О течении в окрестности плоскости симметрии треугольного крыла малой стреловидности на режиме сильного взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том ХЬV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2014

№ 5

УДК 532.526.2

О ТЕЧЕНИИ В ОКРЕСТНОСТИ ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА МАЛОЙ СТРЕЛОВИДНОСТИ НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Г. Н. ДУДИН, Я. Н. СО

Исследовано течение в пространственном пограничном слое в окрестности плоскости симметрии полубесконечного плоского треугольного крыла малой стреловидности на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. Проведено разложение функций течения в степенные ряды по поперечной координате и малому параметру, связанному с углом стреловидности. Приведены системы обыкновенных дифференциальных уравнений и краевые условия для вычисления коэффициентов членов координатно-параметрических разложений. Определена последовательность решения сформулированных краевых задач и вычислены коэффициенты шести первых членов разложения.

Ключевые слова: пространственный пограничный слой, треугольное крыло, сильное взаимодействие.

ВВЕДЕНИЕ

Исследованию течений в пространственном пограничном слое на треугольных крыльях, обтекаемых гиперзвуковым потоком вязкого газа, посвящено достаточно большое число работ. Симметричное обтекание полубесконечной треугольной пластины на режиме сильного взаимодействия пограничного слоя с внешним гиперзвуковым потоком впервые было рассмотрено в [1, 2]. Показано, что решение задачи зависит только от двух независимых переменных. Однако полученное решение не удовлетворяет условию непротекания в плоскости симметрии крыла. Исследование течения в пространственном пограничном слое на плоских треугольных крыльях, обтекаемых гиперзвуковым потоком вязкого газа, показало, что на режиме сильного вязкого взаимодействия разложение решения в окрестности передней кромки не единственно и содержит произвольную константу [3]. Соответствующий выбор ее, в принципе, позволяет удовлетворить условиям в плоскости симметрии крыла. При этом только на самой кромке крыла решение совпадает с решением для полубесконечной скользящей пластины [1]. В [4] были получены глобальные решения уравнений пограничного слоя на тонком треугольном крыле конечного размаха при симметричном обтекании, причем система уравнений решалась конечно-разностным методом [5] от одной передней кромки до другой. Исследования влияния определяющих параметров на характеристики течений около треугольных крыльев приведены в [6, 7]. Однако в [3, 4] характер течения вблизи плоскости симметрии крыла остался по существу неисследованным. В [8] рассмотрены некоторые

ДУДИН Георгий Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник ЦАГИ

СО Ян Наунг

аспирант МФТИ

особенности обтекания треугольной пластины конечного размаха на режиме сильного взаимодействия. В частности, указано на возможность существования в окрестности плоскости симметрии течения, которое описывается уравнениями пограничного слоя. Для главных членов разложения в окрестности плоскости симметрии получена система обыкновенных дифференциальных уравнений и граничные условия. Сформулированная краевая задача содержит произвольный параметр, который определяет допустимые виды решений и зависит от сращивания этого решения с тем, которое должно строиться от передней кромки [3]. В [9, 10] проведены параметрические расчеты и исследовано влияние полученного параметра на решения для главных членов разложения. Было показано, что значение этого параметра наиболее сильно влияет на профиль производной от поперечной компоненты скорости по размаху крыла. Кроме того было установлено, что уравнение поперечного импульса в общем случае не может быть решено методом прогонки, так как из-за наличия неоднородного члена нарушается достаточный признак хорошей обусловленности [11]. Краевая задача для этого дифференциального уравнения сводилась к задаче Коши, для решения которой использовалась схема Рунге — Кутта, но при этом уравнения продольного импульса и энтальпии решались методом прогонки. В общем случае, если сращивание решений (от плоскости симметрии и передней кромки) будет происходить при конечных значениях поперечной координаты, то необходимо учитывать следующие члены разложений по степеням поперечной координаты в окрестности плоскости симметрии. Для их определения получаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, но уже с нулевыми краевыми условиями. Решение каждой последующей краевой задачи позволяет, в принципе, вычислить «произвольный параметр» для решения предыдущей краевой задачи, но при этом само ее решение зависит от нового произвольного параметра для разложения в окрестности плоскости симметрии крыла. Сращивание решений позволяет определить значения константы в разложении от передней кромки и параметра в разложении в окрестности плоскости симметрии, если течение в окрестности плоскости симметрии крыла конечного размаха описывается уравнениями пограничного слоя.

