CC BY
59
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м V 1974
№ 2
УДК 533.6.04.55
К ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГИПЕРЗВУКОВОГО ПОТОКА С ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ ДЛЯ ОТРЫВНЫХ ДВУМЕРНЫХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ
ЧАСТЬ 1. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
В. Я■ Нейланд
Обнаружена глубокая аналогия между трехмерным пограничным слоем (или энтропийным слоем) на режимах взаимодействия и двумерным невязким потоком. На холодных телах и в следе уравнения пограничного слоя, кроме поверхностей тока, обладают двумя семействами характеристик (как сверхзвуковой поток), ограничивающих области передачи возмущений. Для докритического режима, аналогичного дозвуковому потоку, решение вблизи передней кромки содержит произвольную функцию, которая может определяться из условий на особой линии, аналогичной звуковой линии плоского потока. Получены уравнения характеристик и .звуковых“ линий, условия отпирания и запирания возмущений. Исследованы, в частности, закритические течения на треугольном крыле с докритичес-кими и закритическими передними кромками.
1. Рассмотрим особенности распространения возмущений и постановку краевой задачи для пограничного слоя на треугольном крыле, когда взаимодействие с внешним гиперзвуковым потоком не слабое, а температура тела мала по сравнению с температурой торможения набегающего потока. Полученные результаты позволят сделать интересные выводы для общего трехмерного течения.
Введем декартову систему координат, начало которой поместим в вершину крыла, оси х1 и г1 направим по нормали к одной из кромок и вдоль этой кромки в плоскости крыла, соответственно, а ось _у/т — по нормали к плоскости крыла.
В соответствии с обычными оценками для пограничного слоя В гиперзвуковом потоке [1] обозначим и^и, исот, Шао®, т^РооР, 12?хИ200р, (ul0|2)g, р0р. — компоненты скорости, плотность, давление, энтальпию торможения, коэффициент вязкости. Параметр Т = Ие^1/4, где число Ие0-—рооИоо//^ определено по значениям плотности и скорости в невозмущенном потоке, коэффициента
вязкости при температуре торможения, характерного размера I, который в автомодельном случае из конечных результатов выпадает.
Уравнения пограничного слоя и граничные условия в переменных А. А. Дородницына имеют вид
да , дг>* . дт „ др п * , «9-п ,
+ + 7^°’ * =^ + иТх + 'т!Гг>
и.
дно
~дх'
р дг дг\
дг.
7-1
2-Г
У
(£ — м2 - и/2) Р, ^=/р ¿у, 3 =
дг)
~
(1.1)
2^ , , , у 1 I дЬ . до \2
= и ~т) ’ ^=~2'{~^81П<0о + ^С08Ш°) ’
= ъит = gw — О, ие — эт о>0, ‘Ме = со8ш0, ёе^\. .
Здесь ш0 — угол между осью г (кромкой крыла) и направлением
набегающего потока; и>0 —--------у, где х — Угол стреловидности
крыла.
Для дальнейших исследований сделаем замену переменных:
(х, ц, г)-* х, С = агсііг- , X = -ціхЩ ,
Ц==ІІ т^-дг у* = _(Й. + 0і\ и дц’ дт, ’ \ дх+ дг I •
Ф=Х1'4/*, <р = л:1/4<р*, р = Х-^р^, р = лг
8 = л3/48а.
(1.2)
Выпишем уравнения и граничные условия в новых переменных, опуская у них звездочки:
4
БІП 2о> 2о>п
(/'/'• -ГГ)-
“о Р
БІП2 О)
“о
(ГГ-Г г);
ту+4- /г+Чг /'2 - ?'2)=
й0 Р
БІП 2<0 , ,, , ,, . віп2 И , , , »4
___ (/' срГ. _ 9,,ґ)_ _____ (<р, __ г) .
Мі
-)(/,2 + т'2У
БІЯ 2а) . г. , , ч БІП2 со / , , .
~2^г </ ~ * /■)------------------¿г(? _ 5 т');
(1.3)
I 12) ¥ и> Iи
Т + 1
О)
3
:8» = °. /*=81пю0, ?' = СО8в>0, £в=1;
8 51п О)0 + — 1 — БШ 2со в1п Ш0 — в1п2 0) СОЭ (1)0
(1.3)
Как обычно [2, 3], можно построить разложение для решения вблизи передней кромки:
РЮ=Ро + АСа + ..., /(С,Х)~/0(т1) +^-Са/ (х) + ..„
Ро
<р(С, X) ~ ?0 (X) + ?1 (X) +ё(С, к)~£0 (X) + С“ &(*)+...,
ЛГ(С, X) ~ Л/0 (X) + в. С“ ^ (X) + 8 (Г) ~ 80 + ^ С“8, + ... .
