CC BY
12
УДК 532.526.2
Я.Н. Со
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Обтекание треугольного крыла с малым углом стреловидности передней кромки на режиме сильного
взаимодействия
Исследовано течение в пространственном пограничном слое на полубесконечном плоском треугольном крыле при малых углах стреловидности передней кромки на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. В окрестности передних кромок проведено разложение функций течения в степенные ряды, сформулированы и решены краевые задачи для определения функций течения на кромке и собственных чисел. В окрестности плоскости симметрии крыла проведено разложение функций течения в степенные ряды по поперечной координате и малому параметру, связанному с углом стреловидности. Приведены соответствующие краевые задачи для вычисления коэффициентов членов координатно-параметрических разложений и вычислены коэффициенты шести первых членов разложения. Проведено сращивание полученных разложений для определения зависимости индуцированного давления от поперечной координаты для различных значений малого параметра.
Ключевые слова: пространственный пограничный слой, треугольное крыло, сильное взаимодействие, разложение в ряды, сращивание.
1. Введение
Характер течения в трехмерном ламинарном пограничном слое на треугольном крыле, обтекаемом гиперзвуковым потоком вязкого газа, зависит от многих определяющих параметров. Гиперзвуковое обтекание треугольной пластины на режиме сильного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком впервые рассмотрено в [1, 2], где было показано, что решение задачи зависит только от двух независимых переменных, однако полученное автомодельное (по продольной координате) решение не удовлетворяет условию непротекания в плоскости симметрии крыла. Исследование течения на нехолодных треугольных крыльях показало, что на режиме сильного вязкого взаимодействия разложение решения в окрестности передней кромки не единственно, а содержит произвольную константу [3]. При соответствующем подборе ее, в принципе, можно удовлетворить условиям вниз по потоку (в плоскости симметрии). В [4] были получены глобальные решения уравнений ламинарного пограничного слоя на треугольном крыле с размахом порядка единицы, при этом система уравнений в частных производных решалась конечно-разностным методом [5]. Результаты исследования влияния различных параметров на характеристики течений около треугольных крыльев приведены в [6, 7]. В [8] изучены некоторые особенности обтекания нехолодной треугольной пластины с размахом порядка единицы на режиме вязко-невязкого взаимодействия. Была отмечена возможность существования в окрестности плоскости симметрии течения, которое описывается уравнениями взаимодействующего пограничного слоя. Для главных членов разложения функций течения в окрестности плоскости симметрии была сформулирована краевая задача. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений содержит параметр, который определяет допустимые виды решений и зависит от сращивания этого решения с решением, которое строится от передней кромки [3]. В [9, 10] было показано, что значение этого параметра наиболее сильно влияет на профиль производной от поперечной компоненты скорости по размаху крыла, и было установлено, что уравнение поперечного импульса в общем случае не может быть решено методом прогонки, так как из-за наличия неоднородного члена нарушается достаточный признак хорошей обусловленности [11]. Для решения этого дифференциального
уравнения краевая задача редуцировалась к задаче Коши, для решения которой использовалась схема Рунге-Кутты. В общем случае если сращивание решений будет происходить при конечных значениях поперечной координаты, то необходимо принимать в учет следующие члены разложений в окрестности плоскости симметрии. Для определения последующих членов разложения получаются краевые задачи, но уже с нулевыми краевыми условиями. Решение каждой последующей краевой задачи позволяет, в принципе, вычислить «произвольный параметр» для решения предыдущей краевой задачи, но очевидно, что само ее решение зависит от нового произвольного параметра для следующего члена разложения в окрестности плоскости симметрии. Сращивание решений, в принципе, позволяет определить значения константы в разложении от передней кромки, параметра в разложении в окрестности плоскости симметрии и координату, где происходит сращивание, если, конечно, течение в окрестности плоскости симметрии крыла с размахом порядка единицы описывается уравнениями пограничного слоя.
В настоящей работе исследуется обтекание полубесконечной треугольной пластины с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия. Как будет показано ниже, в этом случае поперечная компонента скорости в пограничном слое мала и область локальной неприменимости уравнений пограничного слоя в окрестности плоскости симметрии крыла не возникает [8]. В результате в окрестности плоскости симметрии крыла разложение для функций течения вместо координатного становится координатно-параметрическим и появляется возможность последовательно определять вид разложений для функций течения с заданной точностью. Построение решения в окрестности передней кромки позволило определить собственные числа, величина которых определяет передачу возмущений вверх по потоку. Сращивание этого решения с решением в окрестности плоскости симметрии позволило найти значение константы в разложении около передней кромки и значение поперечной координаты, при которой происходит сращивание двух решений. Сравнение полученного разложения для индуцированного давления с решением краевой задачи в частных производных позволило определить область применимости данного подхода.
2. Постановка задачи
Рассматривается симметричное обтекание полубесконечной треугольной пластины на режиме сильного взаимодействия при температуре поверхности Tw. Газ считается совершенным с отношением удельных теплоемкостей 7 = cp/cv и коэффициентом вязкости, линейно зависящем от температуры: р°/рж = СжТ°/Тж, где Сж = const, а индекс те обозначает параметры в невозмущенном потоке. Компоненты вектора скорости u°, v°, w° в пограничном слое направлены вдоль осей х°, у0, z° системы координат, начало которой расположено в вершине крыла. Ось х° направлена вдоль оси симметрии к рыла, а ось z° — по размаху крыла. Предполагается, что угол стреловидности передней кромки ß << 1, а размах крыла s = ctgß >> 1. Вводится малый параметр е = s-2 << 1. В невозмущенном потоке иж — скорость, рж — плотность и дж — энтальпия торможения стремятся к постоянным значениям, когда число Маха Мж ^ те, тогда рж — давление, аж — скорость звука и Тж — температура стремятся к нулю.