В настоящей работе исследуется обтекание полубесконечной треугольной пластины малой стреловидности на режиме сильного взаимодействия. Как будет показано ниже, в этом случае поперечная компонента скорости в пограничном слое достаточно мала, и область локальной неприменимости уравнений пограничного слоя в окрестности плоскости симметрии крыла не возникает [8]. В результате в окрестности плоскости симметрии крыла разложение для функций течения вместо координатного становится координатно-параметрическим, и появляется возможность последовательно определять вид разложений для функций течения с заданной точностью.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается симметричное обтекание полубесконечного плоского треугольного крыла на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия при заданной температуре его поверхности Tw. Газ считается совершенным с отношением удельных теплоемкостей у = cpjcv и динамическим коэффициентом вязкости, линейно зависящим от температуры ц0/ц=сда T0/Тда , где сда = const, а индекс « да » обозначает параметры в невозмущенном потоке. Компоненты вектора скорости и0, v0, w0 в пространственном ламинарном пограничном слое направлены соответственно вдоль осей х0, y0, z0 декартовой системы координат, начало которой расположено в вершине крыла. Ось х0 направлена вдоль оси симметрии крыла, а ось z0 — по размаху крыла. Предполагается, что угол стреловидности передней кромки в << 1, а размах крыла 5 = ctgP >> 1.

Вводится малый параметр s = s~2 << 1. В невозмущенном потоке скорость ида , плотность рда и энтальпия торможения gx стремятся к постоянным значениям, когда число Маха M .

В этом случае давление рда, скорость звука ада и температура Тда стремятся к нулю.

В соответствии с гиперзвуковой теорией малых возмущений [12], при Мда >> 1 и безразмерной толщине ламинарного пограничного слоя 5 << 1, в случае, когда Мда5 >> 1, индуцированное давление, создаваемое толщиной вытеснения, имеет порядок p0 ~ р52. Так как в по-

граничном слое статическая энтальпия к0 ~ и2 / 2, то, используя уравнение состояния, для оценки плотности газа получаем:

Р0к» ~ р»и»52 а2 52 (1)

Р^ Р<*,к рх (у- '

Оценку для толщины 5 получим, приравнивая главные вязкие и инерционные члены в уравнении переноса количества движения вдоль продольной оси х°:

Р0м 0

ди0 д

( ди0 >

дх0 ду0 ^ дУ /

КТО 5 2 и^ Ц0и

ТО 5 ~ Re-l4

X 52Х2

Яе/4. (2)

Здесь Яе0 = ижX/ц0— число Рейнольдса; ц0 — динамический коэффициент вязкости, вычисленный при температуре торможения Т; X — характерный размер, который при рассмотрении обтекания полубесконечного крыла в конечные результаты не входит. Для оценки величины поперечного компонента скорости учтем, что он создается в пространственном пограничном слое градиентом давления по размаху крыла. Приравнивая главные инерционные члены и градиент давления в уравнении переноса количества движения вдоль поперечной оси г0, получаем:

р°м°

др0 52мте~ р^и2 52 дх0 ~ дг0 , X ~

^ . (3)

Вне пограничного слоя, где плотность газа велика, для рассматриваемого случая 5/5 = 5л/е << 1 этот компонент скорости существенно меньше, так как имеет порядок их ~ 52Д = 52л/е << 1 [13]. Следовательно, в пространственном пограничном слое на крыле

большого размаха возникают поперечные течения со скоростью порядка -у/е , тогда как на крыле конечного размаха поперечная компонента скорости существенно больше и имеет порядок м>(°1их= О(1) [14]. Оценка для компоненты скорости по нормали к поверхности крыла, как

обычно, получается из уравнения неразрывности: V0 ~ их5.

В случае M5 >> 1 для определения индуцированного давления, создаваемого толщиной вытеснения, можно использовать приближенную формулу «касательного клина» [12]. В соответствии с оценками для ламинарного пространственного пограничного слоя в гиперзвуковом потоке [12] и (1) — (3), учитывая преобразование А. А. Дородницына, вводятся безразмерные переменные:

х0 = Хх, у0 = Х5Г И!, г0 = Хе "V2 г, Р

0

р0 = р^и252р(х,г), р0 = 52р(х,г), ц0 = ц0Ц(х,г), g0 = 0.5иТОg(х,!, г), и0 = иКи(х,!, г), (4)

V0 = 5 р-11 V(х,г)- и — - м>гд

05 р 1 ^V (х,г)-г

дх дг , 0 = и^п (х,г), 50 = Х55е, 5 = Яе"1/4.

Здесь g0 — энтальпия торможения, 5°° — размерная толщина пограничного слоя. В переменных (4) система уравнений пространственного пограничного слоя на треугольном крыле большого размаха сводится к виду:

ди дw

— + — + е— = 0, 5х бк д!

ди _ди ди 1 др д (_ ди

и--+ V--+ еw— = -—--1--1 рц— ,,

дг бк д! р дг бк V дк)

дw _дw дw 1 др д (_ дw

и--+ V--+ 8w— = -3--1--1 рц—

дх дк д! р д! дк V дк

де _ де де д и — + V — + е^— = — дх дк д! дк

( ( рц

V V

1 де 1 - о д(и2 + )

о дк

дк

2У Р 2 2 2 2 ---+ и + 8^ , Ц = е - и - 8Г ,

_ у +1 р =—

У-1 р .т \2

(д& л

V дх )

х у -1

2ур

1

р К

2 2 - и2 - еw2

к = 0: и = w = V = 0, е =

к— да: и — 1, w —^0,

1.

