О массообмене на треугольном крыле при наличии области закритического течения в пограничном слое Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦЛГИ

Том XXXII 2 001

№1—2

УДК 532.526:533.694.71/.72 629.782.015.3:532.526

О МАССООБМЕНЕ НА ТРЕУГОЛЬНОМ КРЫЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ ОБЛАСТИ ЗАКРИТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

Г. Н. Дудин

охлаж-

Рассмотрено течение с массорбменом на проницаемой сильно денной поверхности плоского треугольного крыла в условиях сильного взаимодействия гиперзвукового потока с ламинарным пограничным слоем. Исследовано влияние вдува (отсоса) газа и расположения проницаемой области на характеристики обтекания и переход от закритического течения к докри-тическому.

Вдув (отсос) газа через проницаемую поверхность тела, обтекаемого гиперзвуковым потоком вязкого газа, может оказывать значительное влияние не только на трение и тепловой поток, но и на толщину вытеснения пограничного слоя, а следовательно на распределение индуцированного давления [1]—[3]. Известно, что при обтекании нехолодных тел на режиме сильного вязкого взаимодействия возмущения распространяются вверх по течению на длину, сравнимую с характерной длиной тела [4], [5]. Наличие при этом на ограниченном участке поверхности массообмена также влияет на характеристики течения вверх по потоку на достаточно большом расстоянии от начала этого участка [2].

При гиперзвуковом обтекании температура поверхности тела может оказаться малой по сравнению с температурой торможения, и тогда при обтекании треугольных крыльев возможно образование областей закритического и докритического течений в ламинарном пограничном слое [6], [7]. В области докритического течения возмущения распространяются вверх по потоку на всю ее длину, а в закритическом течении такое распространение возмущений отсутствует. В настоящей статье основное внимание уделено исследованию влияния расположения области массообмена и его интенсивности на характеристики течения на сильно охлажденном треугольном крыле, а также на расположение координаты перехода от закритического течения к докритическому.

1. Рассматривается симметричное обтекание полубесконечного плоского треугольного крыла гиперзвуковым потоком вязкого, теплопроводного совершенного газа при нулевом угле атаки. Зависимость коэффициента вязкости от температуры определяется линейной функцией. Предполагается, что температура поверхности крыла Т® мала по сравнению с температурой торможения набегающего потока, и реализуется режим сильного вязко-невязкого взаимодействия ламинарного пограничного слоя с внешним невязким гиперзвуковым потоком. Компоненты вектора скорости

V0, направлены соответственно вдоль осей х0, у(), 2° декартовой системы координат, начало которой расположено в вершине крыла. Ось х° направлена вдоль оси симметрии, ось у® — по нормали к поверхности крыла, ось 7°— по размаху. Угол стреловидности Р и параметр

5 = = 0(1).

Через проницаемую область крыла по нормали к его поверхности производится вдув (отсос) совершенного газа с заданной скоростью

=o)=F0(д:0,z0) по порядку величины, равной 0(6) —нормальному компоненту вектора скорости в пограничном слое при отсутствии массо-обмена. Здесь 5 = з1/4 Яее_1//4 — характерная безразмерная толщина пограничного слоя, а Яе0 =р00м001/ц0 — число Рейнольдса, вычисленное по значениям плотности и скорости газа в невозмущенном потоке, динамического коэффициента вязкости при температуре торможения и характерного размера Ь, который при рассмотрении обтекания полубесконечного треугольного крыла из конечных результатов выпадает. Предполагается, что область, через которую происходит массообмен, может занимать либо всю поверхность крыла, либо начинаться на некотором расстоянии от передних кромок и простираться вплоть до плоскости симметрии.

Интенсивность массообмена (расход газа за единицу времени через

единицу поверхности) определяется величиной Ч* = где р® —

плотность газа, проходящего через проницаемую поверхность. Величина ¥ зависит не только от скорости вдува (отсоса) и температуры поверхности, но и величины индуцированного давления р®, которая не задана и может быть определена только в результате решения рассматриваемой краевой задачи. Предполагается, что при вдуве его интенсивность такова, что около поверхности крыла пограничный слой не отсоединяется и область невязкого течения не образуется [1]. Гиперзвуковой поток обтекает «эффективное тело», формирующееся под влиянием вязкости и массообмена. Считается, что характерный наклон «эффективного тела» 8 «1. Тогда образующийся невязкий ударный слой в первом приближении описывается гиперзвуковой теорией малых возмущений [8].

