К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч а с т ь 2. Двумерные течения и треугольное крыло Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Т о м V 1974 М3

УДК 533.6.04.55

К ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГИПЕРЗВУКОВОГО ПОТОКА С ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ ДЛЯ ОТРЫВНЫХ ДВУМЕРНЫХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ

Часть 2. ДВУМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ И ТРЕУГОЛЬНОЕ КРЫЛО

В. Я- Нейланд

Проведено исследование постановки краевой задачи для двумерного отрывного течения, которое на режиме сильного или умеренного взаимодействия с внешним гиперзвуковым потоком почти везде описывается уравнениями пограничного слоя. Обсуждается вид законов подобия. Показано, что около плоскости симметрии треугольного крыла для устранения противоречий в постановке краевой задачи необходимо допустить существование возвратного поперечного течения и области локальной неприменимости уравнений пограничного слоя. В этой области течение является или локально невязким или вязким, но с малыми значениями поперечных компонентов скорости.

1. При обтекании тел гиперзвуковым потоком совершенного газа для одинаковых значений числа Ие, вычисленного по параметрам набегающего потока, толщины пограничных слоев значительно больше, чем при умеренных сверхзвуковых скоростях. Причиной этого является уменьшение плотности и увеличение вязкости газа, вызванные увеличением температуры торможения. Поэтому на тонких телах давление, индуцируемое за счет толщины вытеснения пограничного слоя, может быть сравнимым и даже значительно большим, чем давление в невозмущенном потоке. В этих случаях говорят о режимах умеренного или сильного взаимодействия, поскольку возникающий при обтекании внешним невязким потоком пограничного слоя градиент давления существенно влияет на течение в самом пограничном слое. В ранних работах, обзор которых приведен в [1, 2], была установлена схема течения, найден важный параметр подобия х = МдаКео"1/2, гДе М,» — число М набегающего потока, а Яе0 — число Рейнольдса, определяемое для значений плотности и скорости в невозмущенном потоке и коэффициента вязкости при температуре торможения. Найдены некоторые приближенные и точные автомодельные решения.

Позднее при исследовании отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке в работах [3—5] было установлено, что для уравнений пограничного слоя в условиях, когда градиент давления заранее не известен, а определяется из условий совместности с внешним сверхзвуковым потоком, решение краевой задачи может зависеть от граничных условий, которые заданы в области, лежащей вниз по течению. Постановка краевой задачи для гиперзвуко-вых режимов умеренного и сильного взаимодействия относится к тому же типу. Поэтому в работе [6] удалось показать, что и для этих режимов также может иметь место передача возмущений вверх по течению. Если для Мсо—1 область взаимодействия является локальной, то при Моо^>1 и />-0(1) возмущения передаются на всю длину тела. В работе [7] аналогичные результаты получены для треугольного крыла и скользящей пластины.

В первой части настоящей статьи результаты [6] будут распространены на случай двумерных отрывных течений.

Рассмотрим обтекание плоской пластины. Пусть на расстоянии I от передней кромки установлено препятствие, вызывающее отрыв пограничного слоя. Рассмотрим течения, для которых точка отрыва расположена на конечном расстоянии как от носка пластины, так и препятствия.

В соответствии с обычными оценками для пограничного слоя в гиперзвуковом потоке [1] обозначим х1, ут.1 — координаты, отсчитываемые вдоль пластины и по нормали к ней, где т = Кео’1/4> а число Ие0 = роо «оо//^о> Рею, «оо и }а0 — плотность, скорость газа в невозмущенном потоке и коэффициент вязкости, вычисленный при

температуре торможения набегающего потока. Обозначим и^и, 2 2

'ZU<XV, ^РооР, т РооИсюр, {u0a|2)g, {X, — продольный и поперечный

компоненты скорости, плотность, давление, энтальпию торможения, коэффициент вязкости газа в пограничном слое. Подстановка этих переменных в уравнения Навье — Стокса и совершение предельного перехода

Моо -»■ оо, Ие0-> оо, 1 = Мм'Е2>0(1) (1.1)

