О течении в окрестности плоскости симметрии холодного треугольного крыла при стремлении показателя адиабаты к единице Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6.011.55+532.526

Г.Н. Дудин1,2, К.Т. Мьинт1

1 Московский физико-технический институт (государственный университет)

2 Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского

О течении в окрестности плоскости симметрии холодного треугольного крыла при стремлении показателя адиабаты к единице

Исследовано течение в пограничном слое на плоском треугольном крыле в режиме сильного вязкого взаимодействия с внешним сверхзвуковым потоком. Аналитическое исследование проведено в случае «ньютоновского» предельного перехода, при котором показатель адиабаты стремится к единице, а значения чисел Маха и Рейнольса — к бесконечности. В области докритического режима течения в окрестности плоскости симметрии крыла проведено разложение функций течения в степенные ряды по указанному выше малому параметру и по значениям поперечной координаты. Приведены системы обыкновенных дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями для определения коэффициентов членов разложения. Определены условия замыкания для них. Проведено сравнение распределения давления в виде разложения в ряд с численным решением системы в частных производных.

Ключевые слова: гиперзвук, вязко-невязкое взаимодействие, треугольное крыло, пограничный слой.

Характер течения в пространственном ламинарном пограничном слое на плоском холодном треугольном крыле, обтекаемом потоком при больших числах Маха на режиме сильного вязконевязкого взаимодействия, существенно зависит от угла стреловидности передней кромки крыла в и от величины показателя адиабаты 7 = Ср/Съ (Ср и Су — соответственно удельные теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме) [1, 2]. Крыло считается холодным, если температура его поверхности Тш мала по сравнению с температурой торможения То набегающего потока. Известно [3], что для каждого конечного значения параметра е = 7 — 1 существует критический угол стреловидности крыла в*. При углах больше критического в пограничном слое на всем крыле реализуется область докритического течения, в которой возмущения распространяются от плоскости симметрии крыла вплоть до передних кромок, так как течение в ней является в среднем «дозвуковым» [1]. При углах стреловидности меньше критического в пограничном слое возникают области как закритического, так и докритического течений. В областях закритического течения, расположенных около передних кромок, возмущения не распространяются вверх по потоку, так как поток в них является в среднем «сверхзвуковым» [1]. Как показали численные исследования, при обтекании холодных треугольных крыльев с удлинением в = с^ в = 0(1) безразмерный размер области докритического течения существенно уменьшается [3, 4], то есть, за исключением узкой области в окрестности плоскости симметрии, практически на всем крыле реализуется режим закритическо-го течения. Определение параметров в этой области при малых значениях е из решения уравнений в частных производных с помощью конечно-

разностных методов представляет определенные сложности.

Рассматривается обтекание полубесконечной треугольной пластики на режиме сильного вязконевязкого взаимодействия. Предполагается, что температура поверхности Тш мала по сравнению с температурой торможения То набегающего потока и параметр е асимптотически стремится к нулю. Газ считается совершенным с постоянными значениями Ср и Су. Вязкость линейно за-

висит от температуры ц°/^0

Co T 0/То, где

C0 = const, а индекс то обозначает параметры в невозмущенном потоке. Компоненты вектора скорости u0,v0,w0 направлены соответственно вдоль осей x°,y°,z° декартовой системы координат, начало которой расположено в вершине крыла с по-лууглом wo (рис. 1). Удлинение крыла s = tgwo. В невозмущенном потоке и0 — скорость, р0 — плотность и g0 — энтальпия торможения стремятся к постоянным значениям, когда число Маха М0 ^ то. Тогда р0 — давление, а0 — скорость звука и Т0 — температура стремятся к нулю.

Рис. 1

Согласно гиперзвуковой теории малых возмущений [5] при Мто ^ 1 и безразмерной толщине ламинарного пограничного слоя 6 ^ 1 в случае выполнения предположения о сильном скачке Мто6 ^ 1 индуцированное давление имеет порядок р0 ~ р^и2^62. Статическая энтальпия в пограничном слое Ь0 ~ п2/2. Для плотности газа в пограничном слое имеем оценку:

1_

рс

р-Ьгх, ^ /Зоо».^ Рос к°

2 62

2^-1

Рс (7 - 1)и10

52є

(1)

Для оценки толщины 6, приравнивая порядки главных вязких и инерционных членов, получаем

А°

ди° д ^ 0<9г/°\ ду° ) ’

дх° ду°

Рс

-,62г

єЬ

(& О^оо

62Ь2 ’

6 ~ є1/4Иє°/4.