(5)

Здесь с — число Прандтля. Если в краевой задаче (5) совершить предельный переход е — 0 (5 —да), то в пределе для главных членов получаем систему уравнений, которая не зависит от компоненты скорости w. Уравнение импульса для компоненты скорости w может быть решено после решения системы для главных членов. Как показано ниже, при построении координатно-параметрического разложения в окрестности плоскости симметрии крыла такая ситуация будет иметь место для всех краевых задач для определения следующих коэффициентов членов разложения. Аналогичный вид разложения был получен в [15], где в качестве малого параметра использовалась величина е = у -1 << 1. Заметим, что при параметре е = 0 (крыло с нулевым углом стреловидности) из (4) следует, что размерная величина поперечной компоненты скорости w0 = 0 .

Для учета особенностей поведения функций течения в окрестности носика треугольного крыла вводится преобразование переменных, приводящих задачу к автомодельной по продольной координате х [6]:

■ = X!, к = Х14к*, р = X"12 р* ( 2), р = Х-^р* ( к, 2),

= х3/45*, V = х"3/4

V - хи-

дк* дх

(6)

В переменных (6) краевая задача (5) становится двумерной и зависит от координат к* и Для учета симметричности течения на крыле и поведения функций течения в окрестности передних кромок (! = ±1) вводятся переменные, подобные [6], которые, однако, не являются автомодельными (по оси !):

П* =-

к*

2у

I(1 - !2)

=, р^л/Г!2/, д(!)=(1 -!2)-345;

V* (п,!) =

1 - !2

, ч 5п* V* (еw - и!)--+ .

I 2Т_ ( _ !2 )

1у-

(7)

Система уравнений пространственного пограничного слоя и граничные условия (5) с учетом (6), (7) принимают вид:

У

У

г = ( еw - иг )(1 - г2 ) р 1,

ди

- V* -

ди дп*

у -1( 2

= (( - и -

2УР

еw

1 - г2

Л

дw дw у -11 2

г-+ V*-=--( - и 2 -

дг дп* 2ур 4

р

1 - г 2<

+ д2и дп*2 д 2 ^

р ёг I дп2

дg дg г— + V* ———

дг дп*

д

дп*

1 -1 - ° о дп* о

д(

■ еw

ду* , ч г

--(еw - иг)--

дП» 2 р

и ди

--г

4 дг

дп*

д^ ^ 1 - г2 п — + е— I-= 0

(8)

Д =

У -11

' 2у Р

К

-и2 -е^2

Р = •

дг

3 (1л V

г2 (1 -г2 )

п* = 0: и = ^ = V = 0, g =,

п* ^ да: и ^ 1, ^ ^ 0,

1.

Решение краевой задачи (8), определяющее течение в пограничном слое на всем крыле, зависит, в общем случае, от параметров gw, с, у и малого параметра е = 5"2 . Уравнения (8) на передних кромках при г = ±1 вырождаются в обыкновенные дифференциальные уравнения. Следует отметить, что в (8) фактически входит вторая производная от толщины вытеснения д2А/дг2 . Следовательно, данная система уравнений не относится к параболическому типу. Наличие в системе этой второй производной может приводить к распространению возмущений по размаху крыла. Краевая задача (8) может быть решена методом, изложенным в [5, 6]. Однако расчетные исследования [6] показали, что при использовании метода прогонки в плоскости симметрии крыла могут возникать проблемы из-за нарушения достаточного признака хорошей обусловленности [11]. Переходя в краевой задаче (8) к пределу е ^ 0, получим систему уравнений, которую можно использовать для определения главных членов разложения функций течения в степенные ряды по параметру в. Полученная система разделяется, так как в ней функции и, g, V, р и А зависят только от параметров gw, с, у и не зависят от поперечной компоненты скорости w, и этим она существенно отличается от общего случая (8). Следует отметить, что при е = 0 компонента скорости w удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с нулевыми граничными условиями и его решение определяется после нахождения указанных выше функций течения. Поскольку в этом случае коэффициент при производной по поперечной координате в уравнениях переноса г (п*, г) = -и (п*) гр-1 пропорционален г (в главном порядке) и меняет знак только в

плоскости симметрии крыла (г = 0) , то, следовательно, реализуется течение с плавным стекани-

ем к данной плоскости и на каждой половине крыла направление параболичности системы сохраняется. Так как градиент давления в плоскости симметрии равен нулю в силу предполагаемой симметричности течения, то для компоненты скорости w в плоскости симметрии получается обыкновенное дифференциальное уравнение, которое имеет решение: w (п*, г = 0) = 0 [16]. Аналогичные результаты получены в [17] при рассмотрении течения в ламинарном пограничном слое на конусе при малых углах атаки в сверхзвуковом потоке.

2. РАЗЛОЖЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ КРЫЛА

И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

При исследовании функций течения в пространственном пограничном слое в окрестности плоскости симметрии крыла оказалось удобным преобразовать краевую задачу (8), вводя новые переменные:

п = п*р 12, V = V*р12 -1 (еw - ги)(1 - г2 )—.