приводят к уравнениям пограничного слоя

/ да , ди \ с1р , д ( ди \

Р [и дх ду I ~йх ду ду ) ’

7~ 1 27

.(«

ЁК

дх

[А (1

1 \ ди* а )ду

(1.2)

где а —число Прандтля. Краевые условия имеют вид

и (х, 0) = v (х, 0) = 0, g (х, 0) = g9 (х), 1 3

и(х, 8) — 1, ъ(х, Ъ) = с1Ъ/ёх, g^x, 8) = 1. ] ’

Внешняя граница у пограничного слоя в гиперзвуковом потоке определена точно, так как р(лг, 8) = оо, а плотность газа в ударном слое по порядку величины в х2 раз больше, чем в погранич-:ном слое. Распределение давления не задано и должно определяться в процессе решения краевой задачи (1.2) и (1.3) совместно

уравнениями для внешнего течения. В настоящей работе для простоты используется приближенная формула метода касательного клина:

>=£+1*Ч£),+£Н-+[41£Г}М (М>

В работе [6] для безотрывных течений основные результаты получены также строго с помощью гиперзвуковой теории малых возмущений.

Для изучения отрывного течения, показанного на фиг. 1, существенными являются некоторые результаты работы [6]. Во-первых, вблизи передней кромки тела и до точки отрыва существует

•однопараметрическое семейство решений задачи (1.2) — (1-4). Выбор ■единственного решения определяется положением точки отрыва. Положение точки отрыва зависит от формы и размеров препятствия. Во-вторых, во всей области отрыва с длиной Ал:—0(1), кроме малой окрестности препятствия, течение также описывается уравнениями (1.2).

Это легко понять из физических соображений. В самом деле, уравнения пограничного слоя получены из уравнений Навье — Стокса при совершении предельного перехода (1.1) и при определенных предположениях о масштабах продольной скорости, давления и наклона струек тока. Но эти предположения обязаны выполняться и за точкой отрыва. Если предположить, что давление там по порядку больше, чем т2, то линии тока пограничного слоя не смогут проникнуть за точку отрыва, так как на них М = 0(1), -а тогда полное давление имеет порядок т2. Предположение о меньших, чем -с2, порядках давления и толщины вязкой области течения, меньшей т, не позволяет сохранить порядок х3 расхода газа.

Таким образом, решения уравнений пограничного слоя необходимо продолжить за точку отрыва вплоть до малой окрестности препятствия с Дх<С;1. Интегрирование уравнений пограничного слоя через точку отрыва в сверхзвуковом потоке ранее проводилось для областей „свободного взаимодействия" в работах [5, 8]. Однако в работе [5] интегрирование не окончено, а в [8] оканчивается полубесконечной зоной отрыва.

Рассмотрим постановку краевой задачи между точкой отрыва и препятствием. Для определенности будем предполагать, что

препятствие имеет форму ступеньки высотой О(т) со скругленными краями (см. фиг. 1). Проведем линию^0(х)>0, на которой и0(х) = 0. Выше этой линии 0. Для этой части течения уравнения (1.2) нужно интегрировать в положительном направлении вдоль оси х; ниже, в области и<0 — в отрицательном направлении оси х. Если положение точки отрыва задано (пока произвольно), т. е. задан свободный параметр в разложениях решения краевой задачи (1.2) — (1.4) в ряд при х ->■ 0, тогда за точкой отрыва х = х0 в области У^>У0(Х) граничные условия (1.3) при_у = 8 не изменились. Кроме того, необходимо задать три произвольные функции у0(х), и0(х) и ё'оС*)- Тогда уравнения (1.2) можно проинтегрировать до точки х*=х1, где находится препятствие. Чтобы осуществить интегрирование в области <_у0(х), где и<0, необходимо

знать профили и(хх у) и g(xl, у). Эти профили должны быть получены из рассмотрения течения в малой окрестности препятствия, где из-за больших наклонов тела неприменимы уравнения Прандтля. Предположим пока, что указанные профили известны. Тогда интегрирование уравнений (1.2) осуществляется от хх к х0 (так как и<0) при граничных условиях:

и [х, У0 (*)] = 0, g [х, у0 (х)] = g0 (х), V [х, у0 (х)] = у0 (х), 1 {1 5.