(1.4)
Уравнения для нулевого приближения можно получить из (1.3), положив там ш = 0. Следующие члены разложения определяются из системы линейных уравнений
(1.5)
/' + N,/1)' +4-(/оЛ* + /,/о ) + -^ [¿Г. - 2/0/; -— 2<р0 «р; — 2а (£0 - /;2 — ср^2)] = а (/'0/[ —/’ _Д);
(Л', <р; + л/о ?;т + 4- (/о 'рГ + А ?о') = а (/о ?1 — то /0;
-7-°^ + +4"^°^ +/1^0)+ К1'----¿-)[Л^('Ро2+/о2)' +
+ 2Л^0 (/’ /; + <Р'0 «Р2)' ] ] = а (/; й — ^о/О;
М = л^о [1 - (л -1) (^ - 2/; /; - 2ср; «$/(£„ -/^ _ ^.
Граничные условия для системы (1.5) тривиальные. Формулы для 8 и р в (1.3) после подстановки (1.4) дают два независимых соотношения, определяющих 84. Константа рх выпадает из рассмотрения вследствие специального вида разложений (1.4), в которые рх входит в виде множителя во все функции. Если рх вводить только в разложение функции /?(С), то получается система линейных однородных уравнений, которая также разрешима только при собственном значении а, определяемом из того же условия, что и для (1.5),
а —
2 (/=■!-/у
-1
(1.6)
Разумеется, решение (1.4) — (1.6) определено с точностью до произвольной постоянной ри если существует нетривиальное решение задачи. Однако численные исследования показали, что
собственные решения при gw = 0 существуют только для крыльев с большой стреловидностью передней кромки (малыми значениями ш0). Зависимость а от у — — "о ПРИ о = ш= 1 приведена на
фиг. 1. Таким образом, для крыльев с достаточно большим значением ш0 существует область, прилегающая к передней кромке, в которой реализуется автомодельное течение, совпадающее с течением около полубесконеч-лой скользящей пластины, как это предполагалось (но почти для всего крыла) в работе М. Д. Ладыженского [4]. Аналогичное явление запирания возмущений на холодных телах для сверхзвуковых течений со свободным взаимодействием обнаружено в работе [5].
Поэтому сделанное в работе [6] замечание о невозможности запирания возмущений в двумерных течениях на холодных телах является ошибочным и связано с использованием предельных решений [7 — 9] вне области их применимости.
Заметим, что при доказательстве принципа невозможности локализации возмущений для те/ чений при неслабом взаимодействии пограничного слоя с внешним гиперзвуковым потоком [2] существенно используется вид течения в узком пристеночном слое, где возмущения скорости, вызываемые малым перепадом давления, порядка самой скорости. Именно большая величина Ъ* ~ gwAp'l|2, создаваемого этим подслоем при малых возмущениях давления Ар, приводит к выводу о необходимости передачи возмущений вверх по течению на конечные расстояния. Однако при -* 0 (другой случай запирания возмущений под действием мощной волны разрежения рассмотрен в работе [10]) Д8* полностью зависит от деформации профилей в основной части пограничного слоя. Там Д8*~Д/?, а знак йЪ/йр зависит от профиля числа М поперек пограничного слоя. Если с1Ь/йр<^0, то согласно терминологии, введенной для плоских течений в [11], слой „закритический“ и передачи возмущений нет. „Докритический“ случай, й!8/а!,/7>0, соответствует распространению возмущений вверх по течению. Грубый интегральный подход [И] не учитывал влияния подслоев и при изучении течений с gw— 0(1) приводил к качественному расхождению со строгими решениями. Однако для течений с ¿то=0 появляется качественное совпадение: „дозвуковое“ в среднем
течение ((1Щс1р> 0) передает возмущения, а „сверхзвуковое“ не передает.
