CC BY
32
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Том XVI 198 5
№ 5
УДК 532.526.5
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЛИНИИ ИЗЛОМА ПОВЕРХНОСТИ УДЛИНЕННОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
С. Н. Тимошин
Рассматривается установившееся осесимметричное течение несжимаемой вязкой жидкости вблизи линии слабого конического излома поверхности тела вращения при характерных числах Рейнольдса ИеЗ>1 и ра-
_ з
диусе тела вращения ~ Ие 8 . На основе метода сращиваемых асимптотических разложений изучается решение уравнений Навье—Стокса в области взаимодействия пограничного слоя с потенциальным течением. Сформулирована краевая задача для вязкого подслоя области взаимодействия; приведено решение задачи в линейном приближении. Показано, что предельными формами рассматриваемого режима взаимодействия являются, с одной стороны, взаимодействие на поверхности плоского профиля, с другой стороны — взаимодействие при обтекании тела вращения, сравнимого по толщине с пограничным слоем.
Если обтекание твердого тела потоком вязкой жидкости происходит при характерных числах Ке;»1, то наличие даже незначительных изломов поверхности тела может привести к отрыву пограничного слоя. Исследование структуры ламинарного установившегося течения вблизи точки излома контура плоского профиля было выполнено в работах [1, 2] с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений при
Ке—>-оо [3]. Оказалось, что отрыв впервые возникает при углах излома _____________1_
порядка Ие 4 ; в малой окрестности точки излома течение описывается трехслойной схемой взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком [4, 5]. Аналогичная задача для осесимметричного обтекания кругового цилиндра с коническим изломом поверхности рассмотрена в [6], где предполагалось, что толщина пограничного слоя около линии излома сравнима с радиусом цилиндра. При выполнении этого условия два слоя в трехслойной схеме взаимодействия — потенциальная область и основная часть пограничного слоя — описываются линеаризованными уравнениями невязкого осесимметричного течения; в вязком пристеночном слое справедливы уравнения плоского пограничного слоя. Сформулированная в [6] краевая задача для вязкого подслоя области взаимодействия существенно отличается от плоской задачи [1, 2].
(■£)’
V •
оо /
кинематиче-
невозмущенного в области
В настоящей работе будем считать, что вблизи излома радиус ци-
1_
х / ^ N 2
линдра г гораздо больше толщины пограничного слоя
(здесь Ь — расстояние от передней кромки до излома,
СКИЙ коэффициент ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ, и ос —скорость
и Ь 3
потока). Если при этом Ие = ^ 1 и г»/Л^е_~8~, то
взаимодействия можно пользоваться приближением для плоского слу-
__3_
чая [1, 2]. Однако, если г~ЬЯе 8 у то продольный масштаб области взаимодействия оказывается равным по порядку величины радиусу цилиндра и в потенциальной части области взаимодействия движение подчинено пространственным уравнениям, хотя в более тонких пристеночных слоях течение остается плоским. Как показано ниже (пункт 4), такое взаимодействие носит промежуточный характер между плоским [1, 2] и взаимодействием типа [6] на более тонких телах вращения.
Аналогичная задача для сверхзвукового течения рассмотрена в [7].
1. Рассмотрим продольное обтекание однородным потоком несжимаемой вязкой жидкости тела вращения, которое представляет собой заостренный вблизи передней кромки круговой цилиндр радиуса г с утолщением, начинающимся на расстоянии Ь от передней кромки (рис. 1). На линии смыкания цилиндра и утолщения обтекаемая поверхность имеет конический излом с полууглом раствора а. Определим
Рис. 1
число К'е = ихЬу~1 = е~8 по длине Ь, скорости невозмущенного потока £/«, и кинематическому коэффициенту вязкости V. Интересующий нас режим течения вблизи излома реализуется при г~Ьг3г0, а~е2, г0=О(1), е->0. Для определенности будем считать, что обтекаемое тело везде имеет толщину порядка е3, так что продольный размер расширяющегося участка поверхности есть величина 0(е). Выбор иных масштабов утолщения не изменит решения в области взаимодействия, где оказываются существенными лишь радиус цилиндра г и угол излома а (см. ниже пункт 2), если, конечно, характерный продольный размер утолщения много больше длины области взаимодействия.
Течение предполагается ламинарным, установившимся. Будем считать, что азимутальное движение отсутствует; тогда все гидродинамические функции зависят от двух координат в цилиндрической системе,
центр которой расположен на оси симметрии в плоскости излома, а продольная ось совпадает с осью симметрии и направлена вниз по потоку. Продольную и радиальную координаты в указанной системе обозначим x*L и у*/., соответствующие компоненты вектора скорости и* U„ и v^Uao- Давление обозначим рх + pUiop*, где рх — давление в невозмущенном потоке, р —const — плотность жидкости.