и{х, 0) —0, g(x, 0) = gw. | '

Если заданные вначале произвольные функции у0 (х), ъ0(х) и go(x) удастся подобрать так, чтобы удовлетворялись условия

V (х, 0) = 0, 0- [х, уо (л)] = ^ [х, у£ (х)], Щ [х, уо] = Щ [х, Л (1.6)

тогда получится решение, которое удовлетворяет граничным условиям (1.3) и уравнениям (1.2) во всем пограничном слое. В самом деле, непрерывность функций и первых нормальных производных на линии у0(х) в силу (1.2) обеспечивает непрерывность изменения при переходе через у0(х) также и вторых производных от функций и(х, у) и ^(х, у) и т. д. Разумеется, приведенные выше рассуждения не являются строгими и носят эвристический характер.

Теперь необходимо вернуться к вопросу о характере течения вблизи препятствия, определению начальных условий для области 0<^<^0 (х) и выбору положения точки отрыва, т. е. единственного решения на передней части тела перед точкой отрыва.

Если в решении уравнений пограничного слоя нет сечений, где и(х°,.у) = 0 (кроме случая х° -+■ + оо), тогда в области перед препятствием скорость к~0(1). Поперечный размер локальной области как у пограничного слоя, так и препятствия должен быть О(т). Далее, в этой локальной области наклон линий тока, согласно граничным условиям на поверхности препятствия, должен иметь порядок 0(1). Так как м~0(1), то это значит, что V — 0(1). Тогда из уравнения неразрывности следует, что продольный размер области поворота имеет порядок О (т). Так как плотность газа в пограничном слое 0(т2), то давление также 0(т2). Используя полученные оценки, введем локальные координаты и асимптотические представления для окрестности области поворота:

х — 1 = хХ, у= У,

а(х, у- х)^и(Х, ¥)+... , v(x, у, *)«-с-1 У(Х, Г) + ..., (1 7)

Р {х,у- т)^Я(*, У) , р{х,у-,х)^Р{Х,У) + ...,

g (х, у; -с) в (X, У) 4- . . . , 8 (х, X) Я8 Д-

Подстановка (1.7) в уравнения Навье — Стокса и совершение предельного перехода (1.1) приводят к системе уравнений Эйлера:

Предельная схема течения вблизи препятствия в масштабах X, У показана на фиг. 1. Для уравнений движения невязкой жидкости на поверхности тела необходимо удовлетворить условию „непротекания". На внешней линии тока должно выполняться условие

В самом деле, наклон внешней границы О(т), так как давление 0(х2). Поэтому для поперечного компонента скорости с порядком 0(1) получается условие (1.9). Остальные условия получаются при сращивании решений для пограничного слоя и в локальноневязкой области. Согласно принципу сращивания асимптотических разложений (см. например [9]), можно получить

Толщина области Д в главном члене не меняется, так как ее изменение на расстояниях ^^1 означало бы, что наклон внешней границы 0(1), что вызвало бы Д/»~1 много большее, чем х5.

