О вариационной задаче профилирования кормовой части тела, обтекаемого с максимальным критическим числом Маха Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том XXIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

1992

№ 4

УДК 533.6.011.35 629.7.015.3

О ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ПРОФИЛИРОВАНИЯ КОРМОВОЙ ЧАСТИ ТЕЛА, ОБТЕКАЕМОГО С МАКСИМАЛЬНЫМ КРИТИЧЕСКИМ ЧИСЛОМ МАХА

С. А. Щербаков

Методом множителей Лагранжа исследуются функционалы общего вида, которым плоская или осесимметричная конфигурация с экстремальной (состоящей из прямолинейных отрезков и криволинейного участка, на котором число Маха М = 1) образующей доставляет максимум. Условия оптимальности доказываются решением сопряженной задачи для одного из множителей в плоскости годографа скорости. Получено автомодельное решение трансзвукового уравнения в вариациях.

1. Рассмотрим обтекание безграничным дозвуковым потоком плоского или осесимметричного тела, образующая которого состоит из двух полубеско-нечных прямых еа и df и криволинейного участка ad кормовой части (рис. 1). Проекции кривой ad на оси х и у декартовых или цилиндрических координат равны х° и у° — yd. Газ считаем идеальным (невязким и нетеплопроводным с однородными полными параметрами в потоке. Модуль v вектора скорости v и плотность р — безразмерные величины, причем масштабами служат соответствующие критические значения у. и р.; Ф — угол наклона вектора v к оси х.

Имеем вариационную задачу: при заданных ограничениях числа Маха М < М° = const и угла = const в области Q непрерывного потенциаль-

ного течения с границей 3Q, состоящей из дуги окружности радиуса R оо и контура тела eabcdf (см. рис. 1). Требуется построить образующую кормовой части с фиксированными ординатами концевых точек and так, чтобы удор-

Рис. 1

летворить габаритным неравенствам О^дг^х0, уа^у^у° и обеспечить максимум функционалу, который, не ограничивая общности, запишем в следующем виде:

й

X=\[f{v,o,д,x)y' + g{v,o,■(^,y)}dx. (1.1)

а

Здесь и ниже: (, £ — дифференцируемые функции, штрих означает полную производную по х вдоль образующей тела и о = v'.

В области ^ выполняются уравнения неразрывности (V = 0; 1 соответственно в плоском и осесимметричном случае, «знвтФ, с=нсов#) и потенциальности потока:

и = (с^ри), + (5у',ру)у = 0, (1.2)

1ч =5 (су)у — (яи), = О, (1.3)

На контуре еаЬсй$ выполняются условия непротекания и ограничения по V, Ф и у:

I = (су' — э) и = 0, (1.4)

и = V0 - V - 02 = 0, I* ж Ф - 0° - а2 = 0,. и = у° - у - е2 = 0, (1.5)

где а(х), Р(дс), е(х)— произвольные функции. Ограничение М^М° заменено на первое равенство (1.5), учитывая, что М — функция скорости и V — 1 при М = 1.

Следуя методу множителей Лагранжа [ 1 ], составим функционал, учитывая соотношения (1.1) — (1.5):

Х° = ЗС + + \и2Ь2)йхйу + $(ц£ + и + цТ" + цо^йх.

где ці (х, у), Ц2 (*, у), Ц (х), (Iу (х), ц° (jc), р\х) — неопределенные множители, причем последние три отличны от нуля соответственно на участках контура ab, Ьс и cd.

Пусть б — первая вариация, связанная с изменением контура тела. В результате варьирования образующей abed проекции на ось х и у перемещения какой-либо точки соответственно будут 6х и б у, а возмущения газодинамических параметров в ней равны 6v и б#. Наряду с б рассматриваем вариации б°и, 6°д при фиксированных х, у и §v, б#, 8у — при фиксированной переменной интегрирования х вдоль контура. Как показано в [1], для этих вариаций (например, v) ВЫПОЛНЯЮТСЯ соотношения 6v — б°У -(- Vxbx -j- Vyby, bv = 6v -(- v'bx.