Рассмотрим окрестность начала координат с характерным размером О (г) — область 1 на рис. 1. Пусть х* — ехи у^^еу^ Форму обтекаемой поверхности yw!S. (х*, г) можно записать в виде
У™* ~ $3 У®1 (*i) + ■ • • . е -»■ О, ЛГ^ОО),
причем
ув1 = г0 при ^<0; |
J',1~ ao*i при Xj-^ + 0; (1)
ywX-^ const при х^ -*■ -j- оо. J
В соответствии с теорией тонкого тела вращения (см., например
[8]), при (хи tji) = 0(1) и е-»-0 справедливы разложения
и*~ 1 + s4«i(*„ ух) + . . . ,
■а*~е4М-*1> JM+ • • ■ ,
У0+-------------
Выписанные члены разложений удовлетворяют уравнениям осесимметричного потенциального течения, поэтому
ОО
_ д<Р _ дер _________________1 Г Ут 100 Ут 1 СО
1 1 1 — л., > Ф 2 1 л/-----------
дх1 ду> J у (т — хг)Ъ + у\
Здесь и далее штрих обозначает производную от функции по своему аргументу. Из соотношений (1), (2) и интеграла Бернулли следует, что на внешней границе пограничного слоя перед утолщением (при *i<0, yi~>~0) давление представляется в виде
(3)
Рассмотрим теперь движение в тонких пристеночных слоях перед утолщением. В основной части пограничного слоя, где у2 = ==» (у*— г3г0)е~4 = О (1), при = О (г) (область 2 на рис. 1) справедливы оценки м* = О (1), -у* — О (г*), -^- = 0(е4). Тогда из урав-
дх*
нения движения в радиальном направлении следует, что др^/ду*^
— 0(1), т. е. с точностью 0(е4) давление (3) передается через основную часть пограничного слоя на внешнюю границу вязкого подслоя (область 3 на рис. 1). Поперечный масштаб вязкой области определяется из условия баланса вязких и инерционных сил в продольном уравнении движения и при х* = О (е) оказывается равным £13/3. Положим _у3 = (у*— е3г0)е-13'3. Разложения составляющих век-
тора скорости и давления в области 3 при (д:,, >'3) = 0(1) и в -* О имеют вид
_1_ п
И*~®3 \Уз + • • • +£3 «81(^1. Уа)+ • • • .
И
г'* — *3 г>30(Уз) + • • .-+в7г>8|(*1. &>) + • • •.
Р*~е4РзЛХи Уз) +
(4)
Здесь Х=сопз1>0 — коэффициент поверхностного трения в невозмущенном пограничном слое в точке х% =0.
В (4) нас интересуют функции и31, и31 и р31- Все предшествующие члены разложений регулярны в точке х1 = у3=0; их появление объясняется выбором переменных порядка единицы в области 3. Подставляя (4) в уравнения Навье—Стокса, имеем
др?л
дУз
■ 0 дцз! ду3,
дхх дуа
<М*1, Уз),
\Уз
диг
дх\
+ ^31 +
др3
= + Ф2 (*„ Уз).
<?•*! ду\
(5)
Функции Ф4 и Ф2 регулярны при-л.1*->-0 и уз->0. Сращивая давление /?31 с давлением в области 2, имеем [см. (3)]
/>31= А о(*])----------
“о Л) 2х,
+ • ■ • > *1
0.
Исследуем асимптотику решения (5) при х^—-0. В связи с тем что соотношение для рз! имеет особенность в нуле, основная часть области 3 оказывается локально-невязкой. В вязком подслое (область
_1_
За) при хг-»—0, г\ = уз (—Х1)~ з ~1 решение представляется в виде
причем
(— *1) 3 ё' (ч) + • • •,
ъ31------*5-2[г(ч) + -2-г' (ч)
г
Л.Т)*
3 ° “ 2
и, в силу условия прилипания на твердой поверхности,
£(0)=£'(0) = 0.
(6)
(7)
(8)
Решение (7) — (8), не содержащее растущей экспоненты при т]->оо, оказывается единственным:
£(’)) = ■
«О Л)
I А
X.3 З3 о у-0
ш
и
3 ’ 3 ’ 9 /
где и (5/3; 2/3; г) — ограниченное на бесконечности решение вырожденного гипергеометрического уравнения [9].
При Т}—>-оо
в” ("Ч) — “Ч + *1 + • • • ,
оо
Г и{—,
I 3
2 5
3 оЗ 0
Из условия сращивания с решением в подслое За следует, что при г/3 = 0(1) и хг-»—0 (область Зв)
«31 ~ (- *1) 3 Л30 (уя) + (— Ху) 1 А31 (дгв) 4 . . ■ ,
7
(9)
31 ‘
'(— *1) 3 /зо (Уз) ■+ XI /31(у3) +--------------
Подстановка разложений (9) в (5) дает
-^-Аз0+Ло = 0, -|->’зАзо+/зо = 0.
^31+/з1 Уъ*131 “Ь/з1—
“О Го
2Х
Решение этой системы, удовлетворяющее условиям сращивания с вязким подслоем За, имеет вид
/зо:
4*,
/«
3
“о'о
31
Уз> ^го — Ьо,
+ ^2.Уз> ^81 = — ^2»
2?1
(10)
константа остается неопределенной.
Из (4), (9) и (10) следует, что в основной части пограничного слоя (область 2 на рис. 1) при 1/2 = 0(1), е-^0 и х^—0 решение представляется в виде
и*
V*
'«2о(Л)+ • - • +гп/3[(— х1)~^к20(у2) + ...]-{-+ ®4 [— *Г1 Л21 (^2) + • . •] + ....
'*4«2оСУа) + . . . + г20'3 [(- х^-П/М +'. . .] +
т [XI 2/21 (.Уг) + • • • ] + • • • ,
I
р*
н£-+-]+
(11)
Подставляя (11) в уравнения Навье—Стокса и совершая предельный переход е->0, (хи уг) =0(1), а затем устремляя Ху к нулю, получаем
^20 “Ь/20 = “д"" ^20 «20 “Ь /го «20 == О»
^21 "Ь /21 О, Лг[ И20 “Ь /21 «20
“о Г0
Условия сращивания с решением в области Зв позволяют установить, что
Здесь Ь3 — неопределенная константа.
При получении (12) были использованы следующие свойства профиля скорости в невозмущенном пограничном слое: иы(уг) = 1 +экспо-нендиально малые члены при г/г-»-00; «го—Яг/г при уг~*~0.
Используя (11) и (12), можно построить решение в области 1 с учетом вытесняющего действия пограничного слоя. Оказывается, что разложение для давления имеет вид
Нетрудно видеть, что (13) теряет равномерную пригодность в области рі = 0(є2), где под действием внешнего распределения давления [первое слагаемое в (13)] толщина пограничного слоя меняется настолько, что индуцированные ею поправки (второе слагаемое) совпадают по порядку величины с заданным давлением; иными словами, происходит взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком.