Вернемся к вопросу о начальных условиях, необходимых для интегрирования уравнений пограничного слоя в области возвратного течения. Из (1.8) и (1.10) следует, что полученные в результате интегрирования верхней части течения (и >0) профили и(хиу), ё(х\> У)> Р(*и У) Для линий тока, лежащих ниже разделительной линии тока (проходящей через точку отрыва потока), должны быть приняты в качестве профилей для возвратной области течения, если можно пренебречь потерями в скачках уплотнения. В локально-невязкой области б(ф) и энтропия сохраняется вдоль струек тока, а в области сращивания совпадает величина давления. Поэтому на всех струйках тока функции после поворота примут их значения перед началом поворота. Если при большой высоте ступеньки поворачивают назад струйки тока с достаточно большими сверхзвуковыми скоростями, то необходим учет изменения энтропии в скачках уплотнения. В этих случаях необходимо совместное решение обеих задач. Наконец, чтобы удовлетворить граничному условию „прилипания" газа к телу в области х—1— 0(х), можно, следуя общему методу, развитому в работе [10], ввести вязкий подслой у поверхности тела. Он начинается в критической точке локально-невязкого течения (фиг. 1, нижний график). Поскольку на его внешней границе лежит разделяющая линия тока, то продольная скорость в подслое 0(1), а продольная координата — О(^). Условие равенства главных вязких и инерционных членов уравнения импульса позволяет определить порядок толщины вязкого подслоя х3/2. Постановка граничных условий и вид уравнений для него имеют стандартный вид.

Условия (1.10) замыкают решение задачи для пограничного слоя при заданном положении точки отрыва. Положение же точки

У(Х, У = Д) = 0.

(1.9)

и(хг, у)--=И(- со, У), g(xl, у)=.0(— оо, У), Р(Х1) = Р(—оо, У), 8(*,) = Д.

(1.10)

отрыва должно определяться из граничных условий вниз по течению. Приведем пример одного из таких условий. Пусть за препятствием на некотором расстоянии расположен донный срез и донное давление мало. Тогда в решении для безотрывного пограничного слоя за областью присоединения должна появиться особая точка, в которой (1р!с1х -* —оо, р -* 0(1). Этот тип граничного условия, ограничивающего область передачи возмущений вверх по течению, рассмотрен в работе [11]. Если препятствие, вызывающее отрыв потока, всюду имеет наклон порядка т, то пропадает необходимость рассматривать локально-невязкую область. Задача для этого случая представляет частный случай задачи, рассмотренной выше.

2. Подобие двумерных безотрывных течений при неслабом взаимодействии пограничного слоя с гиперзвуковым потоком с учетом распространения возмущений вверх по течению рассмотрено в [6]. В работе [12] предложена форма закона подобия, в которой передача возмущений учитывалась путем введения дополнительного параметра, равного значению безразмерного давления в характерной точке тела. Полезно, однако, ввести параметры подобия, не зависящие от решения задачи и справедливые для отрывных течений.

Рассмотрим схему введения таких критериев подобия для некоторых частных видов течений, учитывая результаты предыдущего раздела и замечание в [6], согласно которым большая часть области течения, включая срывную зону, описывается уравнениями пограничного слоя. Очевидно, при этом должны учитываться граничные условия для всей области течения, в которой возмущения передаются вверх по потоку. Для произвольного тонкого профиля при малом угле атаки а~т область передачи возмущений замыкается в некоторой точке следа, где за Счет разгона газа возникает сечение запирания возмущений. Условия в сечении запирания для общего случая трехмерного течения получены в п. I статьи [13].

Другой возможный случай замыкания области влияния соответствует резкому переходу к закритическому режиму на задней кромке крыла через течение разрежений, аналогичное рассмотренному в работе [11]. Однако из самого факта существования сечения запирания следует, что для подобия достаточно совпадения формы тела в переменных х, у (напомним, что при введении безразмерных координат использована длина тела /, а для у — еще и параметр т=Ке8"1/4). Кроме того, нужно совпадение а/т, gw, у, Моот, При обтекании ступенек, обращенных по потоку и против потока, вместо а/т появляется параметр Л/т, если за ступенькой следует бесконечная горизонтальная полуплоскость или за обращенной назад ступенькой нет тела (донный срез). Если за ступенькой следует участок горизонтальной плоскости конечной длины, то к критериям Подобия следует добавить параметр £//, где £ — длина хвостового участка. При обтекании вогнутого угла с задней стенкой бесконечной длины вместо а/т нужно использовать параметр б/т, где 6— величина угла. Если задняя стенка обрывается, но за ней следует донный срез с очень малым донным давлением, то необходимо ввести еще параметр I//, где I — длина задней стороны угла. |

Таким образом, в каждом случае вид параметров подобия зависит от характера замыкания области, в которой происходит передача возмущений вверх по течению.