Вводя признак v° = 0; 1 соответственно вне и на ad, объединяем линейные интегралы в выражении для Вариации бх° и бх совпадают при любом допустимом варьировании контура abed и параметров течения, т. е. когда выполняются уравнения (1.1) — (1.5). Варьируя таким образом обобщенный функционал х° и собирая коэффициенты при одинаковых вариациях, получим:

«X = 5$( V*б°у + Є* б°-д) dxdy -(- ((V06°у + в0б°#)Rdu> +

Q і

і .

+ $[(*бл: + Y8y + V6v + вб^с-1 - ц*бб2 - ц^бЭ2 - цвба2] dx + >(1.6)

+ [ (s — Ogo — cvy'n — y'af „) 6x + (y'fa + ga) 6i/] *,

У*= — «Л>(1 — М2)(с^и + 5Ц1у) +5^2, — в* = — у’ро(С|*|1, — 5Ц1х) + и(с\12х + 5Ц2у),

У0 = у¥р(і — М2)ц,, сов (Ф — со) — ц2 віп (Ф — со), 0О = — у*pv^ll вігі (<► — со) — уц2 сов (Ф — со),

V — — № — СЦ’ + V0[ 4- cgv — с{у'!„ + £„)'] , 4(1,6а)

в = — у’рО|і, — ЦУ + СЦ# + V0(s/# + £#в), х = |**»х + 0’Р»М* + 5(С»|і)' + ЦУФ' + Г°[ 5(/' — £„) —

- (в/. + с£в) <к - («/„ + с*в) у' + с(у7„ + *„)'»'] ,

у = Шуі/ + */>01*1^ — СЦ" — с(суц)' + ч°с^у — /'), J

В соотношении (1.6) во втором интеграле ю — угол полярных координат с началом в центре круга радиуса /?. При варьировании %° использовалась формула Грина, которая связывает интеграл по площади <3 с интегралом по замкнутому контуру д(?. Поскольку граница д(} содержит излом в точке с1, где терпит разрыв функция Ф, то для применения формулы Грина необходимо выделить окрестность точки й и перейти к полярным координатам г, а с центром в изломе. В этих координатах Ф изменяется непрерывно. Если полярный угол со отсчитывать против часовой стрелки от оси х и обозначить со° = л + Ф°. то вклад от интеграла по площади в точке излома будет отличен от нуля, если при г —0 не равен нулю интеграл

с Уо и во из (1.6 а) и координатами излома б г, бсо после варьирования. Согласно известному решению [2] при обтекании вогнутого угла у ~ г~#0/ш°,Ф ~ со и, очевидно, бу == 0. Поэтому, если вблизи ТОЧКИ торможения й множители Ц.2 ~ ці ~ г~'г+*°/ш\ т0 в результате получаем добавку к последнему слагаемому в (1.6), которая зависит от б г. Однако ниже рассматриваем только ограниченные множители Лагранжа. Это сохраняет выражение (1.6).

Экстремальная поверхность кормовой части должна удовлетворять уравнениям Эйлера К* = 0, 0* = 0 и условию трансверсальности на образующей еаЬсй!:

Частные производные газодинамических параметров в выражениях X и У следует заменить полными производными с помощью уравнений іі = 0, іг = 0, записанных в связанных с линиями тока локальных координатах /, п (в рассматриваемой точке области течения ось / направлена по касательной к линии тока, а ось л — по нормали вверх):

При этом учитываем равенства сі (ру) = (1 — М2) рс/у и (например, для у) Vх = СЧі — 5Ул, Уу = 5У< + СУп, У/ = СУ'.

о

Хбх + Уб у + V бу + Є6Ф = 0.

(1.7)

У„ = уФ/, «/>уф„ = — {у* ру)/.