При переходе к пространственным течениям аналогия с дозвуковым и сверхзвуковым типом передачи возмущений давления также сохраняется. Решения [3] соответствуют дозвуковому случаю, решение, полученное выше при = 0,—сверхзвуковому. Но
в сверхзвуковом течении невязкой жидкости (а характерное зна-
чение числа М внутри пограничного слоя даже при ^ = 0 не гиперзвуковое, М~1) есть направления, лежащие внутри конусов. Маха, по которым возмущения передаются. Поэтому рассмотрим теперь треугольное крыло с большим ш0 и £„, = 0 и будем искать такое значение и>, при котором собственные решения задачи, позволяющие учесть возмущения, идущие от плоскости симметрии или от соседних мест, лежащих в области больших С, появляются на некотором не известном заранее луче 0<С!<1.
В области 0<С<С1 имеется автомодельное решение, соответствующее обтеканию пластины с передней кромкой, которая не обязательно перпендикулярна скорости набегающего потока. Это решение соответствует нулевому члену разложений (1.4).
Ищем решение в виде
/7(0^0+ ДСА + ..., 8(С)~80 + ДС-^81 + ..., ДГ = С-С„
Ро
/(С, Х)~/0(Х) + ДГ^./і(Х)+ ?(!;,Х)~ср0(Х)+ДС^1?1(л)
£(С,Х)~£0(Х) + ДС^^)+
Ро
N(^^)^N0(k) + AíJ±Nl (Х) + ....
Р о
(1.7)
Уравнения для нулевых членов соответствуют (1.3) при ш (автомодельность в зоне невозмущенного течения)
О
4т
■Біпго), (£о— /02~?02) =
(/о/; ~ /о' А ) - *ІП2 Ш\ - /о ) ; 1^5іП»«,1(^0-/о2-?;2) =
---п22мі (А?! - % А)—эш3(<р' <?; — <р• <р,);
0— ~2~ 8ІП 2«! (/¿5,—^о/і)—8іп2 “і (^о^і-^о ?,);
(1.8)
(§1 + 8о) ~\Рч = Ръ
со
^ = /(^1-2/0/;-2т0у[)ф:, 81 = о.
о
Эти разложения непригодны в окрестности X -» 0, где необходимо рассматривать область Х = Х/о(Д£) = 0(1), с масштабом а (Д С) —» 0 при ДС-^0, причем о(ДС) необходимо ввести так, чтобы сохранить во внутренней области вязкие члены уравнений (1.3) и чтобы решение допускало сращивание с решением (1.8). Соответствующая процедура ^проделана, однако здесь она не приводится, поскольку область X = 0(1) не влияет на и определение
Уравнения (1.8) можно проинтегрировать: 7 — 1
/;=+■
2-Г
сое а»! (¿'о - /о2 - %2)
сое <»1/0— Бт о>[ ср0
/*'2 '2 „ г го —/о -<р0
.> .7-1
"1 2-г
БШ №о~ /02 ~ %2) С05 О)!/0 — БШ !р0
го-/о2-<Ро2
go-fo -
2 ' 2
27 0 (сое СО] / о - 81п со1 <р^2
О
¿X.
(1.9)
Согласно последним формулам (1.8), для существования собственного решения величина С! должна удовлетворять уравнению
го-/о"
где
сое <в\/'0 — вт «! срц ^0 = ]* (g0 — f02-?02)dl.
¿X
(1.10)
Тогда в области решение автомодельно, а возмущен-
ная часть области течения и собственные решения, определенные с точностью до произвольной константы рх, появляются при С=£|. Метод нахождения р{ из граничных условий будет описан во второй части статьи. Зависимость ш* от Х = ~^—шо показана на фиг. 1, ГДе (В* = 10!.
2. В предыдущем разделе на частном примере треугольного крыла обнаружена аналогия между распространением возмущений в сверхкритическом трехмерном пограничном слое и в сверхзвуковом потоке невязкого газа. Естественно попытаться построить характеристические поверхности и соответствующие соотношения в общем случае (помимо характеристик, связанных с поверхностями тока, см. например, [12]).
Следуя обычному методу, будем искать поверхности, на которых нормальные производные от функций течения не определены однозначно заданием на этих поверхностях начальных данных.
Введем криволинейную ортогональную систему координат (£, г), С). Поверхность Т1 = 0 совпадает с поверхностью тела или
некоторой поверхностью, лежащей внутри следа за телом, -ц отсчитываем по нормали к этой поверхности. На цилиндрической поверхности £ — const, нормальной к поверхности тела, заданы начальные данные, т. е. известны производные от функций течения по С и т) (С = const — цилиндрические поверхности, ортогональные семействам £ и т|). Необходимо найти производные по Приведем уравнения и граничные условия:
где ки /г3 — коэффициенты Ламе. Величины х3, О — напряжения трения по т) и тепловой поток.