3—Ученые записки ЦАГИ № 3

зз

3. Рассмотрим теперь симметричное обтекание тонкой треугольной пластины на режиме сильного взаимодействия пограничного слоя с внешним гиперзвуковым потоком. Первые важные результаты для этого случая получены в [14], где показано, что решение зависит только от двух независимых переменных. Там же указывается, что из-за существования двух встречных потоков внутри пограничного слоя, направленных под некоторым углом от кромок к центру, течение в плоскости симметрии не является простым и требует специального изучения. Однако рассмотренная в [14] схема течения, состоявшая из пограничного слоя в области, примыкающей к кромкам, и центральной области со значительно большей относительной толщиной, не является возможной. Струйки тока пограничного слоя не могли бы втекать в центральную область, статическое давление в которой по порядку величины больше полного давления газа в пограничном слое.

Это обстоятельство, отмечено в [7]. Там же и в [12] предполагается, что решение уравнений пограничного слоя верно на всем крыле, и поэтому ищется решение, которое удовлетворяет условию „непротекания“ газа через плоскость симметрии. В работе [7] специально оговаривается невозможность появления локальноневязкой области течения вблизи оси симметрии. При обсуждении работ [7, 12] автором настоящей статьи и В. В. Луневым указывалось на определенное возможное внутреннее противоречие, содержащееся в постановке краевой задачи. Действительно, решение вблизи передней кромки содержит лишь одну произвольную постоянную, а в плоскости симметрии граничное условие наложено на функцию — требуется равенство нулю поперечного компонента скорости по всей толщине пограничного слоя. Решение [12] получено в интегральном приближении, для которого весь профиль поперечной скорости определен одной константой, и поэтому не позволяет сделать вывод о существовании решений необходимого вида для уравнений прграничного слоя.

. Рассмотрим решение задачи в общем случае, когда поперечная скорость Для уравнений пограничного слоя во всем профиле, соответствующем плоскости симметрии крыла, не равна нулю. Покажем, ;что в этом случае вопреки утверждению, содержащемуся в [7], удается построить локально-невязкую зону течения вблизи

оси симметрии с узкими подслоями вязкого течения. Сращивание решений У дает дополнительное гранитное условие, позволяющее отобрать единственное решение для пограничного слоя. Оно оказывается наложенным на ве-. личину расхода газа в поперечном направлении и поэтому может быть удовлетворено выбором имеющейся од___ ной произвольной постоянной.

Удобно записать уравнения пограничного слоя, используя цилиндричес-/ кую систему координат, показанную на фиг. 2 (ийоо, г'Иоо» 'ДОИоо'С,— компоненты скорости вдоль радиуса-вектора г1, трансверсали и соответственно). Остальные обозначения такие же, как Фиг. 2 в ,первом разделе статьи, только раз-

мер I не имеет конкретного геометрического содержания, он введен для удобства и из конечных результатов автоматически выпадает. Введем переменные

X:

71 - ТС0

(КрТ7 ’ 008 2~% * ^

= /ра?г,

/= г (К)14/, (С, X), ?---г (гСГ (С, >-),

р=={гц-трЛ^ р~(л)-тр,& X), 8 = (*)*« 8* (С\ £ = £•(£»*)» Ї* = I** (С, X), где /и ? — функции тока, определяемые формулами

(3.1)

иг =

к

дт\ '

<иг =

<?ср

<?7! ‘

(3-2)

В уравнениях пограничного слоя и граничных условиях опустим звездочку при переменных:

(т"У + 8^(1 — ^2)1/2 [ + ?'2) -*уР-

+ с (4 /?" - /' с 2Т0 (:1 - ^),/2 (?' ?");

(и*/7)' + 840 - с2)1/2<р/" + с + «р'2

і

(я-/'2-?'*)

Сахо-С 2)1/2

№ Т

+ ят(1-^2)1/2^+С^-/^ =

(3.3)

/> = -/'2-?'2); * = -/'2-?'2)^;

I1 = (ё—/,2 - <р'2)”;

/; = ¥;=/а, = сРш = 0; йГ(Х = 0) = ^„г;

/е = соэ 6; <Ре = э1п 6; £е=1, 0<С<1.