(1.8)

Сформулируем сопряженную задачу для множителей Лагранжа. Для

этого потребуем, чтобы р,1 и р,2 были решением задачи

yvPM'in = И-2/, «/vp (М2 — 1) цн= р2л, (1.9)

р.2 = 0 на еа и df, (1-9а)

р.2 = gv — g'a на ab, (1.96)

уо0/Ц2 + p°w°i/vhh = F2 (О, I) на Ьс, (1.9в)

И.2 = /гз(у, о, /) на cd. (1-9г)

Здесь уравнения (1.9) следуют из 0* = 0 и У* = 0 переменных I, п; равенства (1.9а), (1.96) и (1.9г) соответствуют К = 0 с /^з ^ (/„ — /') х -|--{-{gv — g'„)c при 0 = 0°, наконец, условие (1.9в) получено из уравнения вХ — сУ с0' = 0, обозначая р0 = р(и0), р2 = ([ + с$[<>-{-с2g1>У — gy при

V = и°. Краевые условия на еаЬ и cdf можно получить и для р.| дифференцированием (12 и заменой с\12 с помощью первого уравнения (1.9). Однако определяющим является условие на участке Ьс. Дело в том, что с р2 задача становится отдельной после замены р,|/ в (1.9в) с помощью второго уравнения (1.9) и исключения р,| перекрестным дифференцированием. Для р.| это сделать нельзя, так как на участке Ьс условие для этого множителй получается лишь интегрированием р,2, которое должно быть известно. В указанном смысле множитель р,2 является определяющим в сопряженной задаче.

Если р,1 и ц2 есть решение краевой задачи (1.9), то выбором оставшихся множителей р, р,*', р" и р* обеспечивается условие (1.7). Переходя затем в уравнении (1.6) копределу при /?-»-оо и учитывая, что в набегающем потоке б°и = боФ = 0, получим

Ь с и

бх = — ^ — ^рл6а2Лс —

а Ь с

~ [ и - °£а)Ьх + £>] а + [ ^ - оёа - а/„ {Ц д°) блг] , . (1.10)

Здесь два последних слагаемых вычисляются в концевых точках и следуют из свободного члена в уравнении (1.6) при у' — 0 в точке а и 6у = О в точке d.

Оптимальное решение доставляет максимум функционалу %, если при любом варьировании образующей 6x^0. На участках краевого экстремума аЬ, Ьс и cd соответственно равны нулю функции д, р и а, и поэтому выполняются неравенства бд2^0, бр2^0 и ба2^0. Из соотношения (1.10) следуют условия оптимальности

р^^О на аЬ, р11 0 на 6с, р® ^ 0 на а/. (111)

В начальной точке а вариация б и произвольна, а Ьх^О, в силу габа-

ритного ограничения; в концевой точке 6x^0. Поэтому для входящих в соотношение (1.1) функций необходимо £о=0, g^0 в точке а и (g — oga —

— °У'!о) ^0 в точке d.

Условия (1.11) проверяются после решения сопряженной задачи. Действительно, так как множители Лагранжа выбраны, чтобы приравнять нулю коэффициенты перед произвольными вариациями в условии (1.7), то из уравнения

V = 0 получаем на участке Ьс

ср”-= 5 А, + cgv — (у'1„ + ga)'С — Р2. (1.12)

На участке аЬ из уравнения У = О исключаем Ц| и ц2 с помощью равенств (1.9), в' = 0, и в результате

И* = &, — (/ + Я«У — УЦ2* (1 — М2)-Л (1.13)

Наконец, на участке cd в уравнении 0 = 0 аналогично оставляем только

множитель Ц2, используя Х=б, У = 0 и уравнение (1.9):

-М2)-1. (1.14)

Множитель вычисляется интегрированием этого уравнения с начальным данным и* = 0 в точке с из условия 0 = 0.

