Отрыв пограничного слоя от плоской поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IX 1 9 7 8 М3

УДК 532.526.5

ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО слоя от плоской ПОВЕРХНОСТИ

В. В. Сычев

Рассматривается отрыв ламинарного пограничного слоя от поверхности плоской пластины в потоке несжимаемой жидкости, происходящий под действием неблагоприятного градиента давления, обусловленного какими-либо внешними причинами. Путем построения сращиваемых асимптотических разложений, справедливых при больших числах Рейнольдса (Ие), показано, что расстояние точки отрыва от передней кромки пластины при Ие -* со весьма медленно (как Ие-^9) стремится к нулю. Предельное состояние потока в окрестности точки отрыва при этом соответствует известному решению теории струйных течений со свободными линиями тока, а именно, течению с зоной застоя (каверной), имеющей впереди точку возврата.

Исследования в области асимптотической теории ламинарных течений вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Ие привели в последние годы к решению ряда задач о взаимодействии и отрыве ламинарного пограничного слоя. Сюда относится теория самоиндуцированного отрыва от гладкой поверхности [1], от угловых точек контура обтекаемого тела [2], асимптотическая теория вязкого обтекания тонкого профиля с отрывом потока вблизи задней кромки [3, 4] и ряд других задач [5]. Во всех случаях предельное состояние поля течения соответствует известным решениям теории потенциальных течений несжимаемой жидкости. Так, например, в случае отрыва потока от гладкой поверхности обтекаемого тела поле течения при Ие со стремится (по крайней мере в малой окрестности точки отрыва) к известному решению задачи обтекания тела по схеме Гельмгольца с образованием свободных линий тока, в пределе удовлетворяющему условию Брил-люэна — Билля. Вообще процедура построения сращиваемых асимптотических разложений является возможной лишь тогда, когда известно (или правильно предсказано) предельное состояние поля течения, сингулярными возмущениями которого и определяется исследуемое течение при Ие>1.

Рассмотрим с этих позиций задачу об отрыве пограничного слоя от поверхности плоской пластины, вызванном какими-либо

внешними причинами, например уступом, расположенным на конечном расстоянии / от ее передней кромки (фиг. 1). Хотя отрыв потока и в этом случае будет происходить от гладкой (плоской) поверхности, непосредственное распространение теории работы [1] на этот случай оказывается невозможным. В самом деле, предель-ное состояние поля течения при Ие ->- оо в этом случае не может соответствовать упомянутому выше решению задачи обтекания

тела по схеме Гельмгольца. Поэтому сделаем следующее предположение: предельное состояние поля течения в окрестности точки отрыва в этом случае соответствует другому известному решению теории потенциальных течений со свободными линиями тока — течению с образованием перед уступом застойной зоны (каверны), начинающейся с заострения в виде точки возврата [6, 7]:

У---^-tx3/2+ ... (л-^0),

где л;, у — безразмерные (отнесенные к I) декартовы координаты (см. фиг. 1), с = const.

Тогда градиент давления непосредственно перед этой точкой будет стремиться к бесконечности как

&.~с{-ху-113+ • ■ • (-- х -» 0).

Для того, чтобы такая ситуация была физически реальной, этот градиент давления должен быть самоиндуцированным, т. е. возникать в результате взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком. Покажем, что сделанное предположение позволяет построить замкнутую систему сращиваемых асимптотических разложений, описывающих поле течения в окрестности точки отрыва при Ие ос.

1. Исходные соотношения. Течение перед областью отрыва.

Введем в качестве характерной длины расстояние I от передней кромки пластины до уступа: в качестве характерной скорости примем скорость ио потенциального потока у передней кромки пластины. Заметим, что эта скорость сохраняется постоянной вдоль границы каверны и что она не равна скорости невозмущенного

потока, поскольку размеры (высота) уступа предполагаются конечными (порядка /) или даже сколь угодно большими. Число Ие задачи-определим как

Яе = и011')', (1.1)

где V — кинематическая вязкость жидкости.