В соответствии с гиперзвуковой теорией малых возмущений [12] при Мж >> 1 и безразмерной толщине пограничного слоя 5 << 1, в случае когда Мж5 >> 1, индуцированное давление имеет порядок р° ~ p^u^ö2. Так как в пограничном слое статическая энтальпия h° ~ и^/2, то, используя уравнение состояния, для оценки плотности газа в пограничном слое получаем
Р° p°hж Рж^^о^2 аоо _ ^2 ^
рж Poh° Рж (7 -1) иж
Оценка для толщины 5 получается после приравнивания главных вязких и инерционных членов в уравнении переноса количества движения вдоль оси х°:
0 0ди° д f °ди°\ ржö2u^ 1/4
Р и TiZö ~ 707° [V ду°) ,-г-->S ~ Reo 7 . (2)
дх° ду°\ ду°У L ö2L2
Здесь Reo = P<x>uix1L/ß0 — число Рейнольдса, а0 _ коэффициент вязкости, вычисленный при температуре торможения То, L — характерный размер, который при рассмотрении обтекания полубесконечного крыла, в силу автомодельности, в конечные результаты не входит. Для оценки величины поперечного компонента скорости w° необходимо учесть, что он создается в пространственном пограничном слое градиентом давления по размаху крыла. Приравнивая главные инерционные члены и градиент давления в уравнении переноса количества движения вдоль оси z°, получаем
° 0дw0 др° ржö2u^>w° ржиж52 w° г
Р и ~^~00 ~ ,-г-~-г-'-^v W
дх° дх° L sL иж
Заметим, что вне пограничного слоя, где плотность газа велика, этот компонент скорости существенно меньше, т.к. имеет порядок w°/v,r ~ ö2/s = 52л/е << 1 [13]. Следовательно, в пограничном слое на крыле с малым углом стреловидности возникают поперечные течения со скоростью порядка л/еиж, тогда как на крыле с размахом порядка единицы поперечная компонента скорости существенно больше w°/иж = О (1) [14]. Оценка для компоненты скорости нормальной к поверхности крыла имеет обычный порядок v° ~ иж S.
В предположении, что Мж5 >> 1, для определения индуцированного давления, создаваемого толщиной вытеснения, можно использовать формулу «касательного клина» [12]. В соответствии с оценками для ламинарного пограничного слоя в гиперзвуковом потоке [12], оценками (1) - (3) и учитывая преобразование A.A. Дородницына, вводятся безразмерные переменные:
х° = Lx,y° = LÖ — ,z° = Le-1/2 z,
"л dX /о Р
р° = ржиЖ52р (х, z), р° = ржö2p (х, X, z), а° = ßoß (х, X, z), g° = 0.5ижд (х, X, z), и° = ижи (х, X, z), w° = и^л/ew (х, X, z)
(4)
V0 = иж5 р 1 (V (х,Х, г) — — , = 5е, 5 = Ке0 1/4.
6 X 6 X/ I
Здесь д° - энтальпия торможения, Ь° - размерная толщина пограничного слоя. В переменных (4) для полубесконечного треугольного крыла большого размаха система уравнений пространственного пограничного слоя сводится к виду:
ди ду ди дх дХ дг ' ди _ди ди 1 др д (_ ди
идХ +* дХ + = — РрдХ + дХ\р*дХ
ди _ ди ди 1 др д (_ ди \
идх + ю дх + £ит = — рт + дх\р^д-х),
ид9 + /6д + вид9 =д (ш (169 1 — а д^и+ий)) (5)
ид~х дХ + £иШ = дХ \^\адХ " дх г
р , 2,2 2 2 а =-- + и + ew , а = а — и — ew ,
7 — 1Р
7 + 1 (д5Л2 - 7 — 1 [ж 2 2\ J\
Р = — {д^) , 6е = И7ф Jo {д — и — £w)dX,
X = 0: и = w = v = 0, д = gw; X ^ < : и ^ 1, w ^ 0, д ^ 1.
Далее рассматривается случай обтекания крыла при дш = 1 и числе Ирандтля а = 1, тогда уравнение для энтальпии в (5) имеет решение д(х, X, х) = 1. Заметим, что если в краевой задаче (5) совершить предельный переход е ^ 0 (в ^ те), то для главных членов получаем систему уравнений, которая уже не зависит от компоненты скорости ш, и, следовательно, уравнение импульса для ш может быть решено после решения системы для главных членов. Как будет установлено ниже, при построении координатно-параметрического разложения в окрестности плоскости симметрии крыла такая ситуация будет иметь место для всех краевых задач для определения следующих коэффициентов членов разложения. Аналогичный вид разложения был получен в [15], где в качестве малого параметра использовалась величина е = 7 — 1 << 1. Заметим, что при параметре е = 0 (крыло с нулевым углом стреловидности) из (4) следует, что размерная величина поперечной компоненты скорости ш° = 0.
Для учета особенностей поведения функций течения в окрестности вершины треугольного крыла вводится преобразование переменных [6]:
г = хг, X = Х/4Х*, р = х-1/2р*(г), р = х-1/2р*(Х, х)
5е = х3/45*е, V = х-3/4 ( ^ — хи^).
дХ*
дх
(6)
В переменных (6) краевая задача (5) сводится к двумерной, зависящей от координат X*
х
течения на крыле и поведения функций течения в окрестности передних кромок (г = ±1) вводятся переменные, подобные [6], которые, однако, не являются автомодельными (по
*=
X*
3/
(1 — )1/2
р
(г) = — х2р*, Д(г) = (1 — г2) /4 6,
V* ( ], г) =
1 — ^ р
д
(еш — их) + д
(1 — ^
(7)
Система уравнений пространственного пограничного слоя и граничные условия на полубесконечном плоском треугольном крыле большого размаха (5) с учетом (6), (7) принимают
вид:
г = (еш — иг) (1 — г2) р 1
д и
д и 7 - 1
ТГ + ъ*^- = \-(1 —и2 —
д *
д * 2 7
еш
1 + г2 1 — г2 йр\ д2и
2 р йг) дг]2'
дш дш
+ V* — д д *
7 — 1
27р
(1 — и2 —
еи)2) (г + 1 — ^ йр\ + д2ш \ р йг) д г]2
ду * г /и ди дш\ 1 — х2
д ]* 2р \4 дг дг) р
(8)
0,
Д
У 27 р/а
(1 — и2 — еш2) й]*, р =
7 + 1
йД
4(1 + г2) Д — , (1 — г2) £
]* = 0:и = ш = г» = 0; ]* ^ те : и ^ 1, ш ^ 0.