2. Рассмотрим теперь плоскую (V = 0) конфигурацию. Это позволяет аналитически исследовать искомое решение в переменных V, Ф годографа скоро-

ти. В этих переменных область течения Р отображается на сектор круга ра-

диуса V0, а уравнения (1.9) переходят в

Р1>Ц|0 = Ц2«. Р(М2—1) (Х1#= уц2о. (2.1)

Аналогичные уравнения выведены в работе [3] для вариаций потенциала

скорости Ц| и функции тока ц2. что показывает физический смысл множителей Лагранжа в рассматриваемой задаче. Для доказательства условий оптимальности Достаточно построить решение сопряженной задачи лишь для определяющего множителя (12- Поэтому перекрестным дифференцированием уравнений (2.1) исключаем (м и из уравнений (1.9) имеем:

(1 — М2) ц2вв + и2(12„„ + ^1 + М2 + = 0, (2.2)

ц2(у, 0) = /7,(и, о), ц2(и, Ф°) = ^3(у, ст), (2.3)

V* “ Т^2”= -^5Г "Ри 0 1,0 • (2‘4)

Уравнение (2 2) содержит регулярную особую точку v = 1 в отличие от уравнения для ці. В уравнении (2.3) Fі—дополненная нулем на отрезках еа и df функция gv — g'„.

Коэффициенты в уравнении (2.2) не зависят от О, поэтому существуют частные решения вида |i2 = vmHm (и) ётЬ, где т = const, и для рассматриваемого ниже совершенного газа и = yv2, у = (х — 1) / (х + 1), * — показатель адиабаты Пуассона. После их подстановки в уравнение (2.2) получаем уравнение

(,и - 1)(й - у)иН"т 4- [ (т + -^f ) и2 + Э---М"Т+-1)Ц + (т + 1)Т] Нт -

__ Г т(т + 1) .. _ т(т + 3) ~| „ _« ,п с\

I. 2(х — 1) 2(х+1) \ т ' '

Определяющее при и-*-0 уравнение г (г + /п) = 0 имеет корни г, = 0 и г2= — т. Из условия ограниченности Нт и, следовательно, в точке торможения d выбираем первый корень и имеем решение

я(т0,(«)= 1+ (2-6)

(m+ 1) yc\ + a = 0,

2(m + 2)YC2 + [a + c — (m + 1) (v -f l)]cf +6 = 0,

3(m + 3) vcs + [a + 2c — 2 (m + 2) (y -f l)]c2 + (6 4 d)ct = 0,

А(т + Л) ус* + [а + (Л— 1)с — (й — 1) (у + 1) (т + А — 1)]с(к_1 +

+ [6+ (к -2) (<* + *-3)]с*_2=0, где 2а = т (3 4 т) / (к + 1), 26 = — т (т 4- 1) / (х — 1),

с = З/х+1, ^ = т + (х— 2) / (х—1).

Поскольку, как уже отмечалось выше, уравнение (2.2) имеет регулярную особую точку о = .1, то ряд (2.6) сходится лишь в дозвуковой области течения, т. е. при и<.у. Поэтому для аналитического продолжения полученного ряда в трансзвуковой области необходимо построить решение вблизи этой особой точки. С этой целью перепишем уравнение (2.5) для функции Нт (ге>) от независимой переменной а) з= и — у:

("1 + •гтг*’ - ттт[ (™ + £5т)»’ - ^ггх +

+ т+т]н--[ ■1(7гтга-ттт] я- = °- М

Корню г — 2 определяющего уравнения г (г — 2) = 0 соответствует решение— ряд с коэффициентами, определяемыми из рекуррентных равенств:

Н^){ио) — 11)2'^Ьк1Юк, 60=1, (2-8)

*=о

(6а1 -(- ЗРо) 6| (2ог “Ь 2р| 4" Уо) Ьо — 0,

(12ас.| -|- 4Ро) 62 4 (баг 4" ЗР1 -1- уо) 61 —(2 —202 4" ~ 0,

(k -f* 2) [ (k + 1 )oti 4- Ро]6* 4" [ (k 4 1) (kciQ 4 Pi) 4 Yo]^*— i +

-)- [ k (k — 1) -f- Лр2 -j- Yi]^*—2 = 0,

где ai = — 2y/(x +1), 02 = (x — 3) /(x+ 1), p0 = 2y/(x 4-1), Pi =

= -2(m + l)/(x+l), p2 = m + (x — 2)/(x— 1), Yo = m/(x+l), 2yi = = — m(m+l)/(x— 1).