Следует отметить, что выбор величины излома « сделан таким образом, что возмущения продольной компоненты скорости в вязком подслое при Хі=0(є2) носят нелинейный характер.
2. Анализ течения в области взаимодействия начнем с области 4 (см. рис. 1), имеющей продольный и поперечный масштабы О (є3). Положим хі = х% е_3, _У4=.У*®~3- Условие сращивания с решением в области 1 показывает, что при (лг4, _у4) — 0(1) и е-»0
Подстановка (14) в уравнения Навье—Стокса приводит к системе уравнений
00
^21 — “ /2р
26 г ю
Р* ~ 84 ІРГ1 °0 (&) + • • •] + • • • + £ 3 [р 1 3 °1 (°) + • • •] +
8 -5- о, рі -»■ о, & ~ 1,
(13)
где Рі = ]/*?+.У1, & = агс1д-^--полярные координаты в плоскости
(*і, Уі)-
1 + єги4(л;4, + . . . , ®,~еа®4(л4, у4)-р . . . ,
Р*~*'рЛхь .У4) +----
(14)
дііі , 1 д&іУі)
.—------------------
дХі Уі Уі
д“і _|_ дРі __0
дХі дХі
—-----1- =0,
дх^ дуі
решение которой можно записать в виде
Л = —и*= Г М,
У((-х^+у24
со
---— — -г---------у К „-.-о., , ©4-^0 при Х4 -*■ — оо.
дх, J [(^_^)2 + у2]3/2
—СО
В основной части пограничного слоя при уъ={у —е3г0)е~4 = О(1) и *4=0(1), е-»-0 (область 5) вид асимптотических разложений следует из представления решения в областях 2 и Зв [см. (4, 9, 11)]:
«* ~ «20 (Уа) + г«5 (-«4. Уа) + • • • . «* ~ (*4, Уг) + • • • ,
Ръ — ^Рь^, У г) +
причем
+ —^- = 0, «20 + ^5 «20 = 0, -^- = 0.
т йу2 20 20 ду.
Решение этих уравнений, удовлетворяющее условиям сращивания с решением в областях 2 и 4, имеет вид
ОО
Рь = РЛх4, г0) = Г , г/5 == - Л5 (х4) и20,
У - ^)г+,'о
оо
(<) м
«5 = А «20 + ^(Уг), Лб (*4> = —Г0 ]* Г -_^4.
3/2
)2+'о]
Функция (г/г) определяется течением в пограничном слое перед утолщением в области х*=0(1). При у2-*-0 функция Р(у2)^0, «го(г/г) ~Яг/г, поэтому ы5~ЯЛ5, и не удовлетворяются условия прилипания на твердой поверхности. Следовательно, необходимо рассмотреть вязкий пристеночный слой, который является продолжением в область взаимодействия подслоя За и имеет толщину 0(е5). Пусть Уе = (у* — е3г0)е-6. Согласно (4) и (6), если (хА, з/6)=0(1) и $ -> 0, то
и* ~ 8«6 (х4) у6) + • ■ • , ^~83®б(Л4, У0+ • • ■ , )
Р* ~ ^Рб(*о Уе) +------- 1
Подставляя (15) в уравнения Навье—Стокса и устремляя е к нулю, имеем
дий
«в-^— дх4
+ г’е дщ - + др& _ д» и6
дУъ дх^ ду\
див + - = о, дРв 0
дх± (>Уъ дуъ
(16.1)
Решение системы уравнений (16.1) должно удовлетворять условиям прилипания на поверхности тела
«6 = ^6 = 0 при у6 = <х0 х4 Н(х4) (16.2)
\Н{хь)—функция Хевисайда] и условиям сращивания: с решением в области За
■ оо
(16.3>
К - хУв)2 + + Ра -* 0 ПРИ *4 -
и с решением в области 5
«в — \Ув ^А5(х4), Ре •+г0) при у6-*оо. (16.4)
Заменой переменных
_1_ з _1_ _ _в_ _ з_
и6 = X 4 и, 'У6 = ^4 г», ре=Ь2 р, хА=1 4 х, _ув = Х 4 у,
Л5 = Х 4 Л, 54=Х4 5, * = Х 4
задача (16.1—4) приводится к виду
г0 = А 4 а, а0 = X 2 а,
и
и-*«.■+_^ = _* ,
дх ду дх дуг
да . ду __0
дх ду ’
11 = 4) — 0 при у = а1хН(х),
(и — у)2V2 + р2->■ 0 при х-* — оо, и—у -+ А при у-* оо,
оо
I
А"(х)--
“1
/(х — лг)2+а* ’ 5 (1) Л
со [(х — ЛГ)2 -{- Д2]
(17)
3. Если излом поверхности отсутствует, то (17) имеет тривиальное решение и — г/ = и = р = Л=0. При значениях параметра сц-с! ищем решение в щде
и~у + ЛуС! (х, у), г»~а1 У(х, у), р^а1Р(х),
.5 -—-' 0(1 С^, Л ~ «1 /?.
Тогда с погрешностью о (а!) задача оказывается линейной:
дС/ ' дУ
дх
Г\ № I Т/ I П// \
т—=0, у—-+У+Р'(х)=~—
ду дх ду2
V = 0, и — — хН (х) при у — 0, и В при у'-*- оо, и2 + V2+ Р2 0 при л: -> + оо,
ии ( . сс
Р= {—В" (л) — — а Г
3 К(х-лг)2 +Д2 ' / }
() (х) а!т
-00 ((х_дг)2 4-Я2)2
(18)
Система (18) решается стандартным способом [1, 6, 7]. Определим Фурье-образ функции f(x):
(19)
если !(х) — абсолютно интегрируема; если {(х)—функция медленного роста, то ее Фурье-образ ^(<в) определим в классе обобщенных функций (см. [10]).
