Диесперов

ОВ (рис. 2)] [2, 3]. Искривление линии АО по степенному закону заставляет рассматри-

/У<7

д

Рис. 1

Рис. 2

вать высшие приближения к указанным решениям. Однако существуют такие значения показателя степени тк, что невозможно обычным способом удовлетворить всем граничным условиям. Ниже будут рассмотрены два случая: /га*>3/2 для п = 6/5 и /я* < 8/5 для п = 5/4. Последний возникает в задаче об взаимодействии пограничного слоя с внешним потенциальным течением Вальо — Лаурина [4, 5]. В результате взаимодействия толщина вытеснения возмущенного пограничного слоя создает дополнительное искривление линии АО по закону (Cj \x\mi In |x|+c0\x\m') Re-,/2 + ... (Wj=2/5, Re — число Рейнольдса) [4].

Введем декартову систему координат (хОу), ось х которой является касательной к АО в точке О. Кривую АО зададим уравнением

.У='вс0(—*)"* + ■'■ • (1)

(г — некоторый малый параметр).

Обозначим через ® потенциал возмущенного течения, а через vx и vy проекции возмущенной скорости на оси х и у соответственно. Потенциал <? удовлетворяет уравнению Кармана

h дх дх* ^ ду*

Здесь 7 — отношение удельных теплоемкостей. Трансзвуковое

обтекание угловой точки при п — 6/5, я = 5/4 описывается реше-

нием

9 = <?0 + sb + ...=y3n-?f0(l)-{-zypfp#)-\-..., 5 = (1+"i/3JT- (2)

Потенциал возмущения ур обусловлен искривлением линии АО, значение р определяется из условия р=.(т— 1 )га+ 1. Функция/р(1) удовлетворяет дифференциальному уравнению

K(fp) = («2-/;)/;- [(2p-n-i)r&+r0]fp + р(р-1)/,=о. (3)

Асимптотическое поведение решения /р(£) при Е-^ + ОО

fp = Df e(pS) + D(pA) ef = (~%)T +D{pA){-tyr + ...,1^-Ж-

f _ n(S) JS) n(A)JA) —

Jp — Up вр -Г Up ep — (4)

= («, D(PS) + Sp D(pA)) r + (lp Df + D(A)) If + . . .;

V sp> lp> Pp — const, E ^ + oo.

Через e{p \ e(p} обозначены фундаментальные решения уравнения (3).

При п = 6/5 должны удовлетворяться условия vy -> -* гтс0 (— х)"1-1 + . . . при л<0, у-* 0 и 0 при л: < 0, у -* 0.

Показатели v = pjn, i = (p — 1)/л. Однако существуют такие значения /га = /ий, при которых удовлетворить второму граничному условию (на свободной линии тока ОВ) невозможно [3]:

2£ -{- 3 6//i£ 1 /1 1 о \

mk = —, Pk=—------------- (ft—1, 2, ...)»

так как ар^ = 0. Чтобы устранить это, воспользуемся обычным

приемом и представим решение уравнения Кармана в виде

Разрешимость задачи удобно исследовать в плоскости годографа и =» (1 +т)1/3®*:> У = ‘0Г Функция тока Ф в ней подчиняется уравнению Трикоми. Область течения в физической плоскости отображается в плоскости годографа на область и<0; г><0. Решение уравнения Трикоми, соответствующее решению (5) в физической плоскости, можно представить в виде

Здесь % = (1иъ — решение, соответствующее решению о(|)

[2, 3]. Функция /;(г) удовлетворяет гипергеометрическому уравнению

4 Ху (г) — однородному уравнению £(ху-) = 0, общее решение которого в окрестности V = О, и < 0 имеет вид

Фундаментальные решения в}А), В(/} соответствуют в физической плоскости фундаментальным решениям е(рА>, е<,5).