Решение краевой задачи (8), определяющее течение в пограничном слое на всем крыле,
7
при г = ±1 вырождается в системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Следует отметить, что в уравнения импульсов системы (8) фактически входит вторая производная от толщины вытеснения д2Д/дг2. Наличие в системе этой второй производной может приводить к возможности распространения возмущений по размаху крыла [7]. Переходя в
*
2
2
краевой задаче (8) к пределу е ^ 0, получается система уравнений, которую можно рассматривать как систему для определения главных членов разложения функций течения в ряды по параметру е. Полученная система разделяется, т.к. в ней функции и,и,р и А зависят только от параметра 7 и не зависят от компоненты скорости и, и этим она существенно отличается от общего случая (8). Следует отметить, что при значении параметра е = 0 уравнение для компоненты скорости и является линейным дифференциальным уравнением с нулевыми граничными условиями, и его решение определяется после нахождения указанных выше функций течения. Учитывая, что коэффициент при производной по поперечной координате в уравнениях переноса г (г]*, г) = —и (г]*) гр-1 в этом случае пропорционален г (в главном порядке) и меняет знак только в плоскости симметрии крыла (г = 0), то, следовательно, реализуется течение с плавным стеканием к данной плоскости и на каждой половине крыла направление параболичности системы сохраняется. Так как градиент давления в плоскости симметрии равен нулю в силу предполагаемой симметричности те-
и
дифференциальное уравнение, которое имеет решение: и (7]*,х = 0) = 0 [16]. Аналогичные результаты получены в [17] при рассмотрении течения в ламинарном пограничном слое на конусе при малых углах атаки в сверхзвуковом потоке.
3. Разложения в окрестности плоскости симметрии крыла и результаты расчетов
Для исследования поведения функций течения в пограничном слое в окрестности плоскости симметрии полубесконечного плоского треугольного крыла оказалось удобным преобразовать краевую задачу (8) и ввести новые переменные:
г] = ЩР~1/2, ъ = у*р1/2 — 2 (еи — ги) (1 — г2)-^ (9)
2 р а %
При таком преобразовании в уравнениях переноса и неразрывности в системе (8) давление в знаменателе останется только при производной от индуцированного давления. После подстановки (9) в краевую задачу (8) она приводится к виду:
г = (еи — иг) (1 — г2)
ди ди 7 — 1 , 2 2ч /1 + х2 1 — х2 ар\ д2и дг дг] 27 ^ ' \ 2 р с!г) дг]2'
ди ди 7 — 1 , 2 2Л / 1 — х2 ар\ д2и г— + V— = — (1 —и2 — еи2) г +--f +
г ) •у г /гу) ^ ' \ 'г\ г!-у I
д д 2 а д 2
ду . г (и ди ди . 1 ар\ , 2Л , ,
Щ — (£и — иг) 2 + {и — *Тг + £дии + (£и — ги)2ГрОГг) (1 — ^ =°, <10>
А = \1-2—1 /Ж ^ —и2 — £и2)аЪ
7 + 1
Р
3 (1 + ,2) А — г (! — ,2) 2.
2
г] = 0 : и = и = V = 0; г] ^ ж : и ^ 1,и ^ 0.
Для исследования поведения функций течения в пространственном пограничном слое в окрестности плоскости симметрии полубесконечного плоского треугольного крыла предполагается, что уравнения пограничного слоя справедливы в этой области и имеют место
течения в (10):
f = /00 fa) + /01 fa) е + /02 fa) ^ + (/ю fa) + /и fa) г) *2+
+ /20 fa) *4 + О (в3 Z2 4 6 ) , w = (^00 fa) + W01 fa) г) г + wi0 fa) z3 + О (e2z, ez3, z5) , k = fc00 + ^01 e + k02e2 + (km + kne) z2 + &20¿4 + О (e3, e2z2, sz4, z6) ,
(И)
где / = (и, V), а к = (р, А).
Подставляя разложения (11) в систему уравнений и краевые условия (10) и собирая члены одного порядка по степеням £ и/или получаем соответствующие краевые задачи. Учитывая, что в систему (10) входят члены р-1, то для обеспечения сходимости ряда к заданной функции необходимо, чтобы выполнялось условие
— (Р01 £ + Pi0z2 + Р02£2 + Piisz2 + Р20z4 + О (s3,£2z2,ez46)) Р00
< 1. (12)
Как следует из (12), при увеличении параметра £ область сходимости по координате z уменьшается. В настоящей работе разложения проводились с использованием системы Maple, например, [18].
Рис. 1. Условная схема краевых задач и процедура их замыкания
На рис. 1 приведены условные обозначения получающихся краевых задач и процедура их замыкания, которая более подробно будет описана ниже при обсуждении последовательности решения краевых задач. Краевые задачи для вычисления коэффициентов (V), ги%з (V), Р%з и Ац обозначаются С^, а краевые задачи для вычисления коэффициентов разложения ыц (ц) — С™у Для всех систем, кроме системы Соо ^ 1, краевые условия являются нулевыми. Все системы обыкновенных дифференциальных уравнений решались методом Рунге-Кутты четвертого порядка, для этого краевые задачи редуцировались к задачам Коши. Размер шага по нормальной координате был выбран А^ = 0.01. Были проведены также проверочные расчеты с шагом в два раза меньше — А^ = 0.005, которые показали, что шаг А^ = 0.01 достаточен для обеспечения необходимой точности вычислений.
Краевая задача Coo ~ (1) и ее решение:
duoo 7 - 1 , 2 \ , d2 uoo dvoo , Що п
)_ЛТ = "4Т (1 _ + ' + ^ '
3 I(7 + 1)(7 _ i) р 2 ч , д 4 (13)
^V-7-Jo (1 _ ^2 A00 = 3^7+1
v = 0 : ^oo = ^oo = 0; ^ ^ то : ^oo ^ 1.
Как уже отмечалось выше, уравнение для вычисления функции wоо ) отделяется, но его решение зависит от значения коэффициента разложения рю для давления из системы Сю ~ (г2), которое пока неизвестно. В результате получается краевая задача для определения главного члена для производной от поперечной компоненты скорости С00 ^ (^):
dwoo 1 _ 1 Л , nPio\ h 2 \ ,
^oo^--Uoo woo =--~— 1 + 2— (1 _ u^o) +
dV 27 V Poo/
d2 o
d^ 27 V Po o/ dV (14)
ц = 0 : woo = 0; ц ^ то : woo ^ 0.
Рис. 2. Коэффициенты разложения в окрестности плоскости симметрии для продольной компоненты скорости Що (г]), ию и 420 (V)
Далее все результаты расчетов приведены для случая 7 = 1.4. На рис. 2 приведен профиль продольной компоненты скорости — щo (v)• При решении нелинейной системы (13) методом Рунге—Кутты на поверхности крыла задавалась величина duoo/drj L_o = 0.38109, и в результате получены следующие значения коэффициентов разложения: роo = 0.81786 и Aoo = 1.10074. Из крив ой (^), приведенной на рис. 2, видно, что при заданных определяющих параметрах течения за верхнюю границу пограничного слоя можно брать координату ^ ^ 8.5. После нахождения функций здо (v), ^oo (v), Poo я Aoo из системы C$o ~ (1) можно переходить к решению системы C1o ~ (z2).