2 р ёг

(9)

После подстановки (9) в краевую задачу (8) она приводится к виду:

г = (е^ - ыг)(1 - г2 ),

дu

дw dw

r--+ v—

dz дп

ди у - It 2 2 - 1 "- u - sw

uu uu Y —1/

— + v— = J-(

dz дп 2y

.i-l, 2Y

(( ¥

1 - z2

■ - и2 - sw2 || z -

p

l - z2 <

д 2u + дп2: ^ + д 2 w p dz I дп2 '

д£ де д

r— + v— = —

dz дп дп

l де -1-£ д(и 2+sw2 (

о дп о

дп

(10)

дv , s z

--(sw - uz)—+

дп 2

Л

дu дw

4 z дz

А =

Y -1

I 2yp

К

-u2 - sw2 (п, p =

дz Y +1

+ (sw - zu (—ddp- 1(1 - z2 ( = 0, V ' 2pdz JV '

п = 0: u = w = v = 0, g = ;

2

w, п-

3 (l + z 2 (А-z (l - z 2 (dA 4V ' v ' dz

1,w ^0,g ^1.

■ да: u

Теперь в уравнениях переноса и неразрывности индуцированное давление в знаменателе останется только при производной от него.

Для исследования функций течения в окрестности плоскости симметрии крыла предполагается, что уравнения пограничного слоя справедливы в этой области и имеют место следующие разложения по малому параметру в и поперечной координате г:

/ = /оо (п) + /01 (п) Б + /02 (п) Б2 + (/ю (п) + /п (п) е) г2 +

+ /20 (п )г 4 + О (е3, е 2 г 2, ег 4, г6 ),

™ = (оо (п) + ^01 (п)е)г + ^ю (п)г3 + О (е2г ег3, г5), к = к00 + к01е + к02е2 +(к10 + к11е) г2 + к20 г4 + О (

s3, s 2 z 2, sz 4, z 6

(11)

где / = (ы, g, V), к = (р, А).

Подставляя разложения (11) в систему уравнений и краевые условия (10) и собирая члены одного порядка по степеням в и/или г, получаем соответствующие краевые задачи. Поскольку в систему (10) входят члены р-1, то для обеспечения сходимости ряда необходимо выполнение условия:

—(s + p10 z2 + p02s2 + pnez2 + p20 z4 + O (s3, s2 z2, sz4, z6 ) p00V V "

< 1.

(12)

Как следует из (12), при увеличении параметра s область сходимости по координате z уменьшается. В настоящей работе разложения проводились с использованием системы Maple, например, [18]. На рис. 1 приведены условные обозначения получающихся краевых задач и процедура их замыкания, которая более подробно будет описана ниже при обсуждении последовательности решения краевых задач. Краевые задачи для вычисления коэффициентов u^ (п|, gjj (п|, Vj (п|, ptj и Aj обозначаются Cj , а краевые задачи для вычисления коэффициентов разложения wj (п| — Cw. Все системы состоят из обыкновенных дифференциальных уравнений. Для всех систем, кроме C00, краевые условия являются нулевыми. Все уравнения решались методом Рунге — Кутта четвертого порядка. Для этого краевые задачи сводились к задачам Коши. Учитывая, что в краевых задачах одно из условий задается при п ^да , а фактически они

решались на отрезке 0 < п < 8.5, то при п = 8.5 ставилось требование выхода решения на асимптотическое значение для соответствующей функции течения. Эти асимптотические выражения получаются из решения краевых задач при рассмотрении их для п ^ 8.5 . Так как оказалось, что полученные асимптотические разложения зависят от констант, которые можно определить только при решении соответствующих краевых задач на всем отрезке 0 < п < 8.5, то для определения их значений необходимо было делать несколько итераций. Более подробно об этом будет сказано ниже при решении конкретных систем уравнений. Размер шага по нормальной координате выбран Лп = 0.01. Проведены также проверочные расчеты с шагом в два раза меньше при Лп = 0.005, которые показали, что шаг Лп = 0.01 достаточен для обеспечения необходимой точности вычислений.

Краевая задача С00:

V

*00

У -1

ё 2ы,

00 ёп~ 4у ((00 ёп2

00

00

dgoo = 1 ё2 #00 1 - о ё \

00

^00 , «00 р = 3 =0, Р00 = ^

ёп о ёп2 о ёп2

( +1)(-1)?( 2 ^ Л = 4 ¡2^0

3\у + Г

"{( - «00 )) Л00

(13)

п = 0: «00 = Voo = 0 #00 = , п «00 ^ 1, #00 ^ !.

Как отмечалось выше, уравнение для вычисления функции (п) отделяется, но его решение зависит от значения коэффициента разложения рю для давления из системы Сю , точнее от отношения р10/р00 , которое пока неизвестно. В результате получается краевая задача для определения в главном члене производной от поперечной компоненты скорости С00 :

"00'

ёп

00 « ы = т 1 "00^00 -

2у

1+к -и00

) + ё 2 ы00 ' ёп2

(14)

п = 0: ы00 = 0, п ^ : Ы

00

0.