Аналитическое продолжение (7) в окрестность и = 0, ?> < 0 дает

Здесь Г (а) — гамма-функция. Когда д = 5/6р6 — 1/2 = к + 5/6, величина а. =0. Случай /^А) = 0 соответствует ф = 0 при и = 0,

Г\ ^ ^

и< и и и = 0, v<^0. Поэтому в качестве решения уравнения

Ф = Фо + е[ру1прхДг) + р///(г)], Р = ^2 —§- и3, 2

9

6 / <1г

(/ + 4-)/,-

(6>

(8)

Л1 — Г(| +ЛГ(5/6-У)’ / г (3/2) Г (-1/3)

Г (3/2) Г (1/3)

7— Г (1/3 —у')Г (1/2 + У) ’

Г (1/2) Г (1/3)

Г (3/2) Г (-1/3) „ _ Г (1/2) Г (-1/3)

; г (2/3 -Ь У) г (1/2 — у) ’ Р; Г (у + 1 /6) Г (— у)

/,('// ) = 0 возьмем X/ Тогда решение неоднородного

уравнения (6) можно представить в виде

/,- = - (4Л + 1/3) [6^> /, (г) - б£> /2 (2)] + о£> 0£> + б£>;

г

г в<'4)е<5) г е^5»

1 (2) = .) ^/2(! М2)~і ^І/г/і^^І/З^' (?)

Из (9) видно, что требование

ОК’ = -(4/. + -г)/,С1)Л!

.(5)

4

позволяет удовлетворить граничному условию на свободной линии тока Ф = 0 при и = О, «у<0. При х<0, у -+ О потенциал <?р (5) ведет себя следующим образом:

4= Т- <- *Р)тР*1п<- х$)вРи +^*(-^)тР* +

+зч-*ют(р*“1)яй,+...

£)(л)==__5^1?т‘1-^) ^ р = (1 + т)_1/3.

Связи между постоянными В{р£, Вр*\ '0{р* и В^р, 0\А), £>}5> даются формулами:

5 I , о 5

, 3 + О 6 Р* —

д<5)___ , л____________________н ® ^ /?^ і___________ ** п_________.

°РЪ + 25рл (Ърк - 2) ' ’ 1 6 Рк 2 ’

~ [“ (т.+ Т *"») + > (-Ї)+ т(Т - йУ] +

РЬ 5 „ 1 5 „ , 1 *

3 6 рк 6^6 РЬ+ 6

При взаимодействии пограничного слоя с внешним потенциальным течением Вальо — Лаурина (п = 5/4) возмущенная толщина вытеснения пограничного слоя изменяет кривизну линии АО, что обусловливает при х < 0, у ->• 0 краевое условие

Ъу = Є [с11п (- х) + с0] (— х)~3/5 + 2 &к (х)(- х)

тм-1

к= 2

Г>л 1/0 _ 7 — 6& ,, , г, ч

е = Ие-1/2, = ^--, рк=2—— (к= 1,2,...).

(Ю)

Потенциал возмущения Ф1/4, порожденный граничным условием (10), должен при х > 0, у С описывать течение типа Прандтля — Майера [1].

При п = 5/4 в разложении (4) показатели V = (р — 1 )/(п + 1), т = = р1{п—1). Течению типа Прандтля—Майера отвечает асимптотика 5’ при £ ->• + оо. Если АО описывается уравнением (1) с т=тк, то / =е„ — 0 в (4), и никаким выбором постоянной нельзя

‘ Ь ‘к к

получить течение типа Прандтля — Майера. Это нетрудно показать, если опять, перейти к плоскости годографа. Как уже отмечалось, фундаментальным решениям уравнения Кармана

в плоскости годографа отвечают решения 6/5), 0/Л). Их аналитическое продолжение в окрестность г = оо (Г~ — характеристики уравнения Трикоми) дается формулами:

= Д;. г-/-16 + е, г' 6<л> = *у г-*-'* Р, + ь & Гг-

= + , + Т’ 2у + т: 2-1

_ о Г (3/2) Г ( 2/ — 1/6) (. . 3)

Г (1 /2 — У) Г(5/6 — у) е0ьМ/ +

п Г (3/2) Г (2у + 1 /6)

1 2 Г (1 + У) Г (у + 2/3) Ш ^ 1

х -2±Ш*к^Ж&1пки+113)

Y■j — Z г(1 /з—у)г(—у) §штси+1/'5;.

о. —о Г(*/2)Г(2у + 1/6) | 1/ч\

Г(У+ 1 /2) Г (у + 1 /6) С08ТС(У~Г

Течению типа Прандтля — Майера в соотношениях (11) соответствуют члены, пропорциональные Рх. Если АО задается

уравнением (1) с тфть, то решением задачи будет

Ф = Фо + (г) = Ф0 + ц) \йр Ъ)5) + 0{;А) ву*>], Д<Л) Ф 0;

= о.