Дня того чтобы интенсивность массообмена при Г® —> 0 оставалась конечной, предполагается линейная зависимость скорости вдува (отсоса)

от температурного фактора /^(х0, г°)=/^(.х0, г°)2 срТ^/и^ .где с р — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Тогда интенсивность массообмена определяется величиной ¥ = 2уРм, />°/(у~1)моо (У — отношение удельных теплоемкостей), которая отлична от нуля, если Ф 0.

Следует отметить, что при Г® -»0 в рассматриваемом случае скорость

также стремится к нулю, но при этом плотность газа, проходящего через проницаемую поверхность, стремится к бесконечности. Зависимость

функции F0 от координат в дальнейшем выбирается из условия возможности сведения пространственной краевой задачи к автомодельной (двумерной).

В области, где главные вязкие и инерционные члены уравнений Навье — Стокса имеют одинаковый порядок, учитывая оценки для ламинарного пограничного слоя в гиперзвуковом потоке [8] . и преобразование Дородницына, вводятся безразмерные координаты и функции

СІХ*

и =*ихи,

О 0 ^00

=иа0М>, V = —

5Р

V -5М-

дХ*

дх

- и;-

д%* д г*

(1.1).

р° = рао62р*» р° =рхи1б2р*, g0=uZ>g/2, ц°= ц0ц ^ = «>-'/•*, 4 = г&8ї/2ср, 5°е = Ж*е.

Здесь р° — плотность газа, = ср Г° +(и02 + и»02)/^ — энтальпйя

торможения, — безразмерная энтальпия на поверхности крыла, 5® — толщина вытеснения пограничного слоя.

После перехода к переменным Дородницына на проницаемой поверхности крыла задается уже не компонент вектора скорости, нормальный к поверхности, а безразмерная интенсивность массообмена, определяемая величиной

*и* „'і * 77* ^ *17*

V (А. =0;=р„Р gw =--------р Р ,

У-1

так как р

2у

■1 g-u2 -w2

При рассмотрении обтекания полубесконечных треугольных тел с массообменом на поверхности на режиме сильного вязко-невязкого взаи-

модействия краевая задача может быть сведена к автомодельной (двумерной) [2], если потребовать, чтобы функция

\ 1/2

У-1

2у

х-1/4 (і - 22 )~'/4 р{г), (1.2)

V ' /

и ввести автомодельные переменные, учитывающие поведение функций течения в окрестности передних кромок и вершины треугольного крыла:

* *

2 = хг, к

ґ ~ \ 2у

1/2

-1/4

2у \У-1 у

1/2

-3/4

М)

чУ-1/

1/4

/ ?\1/4 (і-,2) ч,.

р , ч ап ап

■£— - ( И1 - 52М)--------------ЯХи

^ дх

(1.3)

1 — г'4 4 ' дг

р*=х~х12(\-22^р{г), р* = дс_1/2р(г], г),

5’ = х3/4 (і - г2 )3/4 Ае (г).

При подстановке переменных (1.3) в уравнения пространственного ламинарного пограничного слоя и граничные условия краевая задача не зависит от координаты х и получается система уравнений в частных производных, которая описывает течение в пространственном пограничном слое в плоскости 2 иг) (автомодельная задача). Функция Р(г) не имеет особенностей на передних кромках крыла при 2 = +1.

Система уравнений ламинарного пограничного слоя и граничные условия с учетом (1.1) — (1.3) принимают вид

+у/' = А

/ =

, С:

-и~ -м> ІР3 +и"

Ig-u2 -м>2 )Рь +м>”

„ 1-е/ 2 2 У'

-------\и +'И>А)

а

= (■Ц'-52и)і75 -^] (о,255М-52М* + >1>* ),

1 -2‘

-, Р2=У—, Р$ = -Р2 (0,5(1 + г2 ),

» 2уР

^=^(7 + ^//), Р5=—,

2р

Л -0: и = ч> = 0, g = gw>

г| —> оо: и -> 1, \*> -» 0, g -> 1,

(1.4)

где штрихами обозначено дифференцирование по г|, а точками — по г, \г\ < 1, а — число Прандтля. Задание различных значений параметра Р в граничных условиях задачи (1.4) позволяет найти решения при разной интенсивности массообмена газа, которая определяется величиной

Следует отметить, что размерная интенсивность массообмена зависит не только от заданного параметра Р, но и, что очень существенно, от индуцированного давления р, величина которого зависит от значения Р. Следовательно, плотность вдуваемого газа, даже при постоянной температуре поверхности, будет изменяться, если изменяется параметр Р. При рассмотрении обтекания крыльев с холодной поверхностью -» 0) в настоящем

исследовании скорость вдува (отсоса) газа F0 -» 0, однако расход вдуваемого газа оказывается конечным, если параметр Р не равен тождественно нулю.