(2)

Здесь Reо = ржпжЬ/р0 — число Рейнольдса, р0 — динамический коэффициент вязкости, вычисленный при температуре То, Ь — характерный размер, который при рассмотрении обтекания полу-бесконечной пластики из конечных результатов выпадает.

Рассматривается случай, когда плотность газа в пограничном слое мала по сравнению с его плотностью в невозмущенном потоке р0/рж ^ 1 и, следовательно, е ^ 62. Из уравнения количества движения вдоль оси х0 оценим величину поперечной компоненты скорости , которая создается в пограничном слое перепадом давления вдоль оси х

, дт°

°

° °дю0 ° пдю0

Ри^1а+Рг’

дх°

+ А’°

ду°

дг°

др° д Ґ 0дги°\

дг° ду° у ду° )

(3)

Если удлинение крыла в достаточно велико, то оценку можно получить из равенства порядков величин следующих членов уравнения (3):

Р°и°

дго°

дх°

др°

дг°’

Р

-,62и

Рс

єЬ

вЬ

(4)

В рассматриваемом случае

(р0ю0дю0/дг0)(др°/дг0)-1 - є/в

и следовательно, для удлинений крыла в л/ё конвективным членом р°т°дт°/дг° в уравнении (3) можно пренебречь. Заметим, что вне пограничного слоя для рассматриваемого случая 6/в ^ 1 согласно «теории полос» этот компонент скорости

°

имеет порядок ^0 ~ ис

Заметим, что другой предельный случай реализуется для малых удлинений в. Оценка для тогда следует из условия равенства членов:

р° ю°

ды°

~д^

др° р_оо

дг° ’

62(ю° )2

Рс ис

2 62 тс

євЬ

вЬ

є

1/2.

(5)

Причем продольные конвективные члены в уравнении (3) оказываются малыми при условии (р°и°дго°/дх°)(р°ги°дго°/дг0)^1 <С 1, то есть при в «С л/г. Уравнения пограничного слоя в этом случае вырождаются — выподают члены, содержащие производные по продольной координате х0.

Общий случай, когда все члены имеют одинаковый порядок, реализуется при удлинениях крыла в ~ д/ё, и при этом сохраняется оценка для компоненты скорости поперечного течения (5) — и!0/пж ~ е1/2.

Далее рассматриваются крылья с удлинением в = 0(1) ^ е1/2, и при выполнении предположения Мто 6 ^ 1 для определения индуцированного давления, создаваемого толщиной вытеснения, можно использовать приближенную формулу «касательного клина» [5].

Согласно обычным оценкам для ламинарного пограничного слоя в гиперзвуковом потоке [2, 5] и учитывая (1), (2), (4), вводятся безразмерные автомодельные (по оси х0) переменные и преобразование А.А. Дородницына:

х° = Ьх,

= Ь6хз/4

= ржи20062х 1/2р*(г),

Р° = Рж62є 1х 1/2 р(Х,г),

р° = р0р{\г), д° = и0 = Моо'і/^Л,^),

V° = ис

^бв 1х 1/4р 1х

(6)

, виХ дХ дХ

х V (А,г)-----------------вхи —-------

1 4 дх дг

= исєю(Х,г), 6° = Ь6х3/46*е(г),

6 = є1/4й1/4Иє-1/4.

В переменных (6) система уравнений пространственного пограничного слоя сводится к двумерной, зависящей от Х и 2, так как продольная координата выпадает из краевой задачи.