Независимые переменные декартовой системы координат с началом, расположенным на передней кромке пластины, обозначим через II, у1. В качестве искомой функции введем функцию тока $ио1. Нетрудно установить, что течение в пограничном слое вблизи передней кромки пластины будет безотрывным и описываться решением Блязиуса

^ = (1.2>

поскольку вязкие и инерционные члены этого решения будут порядка 5—1 при 5-^0, в то время как, согласно нашему предположению, градиент давления есть величина порядка 5_1/2. С другой стороны, действие такого градиента давления на конечном расстоянии от передней кромки, где 5 = 0(1), не может быть сбалансировано вязкими и инерционными силами. Отсюда следует, что область взаимодействия и отрыва пограничного слоя должна располагаться на малом расстоянии от передней кромки ,

. $ = е, ,1 , . (1.3)

где е (Ие)—»0 при Не -* 2с.

Для ^удобства дальнейшего анализа введем безразмерные переменные: ' -

X = в-1 X = е—1 5— 1, у = е_1/2Не1/2у, ф = Е-1/2Ке1/2ф, Р=Р—Ро,

гдр р — давление в.;поле течения, а р0 — давление на свободной линии тока, отнесенные к удвоенному скоростному напору р£/о. В этцх переменных начало координат располагается в точке отрыва, в окрестности которой; градиент давления, согласно сделанному предположению, равен

. ЛЕ. _ се112 (_ Х)-У2 + . . . . (1.5)

дх

Подставляя (1.4) и (1.5) в исходную систему уравнений для функций то'йа, получим уравнение

ЬЬу - (— Х)~112 = ^ууу, (1-6)

описывающее тече’ние в пограничном слое в предотрывной области (лк^О)при—х -» 0. Граничные условия для этого уравнения имеют вид

... Ф(х, 0) = фу(л, 0) = 0,

фу(х, у) •—- 1 — 2сг1/2(— х)т + . . . , у т> оо.

Пользуясь малостью параметра г, представим решение задачи (1.6), (1.7) в врде

Ф — Фо Н- в1/а Ф» + • • • ■ (1.8)

(1.7)

(1.4)

+ 0(*2). (1.9)

Для функции 4*о получим уравнение без градиента давления, решение которого, удовлетворяющее заданным граничным условиям, будет определяться функцией Блязиуса (1.2). Так как, согласно (1.4), s = в (1 —|— лс), у = Re~1/2e1/2y, то

ф0 = (1 4- *)1/2/0 [(1 Ух)т] ~/о (У) + х [-^/0 (У) - yУШ Заметим, что

/о (У) ~ У2 + О (у5) при у -» 0;

fQ (у) ~ у + д + экспоненциально убывающие члены при (1.10) у оо,

а0 = 0,33206, Д = const.

Для следующего члена разложения (1.8)—функции ^ — получим линейное уравнение вида

/о (У) Ку — ~ У/о (У) tiy ~ Y [/о (У) - У/о (У)1 'Ьуу -

— /о(У) Фи + с (— х)1,2 = 'r'lyyy (1-11)

с граничными условиями

М*. 0) = ф1уС*, 0) = 0, Ф1у-^2с{—х)1>2 при у-*ос. (1.12)

Так как при —х -»0 вязкий член в правой части (1.11) по порядку величины остается конечным, а градиент давления неограниченно возрастает, то течение в основной части пограничного слоя при

— х ->■ 0 будет локально невязким. Для удовлетворения условию прилипания необходимо поэтому, как обычно, ввести вязкий подслой. Учитывая поведение функции /0(у) при у 0 (1.10), а также требование баланса вязких и инерционных членов и градиента давления в подслое, нетрудно установить, что для главного члена разложения функции ф, (х, у) в этой области имеем

Ь ~(- ^)1/2/i(7i) + • • • - 7i = y(—X)-1'3 . (1.13)

Функция /, (т)) удовлетворяет уравнению

/Г----]-а0^/[ + -~а0-г1/1-~а0/г = с (1.14)

с граничными условиями на стенке

/,(0)=/;(0)=0. (1.15)

К этим граничным условиям необходимо еще добавить требование, чтобы функция ^(tj) не возрастала экспоненциально при т)-► оо.