Второе линейно-независимое решение при r = 0 ищем в виде

оо

Я^’(ш) = Y_{Abk In w) wk+'2 + a*а;*, (2.9)

h=0

Poai -|- YoOo = 0,

(2ai 4- 2Po)a2 -f- (Pi + Yo)oi + (3ai 4- Po) Abo + Y°o = 0,

(6ai 4- ЗРо) аз + (2ot£ + 2Pi 4- Yo) Ог + (Рг 4- Yi) fli +

4- (5ai + Po) Ab\ 4- (3ot2 4- Pi) Ab0 = 0,

k [ (k — 1) ai 4- Po] a* 4- [ (k — 1) (k — 2) 02 4 (k - 1) pi 4 Yo] a*_i +

4[ (A-2)(A —3)+(A —2) Рг + Yi] a*-2 + [ (2k- 1) a, + p0] Ab„-2 + + [(2k- 3) a2 + pt] Abk-3 + [2k - 5 + p2] Abk-4 = 0.

Здесь а„ Р/, у, при г = 0, 1, 2 такие же, как в решении (2.8). Поэтому из второго уравнения для коэффициентов а* непосредственно получаем А = О, аг — любое число. Следовательно, частные решения уравнения (2.7) не имеют логарифмической особенности при звуковом значении и> = 0. Далее при вычислении коэффициентов в решении (2.9) полагаем ао = 1 и а2 = 0.

3. В трансзвуковой области течения уравнение (2.2) приводится к виду:

Эго уравнение имеет автомодельные решения цг = т2*й (£), где константа Л — показатель автомодельности, автомодельная переменная £ = = 1 — (4ц3) / (9т2) и функция А (£) — решение гипергеометрического уравнения:

Напомним, что функция тока \|з(у, т) в трансзвуковом приближении, в отличие от уравнения (ЗП), удовлетворяет уравнению Трикоми [2] с автомодельными решениями вида г(р = т2* <7 (^), где <7 (£) также гипергеометрическая функция. Сопоставляя гипергеометрическое уравнение для д с уравнением (3.2), видим, что единственное отличие заключается в коэффициенте перед первой производной, где вместо 7/6 стоит 5/6.

Дозвуковой области течения соответствуют значения 1. Здесь имеем общие решения с произвольными константами с\, 0%.

Для того чтобы в окрестности точки Ь или с при у°.= 1 удовлетворить условию непротекания на стенке, необходимо в уравнении (3.4) принять С\ = О и </2 (1) = 0. В представлении с помощью гамма-функций из последнего равенства получим А: = 5/6. Поэтому из уравнения (3.4) имеем решение, которое в плоскости годографа аппроксимирует течение вблизи точки стыковки прямолинейного и криволинейного с М = 1 участков контура

В частности, на криволинейном участке вблизи точки стыковки Ф' ~ х~х/2 ~ т~‘. Отметим, что такая же особенность функции 1У (но не т)') существует и при v° < I.

Пусть вблизи этой точки ^(Ф) ~ |т|*2 при т —► 0 и F\(v, а) ~ lnl*1 при г) —► 0, k\, k2 — const. Тогда в рассматриваемом приближении из уравнения (2.4) имеем граничные условия (цо, то — const):

Подстановка решения (3.3) при | -► 0 в условие (3.6) дает равенства (4/9)*-С1 = т|0 и ЗЛ = *1. Аналогично при 1 из условия (3.7) имеем

ЛЦ2„л — Л2Ц2тт — Ц2„ = 0, л = ^ — 1, т —Ф(х+1) 1/2 (3.1)

(1 - I) \h" + [L- 2k - (A - 2k) IW — k (k — y) h = 0. (3.2)

t|) = XT).