Для учета особенностей поведения функций течения в случае є ^ 1 в окрестности передних кромок вводятся переменные, которые не являются автомодельными (по оси г) в окрестности этих кромок даже при наличии здесь областей с закри-тическим режимом течения:

Х

П =

у/2^(1 - г2)1/2’

р(г) = \/1 — г2р *

v(n,z)

Д(г) = (1 - г2)-°з/461

1 - г2 дп

(его — виг)--—\-

(7)

V*

дг ^27(1 — 2:2)1/2

2

а

2

л

°

у

°

°

Р

°

62 и2

°

1

єв

°

и

2

и

Система уравнений пространственного пограничного слоя и граничные условия на холодной треугольной пластинке с учетом (6), (7) принимают вид

] = (ею — впх)(1 — х 2)р-1,

ве

дп дп

?-----------1- V — = —

дх д1) 2(1 + е)р

х -

1 + х2 1 — х2 др\ д2 п

+ х-

р дх ) дц

дщ дщ 1-^Г + г'-^Г = ~

1

дх дп 2(1 + е)р

2

(д — п — е щ )х

х х +

1 — х2 др\ д2щ

2

р дх ) д1]

дд дд д (Iдд 1 — а д(и2 + е2ги2) \

дх д1] д1] \adii а д)

ду х (вп дп дщ\ 1 — х

- = (•'» - »*-)- - +«дг] —

(8)

2

д

1

•у/2(1 + е)р

2 + е '

(д — п — е щ )дп

2

|(и->-*-(1--^

П = 0: п = щ = у = д = 0,

П : п ^ 1 щ ^ 0 д ^ 1.

Здесь а — число Прандтля. Система уравнения (8) существенно отличается от соответствующей системы [3] тем, что при предельном переходе е ^ 0 в данной системе толщина вытеснения уже не обращается в ноль. Решение краевой задачи (8), определяющее течение в пограничном слое на всем крыле, зависит в общем случае от параметров в, а и е = 7 — 1. Переходя в (8) к пределу е = 0, получаем

дп д2п

+ »*Г--53. <9>

р дх дп дп2

1 — х2 дд дд д

-вих-----------— + г? —— = ——

р дх дп дп

ду

\_dg_

а дп

1 — а ди? а дп

—— = —вих —---------------вх „

V 4 дх

дп 1 х2

р

д

(д — п2)йп,

р=

1

§(1 + *’)Д-*(!-*’>£

1 — х2 дщ дщ

-вих-------— + V— =

р дх дп

П = 0: п = щ = у = д = 0,

П : п ^ 1, щ ^ 0, д ^ 1.

Систему (9) можно рассматривать как систему уравнений для определения главных членов разложения функций течения в степенные ряды по параметру е. Эта система разделяется, так как в ней функции п, д, у, р и д зависят только от параметров в и а и не зависят от поперечной компоненты скорости щ, и этим она существенно отличается от общего случая, описываемого системой (8). Уравнение для компоненты скорости щ является линейным с нулевыми краевыми условиями, и его решение определяется после нахождения указанных выше функций. Учитывая, что коэффициент при производной по координате х в уравнениях переноса в системе (9) пропорционален х и меняет знак только в плоскости симметрии крыла (х = 0), то, следовательно, реализуется течение с плавным стеканием к данной плоскости, и на каждой половине крыла направление параболич-ности системы (9) сохраняется. Так как градиент давления в плоскости х = 0 равен нулю в силу симметричности течения, то для щ в плоскости симметрии получается обыкновенное дифференциальное уравнение с решением щ(п,х = 0) = 0 [7]. Аналогичные результаты получены в [8] при рассмотрении ламинарного пограничного слоя на конусе при малых углах атаки в сверхзвуковом потоке и в [9] при исследовании обтекания крыльев специальной формы, обеспечивающей малые градиенты давления.

На передних кромках крыла х = ±1 система (9) вырождается в две системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае а =1 решения для последних можно выразить через решение задачи Блазиуса [4, 10].