Далее все результаты расчетов приведены для крыла с теплоизолированной поверхностью = 1 при значениях параметров: о = 1, у = 1.4 . Заметим, что в этом случае профиль энтальпии

в пограничном слое #00 (п) = 1. Рассматривая систему (13) для больших значений п (п ^ 8.5) и

предполагая в ней Ы00 (п — 8.5) = 1, можно получить следующие асимптотические выражения для функций течения:

00

(п > 8.5( = -0.25п + c1, u00 (п > 8.5( = 1 - 72л:

(

1 - erf

V2

I --¡2c1

(15)

Здесь постоянная С1 определяется из численного решения системы (13) в результате нескольких итераций. Фактически процедура была следующей. Первоначально задавалось значение (п = 8.5) = 1, затем решалась система (13) и определялось значение v00 (п = 8.5). Из первого

00

соотношения (15) находилась величина ^ и из третьего соотношения (15) — асимптотическое значение Ы00 (п) при п = 8.5. После этого уточнялось задаваемое значение Ы00 (п = 8.5), снова решалась система (13) и уточнялось значение с1. Итерации прекращались, когда разность заданного и полученного значений Ы00 (п = 8.5) становилась меньше некоторой достаточно малой величины. В результате было установлено, что с1 = 0.46232 , а Ы00 (п = 8.5) = 0.9978 . Учитывая полученное значение постоянной с и то, каким образом она входит в аргумент интеграла

—4-п - \/2с1 , можно утверждать, что ее влияние на величину Ы00 (п = 8.5) дос-

вероятности erf

таточно слабое. Таким образом, для значений п > 8.5 компонента скорости u00 (п) действительно очень близка к единице. Следует отметить, что асимптотическое поведение функций течения V00 (п > 8.5) и u00 (п > 8.5) может быть уточнено, если рассмотреть систему (13) для больших

значений п (п > 8.5) и предположить в ней, что u00 (п > 8.5) не равно единице, а определяется формулой (15). В этом случае асимптотическое выражение для нормальной компоненты скорости V00 (п > 8.5) будет представлять собой уже интеграл от интеграла вероятности, а асимптотическое выражение для u00 (п > 8.5) станет достаточно сложным. Поэтому в дальнейшем при получении асимптотических выражений будем также ограничиваться главным приближением.

На рис. 2 приведены профили продольной u00 (п)

(кривая 1) и нормальной компонент скорости V00 (п)

(кривая 2). При решении нелинейной системы (13) на поверхности крыла задавалась величина du0)0l d^^ = 0.38066, и в результате получены следующие значения коэффициентов разложения: p00 = 0.8 1 8 84 и А00 = 1.10141. Из кривой u00 (п) ,

приведенной на рисунке, видно, что при заданных определяющих параметрах за верхнюю границу пограничного слоя можно брать координату п ~ 8.5. Краевая задача (13) была решена также методом прогонки. Различия между решениями, полученными методом Рунге — Кутта и прогонкой, совпадают с точностью аппроксимации. После нахождения

" функций u00 (п), g00 (п), v00 (п), p00 и А00 из систе-

Рис. 2. Профили компонент скорости:

1 — uoo- 2 — Voo мы C00 перейдем к решению системы C10 .

Краевая задача C10 :

dvi

10

Сп

—u

10

400

' 1 - po Л 4 p00

= 0,

du10 du v00~r~ + V10

Сп

00 - 2u u = Y -1

00

Сп

dg10 Сп

4y

g10 - 2u00u10 +

1 + 4

Ao

p00

(g00 - u00 )

d 2u

10

Сп2

+ v dgoo 2 g = 1 d2g10 1 - о d2 (2u00u10)

+ V10^--2uoo g10 ='

Сп

о Сп2

Сп2

(16)

p10 = -3

poo

"rj (Y +1)(Y 1) J(g10 -2u00u10 )Сп ,

' Y 0 I

A10 =

2 2 poo

5 V Y +1

2 -

Ao poo

п = Q: u1Q = v1Q = q g1Q = q п ^да: u1o ^ Q g1o ^ q.

Система уравнений (16) является линейной с нулевыми граничными условиями. Уравнение для вычисления коэффициента разложения поперечной компоненты скорости (п) снова отделяется, причем его решение зависит от значения коэффициента Р20 из системы С20 . В результате для нахождения (п) получаем краевую задачу СМ :

dw1

10

00

Сп

dw00

v10 —¡---3uoo w10 + woo (uoo - u10 ) =

Сп

Y -1

2Y

1 + 2

p1Q

poo

(g10 -2u00u10 ) + 2

^ 2 p20 - p10 ^ poo poo

1-

п = 0: w10 = 0, п ^ да: w

10

Ao poo ► 0.