Вид этих функций не уточняется, так как дальнейшие выкладки справедливы не только для ламинарных течений, но и для невязких течений, возникающих при сильном вдуве или в энтропийных слоях, где эти члены отсутствуют. Проводимые рассмотрения пригодны также и для некоторых видов приближенных уравнений турбулентных течений. Величины V*, т\* — переменные А. А. Дородницына, у которых далее, как в (1.1) и (1.2), звездочки опустим.
Имеем также
где «)—угол между вектором скорости набегающего потока и касательной плоскостью к оси £, нормальной к ?] = 0. Величина к], равна 0 или — сю для течения около тела и в следе, соответственно.
Граничные условия имеют вид
условие при V] — оо выписано для следа, а при ■/¡ = 0— для течения около поверхности тела.
Из соотношений (2.2) получаем
и да , * ™> г!"
------------±. v* -
™> ___________________ 1 др
hi дЧ бт\* ' ft3 di
и dw ,
■-----------\-V
hx dS
(2.1)
4-V* Js. 4- JLiif = ¿9 dP =Q.
1 7. ЛГ ’ -3..* ,
' ch]* h3 дС д-ц ’ drt* ’ dhx w dh3— u {wdhi Udhl\ d'Q hx h3 dS 3 hxh3\ d£ di)
g — u2 — w2 =
2? P 7 — 1 P ’
(2.2)
7] —»• ± ОС , U —* COS 0), W Sin 0), g 1
7]=0, u=V—w==g = 0,
(2.3)
1 11 f 2p 1 db_ . \_ 1 dF_________ 1 dp
5 cos <u V V 7 + 1 h3 dC Sin Ш) Fhx d£ phx ’
(2.4)
F = j (g — <72)dri, q2 = u2 + w2.
Проведем дифференцирование под знаком интеграла в Т7 и подставим выражения для производных по £ от и, ^ из (2.1):
Если ввести функции тока так, чтобы <|>($, О, С) = 0, то из первых двух уравнений (2.1) получаем
Используя (2.6) для исключения V из (2.5), получаем в явном виде выражение для нормального к поверхности E=const градиента давления:
При использовании (2.6) и исходных уравнений (2.1) можно получить и нормальные производные для остальных функций. Поверхность является характеристической, если знаменатель (2.7) обращается в нуль. Это условие можно преобразовать к виду, допускающему ясную физическую интерпретацию:
где 8Ь 62 — верхняя и нижняя границы пограничного слоя или следа, которые для рассматриваемого гиперзвукового режима течения определены точно.
Таким образом, характеристическими являются цилиндрические поверхности, в проекции на которые некоторое среднеинтегральное
(2.6)
(2.7)
1 и3 дк-дт) ' ^ А3
В частности, для двумерного течения в следе
(2.7а>
(2.8)
значение числа М равно единице. Если в данном месте поверхности максимальное значение интеграла (2.8) при проектировании скорости на любое направление остается отрицательным, то пограничный слой докритический. В этом случае возмущения давления передаются во все стороны на конечные расстояния. Если есть направления, в проекции на которые интеграл в (2.8) положительный, то как в сверхзвуковом невязком потоке возмущения давлений распространяются в пределах „конусов Маха“, границы которых определены формулой (2.8). (Разумеется, есть еще механизм передачи информации вдоль поверхностей тока).
Вдоль характеристик, согласно (2.7),
А — В — И — 0. (2.9)
Остальные соотношения могут быть получены стандартным путем из (2.1) и (2.6). Формула (2.8) позволяет также установить существование аналога „звуковых поверхностей“ невязкого течения, на которых происходит изменение характера передачи возмущений. Эту роль играют поверхности, на которых максимальное значение интеграла (2.8) для профиля в точке (£, С) обращается в нуль.
Этот момент соответствует переходу от докритического к сверхкритическому течению или наоборот. Например, при обтекании тонкой нехолодной пластины с гладкой формой передней кромки разложение в ряды решения в окрестности передней кромки содержит произвольную функцию, так как течение докритическое. {Это прямое обобщение результатов работы [2] на случай пространственного течения). Однако при сходе пограничного слоя с задней кромки крыла скорости в следе растут и на некоторой „звуковой“ поверхности (линии на плоскости I, С) происходит переход к закритическому течению. Выбор произвольной функции должен осуществляться из условия одновременного выполнения (2.8) (для максимального значения интеграла) и (2.9). Таким образом, область влияния замкнута.