При исследовании течений в областях с закри-тическим режимом можно рассматривать течение около одной из передних кромок, например, х = 1 и ввести вместо (7) автомодельные переменные

[4]:

Л

Па =

1х

ра

Vх27(1 - х)1/2 ’

д(х) = (1 — х)-3/46е,

(его — зих)-^- +

р(х) = а/1 - ^Р*,

(10)

л/2{1 + е){1 - х)1/2

Тогда в области закритического течения, в которой функции течения зависят от координаты Па((п = па(Па), ^ = ™а(Па),

у = уа (па), д = да(па)), в случае ее существования при хь ^ х ^ 1 получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений [4].

Значение координаты хь перехода от закрити-ческого режима течения к докритическому определяется в случае обтекания полубесконечной треугольной пластики из условия обращения в ноль

2

0

2

р

1 х2 дп

впх

вп

!<

у

у

а

1

2

интеграла [1, 11], который в автомодельных переменных (10) имеет вид

9 9 9

ga- ua- є2wa

2 \ Ua sin(^o — ^l) — &wa COs(^o — ^l)

2,22 —ga + ua + є wa

d'tya

(ІІ)

zk =

tg(w0 — UJ l) tg tUa

Здесь угол ^1 отсчитывается от передней кромки с х = 1, а функции течения определяются из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Система уравнений (8) решалась конечноразностным методом, изложенным в [9]. Расчеты проведены для случая в = 1, а = 1 и

7 = 1; 1,01; 1,05; 1,1; 1,15. На рис. 2 представлено распределение давления по размаху крыла для различных 7. Точками обозначены координаты перехода от закритического к докритическому режиму течения. На рис. 3 представлено распределение индуцированного давления р в автомодельных переменных (10). В области докритического течения (область между звездочкой и плоскостью симметрий крыла) функции давления изменяются наиболее сильно. Согласно приведенным данным при уменьшении параметра 7 координата перехода сдвигается к плоскости симметрии крыла, и, следовательно, размер области докритического течения уменьшается. При 7 =1 область докри-тического течения исчезла.

Рис. 2

Для исследования поведения функций течения в пограничном слое в окрестности плоскости симметрии крыла предполагается, что имеют место следующие разложения по е:

п = п00 (п) + п01 (п)е + п02(п)е2 + п0з(п)е3+

+ (uio(n) + uii (П)є + uia (п)є’2 + ...)z*a+

+ (uao (п) + uai (п)є + ...)z*4 + O^V3z*Vaz *4), g = Hoo (п) + Hoi (п)є + Hoa (п)є2 + Hoз(п)є3+ +(Hio (п) + Hii (п)є + Hia(n^a + ...)z*a+ +(Hao (п) + Щі(п)є + ...)z*4 + O^V3z*Vaz*4), v = voo(п) + voi (п)є + voa (п)є2 + voз(п)є3+ +(vlo(п) + vll(п)є + via^^ + ...)z*a+

+ (vao(п)+val(п)є + ...)z*4+O(є4,є3z*a,єaz*4), (І2) w = (woo Ы+woi (п)є+woa (п)є2 +wo3 (п)є3 + ...)z* + + (wlo(п) + wii^^ + wia (п)є2 + ...)z*3+

+ (wao (п) + wai (п)є + ...)z*5 + O(є4z *,є3z*3,єaz*5), Д = Д00(п) + Д0і(п)є + Д02(п)є2 + Д03(п)є3+ +(Ді0 (п) + Дії (п)є + Дї2 (п)є2 + ...)z*a+

+ (Д20 (п) + Д2ї (п)є + ...)z*4 + O(є4,є3z*a,єaz*4), p = poo (п) + poi (п)є + poa (п)є2 + po3 (п)є3+

+ (^ю(п) +pii (п)є + Pla(п)єa + ...)z *a+

+ (pao (п) +pai (п)є + ...)z*4 + O(є4,є3z*a,єaz *4). После постановки разложений (12) в систему уравнений и краевые условия (В), собирая члены одного порядка по степеням є и z, получаем соответствующие краевые задачи. Все эти системы являются системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Для всех систем, кроме Coo ~ І, краевые условия нулевые.