(3.5)

Отсюда с помощью формул преобразования из 'плоскости годографа в физическую плоскость йх = + %4т, у = г|> получим

1 з , 1 2

JC = ул + у т , У = ТП-

М*2 = Л0ІЛІ*1 при т = 0,

И.2 + (х + 1)—1 ГЇ-1 |Х2г, = То|т|1+*2 при Т] —► 0.

(3.7)

(3.6)

то|т||+*2 = [С|Л| (1) 4 с2Л2(1) ]|т|2* +

+ (и + 1)-'27/33-1/э[* (к - -1)Л| (l)ci -

- | ('Т ~ к) (т ■+ *) ■h* (1)'1т12*-4/3,

(3-8)

где Л,(1) = л1/2Г (2/3)/[ Г (1 /2 + *)Г (2/3 — Лг)], Л2 (1) = я,/2Г (2/3)/

[2Г (k + 1)Г (7/6 — Л)]. Первое слагаемое в (3.8) имеет более высокий порядок т по сравнению со вторым слагаемым. Однако в зависимости от констант решения коэффициент перед членом |т|2Л—4/3 может обратиться в нуль. Действительно, если в условии (3.6) Tio = 0 и в условии (3.7) к2 = 0* то из (3.8) следует k—l/2, С2 = То и из решения (3.3) получим вблизи точки Ь (или с)

Ц2 = ТОТ. (3.9)

Это решение в физической плоскости определяется из алгебраического уравнения Зц! — 6хц1 + 2у3 = 0, которое следует из решения (3.5).

4. Построим решение сопряженной задачи (2.2) — (2.4) при условии, что функция Р2ф0 (для любого v°) ограниченна или имеет меньший, чем т_|, порядок особенности в точках стыковки бис. Если v° = 1, то этому случаю в условиях (3.7) и (3.8) соответствует к2> — 1. Правая часть условия (2.4) на концах участка Ьс обращается в нуль. Поэтому на этом участке искомое решение можно представить в виде ряда Фурье при разложении по частным решениям (2.8), (2.9):

ц2(у, #) = YJlA’nHm>(v) + BmH{£(v)] sin(md), (4.1)

m

где значения т = ля/|Ф°|, п — 0, 1, 2,... выбраны из условия sin (тЪ°) = 0. Ряд (4.1) аналитически продолжается внутрь области течения — сектора круга, и поэтому на сторонах сектора также цг {и, 0) = цг (v, Ф°) = 0. Это известный результат теории эллиптических уравнений (следует из формулы Пуассона для уравнения Лапласа, которое отличается от уравнения (2.2) лишь знакопостоянными коэффициентами). Следовательно, решение сопряженной задачи существует, если F1 = ^з = 0, т. е. функции f и g в соотношении (1.1) не зависят от у и а.

Применяя метод Фурье,- в дополнение к решению (4.1) имеем решение:

ц2(У, О) = %CMv)vm Sin (mO), ктСт = Тт,

т

>■•={' —&т)»-+т£т°- г-=ж5т“п(т*)‘'*’

*•

Am = OfflCm, Оm=W (Я(и0), Я<т2V w (Я<|>, Н%),

вт = 0тСт, fim=W (Н‘'\ /е>/W да, я<т21).

Здесь введено операторное обозначение вронскиана W от включенных в скобки функций. Коэффициенты От и рт вычисляются на дуге окружности радиуса v0, где 0 < v0 < v°.

Если при и -*■ v° функция F2 = 0, то из (2.2) — (2.4) следует решение = — Spv, причем р\ — О и F3 = — spy. Функции f = p(v) 4 const Hg = const, где p — давление, а функционал (1.1) с точностью до несущественных постоянных совпадает с волновым сопротивлением.