Здесь штрихами и точками обозначено дифференцирование по X и С, соответственно, индексами но и е отмечены значения переменных на пластине и внешней границе пограничного слоя. Добавим формулу для расчета давления:

Р = ^ {!у0 ^ - С2)1/2 8 8*П 60 + ^ [4 5 008 6 + 2Т0 8‘ (1 ~ С2)1/2 5Ш 6]}2’ (3-4)

Уравнения (3.3) очень похожи на уравнения для двумерного пограничного слоя в переменных Дородйицына — Лиза. Первое уравнение, записанное для поперечного компонента скорости, показывает, что в области, прилегающей к передней кромке крыла, С = 0, где <р' > 0, интегрирование доллсно проводиться в сторону возрастания С, т. е. к оси симметрии. Напротив, в областях течения, где <р'<0> интегрирование должно выполняться против оси С. Линии <р'=:0 или фа» = 0 являются особыми. На них может требоваться сращивание решений, полученных отдельно для областей с разными знаками Таким образом, имеется глубокая аналогия

с двумерным отрывным течением, поскольку линии тока поперечного течения с разными знаками <р' несут информацию о разных начальных условиях. Аналогия с двумерным течением не является полной, поскольку существование радиального компонента скорости для течения в плоскости поперечного сечения эквивалентно полю источников и стоков. Из-за этого, в частности, особые линии в пространственном случае не всегда связаны с отрывом от поверхности тела.

Покажем сначала, что в общем случае решение уравнений пограничного слоя не может быть продолжено до плоскости симметрии. Предположим пока, что течение описывается уравнениями (3.3) вплоть до С = 1. Тогда, используя соображения симметрии, можно найти локальные решения задачи в виде следующих разложений около 6 = 0:

С, :

«’ +

м

р

/=

- Ра + № р2 4“ • :/о + е2Л+ •

, р ^ Ро + 62 р2 + . <р 6?! + б3 <р, + 8 % 80 + 62 82 + .

(3.5)

Для главных членов разложений при 6-^0 получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений и граничные условия:

(Ро / 0 У + -4-/0 /о + ху- (ёо — /о2) (Ро 1*0 + ~т/о Ь + (£о ■

¥1/0 =0;

-/о2)

4 Р2

Ро

Ро !*о

■?1 ?1

1 •— а . а

Ро (*0 —

1 ' 1 — и г ' г"

~ёо:-------—/о/о

2т

)\

+ -гЛёо — ёо?1=0;

|Ш—1

т+ 1 9 2 16

°о,

(3.6)

( 1Л(Й-/о)

СО

8.-^1 (г.-/?) Л;

/о(0)=/о(0) = 0; /о (оо) ==1; ?1 (0) = (0) = 0; ?1(оо)=1;

£о(0) = £«; ёо (оо) = 1.

Задача (3.6) содержит один произвольный параметр р2) который определяет допустимые виды решений и зависит от сращивания локального решения с глобальным, как это всегда и бывает для течений пограничного слоя около критических точек и линий. Поскольку <р!(оа) = 1, то по крайней мере около внешней границы; пограничного слоя при любых значениях р2 есть область, где ®1>0. Проведем дальнейшие рассуждения для случая

^+й’<0'

поскольку давление на оси симметрии должно достигать максимума. Профиль <р1 имеет вид, показанный схематически на фиг. 2. (Если ?1>0 всюду, то и без дальнейших рассуждений ясно, что

сращивание решений (3.6) и (3.3) в общем случае невозможно и реализуется, быть может, лишь при искусственно заданных граничных условиях: добавление отсоса, распределенной толщины тела на каком-то участке и т. п.). Предположим, что решение на основной части крыла построено до места, где линия <р' = 0 уходит с поверхности тела. Согласно [7], это решение зависит лишь •от одной произвольной константы. Для интегрирования уравнений в области f' >0 нужно задать