Первый член ф0 соответствует В физической ПЛОСКОСТИ у71*/,о(£) в (2). Он может быть получен из (7), если положить В{А) = 0, /= 2/3. Однако при т = тк коэффициенты х;., обращаются в ноль. Это

означает, что при рк = (7 — 66)/4 и ф(А^фО) решение, со-

ответствующее течению типа Прандтля — Майера получить невозможно. Аналогичная ситуация возникает, когда граничным условием является (10) и уравнение имеет вид

у = - хУ‘5\п(— + С0) (-*)2/* + . . .

Будем искать решение поставленной задачи в форме ? = ?0 + е?1/4 + • • • = У714 fО (Ч) + У^1/4 [®1/4 № у + Хщ In У + /1/41 + . . • . (1 1)

Функции Ф1/4, Xi/4> /t/4 удовлетворяют уравнениям

АГ(Ф1/4) — 0, ^'(x1/4)=55®v4 + ?i/4, 1

5 1 (12) Klfi, 4) = Т^/4 + Т*>/4-2Фш. I

Разрешимость задачи можно также, как и в случае л = 6/5, исследовать в плоскости годографа. Решение уравнения Трикоми, соответствующее при j = —1/3 решению (11) в физической плоскости, имеет вид

<]) = Фо + e?J [In2 рФ j + In РХ;- + fj\,

L (Ф;) = 0, L(Zy)=-^ + -i-)®y, L (fj) = ^2j + Ху 2Фу.

Однако найденные в конечном итоге соотношения, оказываются громоздкими, а функциональные связи между постоянными в решениях получаются в неявном виде. Поэтому в первом приближении, когда спектральное число mx = 2j5, удобно поступить следующим образом. В работе [6] было найдено точное решение для функции /о(£) в параметрической форме

— 1)_7/8(7<2—140£ + 160)/21; >

? = <*(* — 1)-Б/8(*_8/5), 1</<оо, = const. J ( '

Производя замену переменной в уравнении (12), получим

А/ (Ф1/4) = (^ — I)2 Ф1/4 Ч- —-1) Ф1/4 — Ф1/4 = 0. (14)

Фундаментальными решениями (14) будут

= (t- 1Г1/8, e\fl = (f - 1)3/8.

Первое из них е[^1 описывает течение, удовлетворяющее условию симметрии vy — 0 при х < 0, .у-*-.0 . (/> 1),. и течение типа

Прандтля — Майера при л:;>0, у-+:0 (t -+ 00). Поэтому в качестве

решения (14) возьмем

Ф14==ЛШ(*-1Г18. (15)

Уравнение для функции yA/i(t) получится следующим:

N{Xw) = ±A($rl{t-\)-v%{4-i), (16)

Оно интегрируется и его общее решение есть

*1/4 = [аі% 1п7^-- 2ЛЙ-+ Щіі-ІГ1* +

+ ^ А\% атсіШ /СТ] (г1 - 1 )3/8.

Чтобы удовлетворить граничному условию при $ -* + со, необходимо положить

д(<4)_ 4* .(5)

; Т"

(18)

Уравнение для функции /1/4 имеет вид

ЩЪ/4) = ^і/4 Г1 V ~ 1 )“,/8 (4 - і) 1п +

+ (£$ _ 2А $) Г1 (і - 1Г1/8 (4-^-4- А$ Ґ1 (1 Зі - 16) (і-1Г1/8 +

+ -і- Г1 (Зі - 4) [і -4- arctg \г~\ ] (і - І)3'8. (19)

Его решение можно представить следующим образом:

