К задаче об обтекании излома образующей тела вращения околозвуковым потоком Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Т о м VII 197 6

№ 6

УДК 533.6.011

К ЗАДАЧЕ ОБ ОБТЕКАНИИ ИЗЛОМА ОБРАЗУЮЩЕЙ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ОКОЛОЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ

В естественных координатах (линии тока и нормали к ним) рассмотрено решение Вальо — Лаурина — Шугаева обтекания излома поверхности тела, уточняется вопрос о форме контура, для дозвуковой зоны течения выяснена возможность нахождения постоянных интегрирования. В сверхзвуковой зоне рассматриваемое решение сращивается с течением типа простой волны. Строится равномерно пригодное решение. Приведены результаты расчетов.

1. Исследование характера особенности в звуковой угловой точке было проведено в работе [1] с целью выяснения локальной нерегулярности, приводящей к потере устойчивости и точности конечно-разностных схем при прохождении такой точки [2]. Позднее эта задача приобрела самостоятельное значение и специально рассматривалась в работах [3 — 6]. В последней работе показано, что вид особенности, исследованный в [1], не является единственно возможным. Высшие приближения наиболее полно исследованы в [4, 5]. В частности, в [5] построено продолжение решения в сверхзвуковую окрестность угла. В данной работе уточняются некоторые детали решения типа [5], а продолжение его в сверхзвуковую окрестность осуществляется методом сращиваемых асимптотических разложений.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений [7], описывающих плоское (V = 0) и осесимметричное (V = 1) установившееся изоэнергетическое течение идеального газа:

где X — коэффициент скорости, отнесенной к максимально возможной скорости ®тах! О — угол наклона вектора скорости к оси симметрии (фиг. 1); </ —вспомогательная неизвестная функция (д = X в потенциальном течении); М—число М,

Л. И. Есин

(1.1)

(і(х-\- іу) =

я* Р*<7

АЬ л— I

— е <7ф — --------------------

* ^ а \: ш = У (р* Ч)~1 рХ,

р, р* — плотность и критическое значение плотности, отнесенные к плотное!* набегающего потока р^ ; а*— критическая скорость звука; 5 — энтропия, отнесенная к газовой постоянной; f — отношение удельных теплоемкостей; х, у- jc-картовы координаты (фиг. 1), отнесенные к радиусу /?*, проведенному в угловую точку; ^ — функция тока, отнесенная к Я’"*”1 рот я^тах; 9 —функция, постоянная вдоль линий, ортогональных к линиям тока; <в, ф выбраны так, чтобы звуковому излому соответствовало <р=& = 0.

Фиг. 1

Следуя [I, 4, 5], решение системы (1.1), удовлетворяющее граничны* условиям:

6 — 6* = а0(- <р)"+ ..., 5 >0,6 при ф = 0, < 0; |

X — 1 = 0, 0 — О* = 0 при <р = ф = 0; (! ?|

X — 1 — (т + !)-■(#, В - 0, ~ (-2/3) (-Н-1 Г1 Ш3 при <Ь-*0, <р> 0, |

можно записать в виде

Х-1 =ри0(С)ф1,2 + р1«1(С)ф<,,+ ри,(С)ф*+...; 1

О - 0* = Щ (С) ф3/4 +(Оф/,1+1/4 + 1Г2(0 ^+1/4 +.. . , }

где ф -» 0, С = фиксировано; 1/2 </>, </)2<..Р = От + 1)~1/3; 8г и 6, м-

даны. Главные члены разложений (1.3) соответствуют автомодельному реше=*г [1] и имеют следующие коэффициенты [8]:

Ио(С) = С*(<- 1)“1/4(г‘ —4); |

1'и(£) = (—2/3) С3 (( — 1)1/8(* + 8); О*»

С = (1/5)С(/-1Гад(5/-8), 1 <<< + оо, )

где С — постоянная, определяемая некоторым интегральным законом сохране**» и зависящая от условий вдали от точки излома.

При подстановке разложений (1.3) в систему (1.1) убеждаемся в тон. с необходимостью существуют показатели

Р1 = 12 +(2-у)/1/4, 1 = 1,2,... <15*

С другой стороны, первое граничное условие (1.2) требуег существования п<и* зателей

ру = (58-1)/4+ и- 1)/2, У = 1, 2,...