После выполнения Фурье-преобразования в (18) имеем:
&U
дг*
- zU = (— ш) 6 l/ + (—№)3Р,
и + (-ы) 3
dz
о,
V = 0, U — о)-2 ЫУ (ш) при 2 = 0,
-ту sgn <Й (а I “ I)
и -э--------------------:-----Р при Z-»00.
(20)
о> /Со (<* I о*!) ' }
Здесь 6(со)—дельта-функция, Ко(£)—модифицированная функция
Бесселя [9], г=у(—ш) з .
Решение системы (20) выражается посредством функции Эйри Л1'(г):
_ г
и = Л ■ | АЬ Ц) йг + (О-2 + ЫЬ' (со),
А'ь (и) О
Р( (о);
(— «Д>) ЗЛ' г (0)
7_
3 , , Ко(дМ)
-----U)
—1
Ко (а | ю |)
Коэффициент поверхностного трения первого приближения
т — ди
w~ ду
, К0(ЛМ) *о(«М)
Совершая обратное преобразование Фурье, получим о>3 sin (и>х) 4- (>^3 <■>3 + 2[3Ar)cos (<лх)
_И _7_
<о3 + утр®3 а: + р «л:3
dm,
Pi
2те
оо
I
cos (<лх)
8_ _4_
<0 3 + Р /3 » 3 к + Р2 К2 р = -ЗЛ'»(0), Pj = 3A*(0), /Со(«|“1)
dw,
К = -
Кривые —— Р (х, а), Ту, (х, а) и Р (х, а) при различных значениях
ОХ
радиуса цилиндра а представлены на рис. 2—4 соответственно. При расчетах использовалась полиномиальная аппроксимация функции
/Со (С) [9].
4. Рассмотрим предельные формы системы уравнений (17) при а->-оо и а-»-0. Используя преобразование Фурье (19), перепишем связь между давлением р(х) и наклоном линий тока А'(х) на внешней границе вязкого подслоя в виде
А
1 /С0 (а |»|)
М |)
Р-
(21)
Совершая формальный предельный переход а 1 - 1 Г А"Ц)
имеем А = ■
-р или р
оо, ю = сопв!, Л. Последнее выра-
жение совпадает с известным результатом плоской задачи [1, 2]. Иллюстрацией к такому предельному переходу служат кривые для коэффициента трения и градиента давления в линеаризованной задаче (рис. 2 и 3) при больших значениях а. Заметим, что хотя Нтр'(х) существует и конечен, р -> оо при а -+ оо для любого
а-*- оо
конечного х (рис. 4).
Ти)(х,а)
0,1 1 1 ({ /х 1 ——4- 1
0 (и ^ Х
Рис. 3
Предельный переход а 0 требует более детального анализа. Используя асимптотику функции Ко (С) — — 1п ^ + .... при С -> 0 (1п С = 0,5772), запишем (21) в виде
1 _____р____
А---
ао>2
)п
Са | <о |
а
а <о I
0.
(22)
Последнее соотношение показывает, что при уменьшении а происходит изменение масштабов величин в области взаимодействия. Предположим, что характерные размеры области взаимодействия уменьшаются при а -9- 0 и пусть х° = у — продольная координата порядка единицы при а -» 0 и 8(а)->-0. Из условия сохранения структуры уравнений (17) при а -*• 0 с необходимостью следует, что
У°‘
'• О (1), и° = иЬ
0(1), р° = рЪ
= 0(1).
Нетривиальные граничные условия задачи сохраняются при 2_ _
а.1 = а1й3 =0(1), А° = Л8 3 =0(1). Потребовав, чтобы Фурье-пре-
образование (19) не вырождалось при деформации продольной
координаты, имеем и>° = ш8 = О (1), и тогда условие (22) дает р° =
= —А°"(х), еСЛИ т1П2-~83,
Теперь можно выписать главные члены разложений и краевую задачу в вязком подслое области взаимодействия при а<С 1 или, что то же з_
самое, при г<^Ще~ Т:
-1 ± ± -± I г ]
х* = Ах°, у, = г1г1 + Ие 2 Д3 у®, Д3 =Ие 2 т 1п-^-, х = ■—,
и*
Д3 и0, диа
і_ _ _1_ 2.
■Яе 2 Д 3 V0, Ръ ~ Д 3 р°, а <
и'1
дх°
д3 и0
ди°
дх°
+
дуоа
р° = — А0" (х°), ио==г,о__о при у0 — а0х° Н(х°),
и° — X (у0 + А0) при у0 со.
Ие
ду°
_1_ _ 2 Д
= о,
(23)
При г = 0(ЬЯе~Т) задача (23) совпадает в главном приближении с результатами работы [6]. Заметим, что согласно (22) следующее приближение оказывается логарифмически малым добавком к (23).
Описанный предельный переход можно проиллюстрировать кривыми давления и трения в линейной задаче, построенными в переменных 2 2
ро
3, Т1{Х°)~Ъ 3 Т,
(т) <рис'
5 и 6 соответст-
венно). Пунктирные кривые заимствованы из [6] и соответствуют
т 1п — = 84/3 :
-с
5. Задача осесимметричного обтекания тонкого тела вращения интересна в первую очередь тем, что течение носит существенно пространственный характер. В рассмотренном случае, как и следовало ожидать, пространственное растекание ведет к ослаблению напряженного состояния жидкости в области взаимодействия (рис. 2—4). В частности, чем тоньше обтекаемое тело, тем больший излом поверхности необходим для того, чтобы вызвать отрыв пограничного слоя. Аналогичными свойствами обладает взаимодействие при сверхзвуковом обтекании тел вращения [7].
Существование невырожденных пределов задачи (17) при а->-оо и а->0 означает, что при непрерывном квазистационарном изменении параметров потока и геометрических характеристик обтекаемого тела оказывается возможным непрерывный переход между плоским режимом взаимодействия [1, 2] и взаимодействием на цилиндре с толщиной, равной по порядку толщине пограничного слоя [6].