Перечисленные условия единственным образом определяют искомую функцию, которая при tq оо имеет асимптотическое представление вида

/l(*l)~aiT)3,2-f Ьх 7] -f . . . , 7J-*00. (1.16)

Численное интегрирование (1.14) дает для постоянных в (1.16) следующие значения: ах — — 5,48 с а-1!2, Ь{ = 4,92 са~213. Асимптотическое представление функции /, (?]) при у\ -*■ оо позволяет выписать условия сращивания решений для tyi в вязком подслое и в основной части пограничного слоя. Пользуясь этим представлением, а также (1.13), получим, что функция (лс, у) в основной части пограничного слоя при —х 0, у -* 0 должна иметь вид

<h~a,y3/2 + M-*)1/6 У+............. (1.17)

На основании этого можно написать следующее разложение для «М*, у) при у = 0 (1):

Ф1~^о(У) + (-*)1/6'гп(У)+ • • • , -*-0. (1-18)

Подставляя это разложение в (1.11), получим следующее уравнение

/оЛ'1-/о/7„ = 0) (1-19)

решение которого с учетом граничных условий (1.12) имеет вид:

Ри (У) = Л и/о (У). (1.20)

На основании (1.17) и (1.10) определяем постоянную интегрирования Ап = Ь1/а0. Заметим также, что

Ло(У)~«юУ3/2+ • • • , У 0. (1.21)

Этим завершается построение асимптотического решения для течения в пограничном слое перед областью взаимодействия

и отрыва при —х 0.

2. Область взаимодействия. Выпишем теперь, пользуясь (1.8),

(1.13), разложение для функции тока в подслое:

ф-^-М-*)2/3^ е1/2 [(— (т\) + • . .]• (2.1)

Это разложение перестает быть справедливым при е1/2(—л:)1^2—2/3= = 0(1), т. е. при (—х) = 0(е3). Поэтому необходимо отдельно рассмотреть окрестность точки отрыва с продольным масштабом

порядка г3. Для определения порядков величин переменных в этой области воспользуемся полученными в предыдущем разделе

асимптотическими представлениями. Начнем с оценки величины поперечной составляющей вектора скорости в основной части пограничного слоя при у -*■ оо. Ее безразмерное значение равно

V — — Не-1/2е-1/2([»Л. (2.2)

Так как при — л:-> 0, у оо на основании (1.9), (1.10)

%х=\{/0-уГ0)—(2.3) а на основании (1.18), (1.20)

----^г(-*)-5'6Л, 00+ ~ - у(-*)-5'6 Ли + ■ . • , (2.4)

то при (— х) — О (е3),

фд. = 0(е_2) и V — О (Ке-1/2е~5/2). (2.5)

Продольная составляющая вектора скорости в основной части пограничного слоя есть величина порядка единицы. Поэтому полученная оценка (2.5) определяет величину угла наклона вектора скорости в. С другой стороны, на основании сделанного предположения о характере потенциального течения Ое-1'2 х~1/2— = 0(1), так что в области взаимодействия & = 0(е2). Приравнивая полученные оценки для 0 при |дг| = 0(£3), находим, что

в = Ие-1/9. (2.6)

Таким образом, продольный размер области взаимодействия Ах = гАх = О (е4); поперечный масштаб вязкого подслоя в этой области у = еб_у = 0(гв); функция тока в подслое ф = г5 = О (г7); переменная часть коэффициента давления /? = 0(вг).

Заметим теперь, что все основные соотношения рассматриваемой задачи формально сводятся к соотношениям задачи об отрыве

от гладкой поверхности тела, рассмотренной в работе [1]. В самом деле, переход от переменных х, у, ф к переменным х, у, ф, согласно соотношениям (1.4), по существу, равносилен введению в качестве характерной длины вместо / расстояния е/ от передней кромки пластины до точки отрыва потока. Если теперь, пользуясь этим масштабом, определить число Рейнольдса задачи как Ие£ = = иое11'>, то на основании (2.6) получим, что основной параметр, входящий в уравнение (1.6) и во все последующие соотношения предыдущего раздела, равен 1Лг = ИеГ1/16, т. е. совпадает с малым параметром работы [1|. Это обстоятельство позволяет в дальнейшем опустить некоторые подробности выкладок, приведенные в [1].