Можно рассматривать и обратный переход от сверхкритичес-кого к докритическому течению. Условие (2.8) показывает, что на „звуковых линиях“ появляются произвольные функции. Частный случай перехода рассмотрен в первом параграфе этой работы. Однако переход может совершаться при сильных встречных возмущениях через сверхкритические скачки, т. е. области локальной неприменимости уравнений пограничного слоя. Для сверхзвукового течения и режима слабого взаимодействия такие области рассмотрены в [5].
Аналогичные результаты для гиперзвуковых течений на режимах неслабого взаимодействия будут приведены позднее.
3. Сделаем некоторые заключительные замечания.
С асимптотической точки зрения значение gw=0 соответствует всякому значению £П,<С11» хотя gw может быть порядка членов второго приближения. Практически параметр малости т = Не~1/4 —
•—0,05 ч-0,17.
В настоящей статье показано, как уравнения пограничного слоя можно разрешить относительно продольных производных, которые выражены через известные функции. Особенно простые соотношения получаются для случая двумерного течения. Такая форма уравнений полезна не только для анализа постановки краевой задачи, но и для создания численного метода решения,
по крайней мере при расчете следа и течения на холодном теле, так как в последнем случае исключенной оказывается особенность на стенке.
Наконец, анализ областей влияния показывает, что рассмотренный в работе [3] докритический режим на конечном треугольном крыле не реализуется, а на бесконечном требует изучения влияния областей умеренного и слабого взаимодействия, которые формируются вдали от вершины и кромок крыла. Эти влияния должны быть учтены в разложениях решений вблизи передней кромки, где при этом вместо произвольных констант появляются произвольные функции от х. По-видимому, разложения [3] являются асимптотикой для малых (но не слишком малых) значений х. Для режима закритического течения этих ограничений не возникает.
В настоящей статье указано, что для докритического течения разложение решения в ряд вблизи передней кромки содержит произвольную функцию одной переменной, а не одну константу, как для двумерных течений [2] и [3]. Поэтому, если решение не рассматривается во всей области влияния, а лишь в некоторой области, прилегающей к передней кромке, то для выделения единственного решения необходимо на задней границе задавать целую функцию, а не одну константу. Поэтому вариант правила подобия, предложенный в [13], в общем случае не пригоден.
В заключение автор считает приятным долгом поблагодарить Ю. Н. Ермака, выполнившего на ЭЦВМ расчеты, результаты которых приведены на фиг. 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хейз У. Д., П р о б с т и н Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1967.
2. Нейланд В. Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1970, № 4.
3. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыле. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1970, № 6.
4. Ладыженский М. Д. О сильном взаимодействии пограничного слоя с невязким потоком на треугольной пластине. ПММ, т. 29, вып, 4, 1965.
5. Нейланд В. Я. Особенности отрыва и взаимодействия пограничного слоя на охлаждаемом теле с гиперзвуковым потоком.
„Изв. АН СССР, МЖГ", 1973, №6.
6. Brown S. N., S te wars on К. Laminar separation Annual Review of. Fluid Mech., vol. 1, 1969.
7. Нейланд В. Я. Сверхзвуковое течение вязкого газа вблизи точки отрыва. В сб. „Аннот. докл. 3 Всес. съезда по теор. и прикл. механ.“, М., АН СССР, 1968.
8. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного ■слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1969, № 4.
9. Stewartson К-, Williams P. Q. Self-induced separation.
Proc. Roy. Soc. A. 3, 12, 1969.
10. Нейланд В. Я. Вдувание газа в гиперзвуковой поток, „Ученые записки ЦАГИ“, т. Ill, № 6, 1972.
11. С го с со L. Consideration of the shock-boundary layer interaction.
Proc. Conf. on High-Speed Aeron. Brooklin, 1955.
12. Wang К- C. On the determination of the zones of influences and dependence for free—dimensional boundary-layer equations. J. Fluid Mech., vol. 48, № 2, 1971.
13. Козлова И. Г., M и x а й л о в В. В. О влиянии возмущений пограничного слоя на гиперзвуковые течения с вязким взаимодействием. „Изв. АН СССР, МЖГ-, 1971, №4.
Рукопись поступила 19/XI ¡973 г.