Автор благодарит В. В. Сычева, А. И. Рубана и Вик. В. Сычева за постановку задачи и обсуждение результатов, работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Stewartson К. On laminar boundary layers near corners.1 —
Quart. J. Mech. Appl. Math., 1970, vol. 28, part. 2.
2. P у б а н А. И. О ламинарном отрыве от точки излома твердой
поверхности.—Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. VIII, № 2.
3. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.:
Мир, 1967.
4. Stewartson К. On the flow near the trailing edge of a flat plate II. Mathematika, 1969, vol. 16, part 1, N 31.
5. Messiter A. F. Boundary layer flow near the trailing edge of, a flat plate. — SIAM J. Appl. Math., 1970, vol. 18, N 1.
6. T p и г у б В. Н. Взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком при обтекании тонких осесимметричных тел. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. XIV, № 6.
7. Ming-Ke Huang, Inge г G. R. Application of the triple-deck theory of viscous-inviscid interaction to bodies of revolution. — J. Fluid Mech., 1980, vol. 129.
8. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.:
Мир, 1972.
9. Абрамович М., С т и г а н И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.
10. В л а д и м и р о в В. С. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1976.
Рукопись поступила 29/111 1984 г.
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVI 1985
№ 5
УДК 533.6.071.082 : 532.526
629.735.33.015.3 : 533.695.12
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА СХЕМАТИЗИРОВАННОЙ МОДЕЛИ САМОЛЕТА
А. В. Колесников, К. А. Почкина, А. Г. Прозоров
Излагаются результаты экспериментального исследования характеристик пространственного пограничного слоя на крыле и фюзеляже схематизированной модели самолета, представляющей собой компоновку плоского треугольного крыла с затупленными кромками и цилиндрического фюзеляжа с заостренным носком при малых дозвуковых скоростях набегающего потока.
Показано, что в исследованном диапазоне углов атаки (Он-6°) наблюдается безотрывное обтекание крыла и фюзеляжа. Статическое давление в пределах точности измерений постоянно по толщине пограничного слоя. Интенсивность вторичных течений мала. Распределение скоростей по толщине пограничного слоя на большей части поверхности крыла и фюзеляжа согласуется с известными эмпирическими профилями скорости. Значения коэффициентов поверхностного трения, найденные различными методами по профилям скорости, практически совпадают.
Исследованию пространственного пограничного слоя в области сопряжения аэродинамических поверхностей летательных аппаратов посвящен ряд экспериментальных работ (см. [1]), в которых фюзеляж и крыло моделировались взаимно перпендикулярными плоскими пластинами со смещенными в направлении потока передними кромками. Как правило, измерения проводятся при нулевых (или очень малых) продольных и поперечных градиентах давления, когда вторичные течения в пограничном слое образуются за счет неизотропности нормальных рейнольдсовых напряжений. Между тем в реальных условиях (см., например, [2]) течение в области сопряжения аэродинамических поверхностей нельзя считать изобарическим. При этом продольные и поперечные градиенты давления оказывают преобладающее влияние на образование вторичных течений и отрыв потока.
В последние годы выполнен большой объем экспериментальных исследований пространственного пограничного слоя на элементах летательного аппарата — на скользящих и треугольных крыльях [3—5], на телах вращения [6—8], моделирующих обтекание изолированных фюзеляжей. В этих исследованиях, в частности, показано, что отличительной
чертой обтекания тел вращения, установленных под углом атаки, является существеннное изменение параметров внешнего потенциального течения и пограничного слоя в окружном направлении, формирование при определенных условиях так называемого открытого отрыва потока, который характеризуется появлением двусторонних профилей скорости вторичного течения и свидетельствует о зарождении в пограничном слое продольных вихрей — несущей вихревой системы тела вращения. Установлено, что наибольшие значения толщины пограничного слоя соответствуют примерно тем участкам поверхности, на которых происходит отрыв потока при поперечном обтекании тел вращения.
Однако результаты этих исследований, выполненных без учета взаимного влияния крыла и фюзеляжа, недостаточны для анализа особенностей развития пограничного слоя на реальных компоновках летательных аппаратов. При обтекании самолета толстый пограничный слой, образующийся на носовой части фюзеляжа, может распространяться вдоль передних кромок стреловидных и треугольных крыльев, взаимодействовать с пограничным слоем крыла в области сопряжения аэродинамических поверхностей. В свою очередь влияние крыла будет заметно изменять обтекание фюзеляжа, что должно сказываться на развитии пограничного слоя.
В связи с этим было проведено подробное изучение пограничного слоя на схематизированной модели самолета. Эти исследования имели целью накопление данных о характеристиках пограничного слоя (поверхностном трении, толщинах слоя, линиях отрыва и присоединения, вторичных течениях) на компоновках летательных аппаратов в условиях, когда наблюдается взаимное влияние крыла и фюзеляжа.
1. Схематизированная модель самолета (см. рис. 1) представляла собой низкоплан с плоским треугольным крылом толщиной 62 мм, передние кромки которого имеют форму полуэллипса с отношением осей 2: 1, и цилиндрическим фюзеляжем диаметром 200 мм с заостренным носком. Угол стреловидности крыла по передней кромке составляет 60°, его хорда в плоскости симметрии модели равна 1115 мм, размах 1291 мм. Результаты подробного экспериментального исследования пограничного слоя на этом крыле без фюзеляжа рассмотрены в работе [3]. Общая длина фюзеляжа 2250 мм. Нижняя обшивка крыла и левая половина обшивки фюзеляжа были съемными, что позволяло устанавливать внутри модели микрокоординатники, а также обеспечивало возможность доступа к пневмотрассам и электрокабелям. Конструкция модели обеспечивала необходимую жесткость и гарантировала сохранение формы и качества рабочей поверхности в течение длительного времени.