Учитывая, что плотность газа на внешней границе пограничного слоя обращается в бесконечность, так как температура стремится к нулю [9], для толщины ламинарного пограничного слоя в переменных (1.3) получаем

Распределение индуцированного давления по крылу заранее неизвестно и должно определяться в результате совместного решения задачи о пограничном слое с массообменом на поверхности и о внешнем невязком течении, которое описывается в первом приближении гиперзвуковой теорией малых возмущений. При рассмотрении обтекания плоских крыльев с удлинением ^ = 0(1) для внешнего невязкого течения при Мда » 1 применима теория полос [8], и при выполнении условия М^б »1 для определения давления на режиме сильного вязкого взаимодействия можно использовать приближенную формулу «касательного клина», которая в переменных

(1.1), (1.3) принимает вид:

Соотношения (1.5), (1.6) позволяют замкнуть систему уравнений в частных производных (1.4), которая описывает пространственное течение в ламинарном пограничном слое на треугольном крыле с заданными интенсивностью массообмена Р(г) и температурой поверхности g = gw на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия.

2

2 4 а г

(1.6)

На передних кромках крыла (г = ±1) система уравнений (1.4)—(1.6) вырождается в системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и их решения позволяют найти все функции течения в пограничном слое на кромках. Для случая обтекания холодного крыла = 0 эти решения в рамках теории пограничного слоя существуют не при всех = ±1) [1]. Как показали расчеты, величина Г зависит от угла стреловидности передней кромки. Так, при Р = 45° (л = 1) суммарный коэффициент напряжения

жения трения в продольном и поперечном направлениях) обращается в нуль при Р —> 1,1 и при больших Р происходит отсоединение пограничного слоя, по крайней мере, в области закритического течения. Поэтому выражение (1.6) можно использовать для определения давления на всем крыле только до тех пор, пока при увеличении интенсивности вдува около поверхности крыла не начнет образовываться область невязкого в первом приближении течения [1]. Следовательно при проведении расчетов с заданной величиной /’(г) необходимо проверять выполнение условия X Ф 0 .

Далее рассматривается обтекание холодных треугольных крыльев ПРИ ЯXV = 0 • Очевидно, даже при Р(г) = 0 система уравнений пограничного слоя на треугольном крыле в переменных (1.3) в области закритического течения не приводится к автомодельному (одномерному) виду [10], соответствующему течению около полубесконечной скользящей пластины [6]. Для сведения краевой задачи к автомодельному виду в закритических областях течения необходимо вместо (1.2) рассмотреть обтекание крыла, для которого функция, определяющая массообмен, имеет вид

Заметим, что при рассмотрении обтекания треугольного крыла с рас-

(1.2), автомодельный вид решения системы уравнений (1.4) — (1.6) в закритических областях течения получается, если результаты расчетов представлять в виде

ди дм

дм

трения

коэффициенты напря-

\1/2

(1.7)

где Е должна быть постоянной величиной, и ввести переменные типа (1.3), в которых выражения (1 - г2) заменены на (1 - |г|).

пределенным массообменом, заданным выражением

р'(г)- (1 + |г|)“1/2Ж), 4(і) = (1 + М)3/4 Д,,'

Xі, =(і + |2|)Ч'4~(2, 0), ГДЄ / = (»,>», 8).

' Яп

дц

(1.8)

При произвольном задании вида функции Р(г) в (1.2) автомодельных решений в областях закритического течения не существует.

Координата линии перехода от закритического режима течения в пограничном слое на холодном крыле к докритическому для области О < г < 1 с учетом [6] определяется из соотношения:

о

2 2

g-U

и СОб(Р -+- ОС»! )-+- 1У8Іп(р + а>1 )

2

<*1 = -м>2)а?п , (1.9)

о

^(Р+СО,)

где г* =-----------, угол (01 отсчитывается от передней кромки крыла с

с1ёр

2 = 1.