В первом случае коэффициенты и,- и 1»/ удовлетворяют неоднородным системам дифференциальных уравнений; во втором, если р^фрь коэффициенты и и V, соответствующие р = (55—1)/4, являются решением однородной системы:

1 \ 5 ,

V — Ж — н0 и' — ии0 = 0;

, 5 -і’ —ри + -Г- м' 0.

(1.6)

4

При помощи замены переменных

и = ф'(ї); і- = (Р + ф (С) - 4- їч»' (0;

_ ^___________15 _ _1_ _ 5

Ф(С)=5 2 8 (1—5) 2 Р_ТЛ(5), £ = *-’ (1.7)

система (1.6) сводится к гипергеометрическому уравнению

4 5/4

6(1 -£)Л" +

3

Л' +

+(2^+4)(-г°+4-)й=°- (‘-8)

При рассмотрении обтекания тела с прямолинейной образующей в дозвуковой области должна быть решена первая задача о собственных значеннях: найти значения р, при которых решение системы (1.6) удовлетворяет следующим граничным условиям:

уфА+1/4 о ПрИ ф -> 0, <р<0; (1.9)

и, V при ф ->■ 0, !р>0 имеют особенность, не большую, чем та, которая следует

из третьего условия (1.2).

Решение уравнения (1.8), удовлетворяющее первому условию (1.9), имеет вид

Л, (6) = />(-2 ^Р + ^\ 4~; *-£)’

где гипергеометрическая функция Гаусса. Записывая его аналитическое продолжение [9] в окрестность £ — 0

Л, (£)

(^)Г(^ + х) / А 1 1 1 Б Л

------7—2------------2\Г\~2р~2’ гР+ б : з ^ ~ 6 • 5)

Г (2/7 + 3) Г -д- р з

1 \ / 4 11 \ 4

2 } Г 3 р- 6 ] ,Т;н~Г_/_ _ 2

5 \ /2 7

2/) 2 Г 3^ + 6

/ 2 2 4 17 Л

^ 12/> + 3, — з р — з ; з /,_Ь 6 ! ї)і (1-11)

находим, что (1.10) удовлетворяет второму условию (1.9) только при

р = \к + ^, *=1,2,... (1.12)

В этом случае первое слагаемое в (1.11) обращается в ноль, а ряд во втором обрывается и превращается в полином. Собственные значения (1.12) принадлежат классу (1.5).

Чтобы выяснить вопрос о допустимой форме образующей в дозвуковой области, рассмотрим вторую задачу о собственных значениях: найти значения р, при которых решение системы (1.6) удовлетворяет граничным условиям:

ї4р+1/4~(— ■■{)'• при -» 0, <? < 0; |

и<\р, при 6 0’ I

имеют особенность не большую, чем третье условие в (1,2).

Решение уравнения (1.8), которое может удовлетворять первому условию (1.13), имеет вид

Л2(5) = (1 — 5),/2 2/7 — 2, Т: 1_£)- {1л4)

При 8 -*• 1 оно дает следующее асимптотическое представление:

~ (— ср)<4^+1>/5, ф _> 0, ш < 0. (1.15-

Сравнивая первое условие (1.13) и (1.15), находим допустимые значения

о = (4р + 1)/5. (1.16»

Записывая аналитическое продолжение ряда (1.14) в окрестность £ = 0 и требу» удовлетворения второго условия (1.13), получаем

’ 3 1

Р = ~2~ * — > *=1,2,... (1.1/)

Собственные значения (1.17) при 7= 1 принадлежат классу (1.5). При и класс (1.5) должен быть расширен путем объединения с (1.17), ибо только тогда можно удовлетворить первому граничному условию (1.2). Последнее, таким образом, будет формироваться собственными решениями, соответствующими V )!’ (1.17).

Из (1.16) и (1.17) находим спектр значений, которые может принимать о:

а = 6*/5, *=1,2,... (1.1К)

2. На основании результатов предыдущего раздела можно заключить, что значений р, отличных от (1.5), в задаче (1.1) — (1.2) не существует. Таким образом, показатели разложений (1.3) однозначно определяются условием устранения неоднородностей, возникающих при подстановке разложения (1.3) в систем) (1.1), первая из которых порождается автомодельным решением (при V = 0), или правой частью уравнения неразрывности (при V = 1). Для ропределяемых га (1.5), уравнение (1.8) допускает вырожденные решения (полиномы Якоби [5]).