Опыты проводились в аэродинамической трубе с открытой рабочей частью с диаметром сопла 2200 мм при скорости потока 35 м/с при трех углах атаки модели а = 0, 3° и 6°. Число Рейнольдса, рассчитанное по корневой хорде треугольного крыла, составляло 2,64 -106, по общей длине схематизированной модели — 5,34-106.
Исследовалось распределение статического давления на верхней поверхности крыла и фюзеляжа, а также профили скорости и статического давления в пограничном слое на крыле и фюзеляже. Измерения были выполнены в пяти сечениях крыла х=х/Ь = 0,46-^0,91 при трехчетырех значениях поперечной координаты г и в восьми сечениях фюзеляжа х! = х{/I при трех значениях азимутального угла ф. Здесь х и Ху — координаты, отсчитываемые соответственно вдоль оси модели от вершины треугольного крыла и от носка фюзеляжа, Ь—хорда крыла.
I — длина фюзеляжа, г = 2/(Ь/2), г — поперечная координата, отсчитываемая от плоскости симметрии модели, Ь— размах крыла модели (рис. 1).
Для определения профилей скорости применялся специальный трехтрубчатый насадок. Приемная часть насадка образована шприце-выми трубками, спаянными так, что их оси располагаются в одной плоскости, перпендикулярной оси державки. Концы трубок сплющены к плоскости осей и крайние трубки срезаны под углом 45°. Толщина приемных трубок насадка по нормали к поверхности модели приблизительно 0,3 мм, соответствующий размер приемных отверстий 0,15 мм, ширина приемной части насадка 3 мм.
Насадок закреплялся в дистанционно управляемом микрокоорди-натнике так, что его ось была параллельна плоскости симметрии модели, а плоскость, проходящая через приемные трубки насадка, параллельна касательной плоскости к поверхности модели в месте измерений. Шаг микрокоординатника при поступательном перемещении насадка по толщине пограничного слоя составлял 0,02 мм. Величина и направление скорости на каждом фиксированном расстоянии от поверхности модели определялись по перепадам давления в приемных трубках насадка на основании предварительной тарировки [3], выполненной в той же аэродинамической трубе при отсутствии модели самолета. Измерения начинались от стенки, когда приемная часть насадка касалась поверхности модели, и заканчивались на таком расстоянии, когда показания манометров, регистрирующих перепады давления, сохранялись постоянными на последних 2—3 мм перемещения насадка. При
обработке опытных данных эти значения скорости и угла скоса использовались в качестве параметров внешнего потока.
При исследовании статического давления р на крыле и фюзеляжа систематические погрешности измерений, обусловленные применяемой регистрирующей аппаратурой, не превышали 0,5% от динамического давления набегаю-
щего потока, т. е. значения коэффициентов давления р=(р—poo)/qoc, где Рос и <7оо — статическое и динамическое давления набегающего потока, были получены с точностью ±0,005.
Толщина пограничного слоя на исследованной области поверхности крыла составляла 5—14 мм, на фюзеляже—17—35 мм. Отношение поперечного размера насадка (по нормали к поверхности тела) к толщине пограничного слоя на крыле изменялось от 0,06 до 0,02, а на фюзеляже— от 0,018 до 0,009. Таким образом, относительные размеры насадка не превосходили значений, которые обычно принимаются в такого рода исследованиях. Как и в других аналогичных экспериментах, при обработке результатов измерений вводились поправки на смещение эффективного центра насадка [9], учитывающие конечность его размеров по сравнению с толщиной пограничного слоя.
Для оценки чувствительности трехтрубчатого насадка к изменению углов скоса потока предварительно были выполнены [10] исследования плоского пограничного слоя на пластине с нулевым градиентом давления при установке приемной части насадка под разными углами к-набегающему потоку (плоскость приемных трубок насадка во всех случаях была параллельна поверхности пластины). Было показано, что погрешность определения направления потока не превышает 0,5°.
Дополнительным контролем правильности опытных данных служило сопоставление статического давления в пограничном слое, измеренного при помощи трехтрубчатого насадка, с давлением в соответствующих точках на поверхности модели, определенным с использованием дренажа. Во всех случаях значения коэффициентов давления, найденные двумя независимыми способами, как и при измерениях в пограничном слое на изолированном крыле [3], хорошо согласуются между собой.
2. Было обнаружено, что распределение давления на крыле схематизированной модели самолета почти полностью совпадает с распределением давления на соответствующем изолированном треугольном крыле [3]. В исследованном диапазоне углов атаки на верхней поверхности крыла наблюдается небольшое разрежение, которое плавно возрастает по мере приближения к кромкам. Отсутствуют резкие перепады давления, которые могли бы вызвать отрыв потока. Отсюда можно заключить, что в рассмотренном диапазоне углов атаки наличие фюзеляжа не оказывает большого влияния на обтекание крыла.
Распределение давления на верхней поверхности фюзеляжа иллюстрируется данными, приведенными на рис. 2. Здесь точки соответствуют разным значениям азимутального угла ф, который измеряется от плоскости симметрии фюзеляжа, параллельной плоскости крыла, как показано на рисунке. Разброс точек при фиксированном значении координаты Xi определяет диапазон изменения коэффициента давления на поверхности фюзеляжа в его поперечном сечении.
Приведенные результаты подтверждают очевидный вывод о том, что индукция крыла оказывает главное влияние на обтекание кормовой части фюзеляжа. В этой области создается достаточно равномерное распределение давления на поверхности фюзеляжа без сколько-нибудь значительных градиентов давления. Поэтому можно ожидать, что пограничный слой на фюзеляже схематизированной модели самолета с треугольным крылом по своим свойствам гораздо ближе к пограничному слою при безградиентном течении на плоской пластине или на крыле с затупленными кромками, чем на изолированном теле вращения.
По результатам измерений параметров потока трехтрубчатым насадком рассчитывались распределения скоростей основного и вторичного течения и статического давления по толщине пограничного слоя на крыле и фюзеляже. Здесь, как обычно, под основным течением подразумевается составляющая течения в пограничном слое, ориентированная в направлении внешнего потока; под вторичным течением — составляющая, направленная перпендикулярно внешним линиям тока.