//

(goo uoo)

d 2 w

10

Сп2

(17)

Поскольку goo (п) = 1, то из (16) следует, что g1, (п) = 0. Рассматривая систему (16) для больших значений п (п > 8.5) и полагая в ней uqq (п > 8.5) = 1, Vqq (п > 8.5) = -0.25п + С и u1Q (п > 8.5) = 0 , можно получить следующие асимптотические выражения для функций течения:

"10

(п > 8.5) = -

(

0.25 -

Ao

poo

п + c2, u10 (п > 8.5) =

(

1 - erf

V2

\-42c1

(18)

Постоянная С2 в (18) определяется из решения системы (16). Следует отметить, что асимптотическое выражение для Ыю (п — 8.5) в этом приближении не содержит С2 , а только постоянную с1 = 0.46232, которая уже была определена выше при решении краевой задачи С00 . В результате численных решений было установлено, что С2 =-0.41722, а при решении задачи (16) методом Рунге — Кутта надо выходить на асимптотическое значение Ыю (п = 8.5) = -0.002 . При решении системы (16) на поверхности крыла задавалась величина ^10/^0 = -0.19743 и получены значения коэффициентов рш =-0.45109 и Аш = 0.84287. Следует иметь в виду, что распределение давления в размерных переменных р0 (х°, г0) будет иметь локальный максимум

в плоскости симметрии крыла, если д2 р0/д( г 0 )2 < 0 при г0 = 0 . Учитывая преобразования переменных (4), (6), (7) и разложение (11), для индуцированного давления получаем:

д 2 p Q

^ | zQ=0-^^ i p +0 ) z=0 = ^^ (poo + p01s+p02s 2 +...+2 (0 + pus + ^ 2 + ...))< 0(19)

Очевидно, что полученное значение Р10 =-0.45109 удовлетворяет неравенству (19). На

рис. 3 приведены профили (п) (кривая 1) и V*) (п) = 0.1^0 (п) (кривая 2).

В результате решения систем (13) и (16) для профиля продольной компоненты скорости с заданной точностью получаем:

и (п, г) = и00 (п) + «10 (п) г2 + О (е, ег2, г4 ) . (20)

Учитывая характер поведения функций «00 (п) (рис. 2) и «10 (п) (рис. 3), можно отметить, что величина, пропорциональная напряжению трения в продольном направлении т« = сп|л=0 , будет иметь

максимум в плоскости симметрии г = 0, тогда профиль продольной компоненты скорости (20) становится более наполненным. Наибольшие изменения профиля будут иметь место при значениях нормальной координаты 0 < п < 2 . Зная решение краевой задачи С00 и коэффициент рю =-0.45109 из решения системы Сш , можно перейти к решению краевой задачи С00, описываемой уравнением и граничными условиями (14). Рассматривая это уравнение для п ^ 8.5 и приближенно предполагая в (14), что

1 — «10; 2 -

= 0.Ы,

00

(п ^ 8.5) = 1, получаем уравнение:

ё 2 ж

00

ёж.

- V

00

ёп2 00 ёп

Для исключения второго члена в уравнении (21) вводится новая переменная м>* (п) [19]:

>( ' ) ^

+ ж00 =

(21)

ж00 = ж ехр I

00

(22)

В результате подстановки (22) уравнение (21) приводится к виду:

ч(пк=0, ад=1 ^ (п)-1 ^^-1.

,]2 * ёж

ёп2 ^ 4 ' Л '' 4 00 4 2 ёп

(23)

Для коэффициента (п) при п имеют место оценки:

2

о(п-3). ^ § = о(п-3)

I ёп.

тогда уравнение (23) имеет асимптотическое решение при п ^ [20]:

1

w* = cVqq1 exp

voo

(П )

1 1 dn J J (24)

Подставляя в (24) выражение для v00 (п) из (15) и учитывая (22), получаем асимптотическое выражение для коэффициента Woo (п), на которое должно выходить решение уравнения (14):

w,

(n > 8.5) = c3n3exp I— n2 + С1П 1 • (25)

-0.8

-04

0.4 0.8

w00'wi0'w0l

Рис. 4. Коэффициенты разложения:

1 — woo; 2 — wio; 3 — woi

oo

Здесь c3 = const подбирается в результате численных расчетов. На рис. 4 кривая 1 представляет профиль для коэффициента Woo (n). Как показали расчеты, в рассматриваемом случае существует решение с dwooj dq|n=o = o.l4729, причем |woo (n)| - o.2

для всех п. Следует отметить, что функция Woo (n) фактически является главным членом разложения первой производной от поперечной компоненты скорости по поперечной координате dw (z, n)/dz в плоскости симметрии крыла. Полученное решение можно трактовать как течение, в котором поперечная компонента скорости около поверхности крыла при o < n - 4.13 направлена от плоскости симметрии крыла, а при n > 4.13 по нормальной координате она направлена к плоскости симметрии. Для точного определения направления течения в заданной точке z, п поля необходимо вычислять знак коэффициента r = (sw - uz )(l - z2 ) из системы (lo), который и определяет направление параболичности этой системы. При s ^ o полученное решение в этом приближении может интерпретироваться как течение со стеканием к плоскости симметрии.