Рис. З

Система Coo ~ І и её решение:

duoo dauoo

і’оо -

dп dп

a

(ІЗ),

dH

ЩО -

oo

І da H,

oo

І а da

oo

d'q

dtf

a

є

o

a

а

dv оо dn

Д

oo =

л/2рі

oo

su оо

4p0o ’

(Hoo - Uoo)dn,

Poo - J Aoo-

Уравнение для woo отделяется, но оно зависит от pio из системы Cio:

I’oo -

dw оо d'q

su oo poo

-Woo

І

2poo

1 + 2^— ) * (i/oo — Moo) +

poo

da

woo

dп2

. (І4)

Граничные условия:

П = 0 : uoo = voo = Hoo = woo = 0,

П : uoo ^ 1, Hoo ^ 1, woo ^ 0.

В качестве примера на рис. 4, 5 приведены компоненты скорости voo (п) и uoo(n), полученные при решении системы уравнений пограничного слоя на треугольном крыле (13) при а =1 и s = 1. Поскольку а =1, профиль энтальпии Hoo(n) точно совпадает с профилем uoo(n). В результате решения определяются следующие значения коэффициентов разложения: poo = 0,498, Aoo = 0,941. Согласно данным на рис. 5 видно, что верхней границе пограничного слоя соответствует координата П — 6,2. Уравнение (14) можно решить только после решения части системы Cio ~ z2.

Рис. 4

Система Cio ~ z2 и её решение:

duoo , duio suoouio і’Ю—;-----Ь г’оо—-----2-

dn

dn

poo

d2uio

drq2 '

(І5)

dHoo dHio suooHio

i’10—;-----h '«’OO—;-----2-

dn

І d2 H10

dv

io

dn

а dn2

suoo 4poo

2

dn poo

І - а d2 (uoouio)

l_Pio

dna Т suio

poo J 4 poo ‘

Д

io

/_ (#io — 2«oo'Mio) — (Hoo — 'Uoo)^~ di),

2poo poo

o

З

Pm = -Aoo(3Aoo — 5Аю).

8

Из системы (15) можно найти pio и замкнуть систему Coo ~ І, тогда из решения уравнения (14) определяется woo.

Рис. 5

Уравнение для wio отделяется, но оно зависит от poo из системы Coo ~ z4:

dwoo dwio і’ю—г— + г’оо-

dn

pio

dn

-------x

poo

(lloo 1 H---------- — Ul0)tL’00 — Зиоогою

poo

[ 2p20 (P\0 \ \ , TT 2

-(Яоіі - и,j0) (-f i 1 j +

2poo

)-

poo

(Іб)

+ I 1 + 2----- ) (Hio — 2'Uoo'Uio) —

V poo J

+ (Hoo-u2m) f—)} +

poo oo poo

dawio

dtf

Граничные условия:

п = 0 : пю = ую = Яю = ^10 = 0, п ^ж : п10 ^ 0, Я10 ^ 0, щ10 ^ 0.

В качестве примера на рис. 6, 7, 8 приведены профили скорости ую(п) и пю(п) и производной по х

І

o

a

s

х

І

поперечной скорости woo (п), полученные при решении уравнений пограничного слоя на треугольном крыле (14) и (14) при а = 1 и s = 1. В результате решения определяются pio = 0,28,

Д

io

—0,0І08.

Рис. 6

Рис. 7

Система Coo ~ z4 и её решение:

duoo , duio duao . suoouao

Що—;----1- 'і’іо—;------------------------h I’oo—-4-h

+2

dn

S'Mio

poo

dHoo

dn

dn

і і Pl° i

1 H--------] иoo — и 10

poo

poo

еРи 20 d/q2 ’

(ІТ)

dHio dHao suooHao

г’20 —;-----h г’ю—;----Ь г’00—;-----------------4-h

dn dn

sHi0

dn

p00

+2-

p00

1 і Pl° \

1 H---------] и oo — и ю

p00

1 d2H2о 1-а d2 (2u00'U20 + «io)

d;q2 ’

(Tuio - uoo)-

а dn2

dv 20 15sq'M2o s'Pw

4Poo

dn

9sui0

4p00

su00

Д

4p00 4p00

ОС

І

a0=

'00

P20 I PlO POO \P00

Hao - 2uoouao - ua0-pi0

— (H lo — 2'Иоо'Ию)----------h

poo

a ao io

+ (#oo - Uoo)-------------Ь

poo

poo

dn,

P20 — —[6(11Аю — 13Д2о)Аоо + (ЗАоо — 5Аю)2]. Іб

Рис. 8

Граничные условия:

n = 0 : uao = vao = Hao = 0, n : uao ^ 0, Hao ^ 0.