В большинстве рассмотренных случаев распределение скорости основного течения по толщине слоя имеет обычную форму, типичную для плоских турбулентных пограничных слоев при малых градиентах давления. Как правило, скорость основного течения возрастает от нуля на стенке до максимального значения на внешней границе слоя. При этом наклон профиля скорости изменяется монотонно от максимального значения у стенки до нуля на внешней границе слоя. Однако в ряде случаев было обнаружено, что в кормовой области фюзеляжа при наибольшем угле атаки а=6° происходит нарушение монотонности изменения наклона профиля скорости. Это сопровождается особенно заметным увеличением толщины пограничного слоя 6, которая возрастает до 30—35 мм, т. е. достигает 15—17% диаметра фюзеляжа.
Экспериментальные данные подтверждают, что статическое давление в пограничном слое на крыле и фюзеляже схематизированной модели самолета почти не изменяется по толщине слоя. При этом коэффициенты статического давления, рассчитанные по данным измерений параметров потока в пограничном слое, близки к значениям соответствующих коэффициентов, полученным по измерениям давления на поверхности модели с использованием системы дренажных отверстий.
Интенсивность вторичных течений в пограничном слое на крыле и фюзеляже невелика. Максимальные значения скорости вторичного течения составляет 7—10% скорости внешнего потока и увеличивается в отдельных случаях до 17—18% при угле атаки а=6°.
Наглядное представление о вторичных течениях в пограничном слое на схематизированной модели самолета дает картина обтекания, показанная на рис. 1. На ней штриховыми стрелками изображены векторы скорости на внешней границе пограничного слоя, а сплошными стрелками в том же масштабе указаны векторы скорости в окрестности стенки, когда насадок касается поверхности модели. Векторы скорости в пограничном слое фюзеляжа условно изображены в плоскости крыла при соответствующих значениях координаты г.
Представленная здесь картина течения в пограничном слое на крыле практически идентична той, которая наблюдалась при исследовании изолированного крыла с затупленными кромками [3]. При нулевом угле атаки внешний поток почти параллелен корневой хорде, а в пограничном слое имеется незначительный скос в сторону кромок. При увеличении угла атаки до а = 6° на внешней границе слоя поток несколько отклоняется в сторону плоскости симметрии модели, а в пограничном слое — в сторону кромок.
В окрестности фюзеляжа направление скорости внешнего потока в пределах точности измерений параллельно оси фюзеляжа, отклонение векторов скорости от этого направления невелико, особенно при малых углах атаки.
По профилям скорости основного и вторичного течений были рассчитаны интегральные толщины вытеснения (8*, 8*) и потери импульса (8**, 8„, 8*я, 8Л<) для пространственного пограничного
слоя на схематизированной модели самолета, а также коэффициенты поверхностного трения су (табл. 1 и 2):
а г
8*=|(1 — й,)йу, Ъ*п=§~цп(1у,
1 О
о о
3•*=■/ «Д1 — и,) йу, С = ] и2п йу,
О о
§ о
С — 5 (1 — Щ) ип йу, С = \Илщйу. о о
Таблица 1
КрЫДО, а — 6°
г/х 8* 8** К *** ** Ь1п С Н Су Ю3
0,55 0,414 1,423 1,018 0,281 0,0038 0,0711 0,2156 1,40 0,370
0,55 0,498 1,327 0,864 0,364 0,0192 0,0740 0,2900 1,45 0,390
0,55 0,696 1,690 0,475 0,165 0,0060 0,0360 0,1279 1,45 0,450
0,91 0.337 2,439 1,709 0,352 0,0156 0,0785 0,290 1,42 0,440
0,91 0,453 2,001 1,429 0,259 0,0017 0,0521 0,198 1,40 0,320
0,91 0,587 1,558 1,098 0,313 0,0505 0,0755 0,230 1,42 0,350
0,91 0,757 0,961 0,690 0,380 0,0264 0,0659 0,310 1,39 0,325
Таблица 2
Фюзеляж, а = 6°
-*1 г 8* 8»* X** п Ь!п С Н С/-103
0,511 0,0589 4,20 3,05 0,427 0,0240 0,1550 0.456 1,38 0,295
0,511 0,110 3,40 2,30 0 0 0 0 1,48 0,290
0,511 0,130 2,76 2,00 0 0 0 0 1,38 0,290
0,820 0,0589 4,86 3,90 2,145 0,191 0,175 1,757 1,26 0,340
0,820 0,110 5,82 3,98 1,522 0,257 0,494 1,018 1,46 0,260
0,820 0,130 5,74 3,60 1,248 0,102 0,457 0,806 1,59 0,190
Здесь интегрирование проводится по координате у, перпендикулярной поверхности крыла или фюзеляжа, от стенки {у = 0) до внешней границы пограничного слоя (у=б), т = и{/У$, ип = ип/Уг, щ, ип — соответственно скорости основного и вторичного течений, Уь — скорость внешнего потока.
Интегральные толщины, найденные по параметрам вторичного течения, на один-два порядка меньше толщин вытеснения и потери импульса основного течения. Во всех рассмотренных случаях величины формпараметров профилей скорости основного течения Н=Ъ*/б** близки к 1,4 — значению, характерному для турбулентного пограничного
слоя на плоской пластине при нулевом градиенте давления. Различные методы определения коэффициентов поверхностного трения Cf по интегральным параметрам слоя и профилям скорости, как правило, дают близкие результаты. При этом почти во всех случаях коэффициенты поверхностного трения на крыле и фюзеляже мало отличаются от их значений на плоской пластине при тех же числах Рейнольдса.
3. Было проведено сопоставление профилей скорости основного и вторичного течений в пограничном слое на схематизированной модели самолета с известными законами подобия и эмпирическими зависимостями для распределения скоростей в пространственных пограничных слоях.