В частности, для м = 1 ряды (1.10) и (1.14) обрываются, первый —при

1=2 п—1, второй — при / = 2 п, п 1, 2,... (/— номер приближения). Решение

уравнения (1.8), удовлетворяющее третьему условию (1.2), можно записать в виде

/„^4-Р+ТГ / 2 2 4 17 \

/г=С(р)5 6 -д-р—-д-, 2р +- 3; у, (2.1)

где С<'Р) — произвольные постоянные.

Исследуя с помощью (2.1) поведение поперечной скорости ифР+1,4 ПТ'И <\1 0, ?<0, находим, что спектр собственных значений (1.17) расширяется:

р1 = (/ + 2)/4, /=1,2,...; I ф 6, 12, 18, ... .

Отсюда первое граничное условие (1.2) может быть либо однородным, либо

иметь вид

0 — 6* = ах (— <р)°‘ + а, ( - ф)г'3 4-. .. , 12 . ■

где

8; == (/ + 3)/5, /=1,2,...; 1ф 6, 12, 18...

В этом случае мультипликативные множители С^ находятся из условия обтс кания.

Общие решения, соответствующие / = 6, 12, 18,..., удовлетворяют однородному граничному условию (1.9), при этом множители остаются неопределенными, они зависят от условий вне окрестности звукового излома. В прямоуголь ных координатах х, у условие (2.2) равносильно тому, что уравнение дозвуково* части образующей имеет вид

_у = 6, (-£)“* +

где

аг=(/ + 8)/5, /=1,2,...; 12,18,...

В частности, из всех аналитических форм стенок с особенностью [1] в точ>.« излома согласуются лишь те, для которых справедливо уравнение

?*(-лт)1+\ Рз = Ре = Эи = • • • = 0. (2-3)

к = 1

Через коэффициент находится мультипликативный множитель второго приближения.

Если уравнение дозвуковой части образующей записано в виде (2.3), то коэффициенты первых двух приближений можно записать так:

«1=0, 1ч = — v (1/а* р*) sinS*; щ = С, Ф.; + С1 Р (t - 1)-1/2 - 4- (10 т - 3) + (22 7 + 15) t - 4" (2'< + 3>

у2 = С2 14 - 4" СФа) + i (2Т + 5) С5 Р (* - 0~1/8 (64-35 t+ 7Р) + »£;

где С3 — мультипликативный множитель; о> = (1/jty) (dSjdfy)—постоянная, характеризующая завихренность (« е0 в потенциальном течении); Фг определяется по формулам (1.7). В плоском случае as = v3 = 0, что соответствует [4].

3. Решение (1.3) вдоль линий Ф = const в сверхзвуковой окрестности точки излома пригодно лишь при малых С, поскольку при +°° нарушается условие

малости возмущений. Для нахождения решения при С + со введем новую „сжатую" переменную г = <р/ф = 1 Решение системы (1.1), удовлетворяющее вто-

рому и третьему граничным условиям (1.2), будем искать в виде

^ = /о (г) + А (г) ¥' + /2 (г) Y2 + /з (г) ¥* + • • ■ I | „ j ^

О - Й* = gn (2) + Si (г) Yl + £2 (г) <bri + ff, (г) ,у-> -l_- J ' J

где <1> -+■ 0; г фиксировано; 0 < Г] < г2 < ...

Главные члены /0, go разложений (3.1) удовлетворяют системе нелинейных дифференциальных уравнений

Wo - 1)/0 + */о(1 - a2jy'<?-’> gQ = 0;

2 (1 - = °.

где В0= [2/(7 + 1)]1/(т-1).

Одно ИЗ ее решений (/о = const, go = const) определяет однородный поток, не удовлетворяющий третьему условию (1.2); второе

/о(2)=*S

1/2.

g0 (г) = arctg у - 4: arctg |/

1 — О? S

где

г = 50(s — 1 )1/2 (1 — a2 s)~-^; 1 < s < А\х;

s — параметр; [л = 1/4й2, определяет простую волну разрежения. Значение параметра 5=1 соответствует звуковой линии, s = 4|х — последней характеристике полной волны разрежения. Коэффициенты gi последующих приближений — решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка — находим в виде

fi(z)= s1/2(s — i)(r/~2,/4(i + £.(«)];

gi (*) = (П + 2) гг1 (s - l/il4(l - a\ s)~*Ti [A, + E, (s)] + Pt (s),

где

Ei{s) = -L\s-Us-lf^\\-als^ 2 Qi(s)ds, i— 1;2,...;

i4,-— постоянные; Pi (s), Q/ (s) — функции предыдущих приближений, в частности,

Л = 0, = Я, = Q3 =- 0; sin в*

^2 = ■' + Тб- (7 + 2) + О (г).