Из решения системы (17) можно найти pao и замкнуть систему Cio ~ za, тогда из краевой задачи (16) определяется wio.

Уравнение для wao для краткости не приведено, но оно отделяется и зависит от p3o из системы C30 ~ z6.

В качестве примера на рис. 9, 10, 11 приведены профили скорости vao(n), uao(n) и wio (п), полученные при решении уравнений пограничного слоя на треугольном крыле при а = І и s = І. В результате определяются коэффициенты pao = 0,33, Д20 = —0,92І.

a

o

a

dHoo , dHoi

і’оі—;----И’оо

І d2Hoi І - а d2(uoouoi)

■ — L-----

Рис. 9

Рис. 10

Используя полученные значения коэффициентов, можно построить следующее координатное разложение р = 0,498 + 0,28х2 + 0,33х4, соответствующее е = 0.

Процедуру нахождения решений и замыкания систем уравнений представлена на рис. 12.

Учитывая [4], указанное разложение применимо в первом приближении для значений координаты х < ги ~ 0,8921в 1-у/г при числе а = 1.

Далее рассматриваются разложения по степеням е.

Система С01 ~ е и её решение:

voi

duon duoi s 2 d2uoi , .

+ i'oo —:T--——(Hoo — uqq) — 9 , (18)

dn dn а dn2 а dn2

dv0i І su0i su00 p0i

—-------1------woo — —-------------1----:----—,

dn poo 4poo 4 p0o

Д

oi =

л/2рі

oo

/ гг 2 Л 1 Pol -{Hqo ~ uoo) о ^

oo 2 poo

(Hoi — 2uoouoi) — dn,

P01 — I 7 ) (2Д00Д01 +0,5Д20)-

n 12;

10-

ЗІ

( 6'

4

1 1 1 1 1 1 I 1 І і”©" I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t 1 1 1 1 1 1 It

0 1

Рис. ll

dn

dn 4poo

dn2

Рис. l2. Процедура нахождения решений и замыкание системы уравнений.

Граничные условия:

n = 0 : uoi = voi = Hoi = 0, n ^то : uoi ^ 0, Hoi ^ 0.

І

o

a

Рис. 13

Рис. 14

Из решения системы (18) можно найти параметр р01. Уравнение для и>01 отделяется, но оно зависит от рц из системы Сц ~ ех2.

1

Р°°

Р°1

го п п — вп'Ищ + в п'И п п------

Р°°

ю°° — souoo ю°1

+

dwoo dwol

+'і’оі—т— + г’оо-

1п

1п

1 РЮРОіЬлг 2 \ ,

7) Л 2 ^ (Ноо - «пп) +

2Р°° I \Р°° Р°° )

+ (1 + 2-—- ) (Ноі — 2'Иппипі) —

Р00

- 1 + 2^ (Що-Що) — + 1

Р0000Р00

+

d2wol

drl]2

(19)

Граничные условия:

П = 0 : ю°1 = 0,

П : ю°1 ^ 0.

В качестве примера на рис. 13, 14 приведены профили скорости vol(n) и и°і(п), полученные при решении системы уравнений пограничного слоя на треугольном крыле при а = 1 и в = 1. В результате решения найдено: р°1 = —0,32, Д°і = —3,436.