МУ, ?o(Q, go(Q, /о (0, fo(Q . (3.7)

на линии 9' = 0. Тогда после численного интегрирования (3.3) при £=1 получим некоторые профили <р+(1> ^)> /+0> ^)» 1Г+0> (плк> •сом сверху помечены переменные для области >0). Для того, чтобы они соответствовали какому-либо из решений (3.6), можно использовать три из пяти пока произвольных функций (3.7). В результате этой процедуры определятся начальные условия при £=1 для области <р' <0. Для нее есть граничные условия на поверхности тела (3.3) и (3.7)

«Ро-= 0, go = go, /о+ =/о~ при Ь = МС).

Однако не выполнены условия

9о” — 9сГ> 9о+ = ?о~, go+ = go~, fo+=fo~, fo=fo. (3-8)

Более того, условиям (3.8) в общем случае удовлетворить нельзя, так как свободными остались лишь две произвольные функции. Разумеется, можно пытаться ввести некоторые дополнительные „степени свободы11, считая, что в этой области, например, 9,» = ?„(£),

Sw = Sw однако в общем случае решение (3.3) нельзя

продолжить до оси.

Приведенное рассуждение показывает лишь, что рассмотренное решение задачи (3.3) нельзя продолжить вплоть до С=1. Однако не доказано, что (3.3) не имеет решений, характеризующихся

тем, что <р'(С->1, Х)-*-0, которые на малых расстояниях от оси

симметрии необходимо срастить с решением для локального вязкого течения с малыми поперечными компонентами скорости, не описываемого уравнениями (3.3).

Если 9' не стремится к нулю, тогда для малой окрестности плоскости симметрии необходимо рассмотреть область локальной неприменимости уравнений пограничного слоя (3.3), считая, что

скорости Введем обозначение для порядка скорости v

в решении уравнений (3.3) при 1:

v — О (а), в<«<0(1). (3.9)

Из условий сращивания решений такой же порядок имеет v в локальной области. Должны сохранить свои'порядки также и ~ 1, /?~т2, р— т2, 8— т. Учитывая (3.9) и 0<Са, получаем

. -ГЖ^ЗГ- (ЗЛ0>

Но тогда w~v — а, так как необходимо удовлетворить граничным условиям в плоскости симметрии для каждого сечения г = = const. Сделанные оценки показывает, что в области г9~х необходимо ввести следующие переменные:

6 = тв, z = Z, г — г, р = Р, р = R,

U = U, v= V, w = х-1 w, G = g+Ws, а = д.

} (3.11)

Здесь для краткости рассматривается случай а—1. Однако аналогичные результаты получаются и для более простого случая

Подстановка (3.11) в уравнения Навье — Стокса и совершение предельного перехода Моо со, т -> 0 приводят к уравнениям невязкого течения, в которые г входит как параметр:

Из-за малости производных по г продольный компонент скорости U и G переносятся вдоль „линий тока“ ф = const. Граничные условия непротекания

Условие совместности с внешним гиперзвуковым потоком (3.4) в новых переменных при т О, С 1 принимает вид:

Интегрирование уравнения неразрывности по толщине области с учетом последнего условия (3.13) дает условие, которое должно выполняться при всех в:

Сращивание решений (3.3) и (3.12) дает условия, необходимые для интегрирования (3.3) в области, где <р'«С0. Они аналогичны полученным для плоского течения (1.10) и для краткости здесь не приводятся. В отличие от плоского течения в локальной области вязкие подслои могут быть введены не только на поверхности тела, где нарушены условия прилипания, но и при г = Д, если там не удовлетворяется условие сращивания тангенциального компонента скорости. Действительно, во внешнем п<этоке W~v~

— О(т)/а внутри области УР—г)~0(а)^>х. В силу принципа сращивания и условия (3.14) из всех решений (3.3) необходимо отобрать такое, для которого расход в поперечном направлении при С -> 1 исчезает. Этому условию можно удовлетворить соответствующим выбором одной произвольной константы, которая имеется в разложениях (3.3) при С 0, найденных в [7].