Краевая задача Cio ~ (z2) и ее решение:
йию 7 /1
—А--т ию + ^ю т--
(Щ 4 \4 роо/
(1и,ю йит 0 7- 1 ( п , Л , ^ 2 Л , ^10
+ - 2Щ0П10 = ~-Т [-2щ0и10 Ч1 + 4т) (1 - и20]) ±
(15)
Р10 = ^ ± |- , А," = 5/Щ (, - .
г] = 0 : и10 = ^10 = 0; г] ^ те : и10 ^ 0.
Система уравнений (15) является линейной системой с нулевыми граничными условиями. Уравнение для вычисления коэффициента в разложении для поперечной компоненты скорости Wlо (г)) снова отделяется, причем его решение зависит от значения коэффициента р20 ш системы С20 ~ В результате для нахождения w10 (г]) получаем краевую задачу
То ~
7 - 1
7
Лш 1" (Ыоо
V""—--± --Зиоо-Шю ± -Шоо (иоо - «1о) =
аг] ат]
Л I 0Р1Л (оР2" Р1" . Р1"\\ А 2 \
1 ±2— - 2---1±--(1 -Щ")
V Р""/ \ Р"" Р"" \ Р""/ /
г] = 0 : ■шю = 0; г] ^ те : ■шю ^ 0.
Рг
й Г]2
± d2Wlо (16)
При решении системы (15) методом Рунге-Кутты на поверхности крыла задавалась величина йию/йг]| " = -0.19482 и были получены следующие значения коэффициентов: Рю = -0.44577 и Аю = 0.84040. На рис. 2 также приведен профиль продольной компоненты — ию (г]).
В результате решения систем (13) и (15) для профиля продольной компоненты скорости с заданной точностью получаем
и (г], г) = и0" (?у) ± ию (г?) г2 ± О (в, ег2, г4) . (17)
Учитывая характер поведения функций и^ и ию (рис. 2), можно отметить, что величина, пропорциональная напряжению трения в продольном направлении ти = ди/дт]| будет иметь максимум в плоскости симметрии г = 0, а, следовательно, профиль продольной компоненты скорости (17) становится более наполненным. Наибольшие изменения профиля (17) будут иметь место при значениях нормальной координаты 0 < 7] < 2.
Зная решение краевой задачи Сею ~ О (1) и значение коэффициента рю = -0.44577 из решения системы Сю ~ (г2), можно перейти к решению краевой задаче С™0 ~ О (г), описываемой уравнением и граничными условиями (14).
На рис. 3 приведен профиль для коэффициента 'Ыо" (г?). Численные расчеты с использованием метода Рунге-Кутты показали, что в рассматриваемом случае существует решение с д1Ло"/ди]| " = 0.14206, причем |-шсю (^)| ^ 0.2 для всех г/. Следует отметить, что функция " (?у) фактически является главным членом разложения первой производной от поперечной компоненты скорости по поперечной координате ди: (г, г]) /дх в плоскости симметрии крыла. Полученное решение можно трактовать как течение, в котором поперечная компонента скорости около поверхности крыла при 0 < ц ^ 4.2 направлена от плоскости симметрии крыла, а при г] > 4.2 она направлена к плоскости симметрии. Для точного определения направления течения в заданной точке поля течения необходимо вычислять знак коэффициента г = (е"ш - иг) (1 - г2) из системы (10), который и определяет направление параболичности системы уравнений (10). При значении е ^ 0 полученное решение в этом приближении может интерпретироваться как течение со стеканием к плоскости симметрии.
Краевая задача С2" ~ (г4) и ее решение:
Рис. 3. Коэффициенты разложения в окрестности плоскости симметрии для поперечной компоненты скорости 'Шоо (т/), /Ш10 (77) и 0.1^01 (77)
dV2Q dr]
15 , /9 Pio\ \nP2o Pio L , Pio
-r^2o + 7--Nio _ 2---1+--
4 \4 poo J Poo Poo \ Poo
uoo + = 0,
du2n duon duio f л
voo—--+ U2o—--+ Uio—--4 uooU2o + 2uio (uoo _ Uio) =
dr]
dr]
drj
1 _ 1 47
_2uooU2o _u\o _ 2 I 1 + 4— ) Uoouio+
lPio Poo
+4(2 ™ _ РЮ
Poo Poo
1+
Pio Pooy
0 _ uoo)
+
d2U2o drj2 '
(18)
3 Л1+ Pio Л 16Pio\\ 39
P2o = 11 + - 1 _ "5"- _
25 V Poo V 3 poo)) 40
'(7 _ 1) (7 + 1)
A2o =
- J
L30V
2p oo
130 V 7 + 1
88
44 M + 5
Poo
1
'Ш \
yPoo)
(2uooU2o + u1o) df],
2
20
P2o Poo
Г] = 0 : U2o = V2o = 0; г] ^ то : U2o ^ 0.
Уравнение для вычисления коэффициента w2o (rj) в разложении для компоненты скорости в поперечном направлении снова отделяется, но его решение зависит от значения коэффициента p3o из системы C3o ~ (z6)- В результате для нахождения коэффициента разложения w2o (77) получаем краевую задачу C^o ~ (z5), которая для краткости не приводится, т.к. в данной работе коэффициент w2o (г]) не вычисляется. При решении системы (18) на поверхности крыла задавалась величина du2o/drj| o = _0.01298 и были получены следующие значения коэффициентов: p2o = _0.78254 и A2o = 0.78645. На рис. 2 приведены профили продольной компоненты — u2o (^).
Зная решение краевых задач Coo ~ О (1) Cqo ~ О (z) и Cio ~ (z2^) и значение коэффициента p2o = _ 0.78254 из решения системы C2o ~ (z4)^ можно перейти к решению краевой задачи Cfo ~ О (z3^), описываемой уравнением и граничными условиями (16). На
оо
o
рис. 3 представлен профиль коэффициента w\o (])• Как показали численные расчеты с использованием метода Рунге-Кутты, в рассматриваемом случае существует решение при задании dww/dr] |ч=о = -0.21730.