Система Сц — єг2 и её решение:

2

Р°°

, , Р01 і

иш 1 Шо — ейщ + виоо------------ ) — вадпиц

Р00

+

duoo duol du 1° dull

+г’ц—г— + г’ю—г— + г’01—г— + г’оо-

1п

1п

1п

1п

2Р00

- ((Ню — 2'Иоо'Ию) — (Ноо — Що)^~~ ) + 2 V Р°°,

+ (Ноо ~ Що) к + 2^

1

Р00

+

d2Ull

d'^f■

(20)

2

Р°°

Р01

Н\о ( «’по — ваді + в иоо 1 ) — вадп#п

Р00

+

dHoo dHol dHlo !,Нц

+г’11—г— + г’ю—г— + г’01—г— + г,осг

1щ

1щ

dп

1п

1 d2Hll 1 — а d2(uooUll + ад^ю)

— А----------

а dn2

сіп

dvll 1

—----Ь --- 12гоіп - 7виц + в«щ - 6«>пг> +

1п 4р°°

. ( Рп . <;РоіРіо\ ,

+вмпп--------\- 2—т,— +

V Р°° Р°° )

+ — в(7'Иіп — адо) — -—-(4и>пп + ваді)

Р00Р00

Д

1

11 =

л/2рі

'00

[(^11 — 2и°° иц — 2и°1ию) —

— ( х + ) (#ю — 2'Иоо'Ию)— ■—~(Ноі — 2моо'Иоі) +

2 Р00 Р00

, _Ри 0РоГРіо Ріо

Роо ^ Роо 2р0о

(H00 — и0°)

1ц,

3

ри = — [Аоо(6Аоі - ЮАц)+ 16

+Д°1 (6Д°° — 10Д1°) + Д°° (3Д°° — 5Дю)].

Граничные условия:

п = 0 : иц = V11 = Hll = 0,

п : иц ^ 0, Нц ^ 0.

Из системы (20) можно найти рц и замкнуть систему С°1 — є, тогда из (19) определяется ю°1.

В качестве примера на рис. 15, 16, 17 приведены профили скорости V!!(п), иц(п) и ю°1 (п), полученные при решении уравнений пограничного слоя на треугольном крыле при а =1 и в = 1. В результате определяются рц = 2,1, Дц = —3,37.

в

°

Рис. 15

Рис. 16

Система С02 ~ е2 и её решение:

duоо duоl dnо2

г’02 7'' + г’01—г—Ь г’оо-

dп

dп

dп

4роо

[(Ял — 2г(оо'Ио1)— ( 1 + ~— ) (Ноо— м5п)+ р00 00

dЯоо , dЯо1 dЯо2

г’02—;------Ь г’01—;-----Ь ЗДг

сРи 02 сйу2 (21)

dп

dп

dп

1 d2Яо2 1 — а d2(2uооuо2 + п01)

а dп2

dп2

С^’02

dп

+ «’01 н------------—---------------ад0о +

4 / роо

впо1

ЛР01

4 ^§0

+

виоо

4роо

Р02 / Р01_

Роо \Роо

д

о2

л/2р|

оо

(Я02 — 2п00п02 — п01) —

— (— + ^ (Яэ1 — 2моо'Ио1) +

\2 роо/

+ (Яоо - «5о) I ———Ь ( -— ) +

роо \роо

ро1

Р01

2роо

3

dп^,

Р02 — ( ^ ) [2Д00Д02 + До1 + Д00Д01],

1

роо

( \1Ш гоо1 — в и о 2 — (юоо — вг*01)---------------

роо

впоо

Р02 1 Р01

Роо \Роо

щоо +

+

^01 — вп00^02 } +

ро1

ги оо — в«01 + виоо----------

роо

dwоо dwоl dwо2 +г’02 —г- + г’01 —г“—Ь г’оо -

2роо

(]щ

Р12

роо

dп

(]щ

р11р01 р10 / р02

2 I

р°0 роо \ роо

Р01

роо

х [(Я02 — 2поопо2 — п01) + (Яоо — п0о) х

Р02 / Р01 \ Р01 1

роо роо

роо

-(^+1

роо

0 Р11 Р10Р01^ ,и 2 \ ,

2---------^— (Яоо - «оо) +

роо ро2о оо

+(Яэ1 — 2г(оомо1) ( 1 + 2-—-

роо

+

(Ргир2

сЪр

Рис. 17 Граничные условия:

П = 0 : по2 = уо2 = Я02 = 0,

П ^ж : по2 ^ 0, Я02 ^ 0.