Л/4 (о=4- -1 >~1/81п2 т=т+[4- ^1п т=т+4Л1$1п і

, X (* - 1)"1/8 - ЯДО [-4 (* - 1)1/2 (-£- - агсі&УГГТ ) +

+ -4 (агс^ —=-)’ - « + 4- 1п *] (* - 1 Гив -

{ос

| 3 1п —■ 1) , 4-і , І

X

/4/3

*(* — 1)3/2 <~1 — 6 (t — 1 )-V2 in (/ — 1) —12 (і - І)-1'2 J {t— 1 )3'8 -

arctg |/F=T + 4- arctgУ1”1 ] (* ~ ^ (< - ])~1/8 +

+ 4- E$\ j(l - 4" arctS V* — 1 ) In J~4 + 4" J

In

dt X

* - 4П 71 J t(t_ 1)1/2 _ J J

X (t - 1)3/8 + M/1 (t— 1)-1/8 + D[fi (t - if8. (20)

Граничное условие при \ -* -f- oo (t -+ оо) требует, чтобы

В\Г< = ^1-6* + Ц +

OO

'.=1

J

In

t*

t - і

■dt.

(21)

2—«Ученые записки» № 2

17

+

(22)

Подставим найденные решения (15), (17), (20) в (11). При наличии связей (18), (21) потенциал (11) удовлетворяет условию (10) и описывает при х > 0, у -> 0 течение типа Прандтля— Майера. При х < 0, у -* 0 будем иметь

? _ 33/5 57/5 Г1 ^7/5 (_ д.^8/5 + £ 116/25а\% (— Х^)1/5 1П2 (— X?) 4

+ -1 (- дер) 1п (- *Р) + (- л:р)1/3 +

+ 4" Ь\11у (- *РГ3/51п (- х$) + 4$ у (- хр)“3/5 +...};

= (4- ь[$ = (-|-^)35Мм’,

М?4> = (4 й)",/5 [я® - 2Л($ - 4 Ш (4 а) аЩ ,

- (4 ^)~1/5 [# 1п2 (4-а)~ -т ^ ~ 2А^1п [та.

+ £><$-Я$4 2 ЛI/]] ;

*й> = (4 а)315 [- 41п (4 а) в® + т - 4 4 А\11 + в®

/, = ?[■ 4~'з/2 1п/^+--1П]Ч21)1^

2 Д *((—1)3/2 *~1 (*-1)3/2 ]

1

Граничное условие (10) будет выполнено, если положить

с=4- (гзв до, - гвд [4 ДО’ >” р+“»’] •

При д: > 0, у 0 получим

*'- 4- уШ +'‘ {■1г •Л® У«'у (■Г + + и- Дй?,« ш У (^-)~’,а ш (А) + 4 У" ш ,вю> (^)"я +

+У'3 [4г )"и ш* (^)+4-ада ш (-^)+

+о!г1(^-)"‘я ]}+.... (23)

Коэффициенты в разложении (23) связаны с коэффициентами в (22) следующим образом:

дда_(4-),'>“ай, в№ = (-!-)1'5 «*'15 {-4-а«1 ш л + [-1- + -I-1„ (4- а)] и® + ей’},

В новых обозначениях связи между постоянными (18), (21) примут вид

Для следующего спектрального числа т2 — — 4/5 также можно произвести аналогичные вычисления, однако получающиеся формулы очень громоздкие и здесь не приводятся. Так как s = Re~1/2, то разложение (22) теряет смысл на расстояниях порядка 0(Rea), a = — 5/12 -j- 5/3 (In In Re/ln Re). Это означает, что в окрестности угловой точки О возникает неоднородная область с характерным размером

A*~0(Re-5/I2ln5/3Re).

ЛИТЕРАТУРА

1. Vaglio-Laurin R. Transonic rotational flow over a convex corner. — J. Fluid Mech., i960, vol. 9, N I.

2. Д и e с п e p о в В. H. Об одном решении уравнения Кармана, описывающего обтекание выпуклого угла.— ДАН СССР, 1980, т. 254,

№ 6.

3. Диесперов В. Н. Трансзвуковое обтекание точки излома профиля со свободной линией тока.— Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XIII, № 2.

4. Диесперов В. Н. Об обтекании выпуклого угла трансзвуковым потоком газа. — ПММ, 1980, т. 44, вып. 1.

5. Бойченко В. С., Лифшиц Ю. Б. Трансзвуковое течение около выпуклого угла. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. VII, № 2.

6. Ф а л ь к о в и ч С. В., Чернов И. А. Обтекание тел вращения звуковым потоком газа. — ПММ, 1964. т. 28, вып. 2.

Рукопись поступила 2/VII 1982 г.