Используя полученные решения краевых задач С о — О (1) С\о — (z2) и С20 — (z4), можно найти решения системы Сзо - {z6), определив из этого решения значение коэф-фициеета рзо- Используя это значение рео и дополнительно решения систем Сí — (z) и Cío — (z3) можно решить систему С2£0 — (z5) и найти коэффициенты W2о (])• Таким образом, замыкая последовательно решения, можно найти необходимое число коэффициентов разложения для соответствующих функций течения. При этом будут последовательно решены краевые задачи, обозначенные условно в крайней левой колонке рис. 1, и в результате
Коротко опишем процедуру замыкания краевых задач для последовательного нахождения решений следующих систем. Имея решения Соо + Сю, Сю + С^, С2о и т.д., можно
Со1 — О ( ) С 1 — О 2 обозначенных в средней колонке на рис. 1. В результате их последовательного решения получим соответствующие коэффициенты разложений при степенях, содержащих малый параметр е в первой степени. После нахождения решения краевой задачи Со1 — О (е) и коэффициента рц из решения системы С1 — О (ez2) можно вернуться к решению краевой задачи Сл — О (ez) и найти профиль коэффициента гио1 (])• Затем можно последовательно найти решения систем Сí — О (ez3), СЦ — О (ez5) и т.д. В результате будут определены все необходимые коэффициенты разложений в краевых задачах, указанных в средней
колонке рис. 1. После этого можно переходить к решению систем и нахождению коэффи-
2
циентов разложении, содержащих малый параметр е , т.е. можно решаеь последовательно краевые задачи, условно обозначенные Со2 — О 2 С12 — О 2 2
и т.д. Как следует из схемы, приведенной на рис. 1, задание определенного числа членов
нпя фактически будет определяться схематически треугольником (рис. 1). Далее последовательно рассматриваются краевые задачи для нахождения коэффициентов разложений,
Со1 — ( )
йьо1 иоi п <1ио1 , йиоо 1 -1 , й2ио1
—,--+ —т + wоо = 0, здо—,--+ =--~—иооио1 + , 2 ,
a] 4 ar ar 2i ar2
3 /(7 ±1) (7 - 1) Г л л 2 (19) Р"1 = -т\ - и""и"1(1г1, А"1 = ——- —,
4 у 7 ]" 3 V 7 ±1 р""
ц = 0 : ио1 = У1"1 =0; г] ^ те : ио1 ^ 0.
Уравнение для вычисления функции wоl (г]) отделяется, но его решение зависит от значения коэффициента разложения рц из системы Сц ~ (ег2), который пока не известен. В результате получается краевая задача для определения члена для производной от поперечной компоненты скорости С$1 ~ (ег):
7 - 1
7
dwo^ dwoo , , ч
V00—,--+ voi^--uoowoi + woo (woo -uoi) =
dr¡ dr¡
Л , 0Pw\ (P\i PoiPio\ h 2 \ 1 + 2— uoouoi -----(1 - uoo)
oo oo oo oo oo
1 + 2^°
oo
t] = 0 : woi = 0; r¡ ^ < : woi ^ 0.
+ d2woi (20)
d¡¡¡2 '
При решении системы (19) методом Рунге-Кутты на поверхности крыла задавалась величина du,oi/dr]| 0 = 0.08378 и были получены следующие значения коэффициентов: poi = -0.24451 и Aoi = -0.16454.
Рис. 4. Коэффициенты разложения в окрестности плоскости симметрии для продольной компоненты скорости и01 (г/), и11 (г/) и и02 (г/)
На рис. 4 приведен профиль продольной компоненты — и01 (т]). Для рассматриваемых определяющих параметров профиль продольной компоненты скорости и индуцированное давление в плоскости симметрии г = 0 имеют вид
,(rj) = uoo (v) + uoi (г})е + О (e2) , p = 0.81786 _ 0.24451e + О (e2) .
(21)
наполненности профиля продольной компоненты скорости и (77) особенно около поверхности крыла.
После нахождения функции щ1 (77), Уо1 (т?) , Р01и Д01 из системы С01 ^ (е^^ая решения краевых задач Соо + С ^ + СЮ, можно переходить к решению системы С11 ^ (ег2). Краевая задача С11 ^ (ег2) и ее решение:
drj
dvii f 1 \ 1 pio ( , I Pio Poi Pii
+ 3 I wio _ 2Wool +4 Wi _ 7uii) + — (woo _ uoi) +
oo
f Pio Poi Pii\ n
----Noo = 0,
\Poo Poo Poo J
2
3 15 (7 _ 1)(7 + 1)
Pii = _3poi _ ¥V-7-
/ (2uooUii + 2uiouoi +
o
dr],
(22)
Aii =
1 Г2р°[ Г№ Л + Ш) _ 2РЦ-
5V7 + 1 IPoo \ Poo J Poo
5 V 7 +
^ = 0 : uii = vii =0; г] ^ то : uii ^ 0.
Уравнение для вычисления коэффициента в разложении для поперечной компоненты скорости wii (77) с нова отделяется, т.к. его решение зав исит от значения коэффициента p2i из системы C2i ^ (ez4^. В результате для нахождения wii (77) получаем краевую задачу СЦ ^ (sz3^ которая из-за краткости не приводится.
При решении системы (22) методом Рунге-Кутты на поверхности крыла задавалась величина duii/dr]| o = _0.61852 и были получены следующие значения коэффициентов pii = 0.34715 и Aii = —0.21199. На рис. 4 приведен профиль продольной компоненты — uii (77).
Зная решения краевых задач Соо±^оо и С01 ~ (е) и значение коэффициентами, можно вернуться к поиску решения системы С™1 ~ (е-г), описываемой уравнением и граничными условиями (20). На рис. 3 приведен профиль для коэффициента 0.1^01 (??)• Как показали численные расчеты с использованием метода Рунге Кутты, в рассматриваемом случае существует решение с дгШо1/дг] |ч=о = -4.4102. Завершив нахождение решения объединенной системы Со1 ± С'$1, можно переходить к решению системы Со2 ~ О (е2).
Краевая задача Со2 ~ (е2) и ее решение:
¿Уо2 ио2 , п
± ~т ± '^о1 = 0,
a r 4
<ио2 , <ио1 <иоо 1 - 1 ^ , 2 \ , <2ио2
1>оо^--+ уо1~1--+ =--— (2иооио2 +Щ1) + , 2 ,
ar ar a] 47 a]2
Ро2 = -1,/'7 - 1)(7 + 1' Г е2иооио2 + ^) ar,Ло2 = 1 ¿Щ ¡4& - (&)
8 у 7 Jo 7 + 1 роо \Роо/
(23)
ц = 0 : ио2 = Уо2 = 0; ц ^ те : ио2 ^ 0.