1

о

2

2

2

2

1

2

х

х

в

2

Из решения системы уравнений (21) определяется коэффициент Р (с нижним индексом "02")=-0,8 Процедура нахождения координатно-параметрического разложения и последовательность замыкания систем уравнений представлена на рис. 18. При £ < гк ~ у/є

р = 0,498 - 0,32є + 0,28г2 - 0,8є2 + 0,33г4 + 2,1єг2+

+0(е3,£2г2,ег4). (22)

На рис. 19 представлено сравнение асимптотического разложения (22) и точного решения при в = 1, 7 = 1,1, а = 1. В — точное решение и С — разложение.

с ^00 Сш ~£ _ с ■ И’,

^'оо "01

уоо- 4 4

Роо Рої І

^10= Щ По. Аю Ао / І 4 / Ао

I У г * <

Сю~2 ^20 / / с 20 ^20 ?

4г.

к*

•^11

Ри

С,

Рп

^ И % 2 с 02

Нш, ^02

%. і

Р02 1 ?

^2 /

*11 - * I

Рп

?

\ ;

Рис. 18. Координатно-параметрическое разложение. Последовательность решения.

Рис. 19. Сравнение асимптотического и точного решений при в = 1, 7 = 1,1, и = 1. В — точное решение и С — разложение.

Выводы. В настоящей работе исследовано течение в пограничном слое на плоском треугольном крыле на режиме сильного вязкого взаимодействия с внешним сверхзвуковым потоком. Аналитическое исследование проведено в случае «ньютоновского» предельного перехода, при ко-

тором показатель адиабаты стремится к единице, а значения чисел Маха и Рейнольдса — к бесконечности. Показатель адиабаты минус единица является малым параметром задачи. Сформулирована краевая задача, описывающая течение в пространственном пограничном слое на всем крыле на режиме сильного вязкого взаимодействия. Приведены результаты численных расчетов данной краевой задачи при различных значениях показателя адиабаты, близких к единице, как для закритических, так и докритических областей течения. В области докритического режима течения в окрестности плоскости симметрии крыла проведено разложение функций течения в степенные ряды по указанному выше малому параметру и по значениям поперечной координаты. Приведены системы обыкновенных дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями для определения коэффициентов членов разложения. Определены условия замыкания для некоторых из них. Проведено сравнение решения в виде разложения в ряды с численным решением системы в частных производных.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект N 10-01-00173-а) и ФЦП ННПКИР (ГК № 02.740.11.0154).

Литература

1. Нейланд В.Я. К теории взаимодействия ги-перзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч. 1. Пространственные течения // Учен. зап. ЦАГИ. — 1974. — Т. 5, № 2. — С. 70-79.

2. Дудин Г.Н, Липатов И.И. О закрити-ческом режиме гиперзвукового обтекания треугольного крыла // ПМТФ. — 1985. — № 2. — С. 100-106.

3. Дудин Г.Н. К вопросу существования автомодельных решений в закритической области при гиперзвуковом обтекании треугольного крыла // Изв. РАН. МЖГ. — 1997. — № 2. — С. 156-164.

4. Дудин Г.Н, Нейлад В.Я. Об одном предельном решении обтекания треугольного крыла при наличии областей закритического течения / / Изв. РАН. МЖГ. — 2002. — № 6. — С. 102-113.

5. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзву-ковых течений. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 607 с.

6. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. — М.: Физматгиз, 1959. — 220 с.

7. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. — М.: Гостехиздат, 1958. — 628 с.

8. Нейланд В.Я., Соколов Л.А. Ламинарный пограничный слой на конусе, установленном под углом атаки в сверхзвуковом потоке // Тр. ЦАГИ. — 1977. — Вып. 1812. — С. 3-9.

9. Башкин В.А., Дудин Г.Н. Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа. — М.: Наука, 2000. — 288 с.

10. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974. — 711 с.

11. Нейланд В.Я. К теории взаимодействия ги-перзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений.

Ч. 2. Двумерные течения и треугольное крыло // Учен. зап. ЦАГИ. — 1974. — Т. 5, № 3. — С. 28-39.

Поступила в редакцию 27.09.2010.