Вводя на основании полученных оценок переменные порядка единицы для течения в подслое области взаимодействия

Х = е-Зх, К = е—1 у, Чг = е_2ф, Р—е.—2р, (2.7)

получим следующие уравнения и граничные условия для главных членов асимптотических разложений в этой области:

хру ЦГХу - Ууу + Рх = ЧГууу; Ру = 0; I

¥ (X, 0) = (X, 0) = 0. ) (2-8)

В основной части пограничного слоя области взаимодействия вследствие (1.18) будем иметь

Ф~/оО') + *1Я/7,оО')+0(.). (2.9)

Сращивание этого разложения при у — 0 с решением для подслоя при У -> ос дает внешнее граничное условие для уравнения (2.8):

Т__1а0уа + в1уз/а+ ... . (2.Ю)

Сращивание решения в подслое области взаимодействия с асимптотическим разложением (2.1) дает необходимое начальное условие для уравнения (2.8):

¥(*, У)----а0 У2 + (- *)»/»/, [ (_-^т7Г ] + ••• при *--00.(2.11)

Так как давление не меняется поперек пограничного слоя, и наклон линий тока, обусловленный вытесняющим воздействием вязкого подслоя, передается без изменения поперек основной

части пограничного слоя, то из рассмотрения потенциального

течения в области (х, у) = 0(е4) можно получить решение в виде известного интеграла теории тонкого профиля

—00

Где

0(Л)= Нт |---------^Ц. (2.12)

К-юо ( У )

Найденное значение Рх следует подставить в уравнение (2.8) при е~4у— 0. Для полного замыкания задачи о течении в подслое области взаимодействия необходимо еще определить асимптотическое условие вниз по потоку при Х-+со в зоне возвратного течения в области отрыва. Это условие может быть получено из рассмотрения течения за областью взаимодействия.

3. Течение за областью взаимодействия. Профиль скорости в основной части пограничного слоя, как гбыло показано выше, остается неизменным в области взаимодействия .и в своем главном члене сохранится также вниз по потоку от этой области. Эта часть поля течения будет отделяться от зоны отрыва слоем смешения. Введем криволинейную ортогональную систему координат ?, п (см. фиг. 1), в которой линия я = 0 совпадает с нулевой линией тока.

Независимыми переменными порядка единицы в слое смешения будут

а = е~1а, П = е~5П, (3.1)

а функция тока в своем главном члене будет равна

ф ~ еб ф + • • • • (3-2)

Так как градиент давления вдоль области отрыва в первом приближении отсутствует, то для функции ф получаем уравнение

— Ф» Фия = Фяяп- (3.3)

При п -*■ оо из условий сращивания с основной частью оторвавшегося пограничного слоя получим

а°п2 + • • • • (3-4>

Кроме того, имеют место обычные для слоя смешения условия

ф(«. 0)—0; ) (35) ф„(з, л) -> 0 при п— Оо. )

Задача (3.3)—(3.5) имеет решение вида

Ф ~ О2/3 (V) + . . . , у = ло-1/3, (3.6)

причем функция go{v) удовлетворяет уравнению

+-д-ё'ой'о----^-ёо2 = 0 (3.7)

и граничным условиям

£оМ-----^-а0у24-..., (V -»■ сю); ^О(0) = 0; £о(—оо) = 0. (3.8)

Решение этой задачи известно [8]; оно дает значение ао~1/3 р"0 ( —оо) = = Ко = -1,2521.

В области отрыва (ф<0) имеет место медленное течение с характерной скоростью, определяемой эжектирующим воздействием

слоя смешения. Кроме того, известна форма нулевой линии тока (границы зоны) при х -> 0:

у----+ . (3.9)

Таким образом, здесь при х = 0(г) имеем у = О (е3/2) и ф = 0(е6). В результате для скорости течения и давления получаем оценки фу = 0(е7/2), р — 0 (е7). Решение задачи для течения в зоне отрыва имеет вид

ф~е5х2/3А (£) + ... , 1=ух~312 1 (3 10)

р ~ г’ 1х~5* +....... ‘

Функция Л (?) удовлетворяет следующему уравнению и граничным условиям

Остается рассмотреть последнюю область поля течения при л:> 0 —пограничный слой на стенке в зоне отрыва, поскольку решение задачи (3.11) не удовлетворяет условию прилипания. Обычная процедура вывода уравнений пограничного слоя показывает, что функция тока в этой области может быть представлена в виде

Уравнение и граничные условия, которым должна удовлетворять функция <р0 (С), имеют при этом вид

4. Закон подобия. Условия сращивания решения в области взаимодействия и отрыва с течением за областью взаимодействия, которые получаются на основе асимптотических выражений (3.6/,

(3.10) и (3.13), вместе с ранее полученными условиями (2.8), (2.10),

(2.11) и (2.12) полностью замыкают задачу. Заметим теперь, что замена переменных вида

позволяет привести все соотношения к форме, включающей лишь один параметр

который будет, таким образом, параметром подобия задачи, характеризующим относительную роль градиента давления и трения в основной части пограничного слоя.