Уравнение для вычисления коэффициента в разложении для поперечной компоненты скорости и!о2 снова отделяется, но его решение зависит от значения коэффициента Р12 из системы С12 ~ ^е2г ). В результате для нахождения -то2 (г?) получаем краевую задачу
Сом, ~ (е2г), которая для краткости не приводится.
При решении этой системы методом Рунге Кутты на поверхности крыла задавалась величина Аио2/|ч=о = -2.7835 и были получены следующие значения коэффициентов: Ро2 = 8.31762 и До2 = 5.58908. На рис. 4 приведен профиль продольной компоненты
0.1ио2 (г])-
2
Рис. 5. Зависимость индуцированного давления р (z) то координате я при е = 0.001, 0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3 (кривые 1-6) в окрестности плоскости симметрии
В результате проведенных расчетов определены следующие разложения: и (r, z) = иоо (r) + uw (r) -г2 + и2о (r) -г4 + ио1 (r) е+
+U11 ( r) -г2е + ио2 (r) £2 + О ez6, z4е, z2e2, е3) , v ( r, z) = Уоо ( r) + VW ( r) г2 + У2о (r) г4 + v о1 ( r) е+ +vи ( r) + ^2 (r) e2 + О е<г6, -г4г, zV, e3) , w (r, z) = woo (r) -г + ww (r) -г3 + wol (r) ze + О (z5, z3e, , (24)
p(z) = 0.81786 - 0.44577z2 - 0.7825424 - 0.24451e+ +0.34715+ 8.31762e2 + О e*6, z4e, z2e2, e3) , A (z) = 1.10074 + 0.840422 + 0.78645z4 - 0.16454e--0.21199 22e + 5.58908e2 + О ez6, z4e, z2e2, e3) ,
здесь соответствующие профили иц (г?) и приведены на соответствующих рис. 2-4.
На рис. 5 приведено полученное распределение индуцированного давления для значений поперечной координаты 0 ^ г ^ 0.5 для параметров е = 0.001 (кривая 1), е = 0.01 (кривая 2), е = 0.05 (кривая 3), е = 0.1 (кривая 4), е = 0.2 (кривая 5), е = 0.3 (кривая 6).
Данные, приведенные на рис. 5, показывают, что в окрестности плоскости симметрии крыла имеет место локальный максимум давления и выполняется условие сходимости ряда для р (г, е) (12).
4. Разложения в окрестности передней кромки крыла и определение собственного числа
Для исследования поведения функций течения в пространственном пограничном слое в окрестности передней кромки г = 1 треугольного крыла преобразуем краевую задачу (8) и введем новые переменные [3]:
Г]* = щ (1 + г)1'4 , ра = р (1 + г)-1'2 , Аа = А (1 + г)3'4 ,
л-1/4 , л 1-гдг]* (25)
V** = V* (1 + г) ' + (еи — иг)--—.
** * ра д
Для рассматриваемой задачи переменные (25) не являются автомодельными переменными, но правильно учитывают поведение функций течения около передней кромки г = 1, т.к. переменные (25) будут приводить задачу к автомодельному виду, если рассматривать обтекание полубесконечной скользящей пластины в режиме сильного взаимодействия [2]. Учитывая, что в окрестности передней кромки тоже будет производиться разложение функций течения в ряды, преобразуем переменные (25) по аналогии с (9) так, чтобы в получающейся краевой задаче индуцированное давление ра (г) оставалось в знаменателе только при члене с градиентом давления:
Яа = Г1*Р-1'2, На = у**р10/2 — 1 (еи — ги) (1 — г) — . (26)
2 ра иг
После подстановки (25) и (26) в краевую задачу (8) она приводится к виду:
г = (еи — иг) (1 — г),
гди + у ди = 7 — 1 (1_и2_ еи2\ л + „(1 — ¿о ФЛ + д2и
дг а дг]а 27 ^ \2 ра йг *) д^"2'
ди ди 7 — 1 . 2 2\ (1 . (1 — ¿)йра\ , д2и = —I1 — и — ТУТ +
дг а дг]а 27 \ 2 ра йг ) дг]2 '
дУа 1 , Л , /и ди ди 1 йра\ л .
—---- (еи — иг) + — — г ——+ е——+ (еи — ги)--— (1 — г) = 0,
дЦа 4 V 4 дг дг ' 2ра (1г ) у '
А = ^ ^Г Г (1 — ^ — ^ ^-Ра = ^ (— ^ <1 — ') %
(27)
г]а = 0 : и = и = уа = 0; г]а ^ те : и ^ 1,и ^ 0.
Как и в работе [3], предполагается, что в окрестности передней кромки г = 1 решение
ра
Ра (*)= Ро + Р1 (1 —+ ... (28)
Остальные функции, входящие в (27), представляются в виде рядов
где / = (и, <ш, уа, Аа).
Подставляя разложения (28) и (29) в систему уравнений и краевые условия (27) и собирая члены одного порядка по степеням, получаем соответствующие краевые задачи. Для нулевых членов разложения будем иметь краевую задачу:
- 1 (еwо - ио) = 0, ¿Г]а 4
(1ио 7 - 1 2 2\ , (Рио
щ = --г(1 _и° - ^ ± (ч,
Уо (р- = - ^ (1 -.о - ) ± (гг, (3°)
¿Т]а 47 (ц
3 /(7 ±1)(7 - 1) Г ™ 2 2 А л Л 4 Г^
Л ---Уо I1 - ^^а, Ао =3^
Г]а = 0 : и0 = у0 = ы0 = 0; % ^ те : ад ^ 1, ^ 0.
Рис. 6. Коэффициенты разложения в окрестности передней кромки для продольной — щ (щ) и поперечной компонент скорости (щ) для е = 0.1, 0.3
Для первых членов разложения получаем:
(Щ V ^ -И1) - 1
- (а ± 1 ) (£т1 - и1) - (е^о - ад) = 0, ( а 4 2
(и1 (щ
Щ-.--± Уа---(е - ад) ща =
Ща Ща
7 - 1 г , (Л 2 2м , (2и1
2^ ± ± а (1 - и*2 - е^)] ± ^2 >
/х (31) --Ь ^ (--(е^о -ад )^а = 4 у
( а ( а
7 - 1 г ,л 2 2 чП с(2'Ш1
о^1 ± еыоот ± а (1 - Що - еwоо)\ ± ,
а
3±2а Г™ , 2 2, о Г™ л 1 3 .