Таким образом, замыкая последовательно решения, можно найти необходимое число коэффициентов разложения по поперечной координате z для соответствующих функций течения. При этом будут последовательно решены краевые задачи, обозначенные условно в крайней левой колонке рис. 1, и в результате будут найдены главные члены разложения по параметру в.

Коротко опишем процедуру замыкания краевых задач для последовательного нахождения решений следующих систем. Имея решения Coo + Coo, Сю + C^, C^q и т. д., можно переходить к последовательному решению систем Cqi, Cn и т. д., условно обозначенных в средней колонке на рис. 1. В результате их последовательного решения получим соответствующие коэффициенты разложений при степенях, содержащих малый параметр в в первой степени. После решения краевой задачи Cqi и нахождения коэффициента pn из системы Cu можно вернуться к решению

краевой задачи CQl и найти профиль коэффициента wqi (n) . Затем последовательно находятся

решения систем СЦ, С21 и т. д. В результате будут определены все необходимые коэффициенты

разложений в краевых задачах, указанных в средней колонке рис. 1. После этого появляется возможность перейти к решению систем и нахождению коэффициентов разложений, содержащих малый параметр е2, т. е. решать последовательно краевые задачи, условно обозначенные в правой колонке С02 , С12 и т. д. Как следует из схемы, приведенной на рис. 1, задание определенного числа членов разложения по степеням г (левая колонка) ограничивает количество членов разло-

жения по степеням в. Максимальное количество членов координатно-параметрического разложения фактически будет определяться схематически треугольником (см. рис. 1). Далее рассматриваются краевые задачи для нахождения коэффициентов разложений, содержащих малый параметр в. Краевая задача С01 :

dv01 + u01 + w _ 0 _Т ,Г + w00 _ 0 dn 4

01

du,

00

00

dn

01

Y -1/ ч d 2um

(01 - 2u00u01) +

01

dn 4y

1 d2 g01 1 - o d2

00

00

o dn

dn dn o dn2

(y+1)(Y -1)?, 2 )d

----- J (01 - 2u00u01 ))

dn2 ' 2 (2u00u01),

3

P01 _-

Л01 _

2 2 P00 P01

3 V Y +1 P00

n _ 0 : u01 _ v01 _ g01 _ 0 , n : u01 ^ 0 g01 ^

(26)

Уравнение для функции w01 (n) отделяется, но его решение зависит от значения коэффициента разложения pn из системы Сп, который пока неизвестен. В результате получается краевая задача для определения члена для производной от поперечной компоненты скорости C^ :

dw.

dw.

v00—TL + v01 "Г00-u00w01 + w00(w00 -u01)_

dn

Y -1

2Y

1 + 2

dn

P10 P00

(01 - 2u00u01) +

+2

( P11 P01 P10 ^

(g00 u00)

d 2 w.

(27)

01

dn2

P00 P00 P00 n _ 0 : w01 _ 0, n : w01 ^ 0

Учитывая, что g,o (п) = 1, из (26) следует g,1 (п) = 0 . Рассматривая систему (26) для больших значений п (п > 8.5) и предполагая в ней uqq (п > 8.5) = 1, Vqq (п > 8.5) = -0.25п + С и u,1 (п > 8.5) = wqq (п > 8.5) = duo,!Сп(п > 8.5)= 0, можно получить следующие асимптотические выражения в первом приближении:

"01

(n > 8.5) _ Сб, u01 (n > 8.5)_-л/2П

(

1 - erf

V2 2

—n -V 2с 1

(28)

Постоянная С2 , входящая в (28), определяется из решения системы (26). Следует отметить, что асимптотическое выражение для Vqq (п > 8.5) выходит на постоянную величину, а u,1 (п > 8.5) в этом приближении не зависит от постоянной С6, а только от q = 0.46232 , которая была определена выше при решении задачи Cqq . В результате численных решений установлено,

что с6 =-0.0471, а при решении задачи (27) надо приближенно выходить на асимптотическое значение 01 (п = 8.5) = -0.002. При этом на поверхности кры-

u.

ла

задавалась величина du01/dn |п_0 = 0.08573 и получены следующие значения коэффициентов Р01 =-0.25162 и Д01 =-0.16922. На рис. 5 приведены профили продольной компоненты U01 (п) (кривая 1) и нормальной компоненты скорости V01 (п) _ 0.1V01 (п) (кривая 2). В этом приближении

профиль продольной компоненты скорости и индуцированное давление в плоскости симметрии z _ 0 имеют вид:

u (п) _ u00 (п) + U01 (п) е + О (е2), p _ 0.81884 - 0.25162е + О(е2).

Рис. 5. Коэффициенты разложения:

1 — u01; 2 — v0

: 0.1vn

Отсюда видно, что при учете первого члена разложения по е происходит увеличение наполненности профиля продольной компоненты скорости и (п), особенно около поверхности крыла.