5. Вернемся к условиям оптимальности (1.11). Имеем из (1.12) — (1.14):

с2 (ц,у = vi\i2<> — F2 на cd, (а* = оц2„ — F2 на ab, = — ц2 на Ьс. (5.1)

Рис. 2

Из условия оптимальности ц“>0 и (5.1) на Ьс следует во всей

области течения (}, так как на оставшейся части границы д<3\Ьс этот множитель равен нулю (случай ^2#0). Для существования оптимального решения необходимо, чтобы входящая в краевое условие (1.9в) функция была отрицательной:

U + csn + C^g^У-g,<0. (5.2)

Доказательство получим, используя знакоопределенность чисел кт и рт, которые показаны для х = 1,4 на рис. 2 (Ят<0 при т> 2Д что соответствует диапазону — 70° ^ 0° ^ 0). На участке Ьс оптимальной образующей Ф/ < О, и поэтому, если /г2<0, то функция положительна. После ее умножения

на \12 (к°, О) из (4.1) следует неравенство:

1Вт вт (тЬ) £Тт ею (тд) < 0.

Интегрируя неравенство по Ф от 0° до нуля, получим

— Ф° 2 Рт кт Ст < О,

так как ртЯ,т < 0. В противном случае, если > 0, то «указанный порядок действий привел бы к противоречию. Анализируя дальше уравйение (5.1) на участках аЬ и ей, заметим, что входящее в правые части слагаемое у*>• О, если ц,2 < 0. Поэтому, если на участках аЬ и ей функция /•'г также отрицательна, то выполняются все условия оптимальности (1.11), что и требовалось доказать.

Если х — площадь профиля аЬсй^ то [ = — х/2, g = у/2 и Р2 = — 1. Выполняются условия в концевых точках (£>0) и неравенство (5.2). На рис. 3 для Ме = 0,8, Vе = 1, Ф°= —40,5°, х = 1,4 приведены результаты [4]: оптимальный контур у (х) и распределения «, Ф на нем, а также с аппроксимацией рядом Фурье для различного числа N его членов построена функция #Г‘ (данные для Ы = 10 даны темными, для N = 15 светлыми кружками). На рис. 4 сплошными линиями приведены зависимости ц2 от угла Ф на различных изолиниях скорости. Видно, что вблизи концов участка Ьс решение совпадает с линейной функцией (3.9) (штриховые прямые). Зависимость цг от и на линии нулевой производной ц2„ показана жирной штриховой линией. Таким образом, во всей области <2 определяющий множитель ц2^0, и согласно доказанному выполняются все условия оптимальности. Этот результат согласуется с теоремой сравнения [5].

Наконец, для х — волнового сопротивления подстановка полученного ц2 в (1.12) — (1.14) дает ц" = (1® = ц» = 0 и из (1.10) получим 6х = 0. В этом

Рис. 4

случае задача профилирования имеет бесчисленное множество решений и не представляет интереса (в соответствии с парадоксом Даламбера [2]).

Автор благодарит Г. Г. Черного и участников научного семинара за обсуждение результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Теория оптимальных аэродинамических форм / Под ред. А. Миеле.— М.: Мир, 1969.

2. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Гидродинамика,— М.: Наука,

1986.

3. Никольский А. А. Уравнения в вариациях плоских адиабатических газовых течений.— Сборник теор. работ по аэродинамике.— М.: Оборон-гиз, 1957.

4. Щербакове. А. Расчет головной или кормовой части, плоского тела, обтекаемого дозвуковым потоком с максимально возможным критическим числом Маха.— Ученые записки ЦАГИ, 1988,т. 19, № 4.

5. G і 1 b а г g D., S h і f m a n M. On bodies achieving extreme values of the critical Mach number, 1 — J. Ration. Mech. and Analys., 1954, vol. 3, N 2.

Рукопись поступила 25/X 1990 г.