На рис. 3 и 4 приводится сравнение профилей скорости основного течения в пограничном слое на крыле и фюзеляже с эмпирическим семейством профилей скорости Шубауэра и Клебанова для плоского пограничного слоя (см. [11]). Наблюдается хорошее согласование эмпирических кривых и опытных данных всюду, за исключением ряда сечений в пограничном слое кормовой части фюзеляжа при угле атаки
х =0,73
оф о
Крыла
' и=1,ч ''*■ . г/х=0,т Ф 0,525
° 0,700
х — 0,462
Фюзеляж ф 1-0,0583 • 0,110 о 0,130 .
о,г о,ч- о.в о,о у/6*
Рис. 3
Крыло
г/х=С435
0,680
Фюзеляж Ф г =0,0569 о 0,110
• 0,130
___________________________I_______|_
1.0 1,4- 1,3 2,2 2,6 1£(уих/'))
Рис. 4
а=!6° (эти результаты здесь не показаны), для которых угловой коэффициент наклона профиля скорости немонотонно изменяется по толщине слоя.
В пристенной области пограничного слоя распределение скоростей достаточно хорошо удовлетворяет «закону стенки» (см. [11]). При этом экспериментальные данные (см. рис. 4) группируются около прямых, соответствующих логарифмическому профилю скорости
= 5,6 \%{уиф) + 4,9,
где = Ут^/р — „динамическая“ скорость, т,,, — касательное напряжение на стенке, р — плотность жидкости, V—кинематический коэффициент вязкости.
При анализе профилей скорости вторичного течения рассматривалась возможность их представления в виде зависимости отношения ип/щ от безразмерной координаты у/б, либо в виде поляры ип = ип(щ).
Для иллюстрации на рис. 5 и 6 приводятся соответствующие результаты для одного из сечений модели (на рис. 6 используются те же обозначения экспериментальных точек, что и на рис. 5). В большинстве случаев экспериментальные данные хорошо согласуются с эмпирическими профилями скорости вторичного течения, предложенными Мейджером (рис. 5) и Джонстоном (рис. 6), показанными сплошными кривыми (см. [11]). Однако в некоторых случаях обнаружено заметное различие. В частности, было установлено, что в пристенной области пограничного слоя на фюзеляже, как правило, имеется участок поляры, который можно аппроксимировать прямой линией. Вместе с тем во внешней области пограничного слоя скорость ип вторичного течения часто достигает нулевого значения раньше, чем скорость щ становится равной 1/е, т. е. зона вторичного течения не охватывает всего пограничного слоя.
Кроме того, в ряде случаев (особенно при угле атаки а = 6°) внешний участок поляры изображается кривой сложной формы с точкой перегиба.
Таким образом, в исследованном диапазоне углов атаки пристенное течение в окрестности крыла и фюзеляжа схематизированной модели самолета является безотрывным и характеризуется постоянством давления по нормали к поверхности модели, т. е. удовлетворяет основным допущениям теории пограничного слоя. Толщина пограничного слоя мала по сравнению с радиусом поперечной кривизны фюзеляжа, интенсивность вторичных течений в пограничном слое незначительна. Профили скорости основного и вторичного течений в большинстве случаев удовлетворяют известным законам подобия и согласуются с эмипириче-скими зависимостями.
Полученные материалы могут быть использованы для оценки аэродинамического сопротивления компоновок самолетов, аналогичных рассмотренной, а также для проверки и уточнения методов расчета пространственного пограничного слоя на крыле и фюзеляже самолета.
1. Корнилов В. И., Харитонов А. М. Некоторые особенности вязких течений в угловых конфигурациях. — В сб.: Исследование пристенных течений вязкого газа. ИТГ1М, СО АН СССР, Новосибирск, 1979.
2. Головина А. Е. Экспериментальное исследование пространственного пограничного слоя в области сопряжения поверхностей двух тел. — Труды Ленинградского политехнического института, 1958, № 198.
3. Колесников А. В., Почкина К. А., РафаэлянцА. А. Экспериментальное исследование пространственного пограничного слоя на треугольных крыльях. — Труды ЦАГИ, 1982, вып. 2137.
4. East L. F, Measurements of three-dimensional incompressible turbulent boundary layer induced on the surface of a slender delta-wing by the leading-edge vortex. — Aeron. Res. Counc. Repts and Mem., 1975, N 3761.
5. E a s t L. F., H о x a у R. P. Low-speed three-dimensional turbulent boundary layer data.— Aeron. Res. Counc. Repts and Mem., 1971, N 3653.
6. Колесников А. В. Экспериментальное исследование пограничного слоя на линиях растекания и стекания тела вращения. — Труды ЦАГИ, 1982, вып. 2137.
7. М е i е г Н. U., К г е р 1 i n Н.-Р. Experimental investigation of the boundary layer transition and separation on a body of revolution. — Zeitschrift fur Flugwissenschaften und Weltraumforschung.— I960, 4 Jahr-gang, Heft 2.
8. R a m a p r i a n B. R., Patel V. C., Choi D. H. Mean-flow measu-remets in the three-dimensional boundary layer over a body of revolution at incidence. — J. Fluid Mech., 1981, vol. 103.
9. Прозоров А. Г. К определению коэффициентов поверхностного
трения в пограничном слое с использованием микротрубок полного давления.—-В сб.: Промышленная аэродинамика, вып. 32.—М.: Машино-
строение, 1975.
10. Колесников А. В., Франкфурт М. О. Экспериментальное исследование влияния отсоса воздуха через щель на развитие проЁт-ранственного турбулентного пограничного слоя. — В сб.: Промышленная аэродинамика, вып. 32, — М.: Машиностроение, 1975.
11. Федяевский К. К., Гиневский А. С., Колесников А. В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости.— Л.: Судостроение, 1973.
Рукопись поступила 12/VII 1983