В равенство (1.9) входят текущие значения функций g, и к при

2 = г к, если автомодельных решений в закритической области течения нет. Если же массообмен выбран в виде (1.7), при котором существуют ав^ томодельные решения в закритической области, то для 0 < г < 1, как и в [6], [10], функции берутся из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на передней кромке при 2 -1. При представлении результатов численных расчетов значения координаты будут обозначены светлыми кружочками на кривых, соответствующих распределениям давления.

2. Для решения системы уравнений (1.4)—(1.6) используется метод расчета [11], который позволяет учитывать передачу возмущений вверх по пограничному слою, а также вести вычисления и при возникновении возвратных вторичных течений.

Далее приведены результаты расчетов, полученные при решении системы уравнений (1.4)—(1.6) на треугольном крыле для 5=1, ст = 1, у=1,4 нgw =0. На рис. 1—5 результаты представлены с учетом преобразования

(1.8), причем сплошные кривые соответствуют течениям с =0, штриховые — с вдувом .Г1 =0,2,а шрихпунктирные — с отсосом Р1 = -0,5. Области поверхности крыла с массообменом расположены слева от точек на соответствующих кривых. Считается, что в случае переменного массообме-

на, когда Р^ не постоянна, а является функцией от г, она изменяется на последнем шаге расчетной сетки перед началом области массообмена линейно от нуля до Р^ = 0,2 или F1= -0,5.

На рис. 1 представлены распределения индуцированного давления р1 по координате г. Когда массообмен отсутствует (кривая 1) или величина Р^ =0,2; -0,5 постоянна при всех г (соответственно кривые 2, б), в закритической области реализуются автомодельные решения и давление здесь постоянно. Длина области закритического течения в указанных трех слу-

чаях не зависит от величины ^ . Координата перехода =0,49326 обозначена светлыми кружочками на кривых 1—3. Увеличение интенсивности вдува (кривая 2) приводит к увеличению давления р1 на всей поверхности

крыла, что связано с ростом толщины пограничного слоя А*е (рис. 2), а увеличение интенсивности отсоса (кривая б) — к его уменьшению, причем р^(г) и Де(г) меняются монотонно. При постоянных значениях Fi на крыле в области закритического течения сохраняют постоянные значения

коэффициенты напряжения трения х\, х\, и теплового потока = ■ ^

дц

п=о

(см. рис. 3—5, кривые 2, 6). Увеличение интенсивности отсоса приводит к

увеличению значений х\, и х^. При этом в окрестности плоскости

симметрии крыла реализуется течение с плавным стеканием (см. рис. 4, кривая 6). При увеличении интенсивности вдува (кривые 2) указанные коэффициенты, естественно, уменьшаются, причем изменяется характер течения, так как коэффициент в окрестности плоскости симметрии О < г < 0,1 изменяет знак (см. рис. 4), и в этой области в пограничном слое около поверхности крыла возникает зона возвратного поперечного течения.

Распределение характеристик течения, когда массообмен происходил на поверхности крыла при |г| < 0,75, т. е. начинался в области закритиче-ского течения, представлено на рис. 1—5 кривыми 5 и 7. Распространение возмущений «вверх» по потоку от начала области как вдува (кривая 3), так и отсоса (кривая 7) ограничено двумя-тремя шагами разностной сетки (Дг = 0,025), что является естественным, учитывая фактическое наличие второй производной от толщины пограничного слоя по поперечной координате в уравнениях (1.4)—(1.6). Распределение давления и других функций течения в области закритического течения в сторону к плоскости симметрии крыла уже не является автомодельным. В этих случаях переход происходит на неавтомодельных решениях. Координата перехода, определяемая из соотношения (1.9) для текущих функций течения, смещается к передней кромке в случае вдува, светлый кружок на кривой 3. Для течения с отсосом переход задерживается, и область закритического течения увеличивается (кривая 7). Существенно немонотонный характер изменения

величин р1(г) и Д!е{г) в случае отсоса (кривые 7 на рис. 1, 2) приводит и к немонотонной зависимости коэффициентов напряжения трения и теплового потока от поперечной координаты. Достаточно сильно изменяются величины т1,т|,и^в начале области массообмена (см. рис. 3—5). Но, если изменения Ту и не превышают соответствующих значений для те-

зо

Рис. З

чений с постоянной ^ (см. рис. 3, 5), то для это не так. Например, при отсосе (кривая 7 на рис. 4) в области закритического течения коэффициент напряжения трения в поперечном направлении увеличивается по модулю до 0,091 вместо 0, 0645 (кривая б). Однако для течения с вдувом этот эффект не велик, если сравнить кривые 3 и 2.