——— (1 - ад - ет^ (г]а = -2 / (ад^1 ± )Ща, А1 = Ао,
3 ± 4 а уо Уо 6 ± 8 а
^а = 0 : ^ = ^ = =0; г]а ^ те : ^ ^ 0, ^ 0.
Для существования отличных от нуля первых членов разложений (28), (29) (р1 /ро = 0)
а
система уравнений (31) имела бы решение.
б -
-0.4
0.4
Рис. 7. Коэффициенты разложения в окрестности передней кромки для продольной — и\ (^0) и поперечной компонент скорости w\ (^0) для е = 0.01, 0.1, 0.2, 0.3
На рис. 6 приведены профили продольной ^q (ца) и поперечной wq (ца) компонент скорости для значений £ = 0.1, 0.3, полученные в результате решения системы (30). Расчеты, проведенные для значений £ < 0.1, показали, что функции ^q (ца) и wq (ца) изменяются очень слабо, т.к. |wq (ца)| = О (0.1), а в уравнения импульсов в градиентные члены входят величины порядка ewq (ца).
На рис. 7 приведены профили для первых членов разложения для продольной и\ (ца) и поперечной w\ (ца) компонент скорости для значений £ = 0.01, 0.1, 0.2, 0.3, полученные в результате решения системы (31). Численное интегрирование систем (30) и (31) показало, что для рассматриваемых определяющих параметров для значений 0.0001 ^ £ ^ 1 для каждого £ имеется только одно собственное значение а.
На рис. 8 приведена зависимость значения собственного числа а от значения параметра е. При г ^ 0.01 собственные числа выходят на асимптоту а & 23.14. В рассмотренном диапазоне параметра £ минимальные значения а & 11.997 достигаются при £ = 1 (угол стреловидности передней кромки 45°). Следует отметить, что по порядку величины указанные собственные значения соответствуют значениям, приведенным в [3], где рассмотрен случай обтекания треугольной пластины при gw = 0.5.
На рис. 9 приведена зависимость величины индуцированного давления pq на передней кромке от параметра При £ ^ 0.01 давление на передней кромке выходит pQ & 0.812822. Увеличение параметра £ приводит к уменьшению давления на передней кромке крыла.
На рис. 10 в качестве примера приведены зависимости ра (z) = pQ + р\ (1 — z)а в диапазоне 0.01 ^ z ^ 1 для значений параметра £ = 0.1, 0.3, 1 в случае, когда константа р\ = 1.
25
Loge
Рис. 8. Зависимость значения собственного числа а от параметра £
Рис. 9. Зависимость значения индуцированного давления на передней кромке ро от параметра £
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рис. 10. Зависимость ра (г) для е = 0.1, 0.3, 1 при значении пара метра р\ = 1
Увеличение параметра £ (при этом происходит уменьшение собственного числа а) приводит к увеличению поперечного размера области влияния течения в плоскости симметрии крыла и большему возрастанию давления при приближении к плоскости симметрии крыла.
5. Сращивание решений для определения индуцированного давления на крыле
Как показано в предыдущем разделе, решение вблизи передней кромки является неединственным [3], т.к. имеет место однопараметрическое семейство решений, зависящих от величины р\, входящей в (28) и (29). Отобрать нужное значение параметра р1 можно в результате сращивания двух решений: решения (11) — разложение в окрестности плоскости симметрии крыла — и решения (28) — разложение в окрестности передней кромки г = 1. Учитывая, что сращивание решений будет происходить при некотором заранее неизвестном значении поперечной координаты г = г*, то для сращивания решений для индуцированного давления необходимо потребовать выполнения двух условий. Такими условиями могут быть равенство давлений и равенство производных от давления по поперечной координате для двух разложений при значении поперечной координаты г = х*. Так как при рассмотрении течения в окрестности передней кромки вводилось преобразование давления (25), то имеем следующие два условия в переменных (7):
р (х*) = (1 + )1/2 Ра (2*) , ^
6,
йх
(1 + )1/2 ра (х*)
(32)
г=2
*
Учитывая полученные с заданной точностью разложения для давления в окрестности плоскости симметрии (24) и в окрестности передней кромки (28), из уравнений (32) полу-
чаем следующие условия:
0.81786 - 0.44577- 0.782544 - 0.24451е + 0.34715г\е + 8.31762е2 = (1 + )1/2 (ро ( е)+ Р1 (1 - )°(£)) ,
-0.89154г., - 3.13016 + 0.6943г*е =
(33)
= 0.5 (1 + )-1/2[ро (е) + (1 - а (е)) Р1 (1 - )а(е)
) •
*
а ( *) о ( *)
Подставляя их в систему (33), находим значения параметра р1 и поперечной координаты *
заданному параметру е*. Для нахождения неизвестных р1 и использовался метод итераций.