В результате последующих расчетов, согласно показанной на рис. 1 схеме, определены коэффициенты следующих разложений:

u (п z) _ u00 (п) + u10 (п)z 2 + u20 (п)z 4 + u01 (п)е + u11 (п)z 2 е + u02 (п)е 2 + О (

z 6, z 4 е, z 2е 2

V ( z) _ V00 (п) + V10 (п) z2 + V20 (п) z4 + V01 (п) е + V11 (п) z2е + V02 (п)е2 + О (

z6, z4е, z2е2

, е3), , е3),

w ( z)_ W00 (п )z + W10 (п)z3 + W01 (п)zе + O (z5,

z 3е, zе2),

p(z) _ 0.81884 - 0.45109z2 - 0.70715z4 - 0.25162е + 0.54474z2е - 0.18919е2 + О(z6, z4е, z2е2, е3),

Рис. 9. Распределение давленияр по размаху крыла: 1 — 8 = 0.001; 2 — 8 = 0.01; 3 — 8 = 0.05; 4 — 8 = 0.1

Рис. 8. Коэффициенты разложения:

1 — «02; 2 — = 0.1у02

Д(г) = 1.10141 + 0.84287г2 + 0.72666г4 - 0.16922в - 0.29339г2е - 0.13596?

здесь соответствующие профили и■ (п) и wjJ■ (п) приведены на рис. 2 — 8. На рис. 9 показано полученное распределение давления для значений поперечной координаты 0 < г < 0.5 . Следует отметить, что кривые 1 и 2 близки во всем диапазоне поперечной координаты г. Рис. 9 показывает, что в окрестности плоскости симметрии крыла имеет место локальный максимум давления и выполняется условие сходимости ряда для р (г, е) (12).

ВЫВОДЫ

В результате исследования уравнений трехмерного пограничного слоя на плоском треугольном крыле с малым углом стреловидности в << 1, обтекаемом гиперзвуковым потоком вязкого газа, показано, что в пограничном слое под действием индуцированного давления возникает поперечное течение со скоростью ~ ихtgP . В окрестности плоскости симметрии крыла построено координатно-параметрическое разложение функций течения. Сформулированы краевые задачи для вычисления коэффициентов разложений и определена процедура их замыкания. Для нормальной и продольной компонент скорости, индуцированного давления и толщины вытеснения вычислены первые шесть членов разложений, а для поперечной компоненты скорости найдены первые три члена разложения, таким образом построено аналитическое решение для функций течения в окрестности плоскости симметрии крыла.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00202).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ладыженский М. Д. О пространственном гиперзвуковом течении около тонких крыльев // ПММ. 1964. Т. 28, вып. 5, с. 835 — 844.

2. Ладыженский М. Д. О сильном взаимодействии пограничного слоя с невязким потоком на треугольном крыле // ПММ. 1965. Т. 29, вып. 4, с. 635 — 642.

3. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыльях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 6, с. 94 — 99.

4. Дудин Г. Н. Взаимодействие гиперзвукового потока с пограничным слоем на тонком треугольном крыле // Труды ЦАГИ. 1978, вып. 1912, с. 3 — 10.

5. Дудин Г. Н. Конечно-разностный метод решения трехмерных уравнений пограничного слоя на режиме сильного вязкого взаимодействия // Труды ЦАГИ. 1983, вып. 2190, с. 3 — 25.

6. Ду дин Г. Н. Треугольные крылья в вязком гиперзвуковом потоке. Учеб. пособие. — М.: МФТИ, 2011, 259 с.

7. Нейланд В. Я., Боголепов В. В., Дудин Г. Н., Липатов И. И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. — М.: Физматлит, 2003, 456 с.

8. Нейланд В. Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч. 2. Двумерные течения и треугольное крыло // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. V, № 3, с. 28 — 39.

9. Дудин Г. Н. К расчету уравнений ламинарного пограничного слоя на линии симметрии треугольного крыла // Труды ЦАГИ. 1980, вып. 2046, с. 58 — 65.

10. Дудин Г. Н. Характеристики пространственного гиперзвукового пограничного слоя в окрестности плоскости симметрии треугольного крыла // Труды ЦАГИ. 1983, вып. 2177, с. 183 — 192.

11. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1973, 400 с.

12. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. — М.: Изд. иностр. лит., 1962, 607 с.

13. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. — М.: Физматгиз, 1959, 220 с.

14. Дудин Г. Н., Нейланд В. Я. Закон поперечных сечений для трехмерного пограничного слоя на тонком крыле в гиперзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. № 2, с. 75 — 84.

15. Дудин Г. Н., Мьинт К. Т. О течении в окрестности плоскости симметрии холодного треугольного крыла при стремлении показателя адиабаты к единице // Труды МФТИ. 2010. Т. 2, № 3, с. 141 — 151.

16. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. — М.: Гостехиздат, 1958, 628 с.

17. Нейланд В. Я., Соколов Л. А. Ламинарный пограничный слой на конусе, установленном под углом атаки в сверхзвуковом потоке // Труды ЦАГИ. 1977, вып. 1812, с. 3 — 9.

18. Дьяконов В. П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. — М.: СОЛОН-Пресс, 2006, 720 с.

19. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1974, 832 с.

20. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970,

720 с.

Рукопись поступила 21/12014 г.