Показатели разложений (3.1) и постоянные А; находятся последователь*г из сращивания решений (1.3) и (3.1):

л, =2/3; Л, = -9-5-1 С3 3 31/3 801/3; г2 = 1; Л2 = 0; гз = 10/9; А, = 10-57—1 С3 С_5,э р5/9й05/э;

тем самым учитывается потерянное первое граничное условие (1.2). Правая граница области пригодности решения (3.1) существенно зависит от величины угла

Фиг. 2

/3-Г 0,10

излома и формы стенки за изломом. Как показано в [10], здесь возможно по**-ление скачка уплотнения. На основе разложений (1.3) и (3.1) можно построит» решение, равномерно пригодное во всем интервале 0 % < -{- оо. Применяя, і-

пример, правило аддитивного составления [11], получим

х = /о + Р («О - С2+ 9-5-1 с8/3 Г2'3) Ф1'2 + /, ф2/3 +

{/2 в [Иа + 2-і р (2 ' + 3) Гі18 ■ 5—1 р С8 3 ;4/3 - 10 - 57 1 С2 С~5 9 С-4/®[} і

+ /з 4і '+•••;

б - 0,. = Ф2/3 + К + 2 ■ З-1 СЗ + 36.5-1 С8'3 СІ/3) ф3'4 + Єі Ф + £3 4І0/9 +

+ {и2 - 2-5-1 (2Т і 3) 8^5 _ _ 28-57-' С2С~5'9 ї5/9} Ф5/4 + ...

(3—2"»

На линии 9 = 0 решения (1.3) и (3.2) непрерывно переходят друг в друга. Первые три члена разложений (3.2) дают продолжение в сверхзвуковую зону автомодельного решения (1.4), последующие члены учитывают осевую симметрию и завихренность. На фиг. 2—4 изображены линии постоянных скоростей и наклонов, рассчитанные по первым трем членам решения (3.2), и те же линии, приведенные в работе [1]. Постоянная С полагается равной і,25-3~3/8, тогда на звуковой линии автомодельного течения С= 1. Качественное различие линий уровня, построенных по решениям (1.4) и (3.2), становится заметным далеко в сверхзвуковой зоне.

ЛИТЕРАТУРА

1. Vagllo-Laurln R. Transonic rotational flow over a convex corner. J. Fluid Mech., vol. 9, N 1, 1960.

2. Рихтмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М., „Мир", 1972.

3. Friedman М. P. Two-dimensional and axisymmetric rotational flows past a transonic corner. J. Aero/Space Sci., vol., 29, N 4, 1962.

4. Белоцерковский О. М., Седова Е. С., Шугаев Ф. В. Сверхзвуковое обтекание тел вращения с изломом поверхности. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.\ т. 6, № 5, 1966.

5. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. Теоретическое и экспериментальное исследования. Под ред. О. М. Бе-лоцерковского. Труды ВЦ АН СССР, 1967.

6. Л и в ш и ц Ю. Б., 111 и ф р и н Э. Г. К задаче о трансзвуковом обтекании выпуклого угла. Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, № 2.

7. СевостьяновГ. Д. О плоских вихревых околозвуковых течениях газа. Изв. АН СССР, МЖГ, 1973, № 5.

8. Ф а л ь к о в и ч С. В., Чернов И. А. Обтекание тел вращения звуковым потоком газа. ПММ, т. 28, вып. 2, 1964.

9. Б е й т м е н Г., Э р д е й и А. Высшие трансцендентные функции, т. 1, М., „Наука", 1965.

10. Ш и ф р и н Э. Г. О скачке уплотнения при трансзвуковом обтекании выпуклого угла. Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, № 5.

11. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М., „Мир", 1967.

12. Белоцерковский О. М. Численное исследование некоторых трансзвуковых задач аэродинамики. Труды секции по численным методам в газовой динамике второго международного коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем (Новосибирск, 19—23 августа 1969 г.), т. 1. ВЦ АН СССР, 1971.

Рукопись поступила 28/ VIII 1975 г.