Для удобства ниже выписана полная система соотношений в переменных подобия, описывающая течение в области взаимодействия

(3.11)

Если принять в качестве решения этого уравнения

А = — 1/2Х Ё,

то из второго граничного условия (3.11) получим, чтоХ =

32 с2 •

(3.13)

(3.14)

X = а<Г5/4 Х\ У = ао314У-Р -- ао12 Р

(4.1)

а = с/аГ

(4.2)

'Р?¥ху-^Ч^+-Р7=х£гу?у; Ру — 0;

¥(*, 0) = Т? (Л”, 0) = 0;

Р + . . . при Г + ос;

Р + а (_ Х)^/х

¥

Г У — аХ3/2

X’'3

А’р ■

а

при * -> — оо;

при X -* оо.

(4.3)

■ГА^Ч. . .

Ч-~*1/12<р0 (Г *-11/12) + . . .

В этих соотношениях

/1 (^) = й(Г,/8/1 (¥*сГ1/3);

Яо (V) = c^ol|3go Йо/8);

?0Ю = аГ?°(СаГ8)

и функции /,, ^0, Л0 удовлетворяют уравнениям и граничным условиям, не содержащим никаких параметров, кроме а.

(4.4)

Фиг. 2

В заключение заметим, что рассмотренная задача об отрыве ламинарного пограничного слоя от поверхности плоской пластины относится, разумеется, не только к частному случаю, когда причиной отрыва является препятствие в виде уступа. Любая другая причина, вызывающая появление неблагоприятного градиента давления (достаточного для появления отрыва), будет приводить к тем же результатам.

Дополнение. Когда эта статья была уже написана, автору стала известной работа [9], в которой проведено численное исследование существования и единственности решения задачи об отрыве от гладкой поверхности [1], полностью эквивалентной (как уже отмечалось) задаче (4.3). В результате проведенных в этой работе расчетов (подтвердивших предложенную трехслойную асимптотическую структуру течения) было найдено единственное зна-

чение параметра а = 0,44, а также получены асимптотические зависимости для распределения давления и трения в окрестности точки отрыва. Используя эти зависимости, можно сопоставить результаты описанной выше асимптотической теории отрыва от поверхности пластины с численными результатами работы [10], в которой эта задача решалась на основе численного интегрирования полных уравнений Навье — Стокса при числах Re до 800. Соответствующие зависимости для распределения трения перед точкой отрыва приводятся на фиг. 2. Как видно, соответствие асимптотической теории „Iimit“ численным расчетам улучшается с ростом числа Re и оказывается весьма удовлетворительным при Re = 800.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сычев В. В. О ламинарном отрыве. „Изв. АН СССР, МЖГ“,

1972, № 3.

2. Рубан А. И. О ламинарном отрыве от точки излома твердой поверхности. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 2, 1974.

3. Stewartson К. On laminar boundary-layer near corners.

„Qvart J. Mech. Appl. Math. vol. 23, part 2, 1970.

4. Рубан А. И. К теории ламинарного отрыва жидкости от точки излома твердой поверхности. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 7,

№ 4, 1976.

5. Stewartson К. Multistructured boundary-layer on flat plates and related bodies. .Adv. in Appl. Mech.“, vol. 14, 1974.

6. Чаплыгин С. А. К вопросу о струях в несжимаемой жидкости. Собр. соч. т. X, 1899.

7. Lighthi 1 1 М. J. A note cusped cavities. „ARC Rep. and Mem“. pi 2328, 1949.

8. Нейланд В. Я. Течение за точкой отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1971, № 3.

9. Smith F. Т. The laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smouth surface. .Proceedings of the Royal Society*, sec.

A, N 356, 1977.

10. Leal L. G. Steady separated flow in a linearly decelerated free stream. „J. Fluid Mech.“, vol. 59, 1973.

Рукопись поступила 3/1 1978 г.