Из проведенного выше анализа следует также, что в области локально-невязкого течения струйки тока, бывшие ранее в верхней части пограничного слоя и несущие большие величины энтальпии торможения и продольного компонента скорости, при повороте подходят к поверхности тела. Поэтому в центральной части крыла следует ожидать появления больших величин тепловых потоков и продольного компонента напряжения трения. .

В заключение заметим, что, как показано выше, краевые задачи для пограничных слоев на треугольном крыле й перед плоским уступом оказываются непротиворечивыми лишь при появлении

^-£ + £^4- t/2+ r2 = G(H U=UW).

W(r,Q, 0) = 0, We-

-.0, V(r, О, Z) = 0. (3.13)

д

/ RVdZ == 0:

(3.14)

о

вторичных или возвратных течений и областей локальной неприменимости уравнений пограничного слоя. Однако, кроме предложенных выше схем течения, включающих локально-невязкие зоны с конечными скоростями, необходимо изучить еще один вид решений уравнений пограничного слоя на основной части тела и соответствующие ему медленные течения в областях локальной неприменимости уравнений пограничного слоя. Решения для пограничного слоя должны выбираться из условия стремления к нулю поперечного размера зоны да = 0(1)>0 на треугольном крыле при подходе к плоскости симметрии и обращения в нуль и = 0(1) на линии тока ф —О при подходе к уступу. В решениях этого типа краевое условие в начале возвратного течения и = 0 для плоского случая или w = 0 для треугольного крыла. Поскольку такие условия ставятся для возвратного течения, это не приводит к появлению противоречий в исходной краевой задаче.

Автор благодарит В. В. Сычева за дискуссию, в процессе которой была выяснена необходимость исследования решений с малыми величинами скоростей для зон локальной неприменимости уравнений пограничного слоя.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хейз У. Д„ Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1967.

2. Mikhail о w V. V., Neil and V. Ya., Sychev V. V. The theory of viscous hypersonic flow. Annual Reviw of Fluid Mech., vol. 3.

Palo Alto, California, 1971.

3. H e й л а н д В. Я. Сверхзвуковое течение вязкого газа вблизи точки отрыва. Сб. „Аннотация докладов 111 Всесоюзного съезда по теории и прикладной механике*. М., АН СССР, 1968.

4. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969. № 4.

5. S t е w а г t s о п К., W i 11 i а ш s Р. О. Self-induced separation. Proc.

Roy. Soc., A. 312, 1969,

6. H e й л а н д В. Я. Распространение возмущений вверх по те-

чению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1970, № 4. ; , .

7. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О сильном вязком взаи- .

модействии на треугольном и скользящем крыле. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1970, № 6. ' ' '

8. Нейланд В. Я. Течение за точкой отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке.1 „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1971; № 3.

9. В а н-Д а й к М. Методы возмущений в меХанйке жидкости. ;

М., „Мир", .1967. , ■

; 10. Нейланд В. Я., Сычев В. В. Асимптотические решения .

уравнений Навье— Стокса в областях с большими локальными возмущениями „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1966, № 4. " ;

И. Нейланд В. Я. Вдувание газа в гиперзвуковой поток. „Ученые -записки ЦАГИ*, т. Ill, № 6, 1972. • ! ' " 1

12. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О влиянии возмущений

пограничного слоя на гиперзвуковые течения с вязким взаимодейст-1 ' вием. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1971, № 4. ■ .

13. Нейланд В. Я. IК теории взаимодействуя гиперзвукового -потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространст- . венных течений. Ч. 1. Пространственные течения. „Ученые запис-

■ ки ЦАГИ“, т. V, № 2, 1974. • - : ' ■

• 14. Л а д ы ьк ё й с к‘и й М. Щ'> О* сильном взаимодействии погра- ' '

ничного слоя с- невязким по током на треугольном «рыле.TlMM,>Ws 4,

1965. -

Рукопись поступила 22jXI 1973 г.