Для течений с массообменом при |г| < 0,5 (кривые 4, 8 на рис. 1 и 2) характер распространения возмущений «вверх» по потоку аналогичен предыдущему случаю. Так как для вдува (кривая 4) координата перехода практически совпадает с началом области вдува, а для отсоса координата перехода смещается в сторону плоскости симметрии до г = 0,42 (кри-

Рис. 5

вая 8), и в результате начало области отсоса оказывается расположенным в области закритического течения.

Распределения характеристик течения для области массообмена, расположенной при |г| < 0,25, представлены на рисунках кривыми 5 и 9. Численные расчеты показали, что в этих случаях возмущения распространяются «вверх» по потоку вплоть до значения координаты перехода г к =0,49326, соответствующего отсутствию массообмена или постоянному

значению . В результате поведение функций течения и ^ в окрестности начала области вдува (отсоса) более плавное по сравнению с предыдущими случаями, и влияние массообмена на изменение х1и и меньше, чем для массообмена в области \г\ < 0,75 (см. рис. 3, 5). Следует отметить

значительное изменение величины для течения с отсосом (кривая 9 на рис. 4), имеющее пикообразный характер в окрестности начала области отсоса. Резкий разгон газа в поперечном направлении в этой области пограничного слоя объясняется падением давления в ней (кривая 9 на рис 1). Заметим, что характер течения в окрестности плоскости симметрии крыла

при этом не изменился. Влияние вдува газа на величину более слабое, что объясняется, видимо, монотонным характером распределения индуцированного давления р\г) (кривая 5 на рис. 1).

Увеличение интенсивности вдува (кривые 2, 3 и 5 на рис. 3) приводит к уменьшению т}и в окрестности плоскости симметрии крыла, а это означает, что в области докритического течения уже при меньшей скорости вдува газа, чем предельные скорости вдува в закритических областях, решения в рамках уравнений пограничного слоя могут оказаться несправедливы.

Таким образом, в результате численных расчетов для класса автомодельных решений определены зависимости газодинамических переменных

от функции F^{z), характеризующей интенсивность массообмена на поверхности холодного треугольного крыла. Установлено, что массообмен, начинающийся в закритической области, влияет на координату перехода от закритического течения к докритическому и не влияет на характеристики течения «вверх» по потоку. Вдув газа уменьшает, а отсос увеличивает размер области закритического течения. Массообмен, начинающийся в области докритического течения, влияет на характеристики течения во всей этой области. При этом отсос газа может приводить к возникновению узких зон повышенного трения в поперечном направлении при сохранении плавного стекания в окрестности плоскости симметрии крыла и без образования зон возвратного поперечного течения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 98-01-00735).

ЛИТЕРАТУРА

1. Нейланд В. Я. Вдувание газа в гиперзвуковой поток//Ученые записки ЦАГИ.—1972. Т. III, № 6.

2. Д у д и н Г. Н. О течении в гиперзвуковом пограничном слое на телах степенной формы при наличии массообмена//ПМТФ.— 1979, № 5.

3. Липатов И. И. Распределенный вдув газа в гиперзвуковой по-ТОК//ПМТФ.— 1987, № 6.

4. Н е й л а н д В. Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем//Изв. АН СССР. МЖГ,— 1970, № 4.

5. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыльях//Изв. АН СССР. МЖГ.— 1970,

№ 6.

6. Н е й л а н д В. Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений.

Ч. 1. Пространственные течения//Ученые записки ЦАГИ.— 1974. Т. V, № 2.

7. Д у д и н Г. Н. Влияние сильного охлаждения поверхности на характер обтекания треугольного крыла гиперзвуковым потоком вязкого газа//Изв.

РАН. МЖГ,— 1998, № 4.

8. X е й з У. Д., П р о б с т и н Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.—

М.: Изд. иностр. лит. — 1962.

9. L е е R. S., С h е n g Н. К. On the outer-edge problem of a hypersonic boundary layer//J. Fluid Mech.— 1969. Vol. 38, pt. 1.

10. Дудин Г. H. К вопросу существования автомодельных решений в закритической области при гиперзвуковом обтекании треугольного кры-ла//Изв. РАН. МЖГ,— 1997, № 2.

11. Д у д и н Г. Н., Лыжин Д. О. Об одном методе расчета режима сильного вязкого взаимодействия на треугольном крыле//Изв. АН СССР. МЖГ,—1983, №4.

Рукопись поступила 7/X1999 г.