Рис. 11. Зависимость индуцированного давления р (г) то координате г на всем крыле при е = 0.01, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2
На рис. 11 приведены полученные в результате сращивания распределения ин-
( )
е = 0.01, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, где крестиками обозначены значения поперечной координаты *
0 ^ г ^ построены согласно выражению
р (г) = 0.81786 - 0.44577г2 - 0.78254г4 - 0.24451е + 0.34715^2е + 8.31762е2, (34)
для ^ г ^ 1 по формуле р (г) = (1 + г)1/2 (^ро (е) + р1 (1 - г)а(£^. При значении параметра е = 0.01 из решения систем (30) и (31) имеем ро (е = 0.01) = 0.8124 и а (е = 0.01) = 23.14, а тогда из решения системы (33) получаем координату сращивания (е = 0.01) = 0.005 и значение постоянной р1 (е = 0.01) = 0.00202. Данное решение показывает, что при обтекании треугольных крыльев с размахом 5 ^ 10 (е ^ 0.01) на большей части треугольного крыла в пограничном слое фактически реализуется течение, как на полу бесконечном скользящем крыле, а влияние течения в плоскости симметрии на все течение очень слабое (Р1 = 0.00202) и ограничено очень небольшой относительной областью течения в окрестности г = 0. При значении параметра е = 0.05 из (30) и (31) находим ро (е = 0.05) = 0.81049
ш а (е = 0.05) = 22.123, а тогда из решения системы (33) получаем координату сращивания г* (е = 0.05) = 0.008 и значение постоянной р1 (е = 0.05) = 0.0153. Данное решение показывает, что при обтекании треугольных крыльев с размахом 8 ~ 4.47 (е = 0.05), как и в предыдущем случае, на большей части крыла в пограничном слое реализуется течение, как на полубесконечном скользящем крыле с другим углом скольжения, но влияние течения в плоскости симметрии на все течение увеличивается примерно до 3% от размаха крыла, и это связано с увеличением постоянной р1 = 0.0153 фактически на порядок. При значении параметра е = 0.1 из (30) и (31) находим р0 (е = 0.1) = 0.808146 и а (е = 0.1) = 21.03, а тогда из решения системы (34) получаем координату сращивания г* (е = 0.1) = 0.109 и значение постоянной р1 (е = 0.1) = 0.221. В данном случае решение показывает, что при обтекании треугольных крыльев с размахом ~ 3.16 (е = 0.1) влияние течения в плоскости симметрии на все течение значительно возрастает и составляет уже примерно 15% от размаха крыла. При значении параметра е = 0.15 из (30) и (31) находим ро (е = 0.15) = 0.80585 и а (е = 0.15) = 20.04, а тогда из решения системы (33) получаем координату сращивания г* (е = 0.15) = 0.28 и значение постоянной р1 (е = 0.15) = 14.5. В данном случае решение показывает, что при обтекании треугольных крыльев с размахом ~ 2.58 (е = 0.15) влияние течения в плоскости симметрии на все течение еще больше возрастает и составляет около 1/3 от размаха крыла, при этом постоянная р1 (е = 0.15) = 14.5 возрастает практически на два порядка по сравнению со случаем е = 0.1 При значении пара метра е = 0.2 из (30) и (31) находим р0 (е = 0.2) = 0.803605 и а (е = 0.2) = 19.2, а тогда из решения системы (33) получаем координату сращивания х* (е = 0.2) = 0.456 и значение постоянной Р1 (е = 0.2) = 1961.5. В данном случае решение показывает, что при обтекании треугольных крыльев с размахом ~ 2.24 (е = 0.2) влияние течения в плоскости симметрии на все течение еще больше возрастает и составляет более 1/2 от размаха крыла, при этом постоянная р1 = 1961.5 возрастает практически на два порядка по сравнению со случаем е = 0.15. Проведенные исследования гиперзвукового обтекания теплоизолированного плоского треугольного крыла с малым углом стреловидности передней кромки на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия показали, что уменьшение размаха крыла приводит к значительному изменению характера обтекания. Так, при уменьшении размаха крыла с 8 ~ 4.47 до 8 ~ 2.24, т.е. примерно в два раза, происходит увеличение области влияния плоскости симметрии на все течение в пограничном слое более чем в 15 раз (с 3% до 50% от размаха крыла).
6. Выводы
В результате исследования уравнений трехмерного пограничного слоя на плоском треугольном крыле с малым углом стреловидности передних кромок @ << 1, обтекаемом гиперзвуковым потоком вязкого газа, показано, что в пограничном слое под действием индуцированного давления возникает течение в поперечном направлении, имеющее порядок
~ и^/сЪд^. Показано, что в этом случае для исследования течения в окрестности плоскости симметрии крыла можно построить координатно-параметрическое разложение для функций течения. Сформулированы краевые задачи для вычисления коэффициентов разложений и определена процедура их замыкания. Построено разложение для функций течения в окрестности передней кромки крыла. Сформулированы соответствующие краевые задачи и найдены собственные значения. Проведено сращивание решения для индуцированного давления в окрестности плоскости симметрии и решения в окрестности передней кромки. Проведенные исследования гиперзвукового обтекания теплоизолированного плоского треугольного крыла с малым углом стреловидности передней кромки на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия показали, что уменьшение размаха крыла приводит к значительному изменению характера обтекания.
Автор благодарит профессора Г.Н. Дудина за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00202).
Литература
1. Ладыженский М.Д. О пространственном гиперзвуковом течении около тонких крыльев // Прикладная математика и механика. — 1964. — Т. 28. — Вып. 5. - С. 835-844.
2. Ладыженский М.Д. О сильном взаимодействии пограничного слоя с невязким потоком на треугольном крыле // Прикладная математика и механика. — 1965. — Т. 29. — Вып. 4. - С. 635-642.
3. Козлова И.Г., Михайлов В.В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыльях // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1970. — № 6. - С. 94-99.
4. Дудин Г.Н. Взаимодействие гиперзвукового потока с пограничным слоем на тонком треугольном крыле // Труды НАГИ. — 1978. — Вып. 1912. — С. 3-10.
5. Дудин Г.Н. Конечно-разностный метод решения трехмерных уравнений пограничного слоя на режиме сильного вязкого взаимодействия // Труды ЦАГИ. - 1983. — Вып. 2190. - С. 3-25.
6. Дудин Г.Н. Треугольные крылья в вязком гиперзвуковом потоке: учеб. пособие. — М.: МФТИ, 2011.
7. Нейланд В.Я., Боголепов В.В., Дудин Г.Н., Липатов И.И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. — М.: Физматлит, 2003.
8. Нейланд В.Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч. 2. Двумерные течения и треугольное крыло // Ученые записки ЦАГИ. — 1974. — Т. 5. — № 3. — С. 28-39.
9. Дудин Г.Н. К расчету уравнений ламинарного пограничного слоя на линии симметрии треугольного крыла // Труды ЦАГИ. — 1980. — Вып. 2046. — С. 58-65.
10. Дудин Г.Н. Характеристики пространственного гиперзвукового пограничного слоя в окрестности плоскости симметрии треугольного крыла // Труды ЦАГИ. — 1983. — Вып. 2177. - С. 183-192.
11. Годунов С.К., Рябенький В. С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1973. — 400 с.
12. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 607 с.
13. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. — М.: Физматгиз, 1959.
- 220 с.
14. Дудин Г.Н., Нейланд В.Я. Закон поперечных сечений для трехмерного пограничного слоя на тонком крыле в гиперзвуковом потоке // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1976. — № 2. — С. 75-84.
15. Дудин Г.Н., Мъинт К. Т. О течении в окрестности плоскости симметрии холодного треугольного крыла при стремлении показателя адиабаты к единице // Труды МФТИ.
- 2010. - Т. 2. - № 3. - С. 141-151.
16. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. — М.: Гостехиздат, 1958. — 628 с.
17. Нейланд В.Я., Соколов Л.А. Ламинарный пограничный слой на конусе, установленном под углом атаки в сверхзвуковом потоке // Труды ЦАГИ. — 1977. Вып. 1812. — С. 3-9.
18. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. — М.: СОЛОН-Пресс, 2006. - 720 с.
19. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1974. - 832 с.
20. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970, 720 с.
Поступила в редакцию 05.02.2014
